PRODUCTOS NOTABLES INDICADORES DE LOGRO 1. Acepta los productos notables como fórmulas para obtener el producto de expresiones algebraicas. 2. Aplica las reglas al resolver los diferentes tipos de productos notables. En este capítulo trataremos los Productos Notables, tema fundamental de la matemática, ya que tiene múltiples aplicaciones; sobre todo en la solución de ecuaciones de segundo grado, en geometría analítica y en el cálculo diferencial e integral. Un producto es el resultado de multiplicar dos o más números. Los números que se multiplican reciben el nombre de factores del producto. En álgebra, se realizan multiplicaciones algebraicas en las que se tiene que utilizar las propiedades y las reglas de los signos para obtener el producto. Ahora bien, existen ciertas multiplicaciones de expresiones algebraicas cuyos factores presentan características muy particulares, en estos casos especiales utilizaremos procedimientos abreviados, los cuales nos permiten efectuar las multiplicaciones con mayor rapidez, los mismos se denominan Productos Notables. CONCEPTO Los Productos Notables son multiplicaciones cuyo resultado pueden obtenerse aplicando reglas específicas, los mismos merecen un tratamiento especial con la finalidad de aprender a escribirlos rápidamente. 1. CUADRADO DE UN BINOMIO 2.1. CUADRADO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES. Si desarrollamos (a + b) 2 como la multiplicación de (a + b) por (a + b) (producto de dos factores iguales), vamos a obtener: (a + b) 2 = (a + b)(a + b) = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2, y entonces podremos concluir que: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual a: La primera cantidad elevada al cuadrado, más el doble producto de la primera cantidad por la segunda, más la segunda cantidad elevada al cuadrado. Prof. Carlos A. Gómez P. / Profa. Mari Rubiela Tello D. Página 1
Desarrollar los siguientes ejercicios aplicando la regla dada: (x + 5) 2 = (x) 2 + 2(x)(5) + (5) 2 = x 2 + 10x + 25 (5x + 7) 2 = (5x) 2 + 2(5x)(7) + (7) 2 = 25x 2 + 70x + 49 (8x n+1 + 2y) 2 = (8x n+1 ) 2 + 2(8x n+1 )(2y) + (2y) 2 = 64x 2n+2 + 32x n+1 y + 4y 2 ( 5 9 n7 + 7k 8 ) 2 = ( 5 9 n7 ) 2 + 2 ( 5 9 n7 ) (7k 8 ) + (7k 8 ) 2 = 25 81 n14 + 70 9 n7 k 8 + 49k 16 Completar los siguientes ejercicios propuestos, colocando signos y términos faltantes: (x + 5) 2 = ( ) 2 + 2( )( ) + ( ) 2 = x 2 + 10x (2x + 3) 2 = ( ) 2 + 2( )( ) + ( ) 2 = 4x 2 + (7x + 4y) 2 = ( ) 2 + 2( )( ) + ( ) 2 = 49x 2 + 16y 2 (4x 3 + 3y 4 ) 2 = ( 4x 3 ) 2 + 2( 4x 3 )( 3y 4 ) + ( 3y 4 ) 2 = (a x 3 + 6) 2 = ( a x 3 ) 2 + 2( )( ) + ( 6 ) 2 = + 12a x 3 (7b 3 + 3b 2 ) 2 = ( ) 2 + 2( 7b 3 )( 3b 2 ) + ( ) 2 = 49b 6 + 9b 4 2.2. CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES. Si desarrollamos (a b) 2 como la multiplicación de (a b) por (a b) (producto de dos factores iguales), vamos a obtener: (a b) 2 = (a b)(a b) = a 2 ab ab + b 2 = a 2 2ab + b 2, y entonces podremos concluir que: (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual a: La primera cantidad elevada al cuadrado, menos el doble producto de la primera cantidad por la segunda, más la segunda cantidad elevada al cuadrado. Prof. Carlos A. Gómez P. / Profa. Mari Rubiela Tello D. Página 2
Desarrollar los siguientes ejercicios aplicando la regla del cuadrado del binomio: (4 m) 2 = (4) 2 2(4)(m) + (m) 2 = 16 8m + m 2 (3x 4a 5) 2 = (3x 4a ) 2 2(3x 4a )(5) + (5) 2 = 9x 8a 30x 4a + 25 (5x 7 ) 2 = (5x) 2 2(5x)( 7 ) + ( 7 ) 2 = 25x 2 10 7 x + 7 Completar los siguientes ejercicios propuestos, colocando signos y términos faltantes. (2m 5n) 2 = ( 2m ) 2 2( )( ) + ( ) 2 = 4m 2 + 25n 2 (x 2 3x) 2 = ( ) 2 2( )( 3x ) + ( ) 2 = x 4 6x 3 (4a 2 7b 2 ) 2 = ( 4a 2 ) 2 2( )( ) + ( ) 2 = 56a 2 b 2 + 49b 4 ( 1 6 yx 9) 2 = ( 1 6 yx ) 2 2 ( 1 6 yx ) (9) + (9) 2 = + 81 (b 3 2b 2 ) 2 = ( b 3 ) 2 2( )( 2b 2 ) + ( ) 2 = b 6 + 4b 4 2. CUBO DE UN BINOMIO 2.1. CUBO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES. Si desarrollamos (a + b) 3 como la multiplicación de (a + b) 2 por (a + b), tendremos: desarrollando tenemos: (a + b) 2 (a + b) = (a 2 + 2ab + b 2 )(a + b) a 2 + 2ab + b 2 a + b a 3 + 2a 2 b + ab 2 a 2 b + 2ab 2 + b 3 a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 por lo cual, podemos concluir que: (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 El cubo de la suma de dos cantidades es igual a: La primera cantidad elevada al cubo, más tres veces el producto de la primera cantidad al cuadrado por la segunda, más tres veces el producto de la primera por la segunda cantidad elevada al cuadrado, más la segunda cantidad elevada al cubo. Prof. Carlos A. Gómez P. / Profa. Mari Rubiela Tello D. Página 3
Desarrollar los siguientes ejercicios aplicando la regla del cuadrado del binomio: (x + 5) 3 = (x) 3 + 3(x) 2 (5) + 3(x)(5) 2 + (5) 3 = x 3 + 15x 2 + 75x + 125 (3x + 4) 3 = (3x) 3 + 3(3x) 2 (4) + 3(3x)(4) 2 + (4) 3 = 27x 3 + 108x 2 + 144x + 64 (2m + 3n) 3 = (2m) 3 + 3(2m) 2 (3n) + 3(2m)(3n) 2 + (3n) 3 = 8m 3 + 36m 2 n + 54mn 2 + 27n 3 Completar los siguientes ejercicios propuestos, colocando signos y términos faltantes. (m + 5) 3 = (m) 3 + 3( ) 2 (5) + 3(m)( ) 2 + (5) 3 = m 3 + 125 (x + 4y) 3 = (x) 3 + 3( ) 2 (4y) + 3(x)( ) 2 + (4y) 3 = x 3 + 64y 3 (2 + 7b) 3 = (2) 3 + 3( ) 2 (7b) + 3(2)( ) 2 + (7b) 3 = 8 + 343b 3 2.2. CUBO DE LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES. Si desarrollamos (a b) 3 como la multiplicación de (a b) 2 por (a b), tendremos: desarrollando tenemos: (a b) 2 (a b) = (a 2 2ab + b 2 )(a b) a 2 2ab + b 2 a b a 3 2a 2 b + ab 2 a 2 b + 2ab 2 b 3 a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 por lo cual, podemos concluir que: (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual a: la primera cantidad elevada al cubo, menos tres veces el producto de la primera cantidad al cuadrado por la segunda, más tres veces el producto de la primera por la segunda cantidad elevada al cuadrado, menos la segunda cantidad elevada al cubo. Desarrollar aplicando la regla: Prof. Carlos A. Gómez P. / Profa. Mari Rubiela Tello D. Página 4
(a 3) 3 = (a) 3 3(a) 2 (3) + 3(a)(3) 2 (3) 3 = a 3 9a 2 + 27a 27 (2m 2 3n) 3 = (2m 2 ) 3 3(2m 2 ) 2 (3n) + 3(2m 2 )(3n) 2 (3n) 3 = 8m 6 36m 4 n + 54m 2 n 2 27n 3 Completar los siguientes ejercicios propuestos, colocando signos y términos faltantes. (5x y 2 ) 3 = ( ) 3 3( ) 2 ( ) + 3(5x)(y 2 ) 2 (y 2 ) 3 = 125x 3 75x 2 y 2 + (a x 3 2) 3 = (a x 3 ) 3 3(a x 3 ) 2 (2) + 3( )( ) 2 ( ) 3 = + 12 a x 3 8 (6a b 4 ) 3 = ( ) 3 3(6a) 2 ( ) + 3( )(b 4 ) 2 (b 4 ) 3 = + 18ab 8 b 12 PRÁCTICA #1 Resolver, aplicando la regla, los siguientes cuadrados de binomios. 1. 4. 7. 10 13 16. 19. 22. (n + 3) 2 (2m 5) 2 (6 + 3n) 2 (3x + 5) 2 (4t 2 5t 3 ) 2 (a 5 b 3 c 4 + 12) 2 (10x 4 y 3 9) 2 (7b + 11) 2 2. 5. 8. 11. 14. 17. 20. 23. (7x 3 3y 2 ) 2 (6x + y) 2 (4x 3 y 4 8z) 2 (7m a + 2 + 5m) 2 (5m 2 3mn) 2 (5 y) 2 (8x a 3 + 7x a + 4 ) 2 (a x + 2 a x ) 2 3. 6. 9. 12. 15. 18. 21. 24. (9 4a) 2 (3x n + 1 + y n 1 ) 2 (5a 2 b 6ab 3 ) 2 (2x 4 3y 5 ) 2 (abc + 13) 2 (x a 1 y b ) 2 (3x 2 + 2y 3 ) 2 (2 + 3x m + 1 ) 2 PRÁCTICA #2 Resolver, aplicando la regla, los siguientes cubos de binomios. 1. 4. 7. 10. 13. 16. 19. 22. (x + 2) 3 (m 1) 3 (3 + 6n) 3 (x 10) 3 (2t 2 3t 3 ) 3 (b 3 c 4 + 4) 3 (5x y 2 ) 3 (x y 2 ) 3 2. 5. 8. 11. 14. 17. 20. 23. (2x 3 + y 2 ) 3 (x 4y) 3 (4x 3 y 4 + z) 3 (3m a + 2 2m) 3 (5m 2 3mn) 3 (5 + y) 3 (3x a + 3x b ) 3 (a 2 a x ) 3 3. 6. 9. 12. 15. 18. 21. 24. (2 + 4a) 3 (3x n + y n ) 3 (a 2 b ab 3 ) 3 (2x 4 + 3y 5 ) 3 (ab + 3) 3 (x 1 y b ) 3 (3x 2 2y 3 ) 3 (2 3x m + 1 ) 3 Prof. Carlos A. Gómez P. / Profa. Mari Rubiela Tello D. Página 5
PRÁCTICA #3 Completar. Complete colocando en cada círculo el signo positivo ( + ) o negativo ( ), como sea el caso; y, en cada línea el término correspondiente que completa el desarrollo de los siguientes productos notables. ATENCIÓN: Realice solamente los cálculos auxiliares necesarios para completar la respuesta. ( 2x 3 5y 5 ) 2 = 4x 6 + 25y 10 ( 4x 2 y 2 + 3y 4 ) 3 = 64x 6 y 6 + + 108x 2 y 10 + (4m 3 1 2 mn)2 = 16m 6 1 2 m2 n 2 ( 3a x+2 + 7b ) 2 = + + 49b 2 ( 2x 2 3 ) 3 = 8x 6 + 54x 2 ( 2x a+4 + 8xy a+1 ) 2 = 4x 2a+8 + + 64x 2 y 2a+2 ( 5n 5 3mn 4 ) 3 = 125n 15 + 135n 13 m 2 ( a x+1 6a ) 2 = + 36a 2 Verificar. En los siguientes productos notables resueltos, verifique el resultado, encierre en un círculo el error y escriba la respuesta correcta en la línea correspondiente. ( x + 14 ) 2 = x 2 + 14x + 28 = ( a 6 ) 3 = a 3 18a + 108a + 216 = ( 3x + 15 ) 2 = 6x 2 + 90x + 215 = ( x a+1 4 ) 3 = x a+3 12x 2a+2 + 48x a+1 + 64 = 2 3 2b 2 ab = ab 4 + 4ab 5 + 4b 5 = 1 x n 5y 2 = x 2n+2 10x 2n+2 y 25y 2 = (m a 2 + n) 3 = m 3a+6 + 3m a 4 n + 3m a 2 n 2 + n 3 = (3m 7n) 3 = 27m 3 63m 2 n + 441mn 2 + 147n 3 = Prof. Carlos A. Gómez P. / Profa. Mari Rubiela Tello D. Página 6