Estática 79 MOMENTO DE UNA UEZA - 2 da CONDICIÓN DE EQUILIBIO MOMENTO DE UNA UEZA (Tr rque que) Es una magnitud vectrial, cuy valr mide el efect de gir que se prduce sbre un cuerp alrededr de un punt eje. Unidad de Mment en el S.I. Newtn metr = (N m) Otras unidades: kg m g m lb pie, etc CALCULO DEL MOMENTO DE UNA UEZA CON ESPECTO A UN PUNTO O ( M 0 ) CASOS MÁS COMUNES A) M = d M respect a un punt, se calcula multiplicand el valr de la fuerza cn la distancia perpendicular desde el punt O a la línea que cntiene la fuerza. M = d B) M = 0 M = 0 bg EPESENTACIÓN GÁICA DEL MOMENTO DE UNA UEZA CON ESPECTO A UN PUNTO O ( ) M, cn respect a un punt, se representa mediante un vectr perpendicular al plan de rtación y el sentid se determina aplicand la regla de la man derecha. M C) Ntar que si la línea recta que cntiene a la fuerza pasa pr el punt de rtación, el mment de esa fuerza es cer. M = dsenθ
80 CONVENCIÓN DE SIGNOS Asumirems sign al trque (mment de una fuerza). TEOEMA DE VAIGNON Jrge Mendza Dueñas El mment de la resultante de las fuerzas cncurrentes, cn respect a un centr en su plan, es igual a la suma algebraica de ls mments de las cmpnentes cn respect al mism centr. M ( ) M ( + ) M M 2 M 1 APLICACIONES: Al aplicarse la fuerza al martill apyad éste sbre un punt O ; se prduce un efect de rtación (mment) que hace girar al martill - clav cn respect a dich punt. esumiend: Si: CASO GENEAL = 1+ 2 M = M + M 1 2 Se demuestra que el Terema de Varignn también es válid para más de ds fuerzas cplanares. 1 2 M = M + M +... + M n ESULTANTE DE UN SISTEMA DE UEZAS PAALELAS Al encntrarse demasiad dur el cntact del pern, es muy difícil extraerl cn una llave pr mas grandisa que sea la fuerza; pr tal mtiv se suele aumentar el braz de palanca cn ayuda de una barra. A) Métd Analític Para determinar la resultante de ds más fuerzas paralelas, se suman algebraicamente sus móduls, y su punt de aplicación se halla aplicand el terema de Varignn. EJEMPLO DE APLICACIÓN Se tiene una barra ingrávida (sin pes) en la cual se aplican varias fuerzas, cm se muestran en la figura. Determinar la fuerza resultante y su psición. La btención de un mment de gir enrme cn la ayuda de una palanca grande, cnduj a Arquímedes a afirmar: Dadme un punt de apy y mveré la Tierra. Sin embarg l que n tuv en cuenta Arquímedes fue que la Tierra n está sla, sin que pertenece a td un sistema ( el sistema slar, y éste a la vía láctea y éste al univers).
Estática 81 Slución: = esultante = 10 + 5 20 =25 Lueg: = 25 N (hacia abaj) Se cnstruye un segment BE igual a la fuerza mayr 1, en sentid puest a la fuerza menr 2 y un segment AD igual a la fuerza menr, sbre la fuerza mayr. Se unen ls extrems D y E de ests segments y el punt C; dnde esta recta crta a la línea AB, que se unen ls punts de aplicación de las fuerzas dadas, es pr dnde pasa la línea de acción de la resultante. x = Psición de la resultante. Para est se traza un sistema de crdenadas rectangulares, cuy rigen es arbitrari, nstrs elegirems cm rigen la parte izquierda de la barra. Aplicand el terema de Varignn M = M + M + M 10 5 20 bg bg bg bg 25 x = 10 1 + 5 3 20 5 25x = 95 x = 38, m 2 d métd Para determinar el punt de aplicación de ds fuerzas paralelas, se cnstruyen ds vectres iguales y de sentids cntraris de cualquier magnitud, cm se muestra. Se determinan las resultantes de las cmpnentes así frmadas, se prlngan estas resultantes crtándse en O, el cual será el punt de aplicación de la fuerza resultante. NOTA N lvidar la regla de signs. B) Métd Gráfic 1 er métd Para calcular el valr de la fuerza resultante, sól se suman algebraicamente ls valres de las fuerzas paralelas. Para determinar la psición de ésta fuerza se prcede del siguiente md:
82 PA A DE UEZAS (CUPLA) Se denmina así a un sistema de ds fuerzas, que tienen el mism módul, rectas de acción paralelas y sentids puests. Jrge Mendza Dueñas En la primera parte de la estática vims que para que un cuerp permanezca en equilibri, la resultante de tdas las fuerzas que actúan en él, tenía que ser cer; per sl si las fuerzas eran cncurrentes. Ahra, en el cas que dichas fuerzas n sean cncurrentes qué pasaría?, sencillamente el cuerp giraría y ya n estaría en equilibri, para analizar el equilibri de este tip de fuerzas existe la llamada 2 da cndición de equilibri. da CONDICIÓN DE EQUILIBIO 2 da MOMENTO DE UN PA DE UEZAS (M).- Se creerá que la suma de ls mments de las ds fuerzas respect a un punt dad es cer; sin embarg, n l es. Aunque las fuerzas n prducen la traslación del sólid sbre el cual actúan, tienden a hacerl girar. Para que un cuerp rígid permanezca en equilibri, la fuerza resultante y el mment resultante respect a un mism punt, debe ser cer. M = d Ilustracines Para intrducir el sacacrchs hay que aplicar un par de fuerzas para hacerl girar e intrducirl en el crch. Σ x Σ y ΣM = 0 = 0 = 0 Sól así estaríams asegurand que un cuerp n tiene ni mvimient de traslación ni de rtación. Para hacer girar el vlante de un aut, se aplica un par de fuerzas. M
Estática 83 CENTO DE GAVEDAD Cncept Centr de gravedad es el punt dnde se encuentra cncentrad el pes de un cuerp. C.G CENTO DE GAVEDAD DE ALGUNOS CUEPOS LÍNEAS a.- Segment de recta L x = 2 b.- Cuadrad, rectángul, paralelgram, rmb a x = 2 W (pes) CAACTEÍSTICAS DEL CENTO DE GAVEDAD b y = 2 c.- Semi - circunferencia a.- b.- c.- d.- e.- El centr de gravedad de un cuerp puede estar dentr fuera del cuerp. El centr de gravedad de un cuerp quedará perfectamente determinad cn respect a un eje de crdenadas, pr una abscisa (x) y una rdenada (y). El centr de gravedad n varía cn la psición; per sí depende de su frma gemétrica. Si un cuerp presentase un eje de simetría, el centr de gravedad se encntrará en un punt cntenid en dich eje. Si a un cuerp se le aplica una fuerza igual al pes, per en sentid cntrari y en el centr de gravedad, dich cuerp permanecerá en equilibri, independientemente de l que pudiera inclinarse el cuerp respect al centr de gravedad. x= y= 2 π d.- Cuart de circunferencia x= 2 π y= 2 π e.- Arc de circunferencia senα x= α y=0
84 Jrge Mendza Dueñas AEAS A.- Cuadrad, rectángul a x = 2 b y = 2 Esfera x = 0 z = 0 VOLUMENES B.- Triángul a b x = + 3 H y = 3 Cn x = 0 H z = 4 C.- Círcul x= y= Prisma x = 0 H z = 2 D.- Semi - círcul x= y= 4 3π Semi - esfera x = 0 z = 3 8 E.- Cuart de círcul Pirámide x = 4 3π x = 0 y = 4 3π H z = 4
Estática 85 CUEPOS SUSPENDIDOS CUEPOS APOYADOS ADOS Se muestra una placa en equilibri. Pr qué está en equilibri? sencillamente prque sbre el cuerp actúan ds fuerzas cn las misma intensidad, en la misma línea de acción; per en sentid cntrari, sea el centr de gravedad se encntrará en dicha línea recta. También se muestra la misma placa en equilibri; per en tra psición. Nótese que las ds fuerzas anterires tienen tra línea de acción que intersectándla cn AB ns dará el centr de gravedad. Se muestra la misma placa, en el cual actúan ds fuerzas iguales en módul, en sentid cntrari; per en diferentes líneas de acción. Si bien es ciert que estas fuerzas se anulan, también es ciert que ells cnstituyen una cupla (par de fuerzas), la cual haría girar a la placa hasta llevarla a la psición de equilibri. Se tiene un cilindr en equilibri. Pr qué está en equilibri? Prque la línea de acción que cntiene el pes pasa pr la base del cilindr. Se muestra un cilindr un tant inclinad; per sigue en equilibri prque la línea de acción que cntiene al pes sigue pasand pr la base del cilindr. EXPEIENCIA: EQUILIBIO CON UEZAS NO CONCUENTES OBJETIVO 1 Demstrar que ds más fuerzas que n sn cncurrentes, prvcan el equilibri de un cuerp si la suma algebraica de sus mments es nula. 2 Verificar que el mment trque depende de la fuerza aplicada y de su braz de palanca. MATEIAL A EMPLEASE Un sprte. Una regla de madera de metal cn agujers cada 20 cm (cn agujer en el medi). Una cuerda de 1 metr. Pesas de 100 g hasta 2 kg. Una cinta métrica. NÚMEO DE ALUMNOS: Ds POCEDIMIENTO: Se tiene tr cilindr, que evidentemente n está en equilibri prque la línea de acción que cntiene al pes n pasa pr la base. Cabe mencinar que el cilindr caerá pr acción de la cupla ( y W). 1.- Clcar la regla en la psición mstrada en la figura (A). 2.- Clcar las pesas de 2 kg un en la psición A 1 y tr en la psicin A 2 - anta tus bservacines, (ver figura B). 3.- Extraer la pesa de la psición A 1. 4.- En una blsa de plástic intrduce un cnjunt de pequeñas pesas y clócalas en la psición B 1 de tal md que se bserve equilibri, (ver figura C). 5.- epetir el pas 4 per cn una blsa en la psición C 1 buscar cnservar el equilibri antar.
86 Jrge Mendza Dueñas ig. A ig. B ig. C PEGUNTAS 1.- Al estar las pesas en la psición de A 1 y A 2. 4.- Al realizar el quint pas del prcedimient: Existe equilibri? Si N Cuánt marcó el pes en la blsa? Cuánt vale el mment prvcad en la psición A 1 (kg m). Dar su respuesta cn el sign crrespndiente. Cuánt vale el mment prvcad pr la pesa en la psición A 2? Cuánt vale la suma algebraica de ls mments? Calcular el mment de dicha fuerza? Es igual al mment riginal? 5.- Si Ud. se encntrase en la situación que muestra la figura sin pder mver la piedra. Qué slución daría a su prblema? pr qué? 2.- Si al clcarse la pesa de 2 kg en la psición B 1, cnservand la tra en su lugar riginal. Hacia dónde se inclinará la regla? prqué? 3.- Al realizar el cuart pas del prcedimient Cuánt marcó el pes en la blsa? Cuánt vale el mment de dicha fuerza cn respect al punt T. Es igual al mment riginal?. Casualidad? Si N, Explique. barra
Estática Ciencia y Tecnlgía 87 Equilibri etern Pdría Ud. levantarse si se encntrase sentad cm la persna que se muestra en la figura?, Sin echar el cuerp hacia adelante ni intrducir las piernas debaj de la silla? La psición que muestra la persna es la de un equilibri estable ya que la línea de acción que cntiene al pes pasa dentr de la base ancha de apy, pr tant será impsible que la persna pueda levantarse. Cuand la persna inclina su clumna intrduce su piernas debaj de la silla y ejecuta un pequeñ impuls vertical hacia arriba, en ese mment el únic apy base sn sus pies, ya que su pes y reacción se hacen clineales; y cualquier mvimient adicinal haría perder el equilibri, dad su pequeña base. Este es el principi que usan ls edificis (ligeramente inclinads), cuidándse de que en un mvimient sísmic las fuerzas prducidas del vient n hagan perder el equilibri respectiv. Equilibri ó magia La línea de acción que cntiene el pes del cnjunt pasa pr la base apy, de manera que pes y reacción lgran ser ds fuerzas clineales y puestas, pr tal razón éstas se anulan y en virtud a ell n se prduce Trque, generándse en cnsecuencia el equilibri buscad. Este es el principi que usan ls trapecistas de ls circs.
88 Jrge Ciencia Mendza y Tecnlgía Dueñas Cóm funcinan ls puentes clgantes? Un puente clgante, cmúnmente tiene cm mínim ds apys. Cuant más sea la lngitud (luz), mayr deberá ser el refrzamient y la estructura. Un métd para reducir la dimensión y estructura del puente es hacerl clgar desde arriba. Las cuerdas secundarias están suspendidas de la cuerda primaria; así mism el puente está suspendid pr medi de las cuerdas secundarias n bstante el apy entre sus extrems. La carretilla - una palanca El us del braz de palanca es usad frecuentemente pr ls albañiles al trasladar el material cn ayuda de la carretilla (nótese el esquema que representa el diagrama de cuerp libre de la carretilla). La ingenieria Estructuras cm las que se muestran se pueden ejecutar gracias a la aplicacción de la estática, la cual se apya en este cas en ls principis básics del equilibri.