Sección. Aplicaciones de la Distribución de probabilidad normal. Pearson Prentice Hall. All rights reserved

La tabla normal

La tabla normal (cont)

Probabilidad para una variable aleatoria normal estándar P(a < Z < b) P(Z > a) P(Z < a) representa la probabilidad de que una variable aleatoria normal estándar está entre a y b representa la probabilidad de que una variable aleatoria normal estándar es mayor que a. representa la probabilidad de que una variable aleatoria normal estándar es menor que a. 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved 7-5

EJEMPLO Determinar la probabilidad una variable aleatoria normal estándar. Determinar las siguientes probabilidades usando tablas: (a) P(Z < -0.23) (b) P(Z > 1.93) (c) P(0.65 < Z < 2.10) 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved 7-6

Determinar el área bajo cualquier curva normal Paso 1: Dibuje una curva normal y sombree el área deseado. Paso 2: Convertir los valores de X a valores de z usando la transformación x μ z = σ Paso 3: Dibuje una curva normal estándar y sombree el área deseado. Paso 4: Deteminar el área bajo la curva normal estándar. Esta área es igual al área bajo la curva normal que se dibujó en el paso 1. 7-8

EJEMPLO 1 Hallar la probabilidad de una variable aleatoria normal Se sabe que la longitud de una varilla de acero determinada se distribuye normalmente con una media de 100 cm y una desviación estándar de 0.45 cm. Cuál es la probabilidad de que una varilla de acero seleccionada al azar tenga una longitud de menos de 99.2 cm? z = (x μ)/σ z = (99.2-100)/0.45 = -1.78 P z < 1.78 = 0.0375 Interpretación: Si seleccionamos al azar 100 varillas de acero, podríamos esperar que 4 varillas tuvieran una longitud menor de 99.2 cm. 7-9

EJEMPLO 2 Hallar la probabilidad de una variable aleatoria normal Se sabe que la longitud de una varilla de acero determinada se distribuye normalmente con una media de 100 cm y una desviación estándar de 0.45 cm. Cuál es la probabilidad de que una varilla de acero seleccionada al azar tenga una longitud de entre 99.8 y 100.3 cm? Interpretación: Si seleccionamos al azar 100 varillas de acero, podríamos esperar que la longitud de cerca de 42 de ellos estuviera entre 99.8 cm y 100.3 cm. 7-10

EJEMPLO Hallar la proporción de una variable aleatoria normal Se sabe que la longitud de una varilla de acero determinada se distribuye normalmente con una media de 100 cm y una desviación estándar de 0.45 cm. Suponer que el manufacturero desea desechar toda varilla que mide menor que 99.1 cm o mayor que 100.9 cm. Qué proporción de las varillas se debe descartar? En este caso, la proporción de varillas que se descarta es equivalente al área bajo la curva normal a la izquierda de 99.1 y a la derecha de 100.9. Debemos convertir los valores de la variable aleatoria a Z y usar la tabla. 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved 7-11

EJEMPLO Hallar el percentil de una variable aleatoria normal La puntuación combinada (verbal + razonamiento cuantitativo) en el GRE se distribuye normalmente con una media de 1049 y una desviación estándar de 189. (Source: http://www.ets.org/media/tests/gre/pdf/994994.pdf.) En qué percentil se encuentra un estudiante que acumula una puntuación combinada de 1300? NOTA: El área bajo la curva normal también se puede interpretar como un percentil ya que el percentil describe el porciento de todas las observaciones menores que un valor dado. En este caso el área bajo la curva hacia izquierda de 1300 representa el percentil en el cual se encuentra el/la estudiante. Debemos normalizar 1300 y usar tablas para halla P(Z 1300). 7-12

Determinar el valor de una variable aleatoria normal Paso 1: Dibuje una curva normal y sombree el área correspondiente a la proporción, probabilidad o percentil de interés. Paso 2: Usar una tabla para hallar el valor z que corresponde al área sombreado Paso 3: Obtenga el valor normal usando la fórmula z = (x μ)/σ despejada para x, x = μ + zσ. 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved 7-13

EJEMPLO Hallar el valor de una variable aleatoria normal La puntuación combinada (verbal + razonamiento cuantitativo) en el GRE se distribuye normalmente con una media de 1049 y una desviación estándar de 189. (Source: http://www.ets.org/media/tests/gre/pdf/994994.pdf.) Cuál es la puntuación de un estudiante, si su puntuación estuvo en el percentil 85? El valor z que corresponde al percentil 85 es la puntuación z tal que el área bajo la curva normal estándar a la izquierda de ese valor es 0.85. 7-14

EJEMPLO (cont) Hallar el valor de una variable aleatoria normal Cuál es la puntuación de un estudiante, si su puntuación estuvo en el percentil 85? El valor z que corresponde al percentil 85 es 1.04. El valor de la variable aleatoria que corresponde a 1.04 se consigue despejando para x la fórmula z = (x μ) σ x = µ + zσ = 1049 + 1.04(189) = 1246 7-15

EJEMPLO Hallar el valor de una variable aleatoria normal Se sabe que la longitud de una varilla de acero determinada se distribuye normalmente con una media de 100 cm y una desviación estándar de 0.45 cm. Suponer que el manufacturero quiere aceptar 90% de toda la varilla manufacturado. Determine la longitud de las varillas que componen el 90% central de las varillas manufacturadas. Area = 0.05 Area = 0.05 Determinar z 1 = y z 2 = con la tabla. 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved 7-16

EJEMPLO Hallar el valor de una variable aleatoria normal Determine la longitud de las varillas que componen el 90% central de las varillas manufacturados. Area = 0.05 Area = 0.05 Determinar x 1 = y x 2 = con fórmula. Interpretación: 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved 7-17

Criterios para un experimento de probabilidad binomial Un experimento se dice que es un experimento binomial, siempre que: 1. El experimento se lleva a cabo en N repeticiones independientes. 2. Cada repetición del experimento se llama un ensayo. 3. Independencia significa que el resultado de un ensayo no afectará el resultado de los otros ensayos. 4. Para cada ensayo, hay dos resultados mutuamente excluyentes - éxito o fracaso. 5. La probabilidad de éxito, p, es la misma para cada repetición del experimento. 7-19 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved

Criterios para un experimento de probabilidad binomial Para una probabilidad de éxito fijo, p, a medida que el número de repeticiones, n, aumenta en un experimento binomial, la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X se vuelve casi simétrica y en forma de campana. Si np(1 - p)>10, entonces la variable aleatoria binomial, X, se distribuye de forma aproximadamente normal con media μ = np y desviación estándar de σ = np(1 p) 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved 7-20

EJEMPLO Aproximando una distribución de probabilidad binomial De acuerdo con el Experian Automotive, el 35% de todos los hogares con dueños de automóviles tiene tres o más autos. En una muestra aleatoria de 400 hogares dueños de automóviles, cuál es la probabilidad de que menos de 150 tienen tres o más coches? μ = np σ x = np(1 p) = P(Z 1) 7-23

EJEMPLO Aproximando una distribución de probabilidad binomial Al llegar a cierta panadería, el 20% de los clientes compran un brownie. 500 clientes llegan a la panadería en un día. Suponer que las compras de los diferentes clientes son independientes. Cuál es la probabilidad de que más de 110 clientes compran un brownie? 7-24