Álgebra Lineal Ma1010

Álgebra Lineal Ma1010 s de Vectores y Matrices es Departamento de Matemáticas ITESM s de Vectores y Matrices es Álgebra Lineal - p. 1/44

En esta lectura veremos conjuntos y matrices ortogonales. Primero veremos algunas definiciones alternativas a los productos internos. idad idad e Matriz s de Vectores y Matrices es Álgebra Lineal - p. 2/44

Un producto interno en un espacio vectorial es una función : V V F, donde F es el conjunto de los escalares utilizados (F = R ó F = C), y que tiene que cumplir los siguientes axiomas: Para todos los vectores x, y y z de V y para todo escalar c de F 1. (x+y) z = x z+y z 2. (c x) y = c (xy) 3. x y = y x. 4. x x > 0 para todo x 0. idad idad e Matriz s de Vectores y Matrices es Álgebra Lineal - p. 3/44

En el axioma 3, la línea horizontal encima de una expresión indica que se debe tomar el conjugado complejo: El conjugado comple de un número se obtiene cambiando el signo de la parte imaginaria. Así 3+3i = 3 3i 5 = 5+0i = 5 0i = 5, es decir: el conjugado de un real es él mismo. 3i = 0 3i = 0+3i = 3i idad idad e Matriz s de Vectores y Matrices es Álgebra Lineal - p. 4/44

Ejemplo Si V = R n y x = (x i ) y y = (y i ) el producto punto estándar es: n x y = x i y i i=1 Si n = 3, x =< 1,2, 1 > y y =< 1, 1,3 >, entonces x y = (1)(1)+(2)( 1)+( 1)(3) = 4 idad idad e Matriz s de Vectores y Matrices es Álgebra Lineal - p. 5/44

Figura 1: El producto interno estándar de R n en la TI. idad idad e Matriz s de Vectores y Matrices es Álgebra Lineal - p. 6/44

Ejemplo Mientras que si V = C n con escalares C el producto punto estándar es n x y = x i y i Si n = 3, x =< 1,2+2i, i > y y =< 1, 1+i,3i >, entonces i=1 x y = (1)(1)+(2+2i)( 1+i)+( i)(3i) = (1)(1)+(2+2i)( 1 i)+( i)( 3i) = 1 2 2i 2i 2i 2 +3i 2 = 1 4i+i 2 = 1 4i+( 1) = 2 4i s de Vectores y Matrices es Álgebra Lineal - p. 7/44

Es importante comentar que este producto interno estándar en C n esta implementado en la calculadora TI y coincide con el producto estándar en R n. Esto se ilustra en la figura 2. Note la diferencia entre el número imaginario i y el símbolo i en su calculadora; en la voyage 200 i se obtiene con la combinación 2ND i mientras que en la TI 89 con la combinación 2ND catalog. No notar la diferencia le puede traer verdaderos dolores de cabeza. idad idad e Matriz s de Vectores y Matrices es Álgebra Lineal - p. 8/44

Figura 2: El producto interno estándar de C n en la TI. idad idad e Matriz s de Vectores y Matrices es Álgebra Lineal - p. 9/44

Ejemplo Si V = C[a,b] es el conjunto de las funciones continuas de valor real el producto interno estándar es: f g = b a f(t) g(t)dt Si [a,b] = [0,1], f(x) = x+1 y g(x) = x 2 1 entonces f g = 1 0 (x+1) (x2 1)dx = 1 0 (x3 +x 2 x 1)dx = 11/12 idad idad e Matriz s de Vectores y Matrices es Álgebra Lineal - p. 10/44

Ejemplo Si Si V = C[0,2π] es el conjunto de las funciones continuas complejas un producto interno es: f g = 1 2π 2π 0 f(t) g(t)dt idad idad e Matriz s de Vectores y Matrices es Álgebra Lineal - p. 11/44

Ejemplo Si M n m es el conjunto de las matrices reales con n renglones y m columnas el producto interno estándar es: A B = tr(b A) donde B representa la transpuesta de la matriz B y tr(x) representa la traza de la matriz cuadrada X que es la suma de los elementos de la diagonal. idad idad e Matriz s de Vectores y Matrices es Álgebra Lineal - p. 12/44

Por ejemplo, si [ A = 1 2 3 1 2 3 ] y B = [ 1 2 3 0 2 3 ] Entonces B T A = 1 0 2 2 3 3 [ 1 2 3 1 2 3 ] = 1 2 3 4 0 12 6 0 18 y por tanto A B = tr 1 2 3 4 0 12 6 0 18 = 1+0+18 = 19 s de Vectores y Matrices es Álgebra Lineal - p. 13/44

Para realizar esto en la calculadora TI debemos programar la función traza puesto que en la configuración inicial no viene tal función. Una implementación posible para esta función viene ilustrada en la figura 3. Una vez programada la función traza, la figura 4 ilustra el cálculo del producto interno de dos matrices. Figura 3: Programando la función traza en la TI. s de Vectores y Matrices es Álgebra Lineal - p. 14/44

Figura 4: estándar de M n m (R) en la TI. s de Vectores y Matrices es Álgebra Lineal - p. 15/44

Ejemplo Si M n m es el conjunto de las matrices complejas con n renglones y m columnas el producto interno estándar es: A B = tr(b A) donde B representa la adjunta de la matriz B es decir la transpuesta conjugada o también conocida como transpuesta hermitiana, a veces también se utiliza la notación B H para la matriz conjugada compleja de B. Aquí tr(x) representa la traza de la matriz cuadrada X que es la suma de los elementos de la diagonal. idad idad e Matriz s de Vectores y Matrices es Álgebra Lineal - p. 16/44

Por ejemplo, si A = 1+i 2 3i i 1 2 i 3i y B = 1+2i 2 3 0 2i 3+i y así A = 1 i 1 2+3i 2+i i 3i y por tanto A B = 3+i 2 6 4i 4+7i 6 2i 1+8i 2 i 6+2i 3 12i de donde B A = (3+i)+( 6 2i)+( 3 12i) = 6 13i s de Vectores y Matrices es Álgebra Lineal - p. 17/44

Figura 5: estándar de M n m (C) en la TI. idad idad e Matriz s de Vectores y Matrices es Álgebra Lineal - p. 18/44

del producto interno que satisfacen todos los productos internos: Teorema Sea V es espacio vectorial con producto interno, x, y y z vectores de V y c un escalar: 1. x (y+z) = x y+x x 2. x (c y) = c (x y) 3. x x = 0 si y sólo si x = 0. 4. x y = 0 si y sólo si y x = 0. 5. Si x V se cumple x y = x x, entonces y = z. idad idad e Matriz s de Vectores y Matrices es Álgebra Lineal - p. 19/44

de un vector Sea V un espacio vectorial con producto interior, para todo vector x de definimos la norma o longitud de x como x = x x que se deducen de la norma: Teorema 1. cx = c x 2. x = 0 si y sólo si x = 0. En cualquier caso, x 0. 3. Desigaldad de Cauchy-Schwarz: x y x y. 4. Desigualdad del triángulo: x+y x + y. idad idad e Matriz s de Vectores y Matrices es Álgebra Lineal - p. 20/44

entre dos vectores Sea V un espacio vectorial con producto interior, para cualesquier dos vectores x y y definimos la distancia de x a y como d(x,y) = x y que se deducen de la función distancia: Teorema 1. d(x,y) = d(y,x) 2. d(x,y) = 0 si y sólo si x = y 3. Desigualdad del triángulo: d(x,y) d(x,z)+d(z,y) idad idad e Matriz s de Vectores y Matrices es Álgebra Lineal - p. 21/44

Vectores ortogonales Dos vectores x y y en R n se dicen ortogonales si x y = 0. Si esto pasa se expresará como x y. Ejemplo Indique si los vectores x =< 1,0,2 > y y =< 2,2,1 > son ortogonales. Directamente de la definición: requerimos hacer x y = (1)( 2)+(0)(2)+(2)(1) = 2+0+2 = 0 Por tanto, x y. idad idad e Matriz s de Vectores y Matrices es Álgebra Lineal - p. 22/44

Ejemplo Determine el valor del parámetro a para que x =< 1,1,2 > y y =< 3,a,1 > sean ortogonales. Directamente de la definición: requerimos hacer x y = (1)( 3)+(1)(a)+(2)(1) = 3+a+2 = a 1 Por tanto, x y si y sólo si x y = 0 si y sólo si a = 1. idad idad e Matriz s de Vectores y Matrices es Álgebra Lineal - p. 23/44

ortogonal de vectores Un conjunto de vectores {v 1,v 2,...,v m } se dice conjunto ortogonal o simplemente ortogonal si se cumple v i v j = 0 para i j y i,j = 1,...,m idad idad e Matriz s de Vectores y Matrices es Álgebra Lineal - p. 24/44

Ejemplo Indique si el conjunto formado por los siguientes vectores es ortogonal v 1 = 1 0 2, v 2 = 2 2 1, v 3 = 2 5/2 1 idad idad e Matriz s de Vectores y Matrices es Álgebra Lineal - p. 25/44

Ejemplo Indique si el conjunto formado por los siguientes vectores es ortogonal v 1 = 1 0 2, v 2 = 2 2 1, v 3 = 2 5/2 1 Solución Calculando todos los productos punto entre vectores diferentes tenemos v 1 v 2 = (1)( 2)+(0)(2)+(2)(1) = 0 v 1 v 3 = (1)( 2)+(0)( 5/2)+(2)(1) = 0 v 2 v 3 = ( 2)( 2)+(2)( 5/2)+(1)(1) = 0 idad idad e Matriz así concluimos que es conjunto es ortogonal. s de Vectores y Matrices es Álgebra Lineal - p. 25/44

idad e Teorema Cualquier conjunto ortogonal S = {v 1,...,v k } de vectores distintos de cero es mente independiente. idad idad e Matriz s de Vectores y Matrices es Álgebra Lineal - p. 26/44

idad e Teorema Cualquier conjunto ortogonal S = {v 1,...,v k } de vectores distintos de cero es mente independiente. Demostración: Si suponemos que c 1 v 1 +c 2 v 2 + +c k v k = 0 Entonces, haciendo producto punto por v i obtenemos que: c 1 v 1 v i +c 2 v 2 v i + +c k v k v i = 0 v i Observe que siendo el conjunto ortogonal todos los productos punto en el lado izquierdo se hacen cero, excepto uno: el correponiente a v i v i. Mientras que en el segundo miembro el producto punto al ser uno de los vetores cero queda cero. idad idad e Matriz s de Vectores y Matrices es Álgebra Lineal - p. 26/44

bases Teorema Cualquier conjunto generador ortogonal S = {v 1,...,v k } de vectores distintos de cero es base para Gen(S). idad idad e Matriz s de Vectores y Matrices es Álgebra Lineal - p. 27/44

bases Teorema Cualquier conjunto generador ortogonal S = {v 1,...,v k } de vectores distintos de cero es base para Gen(S). Demostración: Por definición de Gen(S), S genera a Gen(S); y por el teorema anterior S es mente independiente. Por tanto, S es base para Gen(S). idad idad e Matriz s de Vectores y Matrices es Álgebra Lineal - p. 27/44

rtogonalidad y de un vector Teorema Sea S = {v 1,...,v k } un conjunto ortogonal de vectores distintos de cero. Si u está en Gen(S) y entonces u = c 1 v 1 + +c k v k c i = u v i v i v i para i = 1,...,k A las expresiones u v i /v i v i se les llama los coeficientes de Fourier de u respecto a S. idad idad e Matriz s de Vectores y Matrices es Álgebra Lineal - p. 28/44

Demostración: Si u = c 1 v 1 + +c k v k haciendo el producto punto con v i y considerando la ortogonalidad obtenemos: u v i = c i v i v i Al ser los vectores v i 0, se tiene que v i v i 0 y por tanto se tiene: c i = u v i v i v i idad idad e Matriz s de Vectores y Matrices es Álgebra Lineal - p. 29/44

Nota: Lo importante del teorema anterior es indica que para bases ortonormales no es necesario resolver sistemas de ecuaciones es para determinar los coeficientes de cada vector es suficientes calcular los coeficientes de Fourier. idad idad e Matriz s de Vectores y Matrices es Álgebra Lineal - p. 30/44

Ejemplo Utilizando el conjunto ortogonal S del primer ejemplo de esta lectura y el vector u = (1,2,3), determine los coeficientes de Fourier u respecto a S y compruebe que se obtienen los mismos valores resolviendo el sistema de ecuaciones es correspondientes. idad idad e Matriz s de Vectores y Matrices es Álgebra Lineal - p. 31/44

Ejemplo Utilizando el conjunto ortogonal S del primer ejemplo de esta lectura y el vector u = (1,2,3), determine los coeficientes de Fourier u respecto a S y compruebe que se obtienen los mismos valores resolviendo el sistema de ecuaciones es correspondientes. Solución: Calculemos u v 1 = (1)(1)+(2)(0)+(3)(2) = 7 u v 2 = (1)( 2)+(2)(2)+(3)(1) = 5 u v 3 = (1)( 2)+(2)( 5/2)+(3)(1) = 4 v 1 v 1 = (1)(1)+(0)(0)+(2)(2) = 5 v 2 v 2 = ( 2)( 2)+(2)(2)+(1)(1) = 9 v 3 v 3 = ( 2)( 2)+( 5/2)( 5/2)+(1)(1) = 45/4 idad idad e Matriz s de Vectores y Matrices es Álgebra Lineal - p. 31/44

y al aplicar las fórmulas obtenermos: c 1 = 7/5,c 2 = 5/9,c 3 = 16/45 idad idad e Matriz s de Vectores y Matrices es Álgebra Lineal - p. 32/44

y al aplicar las fórmulas obtenermos: c 1 = 7/5,c 2 = 5/9,c 3 = 16/45 Si por otro lado armamos la matriz aumentada [v 1,v 2,v 3 u] y la reducimos: 1 2 2 1 1 0 0 7/5 0 2 5/2 2 0 1 0 5/9 2 1 1 3 0 0 1 16/45 de donde observamos que los valores de las constantes c i coinciden con los valores dados por los coeficientes de Fourier. idad idad e Matriz s de Vectores y Matrices es Álgebra Lineal - p. 32/44

ortonormal de vectores Un conjunto de vectores {v 1,v 2,...,v m } se dice conjunto ortonormal o simplemente ortonormal si se cumple v i v j = 0 para i j y v i v i = 1 para i,j = 1,...,m Note que en caso de una base ortonormal S para un espacio las fórmulas de Fourier para un u simplifican a c i = u v i, por ello es que es deseable tener una base ortonormal a un espacio. Si ya se posee una base ortogonal dividiendo cada vector entre su norma se obtiene una ortonormal: {v 1,...,v m } ortogonal { 1 v 1 v 1,..., 1 v m v m idad idad e Matriz } ortonormal s de Vectores y Matrices es Álgebra Lineal - p. 33/44

Ejemplo ize el conjunto ortogonal ejemplo de esta lectura: v 1 = 1 0 2, v 2 = 2 2 1, v 3 = 2 5/2 1 idad idad e Matriz s de Vectores y Matrices es Álgebra Lineal - p. 34/44

Ejemplo ize el conjunto ortogonal ejemplo de esta lectura: v 1 = 1 0 2, v 2 = 2 2 1, v 3 = 2 5/2 1 Solución: Tenemos ya realizados los siguientes cálculos v 1 v 1 = 5 v 1 = 5 v 2 v 2 = 9 v 1 = 3 v 3 v 3 = 45/4 v 1 = 45/2 idad idad e Matriz s de Vectores y Matrices es Álgebra Lineal - p. 34/44

Por tanto, el conjunto ortonormalizado queda 1 1 0, 1 2 2 2 2, 5/2 5 3 45 2 1 1 idad idad e Matriz s de Vectores y Matrices es Álgebra Lineal - p. 35/44

Matriz ortogonal Una matriz A se dice matriz ortogonal o simplemente ortogonal si es una matriz cuadrada y las columnas de A forman un conjunto ortonormal. idad idad e Matriz s de Vectores y Matrices es Álgebra Lineal - p. 36/44

Matriz ortogonal Una matriz A se dice matriz ortogonal o simplemente ortogonal si es una matriz cuadrada y las columnas de A forman un conjunto ortonormal. Teorema A n n: A es ortogonal ssi A T A = I. idad idad e Matriz s de Vectores y Matrices es Álgebra Lineal - p. 36/44

Matriz ortogonal Una matriz A se dice matriz ortogonal o simplemente ortogonal si es una matriz cuadrada y las columnas de A forman un conjunto ortonormal. Teorema A n n: A es ortogonal ssi A T A = I. idad idad e Matriz s de Vectores y Matrices es Álgebra Lineal - p. 36/44

Observe que el teorema anterior se deduce de que para dos vectores x y y en R n, x y = x y: x 1 x 2. y 1 y 2. [ = x 1 y 1 + +x n y n = ] x 1 x 2 x n y 1 y 2. x n y n y n Con lo anterior se deduce que cuando se hace A T v se calcula un vector donde cada componente es el producto punto de la columna correspondiente de A con el vector v. Con lo anterior se deduce que cuando se calcula A T A la matriz resultante tiene en la posición (i,j) justo a i a j es decir, el producto punto de la columna i de A con la columna j de A. De esta forma: A T A = I si y sólo si se tiene que las columnas de A son ortogonales y que tienen norma 1. s de Vectores y Matrices es Álgebra Lineal - p. 37/44

Ejemplo Indique si el conjunto formado por los siguientes vectores es ortogonal v 1 = 1 0 2, v 2 = 2 2 1, v 3 = 2 5/2 1 s de Vectores y Matrices es Álgebra Lineal - p. 38/44

Ejemplo Indique si el conjunto formado por los siguientes vectores es ortogonal v 1 = 1 0 2, v 2 = 2 2 1, v 3 = 2 5/2 1 Solución Formamos la matriz A cuyas columnas son los vectores: A = [v 1 v 2 v 3 ] = 1 2 2 0 2 5/2 2 1 1 Y calculamos A T A: A T A = 5 0 0 0 9 0 0 0 45/4 que sean cero los elementos que están fuera de la diagonal principal indica que el conjunto es ortogonal. s de Vectores y Matrices es Álgebra Lineal - p. 38/44

Ejemplo Determina los valores de x, y y z para que el conjunto de vectores v 1 = 4 6 z, v 2 = x 6 4, v 3 = 2 y 3 sea ortogonal. s de Vectores y Matrices es Álgebra Lineal - p. 39/44

Ejemplo Determina los valores de x, y y z para que el conjunto de vectores v 1 = 4 6 z, v 2 = x 6 4, v 3 = 2 y 3 sea ortogonal. Formamos la matriz A cuyas columnas son los vectores: A = [v 1 v 2 v 3 ] = 4 x 2 6 6 y z 4 3 Y calculamos A T A: A T A = 52 + z 2 4x + 36 + 4z 8 + 6y + 3z 4x + 36 + 4z x 2 + 52 2x + 6y + 12 8 + 6y + 3z 2x + 6y + 12 13 + y 2 s de Vectores y Matrices es Álgebra Lineal - p. 39/44

Ejemplo Determina los valores de x, y y z para que el conjunto de vectores v 1 = 4 6 z, v 2 = x 6 4, v 3 = 2 y 3 sea ortogonal. Formamos la matriz A cuyas columnas son los vectores: A = [v 1 v 2 v 3 ] = 4 x 2 6 6 y z 4 3 Y calculamos A T A: A T A = 52 + z 2 4x + 36 + 4z 8 + 6y + 3z 4x + 36 + 4z x 2 + 52 2x + 6y + 12 8 + 6y + 3z 2x + 6y + 12 13 + y 2 4x + 36 + 4z = 0 8 + 6y + 3z = 0 2x + 6y + 12 = 0 de donde, los únicos valores que hacen ortogonal al conjunto son x = 31/5, y = 1/15 y z = 14/5 s de Vectores y Matrices es Álgebra Lineal - p. 39/44

Ejemplo Determine el vector de coordenadas de v =< 2,2, 4 > respecto a la base ortonormal B = u 1 = 1/3 2/3 2/3, u 2 = 2/3 2/3 1/3, u 3 = 2/3 1/3 2/3 s de Vectores y Matrices es Álgebra Lineal - p. 40/44

Ejemplo Determine el vector de coordenadas de v =< 2,2, 4 > respecto a la base ortonormal B = u 1 = 1/3 2/3 2/3, u 2 = 2/3 2/3 1/3, u 3 = Recordemos que el vector de coordenadas de un vector respecto a una base son los coeficientes de la combinación de la base que da tal vector. Si la base es ortonormal entonces los coeficientes de la combinación son los coeficientes de Fourier, es decir los productos punto del vector con cada uno de los elementos de la base. 2/3 1/3 2/3 s de Vectores y Matrices es Álgebra Lineal - p. 40/44

Ejemplo Determine el vector de coordenadas de v =< 2,2, 4 > respecto a la base ortonormal B = u 1 = 1/3 2/3 2/3, u 2 = 2/3 2/3 1/3, u 3 = Recordemos que el vector de coordenadas de un vector respecto a una base son los coeficientes de la combinación de la base que da tal vector. Si la base es ortonormal entonces los coeficientes de la combinación son los coeficientes de Fourier, es decir los productos punto del vector con cada uno de los elementos de la base. Verifiquemos primero que el conjunto es ortonormal. Para ello, formamos la matriz A cuyas columnas son los vectores de B: 2/3 1/3 2/3 A = [u 1 u 2 u 3 ] = 1/3 2/3 2/3 2/3 2/3 1/3 2/3 1/3 2/3 y calculamos A T A: A T A = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Por tanto, dando la matriz diagonal el conjunto es ortogonal; dando la identidad el conjunto es ortonormal. s de Vectores y Matrices es Álgebra Lineal - p. 40/44

Para calcular los productos punto de los elemento de B con v recurrimos al producto: A T v = 1/3 2/3 2/3 2/3 2/3 1/3 2/3 1/3 2/3 2 2 4 = 2/3 4/3 14/3 Por tanto, c 1 = v u 1 = 2/3, c 2 = v u 2 = 4/3, y c 3 = v u 3 = 14/3 y el vector de coordenadas de v respecto a la base B es < 2/3, 4/3,14/3 >. s de Vectores y Matrices es Álgebra Lineal - p. 41/44

Teorema Sea A una matriz n n, y u y v dos vectores en R n. Entonces (Au) v = u ( A T v ) idad idad e Matriz s de Vectores y Matrices es Álgebra Lineal - p. 42/44

Teorema Sea A una matriz n n, y u y v dos vectores en R n. Entonces (Au) v = u ( A T v ) Demostración (Au) v = (Au) T v = ( u T A T) v = u T ( A T v ) = u ( A T v ) idad idad e Matriz s de Vectores y Matrices es Álgebra Lineal - p. 42/44

Teorema Sea A una matriz n n. Son equivalentes las siguientes afirmaciones: (1) A es ortogonal. (2) A preserva los productos punto: (3) A preserva norma: (Au) (Au) = u v u,v Av = v v idad idad e Matriz s de Vectores y Matrices es Álgebra Lineal - p. 43/44

Teorema Sea A una matriz n n. Son equivalentes las siguientes afirmaciones: (1) A es ortogonal. (2) A preserva los productos punto: (3) A preserva norma: Demostración (Au) (Au) = u v u,v Av = v v (1) implica (2) Si A es ortogonal, A T A = I. Así idad idad e Matriz (Au) (Av) = (Au) T Av = u T A T Av = u T (A T A)v = u T I v = u T v s de Vectores y Matrices es Álgebra Lineal - p. 43/44

(2) implica (3) Se tiene Av 2 = (Av) (Av) = v v = v 2 tomando raíz cuadrada se tiene la igualdad de (3). idad idad e Matriz s de Vectores y Matrices es Álgebra Lineal - p. 44/44

(2) implica (3) Se tiene Av 2 = (Av) (Av) = v v = v 2 tomando raíz cuadrada se tiene la igualdad de (3). (3) implica (1) idad idad e Matriz s de Vectores y Matrices es Álgebra Lineal - p. 44/44