CURVAS Y SUPERFICIES. RELACIÓN 2 SUPERFICIES EN EL ESPACIO Curso 2015-16 1. Demostrar que las siguientes cuádricas reales son superficies. Obtener una parametrización de cada una de ellas. En cada caso, calcular el plano afín tangente y la recta afín normal en un punto cualquiera. a) (Elipsoides) S = {(x,y,z) R 3 / a 2 x 2 + b 2 y 2 + c 2 z 2 = R 2 } (a,b,c,r > 0). b) (Cilindros elípticos) S = {(x,y,z) R 3 / a 2 x 2 + b 2 y 2 = R 2 } (a,b,r > 0). c) (Cilindros parabólicos) S = {(x,y,z) R 3 /y 2 = Rx} (R 0). d) (Cilindros hiperbólicos) S = {(x,y,z) R 3 / a 2 x 2 b 2 y 2 = R 2 } (a,b,r > 0). e) (Hiperboloides) S a = {(x,y,z) R 3 / x 2 + y 2 z 2 = a} (a 0). f) (Cono quitando el vértice) S = {(x,y,z) R 3 {0}/ x 2 + y 2 z 2 = 0}. 2. Sea I R un intervalo abierto y f C (I) con f > 0 en I. Se pide lo siguiente: a) Probar que la superficie de revolución S f obtenida al rotar alrededor del eje z la curva α(t) = ( f (t),0,t) coincide con {(x,y,z) R 3 / z I, x 2 + y 2 = f (z) 2 }. b) Calcular la distancia de los puntos de S f al eje z. c) Obtener dos parametrizaciones cuyos entornos coordenados recubran a S λ. d) Calcular el plano tangente de S f en cada punto. La superficie S f obtenida cuando f (t) = λ 2 cosh 2 (λt) se llama catenoide de parámetro λ > 0. Para qué función f se cumple que S f es el hiperboloide de una hoja del ejercicio 1 (e)? Y el cilindro circular de ecuación x 2 + y 2 = R 2? 3. Sean c,r R con c > R > 0. Sea C la circunferencia de centro (c,0,0) y radio R contenida en el plano {y = 0}. Se llama toro de revolución a la figura S obtenida al rotar C alrededor del eje z. Se pide: a) Probar que S = {(x,y,z) R 3 / ( x 2 + y 2 c) 2 + z 2 = R 2 }. b) Demostrar que S es una superficie. c) Demostrar que S es de revolución y obtener una parametrización de S cuyo entorno coordenado sea denso en S.
Relación 2. Superficies en el espacio 2 4. Sea λ 0 y α : R R 3 la hélice circular dada por α(t) = (cos(t),sen(t),λt). Para cada t R, sea R t la recta afín de R 3 que une α(t) con el punto del eje z que se encuentra a la misma altura que α(t). Se llama helicoide al conjunto S = t R R t. Se pide lo siguiente: a) Probar que S = {(x,y,z) R 3 / x sen(z/λ) = y cos(z/λ)}. b) Demostrar que S es una superficie. c) Calcular el plano tangente al helicoide sobre los puntos del eje z. d) Probar que la traslación vertical T (x,y,z) = (x,y,z + 2λπ) es un difeomorfismo de S. e) Demostrar que S es difeomorfa a un plano afín. 5. (Cilindros rectos sobre curvas planas). Sea α : I R 3 una curva regular y embebida con α(i) {z = 0}. Para cada t I, sea R t la recta afín que pasa por α(t) con vector director e 3 = (0,0,1). Demostrar que S = t I R t es una superficie, obteniendo una parametrización global de S. Probar que las traslaciones verticales de R 3 son difeomorfismos de S. 6. (Superficies regladas). Una superficie reglada es una superficie con la propiedad de que para cada p S existe una recta afín R en R 3 de forma que p R y R S. Esto equivale a la existencia de una familia de rectas {R i / i J } tal que S = i J R i. Deducir que los planos afines, el helicoide (ejercicio 4), los cilindros rectos sobre curvas planas (ejercicio 5) y el grafo de ecuación z = xy son superficies regladas. También el hiperboloide de una hoja es una superficie reglada. Sea α : R R 2 la parametrización usual de la circunferencia unidad en el plano {z = 0}. Para cada s R, sea R s la recta afín de R 3 que pasa por α(s), es perpendicular a α(s), y forma un ángulo igual a π/4 con α (s). Demostrar que s R R s = {(x,y,z) R 3 /x 2 + y 2 z 2 = 1}. 7. Sea S una superficie. Caracterizar en términos del plano tangente los puntos de S en los que la proyección π : S R 2 dada por π(x,y,z) = (x,y) no es un difeomorfismo local. Particularizar en el caso del hiperboloide S = {(x,y,z) R 3 / x 2 + y 2 z 2 = 1}. 8. Sea U un abierto de R 2 y ϕ 1,ϕ 2 C (U). Demostrar que los grafos asociados S 1 = G z (ϕ 1 ) y S 2 = G z (ϕ 2 ) son superficies difeomorfas. Deducir que: a) El plano {(x,y,z) R 3 / z = 0}, el paraboloide elíptico {(x,y,z) R 3 / z = x 2 + y 2 } y el paraboloide hiperbólico {(x,y,z) R 3 / z = x 2 y 2 } son superficies dos a dos difeomorfas entre sí. b) El hiperboloide {(x,y,z) R 3 /x 2 + y 2 z 2 = 1} tiene dos componentes conexas difeomorfas a un plano. 9. Supongamos que f 1, f 2 C (I) son funciones positivas. Sea S i la superficie de revolución obtenida al rotar la curva α i (t) = ( f i (t),0,t) alrededor del eje z. Utilizar el ejercicio 2 para construir un difeomorfismo entre S 1 y S 2. Deducir que los cilindros circulares rectos, los hiperboloides de una hoja y los catenoides son dos a dos difeomorfos entre sí.
Relación 2. Superficies en el espacio 3 10. (Análisis de la función distancia con signo a un plano afín). Sea P el plano afín de R 3 que pasa por p 0 y tiene a n como vector normal unitario. Definimos f : S R como f (p) = p p 0,n. Se pide lo siguiente: b) Probar que p S es un punto crítico de f si y sólo si la recta afín normal a S en p es paralela a n. afín normal a S en p es paralela a n. d) Probar que si todas las rectas afines normales de una superficie conexa S son paralelas, entonces S es un abierto de un plano afín. 11. (Análisis de la función distancia al cuadrado a un punto). Dado p 0 R 3 consideramos la función f : S R dada por f (p) = p p 0 2. Se pide lo siguiente: b) Probar que p S es un punto crítico de f si y sólo si la recta afín normal a S en p pasa por p 0. afín normal a S en p pasa por p 0. d) Probar que si todas las rectas afines normales de una superficie conexa S pasan por un punto p 0, entonces S es un abierto de una esfera de centro p 0. 12. (Análisis de la función distancia al cuadrado a una recta). Sea R la recta afín en R 3 que pasa por p 0 con vector director unitario u. Sea f : S R la función que mide la distancia al cuadrado de los puntos de S a R, es decir, f (p) = p p 0 2 p p 0,u 2. b) Probar que p S es un punto crítico de f si y sólo si la recta afín normal a S en p corta perpendicularmente a R. afín normal a S en p corta de forma perpendicular a R. d) Probar que si todas las rectas afines normales de una superficie conexa S cortan perpendicularmente a R, entonces S es un abierto de un cilindro circular de eje R. 13. Sea p 0 R 3 y S una superficie que no contiene a p 0. Definimos la aplicación f : S S 2 dada por f (p) = (p p 0 )/ p p 0. a) Demostrar que f es diferenciable y calcular su diferencial en cada punto. b) Probar que f no es un difeomorfismo local en p S si y sólo si la recta que une p 0 con p es tangente a S en p, es decir, p p 0 T p S.
Relación 2. Superficies en el espacio 4 c) Utilizar lo anterior para probar que S a = {(x,y,z) R 3 /e x2 +e y2 +e z2 = a} con a > 3 es una superficie difeomorfa a S 2. 14. Sea S una superficie y p 0 S. Denotemos por P al plano afín tangente a S en p 0. Sea n un vector normal unitario a P. Demostrar que, localmente alrededor de p 0, la superficie S es un grafo sobre P. Concretamente, probar que existe V entorno abierto de p 0 en S y una función diferenciable ϕ : U R definida sobre un abierto U P, tales que: V = {q + ϕ(q)n/q U}. Indicación: aplicar el teorema de la función inversa en el punto p 0 a la función f : S P dada por f (p) = p p p 0,n n (la proyección ortogonal sobre P). 15. Resolver de forma razonada los siguientes apartados: a) Si una superficie S está contenida en uno de los semiespacios cerrados determinados por un plano afín P, entonces S y P son tangentes en cada punto p S P. b) Si una superficie S está contenida en la bola unidad cerrada de R 3, entonces en cada punto p S S 2 se cumple que T p S = p. 16. Demostrar que si S es una superficie compacta, entonces existe una recta afín R de R 3 que corta perpendicularmente a S en al menos dos puntos distintos (ésto significa que R coincide con la recta afín normal a S en dichos puntos). 17. Demostrar que las superficies de los ejercicios 1 5 son orientables. Calcular una orientación para cada una de ellas. 18. Sean S 1 y S 2 dos abiertos orientables de una superficie S con orientaciones N i : S i R 3. Supongamos que S = S 1 S 2 y que N 1 (p) = N 2 (p) para cada p S 1 S 2. Demostrar que S es orientable. Deducir que: a) Si una superficie S es unión de dos abiertos orientables S 1 y S 2 tales que S 1 S 2 es conexo, entonces S es orientable. b) Sea α : I R 3 una curva regular y embebida con α(i) P +. Probar que la superficie de revolución que se obtiene al rotar la traza de α alrededor del eje z es orientable. 19. El objetivo de este ejercicio es demostrar que si f : S S es un difeomorfismo local entre dos superficies y S es orientable, entonces S es orientable (como consecuencia, se deduce que si S y S son difeomorfas, entonces S es orientable si y sólo si lo es S ). Denotemos por N : S R 3 a una orientación de S. Definimos N : S R 3 como sigue: si p S, entonces: N(p) = u v u v, donde {u,v} es cualquier base de T p S tal que {(d f ) p (u),(d f ) p (v),n ( f (p))} es una base positiva de R 3. Demostrar que N define una orientación de S.
Relación 2. Superficies en el espacio 5 20. Resolver de forma razonada los siguientes apartados: a) Probar que S 2 se puede expresar como unión de dos entornos coordenados. b) Demostrar que si S es una superficie compacta, entonces S se puede recubrir por una cantidad finita {V 1,...,V n } de entornos coordenados donde n 2. c) Es cierto que la unión de dos superficies es siempre una superficie? d) Encontrar un abierto O R 3, una función f C (O) y un número a R de forma que a / VR( f ) y S = f 1 (a) sea una superficie. e) Es cierto que ecuación x y + z(z 2) = c define siempre una superficie? f) Demostrar que toda superficie S tiene interior vacío como subconjunto de R 3. g) Sea f : S S un difeomorfismo local entre dos superficies. Demostrar que si S es compacta y S es conexa, entonces f es sobreyectiva. Deducir que si S es una superficie compacta, S es una superficie conexa y S S, entonces S = S. h) Demostrar que cualquier esfera es difeomorfa a cualquier elipsoide del ejercicio 1. i) Sean S 1 y S 2 dos superficies compactas disjuntas. Probar que existe una recta afín de R 3 que corta perpendicularmente a S 1 y a S 2.