Programa Inmersión, Verano 07 Notas escritas por Dr. M Notas del cursos. Basadas en los prontuarios de MATE 300 y MATE 303 Clase #8: miércoles, 3 de agosto de 07. 3 Polinomios y funciones racionales 3. Funciones cuadráticas y desigualdades Una función cuadrática tiene la forma fx) = ax + bx + c donde a 0. En secciones pasadas trabajamos con técnicas de encontrar ceros de estas funciones. En esta sección aprenderemos a graficar este tipo de funciones y trabajaremos con algunas aplicaciones de éstas. Dos formas de escribir funciones cuadráticas En muchas aplicaciones es útil escribir una función cuadrática en la forma fx) = ax h) + k. Observe que si una función está escrita en la forma fx) = ax h) + k, entonces es fácil convertirla en la forma fx) = ax + bx + c expandiendo ax h) + k). Ir en la dirección opuesta puede producirse aplicando la técnica de completar el cuadrado. Suponga que tenemos fx) = ax + bx + c. Note que fx) = ax + bx + c = a x + ba ) x + c = a x + b ) ) ) b b a x + + c completando cuadrados) a a = a x + b ) ) ) b + c a a = a x + b ) ) b a + c a a = ax h) + k, donde h = b ) b a y k = a + c. a
Ejemplo 3... Escriba cada una de las siguientes funciones cuadráticas en la forma fx) = ax h) + k.. fx) = x + 6x. Solución: Complete el cuadrado para obtener. fx) = x + 0x + 3. Solución: Observe que 3. fx) = x 7x + 9. Solución: Note que fx) = x + 6x fx) = x + 6x + 9) 9 fx) = x + 3) 9. fx) = x + 0x + 3 = x + 0x) + 3 = x + 0x + 5 5) + 3 = x + 5) 5) + 3 = x + 5) 50 + 3 = x + 5) 7. fx) = x 7x + 9 = x 7 ) x + 9 = x 7 x + 7 ) = x 7 ) ) 9 + 9 6 = x 7 ) 9 8 + 9 = x 7 ) 9 8 + 7 8 = x 7 ) + 3 8. ) ) 7 + 9 Note que el hecho de que una función cuadrática puede escribirse de la forma ax h) + k implica que tenemos el siguiente resultado.
Teorema 3... La gráfica de cualquier función cuadrática es una transformación de la gráfica de fx) = x. Ejemplo 3..3. Grafique la gráfica de la función fx) = x + x. Solución: Primero observe que la función fx) = x + x puede escribirse como fx) = x x fx) = x x + fx) = x ). Ahora es claro que la gráfica de la función fx) es una traslación horizontal de una unidad hacia la derecha de la gráfica de x, seguida por una traslación vertical de una unidad hacia arriba. 5 x 3 x + x -3 - - 3 - - Apertura, vértice y eje de simetría Si a > 0, la gráfica de fx) = ax h) + k se abre hacia arriba. Por otro lado, si a < 0, entonces la gráfica de fx) se abre hacia abajo. La h determina la cantidad de traslación horizontal y k determina la cantidad de traslación vertical de la gráfica de x. También note que el punto 0, 0) en la gráfica de x se mueve al punto h, k) en la gráfica de fx). Como 0, 0) es el punto mínimo de la gráfica de x y 0, 0) es el punto máximo de la gráfica de x, entonces, si a > 0, entonces h, k) es el punto mínimo de la gráfica de fx) y si a < 0, entonces h, k) es el punto máximo de la grafica de fx). El punto h, k) se llama el vértice de la parábola. La forma fx) = ax h) + k se llama forma de vértice, mientras la forma fx) = ax + bx + c se llama forma general. La gráfica de x es simétrica alrededor del eje de y. Esta simetría se preserva en transformaciones, por lo tanto, la gráfica de cualquier función cuadrática es simétrica alrededor de la recta vertical que pasa por el vértice. Esta recta la llamamos eje de simetría de la parábola. La ecuación del eje de simetría es x = h o x = b/a), pues h = b/a) cuando la función está escrita en forma general. A continuación una representación gráfica de la discusión de arriba. 3
a > 0 a < 0 fx) = ax - h) + k k vértice h, k) x k vértice h, k) -x h h fx) = ax - h) + k Resumen: Vértice de una parábola:. Para una función cuadrática escrita en la forma fx) = ax h) + k, el vértice de la parábola es h, k).. Para una función cuadrática escrita en la forma fx) = ax + bx + c, la coordenada de x del vértice es b/a), mientras la coordenada de y es f b/a)). Ejemplo 3... Encuentre el vértice de las siguiente parábola fx) = x x + 3. Solución: Note que la coordenada de x del vértice está dada por x = b a = ) ) =. La coordenada de y del vértice está dada por y = f ) Por lo tanto, el vértice es, 5). Interceptos = ) ) + 3 = 5. La gráfica que y = ax + bx + c siempre tiene un intercepto en y. Este intercepto está dado por 0, c) y puede conseguirse reemplazando x por 0. La historia para los interceptos en x es distinta, pues puede que fx) tenga o no interceptos en x. Esto último depende de si existen o no soluciones a ax + bx + c = 0. Por lo tanto, si existen) interceptos) en x, esteos) están) dados) por x = b ± b ac. a
Ejemplo 3..5. Encuentre los interceptos en y y en x de las siguientes parábolas.. y = x + ) 8. Solución: Si x = 0, entonces y = 0 + ) 8 = 0. Por lo tanto, el intercepto en y está dado por 0, 0). Para encontrar los interceptos en x, tenemos que resolver fx) = 0. Ahora, note que x + ) 8 = 0 x + ) =. Esta última ecuación no tiene solución, por lo tanto, esta parábola no tiene intercepto en x.. y = x x 9. Solución: Si x = 0, entonces y = 0) 0) 9 = 9. Por lo tanto, el intercepto en y está dado por 0, 9). Para encontrar los interceptos en x, tenemos que resolver fx) = 0, o sea que x x 9 = 0. Utilizando la fórmula cuadrática obtenemos x = ± ) ) 9) ) = ± 88 = ±. Por lo tanto, los interceptos en x están dados por + ) ), 0 y, 0. Desigualdades cuadráticas En esta parte analizaremos desigualdades cuadráticas. El método que vamos a discutir se conoce como el Método de los Puntos de Prueba. Ejemplo 3..6. Resuelva las siguientes desigualdades.. x x > 6. Solución: Escriba la desigualdad en la forma x x 6 > 0. 5
Ahora resuelva x x 6 = 0. En este caso, podemos factorizar el polinomio y obtener x x 6 = 0 x 3)x + ) = 0, por lo tanto, x = 3 o x =. Lo próximo que hacemos es poner estos puntos los cuales llamamos puntos de prueba) en la recta real y verificar el signo de la función a la derecha y a la izquierda de cada uno de los puntos de prueba. x - 3)x + ) + + + + + + + + 0 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + - -3 - - 0 3 Por lo tanto, la solución a la desigualdad x x 6 > 0 está dada por, 3), ).. x x 3 0. Solución: Note que x x 3 = 0 si y solo si Luego, tenemos x = ± ) 3) ) = ± 5 3 =,. x - x - 3 + + + + + + + + + + + + + 0 - - - - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + -3 - - 0 3 Por lo tanto, la solución a la desigualdad x x 3 0 está dada por [, 3 ]. 6
Aplicaciones de máximo y mínimo Ejemplo 3..7. Una pelota se tira directamente hacia arriba con velocidad inicial de 80 pies por segundo desde un techo que esta a pies sobre el nivel del piso. La altura de la bola en pies al tiempo t en segundos) está dado por ht) = 6t + 80t +. Encuentre la altura máxima de la pelota sobre el nivel del piso. Solución: Como la altura está dada como una función cuadratica de t con coeficiente líder negativo, entonces la altura tiene el máximo en el vértice de la parabola. Ahora, la coordenada de t del vértice está dada por t = b a = 80 6) =.5. O sea, la pelota llega a su altura máxima cuando t =.5 segundos. Luego, la altura máxima es h.5) = 6.5) + 80.5) + = pies. Ejemplo 3..8. Si 00 cm de verja van a ser utilizados para cercar una región rectangular, entonces qué dimensiones para el rectángulo maximizan el área de la región? Solución: Sea x el lado del ancho y y el lado del largo. Entonces, x + y = 00 y = 00 x y = 50 x. Por lo tanto, tenemos el siguiente rectángulo. 50-X X Por lo tanto, el área está dado por A = x50 x) = 50x x. 7
Ahora, el máximo de esta parábola está en el vértice. La coordenada de x está dada por x = b a = 50 ) = 5. Por lo tanto, en ancho es 5 m y el largo 50 5 = 5 m. El área máxima está dada por 5 = 6m. 3.6 Funciones racionales y desigualdades Funciones racionales y sus dominios Definición 3.6.. Si P x) y Qx) son polinomios, entonces una función de la forma fx) = P x) Qx) se llama función racional, dado que Qx) no es el polinomio cero. Por discusiones anteriores sabemos que el dominio de un cociente está dado por dom fx) gx) ) f = {x domf) domg) gx) 0}. g Note que el dominio de P x) y de Qx) es, ), pues ambos son polinomios. Por lo tanto, el dominio de una función racional es {x R Qx) 0}. Ejemplo 3.6.. Encuentre el dominio de las siguientes funciones racionales.. fx) = x 3 x. Solución: Note que el dominio está dado por. fx) = x 3 x. {x R x } =, ), ). Solución: Note que x = 0 si y solo si x = ±. Por lo tanto, el dominio está dado por {x R x ±} =, ), ), ). 8
Asíntotas horizontales y verticales Considere la función fx) = /x. Note que esta función es diferente a un polinomio. De entrada, el dominio de esta función es todos los reales excepto el 0, mientras que el dominio de cualquier polinomio es todo R. Analicemos el comportamiento de esta función cerca de 0. x 0. 0.0 0.00 0 0.00 0.0 0. y = /x 0 00 000 000 00 0 Note que si nos acercamos a 0 por la derecha, entonces el valor de la función crece sin cota, o sea, cuando x 0 + se lee, cuando x se acerca a 0 por la derecha), entonces /x. En notación de límites escribimos lim x 0 + x =. Por otro lado, si nos acercamos a 0 por la izquierda, esto es, si x 0 se lee, cuando x se acerca a 0 por la izquierda), entonces /x. En otras palabras, lim x 0 x =. Esta discusión se puede apreciar en la gráfica de /x. 0 8 6 - - - - -6-8 -0 Note que la función se acerca al eje de y x = 0), pero nunca lo toca. Decimos que el eje de y o x = 0 es una asíntota vertical para /x. Por otro lado, cuando x crece en magnitud, el valor de la función se acerca a 0. Por ejemplo En notación de límites, escribimos x 000 00 0 0 0 00 000 y = /x 0.00 0.0 0. 0. 0.0 0.00 lim x x = 0. x = 0 y lim x En este caso decimos que y = 0 es una asíntota horizontal. 9
Definición 3.6.3. Sea fx) = P x)/qx) una función racinal.. Si fx) cuando x a, entonces la recta vertical x = a es una asíntota vertical. En notación de límites, decimos que x = a es una asíntota vertical si lim fx) =. x a. La recta y = L es una asíntota horizontal si fx) L cuando x o cuando x. En notación de límites, y = L es una asíntota horizontal si lim fx) = L ó lim fx) = L. x x Ejemplo 3.6.. Encuentre las asíntotas verticales y horizontales de las siguientes funciones racionales.. fx) = 3 x. fx) = x x 3. fx) = x + x + 3 0