ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Sigla Curso MAT0 Nombre Curso Cálculo I Créditos 10 Hrs. Semestrales Totales 5 Requisitos MAT00 o MAT001 Fecha Actualización Escuela o Programa Transversal Programa de Matemática Currículum Carrera/s Todas N APRENDIZAJE(S) ESPERADO(S) Resuelve problemas de rapidez y aceleración instantánea utilizando derivadas de primer y segundo orden. Resuelve problemas de marginalidad utilizando derivadas. Resuelve problemas de tasas de variación utilizando derivadas. Resuelve problemas de crecimiento y decrecimiento de funciones. NOMBRE DE LA ACTIVIDAD Aplicación de la derivada para determinar: rapidez y aceleración instantánea; costo, ingreso y utilidad marginal; crecimiento y decrecimiento de funciones. Modalidad Presencial No Presencial Duración de la actividad (horas): Forma de trabajo: Individual Grupal - Tamaño del grupo: -5 6-8 +8 Lugar: Sala de clases Laboratorio (especifique) Taller (especifique) Terreno (especifique) Otros (especifique) Recursos de información: Impreso Tecnológico Informático Material de apoyo para la actividad: DESCRIPCIÓN DE LA ACTIVIDAD Secuencia didáctica - roles de estudiantes y docentes - criterios de evaluación 1
I Aplicaciones de rapidez y aceleración instantánea. Rapidez Instantánea Si un objeto se mueve a lo largo de un eje coordenado con función de posición f (t), entonces su rapidez instantánea en el instante c es: v( t) f ( c) Aceleración Si un objeto se mueve a lo largo de un eje coordenado con función de posición f (t), entonces su rapidez instantánea en el instante c es: v( t) f ( c) Si v (t) es la rapidez instantánea, se define la razón de cambio de la rapidez con respecto al tiempo, la cual se llama aceleración a través de: a( t) v( t) f ( t) 1. Un automóvil se mueve a lo largo de una carretera en línea recta, de modo que la distancia recorrida t d en metros, transcurridos t segundos de su partida, está dada por la función: d ( t) 10t 8t 56. Encuentre la rapidez instantánea del automóvil a los 5 segundos de haber partido.. Un carrito eperimental conectado a un PC, se mueve a lo largo de un riel de tal manera que su posición en el instante t del punto de partida está dada por: d( t) t 18t 55t, la distancia se mide en cm y el tiempo en segundos. Qué aceleración marca la pantalla a los 1,5 segundos?. Un objeto se mueve a lo largo de un eje coordenado horizontal de tal manera que su posición en el instante t está especificada por: f ( t) t 0t La distancia se mide en cm y el tiempo en segundos. Cuál es la aceleración cuando han transcurrido 5 segundos? 1
4. Un carro se mueve a lo largo de un riel horizontal, de tal manera, que su posición en el instante t desde el punto de partida, está especificado por la función: f ( t) t t 18t 45. La distancia se mide en cm y el tiempo en segundos. Se pide: a) Encuentre la rapidez instantánea del carro a los segundos de haber partido. b) Encuentre la aceleración instantánea del carro a los 4 segundos. 5. Se ha medido que un auto de carrera acelera de tal modo que al salir de una curva su distancia recorrida, en metros, queda representada por la función: d( t) 10t 4t, donde t es el tiempo transcurrido en segundos. Cuánto se demora en alcanzar una rapidez instantánea de 180 m/s? 6. Un camión de carga bajando por la Cuesta El Melón recorre una distancia en metros que está definida por la función en segundos. d ( t) 10 8t t, donde t es el tiempo a) Encuentre la rapidez instantánea del camión a los segundos de haber partido. b) Encuentre la aceleración instantánea del camión a los 6,5 segundos.
II Aplicaciones de marginalidad. Costo, Ingreso y Utilidad Marginal Se define el Costo marginal como el cambio en el costo total debido al incremento de una unidad en la producción de cierto producto, es decir: CM ( dc( d Donde C( es el costo total. Se interpreta como el costo adicional unitario por cada unidad producida de más, cuando el incremento es muy pequeño. Sabemos que el ingreso se define como el precio por unidad multiplicado por la cantidad de unidades demandadas, es decir: I( p( El Ingreso marginal Se define como el cambio en el ingreso total debido a un incremento de una unidad en la demanda, es decir: IM ( di( d La Utilidad es la diferencia entre el ingreso y el costo total, es decir: U( I( C( La Utilidad Marginal es: du ( UM( d 7. Una empresa calcula que para vender kilos de fertilizante, el precio por kilo, en pesos debe ser p( 1.800, donde 1 100. Suponiendo que el costo total de fabricación de kilos es C( 1.000 0,001. Determine: a) La función de Ingreso total y de Ingreso marginal. b) La función de Utilidad total y de Utilidad marginal. c) Cuál es la Utilidad total de vender 95 kilos de fertilizante? d) Cuál es la Utilidad marginal de vender 100 kilos de fertilizante? 4
8. En cierta fabrica se estima que para vender pernos de 1/ pulgada, el precio por unidad, en dólares debe ser p( 4 80. Suponiendo que el costo 1 total de fabricación de pernos es C ( 9. Determine: a) La función de Ingreso total y de Ingreso marginal. b) La función de Utilidad total y de Utilidad marginal. c) Cuál es el Costo marginal de producir 111 pernos? d) Cuál es la Utilidad marginal de vender pernos? 9. Un fabricante de pinturas para autos, advierte que el costo por semana de producir litros está dado por C( 0.000 40 euros y el ingreso por la venta de litros está dado por I( 100 0,01. Actualmente se producen.100 litros por semana. Se está considerando la opción de producir.00 litros. Se pide: a) La función de Utilidad total. b) Calcule los incrementos del costo, del ingreso y de la utilidad c) Determine epresiones para el costo marginal, ingreso marginal y utilidad marginal. 10. El costo total de producción en dólares, de unidades diarias de un producto es de C ( 50. 000 y el precio de venta de una de ellas es p( 00 0, 01 dólares. a) Calcule el incremento de las utilidades si la producción aumenta de 100 a 10 unidades. b) Cuál es el ingreso marginal de 100 artículos? c) Cuál es la utilidad marginal de 10 artículos? 11. El ingreso diario, en pesos, cuando se demanda pares de zapatillas en una I ( 0 80 tienda deportiva viene dada por: marginal al vender 1 pares de zapatillas.. Determine el ingreso 1. Una planta de fabricación de calculadoras científicas ha determinado que sus ingresos en pesos al vender calculadoras vienen dados por la siguiente 1.000 función: I( 9.500 0,9. Calcule el ingreso marginal al vender 100 calculadoras. 5
III Aplicaciones de crecimiento o decrecimiento de una función. 1. La utilidad (en miles de pesos) que obtiene una empresa por la fabricación de unidades de un determinado producto está dada por la función: U ( 1 ( 45 50 80) Utilizando derivadas analice el crecimiento o decrecimiento (baja) de las utilidades de la empresa al producir 8 unidades. 14. La concentración (en %) de una medicamento en la sangre luego de t horas de haber sido inyectado está definido por la función: C( t) ln(16t t Utilizando derivadas analice el crecimiento o decrecimiento de la concentración del medicamento luego de 9 horas de ser inyectado. ) 15. Un estudio de eficiencia de un turno de trabajo en una fábrica, indica que un trabajador promedio que llega al trabajo a las 8:00 a.m., habrá ensamblado Q (t) unidades de radios transistores t horas más tarde, donde: Utilizando derivadas, determine: Q( t) t 6t 15t a) Si el desempeño del trabajador es creciente (eficiente) o decreciente (menos eficiente) a las 4 horas después de haber llegado a su trabajo. b) Si el desempeño del trabajador es creciente (eficiente) o decreciente (menos eficiente) a las 6 horas después de haber llegado a su trabajo. 16. La ganancia G (, en dólares, que obtiene el restaurante de comida rápida HAPPY DAYS al vender hamburguesas, está dada por la función: Utilizando derivadas, determine: G (,44 1.500 0.000 a) Si la ganancia es creciente o decreciente al vender 40.100 hamburguesas. b) Si la ganancia es creciente o decreciente al vender 18.600 hamburguesas. 6
SOLUCIONES 1. ( t) 0t 8 d v ( 5) d(5) 05 8 6 La rapidez instantánea del auto a los 5 segundos de haber partido es de 65 m/s.. d ( t) 9t 6t 55 ; ( t) 18t 6 d a ( 1,5) d (1,5) 181,5 6 6 La aceleración instantánea del carrito a los 1,5 segundos es de 6 cm/s.. f ( t) t 60t ; ( t) 6t 60 f a ( 5) f (5) 65 60 90 La aceleración instantánea del objeto a los 5 segundos es de 6 cm/s. f v () f () 18 6 4. a) ( t) t t 18 La rapidez instantánea del carro a los segundos de haber partido es de 6 cm/s. b) ( t) 6t f a ( 4) f (4) 6 4 La aceleración instantánea del carro a los 4 segundos es de 6 cm/s. 5. d( t) 10 48t 180 t 1, 5 La velocidad se alcanza cuando han transcurrido 1,5 segundos. 6. a) v () d() 16 75 d ( t) 16t t La rapidez instantánea del camión a los segundos de haber partido es de 75 m/s. a ( 6,5) d (6,5) 16 66,5 55 b) d ( t) 16 6t La aceleración instantánea del camión a los 6,5 segundos es de 55 m/s. 7. a) b) I( 1.800 IM( 1.800 4 U( 1.000 1.799,001 UM( 1.799 4, 00 c) U ( 95) 151.845, 97 La utilidad total al vender 95 kilos de fertilizante es de apro. $151.846. 7
d) UM ( 100) 1.98, 8 La utilidad marginal al vender 100 kilos de fertilizante es de apro. $1.99. 8. a) I( 4 80 IM ( 8 80 1 b) ( 78 9 6 U UM( 78 c) CM ( CM (111) 76 El costo marginal de producir 111 pernos es de 76 dólares. d) UM ( ) 5 La utilidad marginal al vender pernos es de 5 dólares. 9. a) U ( 60 0,01 0. 000 b) Al producir.00 litros por semana el costo se incrementa en 4.000 euros, el ingreso se incrementa en.700 euros y la utilidad disminuye en 00 euros. c) CM ( 40 IM( 100 0, 0 UM( 60 0, 0 10. a) El incremento de las utilidades es de 4.956 dólares. b) El ingreso marginal de 100 artículos es de 98 dólares. c) La utilidad marginal de 10 artículos es de 47,6 dólares. 11. ( 0 80 0 IM IM ( 1). 07 El ingreso marginal al vender 1 pares de zapatillas es de $.07. 1. 1.000 IM ( 9.500 1,8 9.0, 1 IM 1.000 ( 100) 9.500 1,8 100 100 El ingreso marginal al vender 100 calculadoras es de apro. $9.0. 8
1. La pendiente de la recta tangente a la curva es un valor menor que cero, lo que significa que la curva en ese punto es decreciente, por lo tanto las utilidades de la empresa al producir 8 unidades es decreciente. 14. La pendiente de la recta tangente a la curva es un valor mayor que cero, lo que significa que la curva en ese punto es creciente, por lo tanto la concentración del medicamento a las 9 de haberse inyectado es creciente. 15. a) La pendiente de la recta tangente a la curva es un valor mayor que cero, lo que significa que la curva en ese punto es creciente, por lo tanto el trabajador a las 4 horas de trabajo tiene un mejor desempeño. b) La pendiente de la recta tangente a la curva es un valor menor que cero, lo que significa que la curva en ese punto es decreciente, por lo tanto el trabajador a las 6 horas de trabajo tiene un menor desempeño. 16. a) La pendiente de la recta tangente a la curva es un valor menor que cero, lo que significa que la curva en ese punto es decreciente, por lo tanto la ganancia del restaurante al vender 40.100 hamburguesas es decreciente. b) La pendiente de la recta tangente a la curva es un valor mayor que cero, lo que significa que la curva en ese punto es creciente, por lo tanto la ganancia del restaurante al vender 18.600 hamburguesas es creciente. 9