EXÁMENES DE CURSOS NTERIORES CURSO 8 LOQUE. GEOMETRÍ EXMEN. Geoetía afín euclídea en el epacio tidienional. RECUPERIÓN EXMEN. Geoetía afín euclídea en el epacio tidienional. º CT. MTEMÁTICS II. LOQUE. GEOMETRÍ. (.. 8. Dada la ecta ; a Deueta que e cotan en un punto halla la coodenada de dicho punto. b Encuenta la ecuación cateiana del plano que la contiene.. Deteina la poición elativa de lo plano egún lo ditinto valoe que toe el paáeto. Iluta ediante un dibujo la ituación de lo te plano en cada cao.. Dada la ecta el punto P( calcula: a La ecuación de la ecta que paa po P cota pependiculaente a. b La coodenada del punto Q iético de P epecto a.. a Siendo ( ( C( Paa qué valoe de tiene el tiángulo C un áea de 9 u? b Halla paa que la ecta el plano ean paalelo SOLUCIONES. a Poneo la do ecta en paaética: Paa que e coten en un punto ha de tene olución el itea Reolviendo el itea foado po la do piea ecuacione obteneo que. Coo ea olución
P Q M e cuple tabién en la tecea concluio que el itea tiene olución po tanto la ecta e cotan en un punto. Paa halla la coodenada de dicho punto bata utitui en la ecuación de o en la de obteniendo de ete odo el punto de cote P(- - b El plano que contiene a ea do ecta (que abeo po el apatado anteio que on coplanaia vendá deteinado po cualquiea de lo punto de o po ejeplo po P(- lo vectoe diectoe de la do ecta.. Dicutio el itea deteinado po la ecuacione de lo te plano. Paa ello coo iepe etudiao lo ango de la atice del itea apliada: Po tanto: Rang Rang el itea e copatible deteinado lo te plano e cotan en un punto. Rang Rang El itea e incopatible. Coo no ha do plano paalelo en ete cao e cotan do a do foando un pia tiangula. Rang Rang el itea e copatible indeteinado lo te plano e cotan a lo lago de una ecta. La ituación de lo te plano e en cada cao la de la figua:. a La ecta que no piden podeo deteinala coo la inteección de do plano: plano que contiene a a P plano que paa po P e pependicula a. 8 D. Coo paa po P D D Po tanto la ecta que no piden e 8 b Conoceo P no piden el punto Q de la figua. Halleo en pie luga M que e el punto edio del egento PQ. M e el punto en el que e cotan la ecta el plano que hallao ante. Ecibio en paaética eolveo el itea:
( ( ( M Sean ( la coodinada del punto Q. Coo M e el punto edio de PQ concluio que: Q. a Toeo lo vectoe ( (. Sabeo que 9 9 9 (9 ( 9 ( k j i 9 9 9 9 9 9 9 b El vecto diecto de e ( u k j i u. Y el vecto aociado a e ( w v u w u a paalela e º C º T. MTEMÁTICS II. LOQUE. GEOMETRÍ. (.. 8. Deteina la poición elativa de la ecta egún lo ditinto valoe que toe el paáeto. ( punto. a Halla paa que lo punto ( ( C( D( ean coplanaio. b Encuenta la ecuación cateiana del plano que lo contiene. c Dibuja el tiángulo C calcula u áea. ( punto cada apatado. Dado el punto ( la ecta Calcula: a Un vecto u diecto de la ecta. ( punto b La ecuación cateiana del plano que contiene al punto a la ecta. ( punto c La ecuación continua de la ecta que paa po el punto etá contenida en el plano u diección e pependicula a la de la ecta. ( punto
. Dado a Halla la ecuación cateiana del plano que contiene a la ecta e pependicula al plano ( punto b Halla el ángulo que deteinan. ( punto. Halla el voluen del tetaedo que deteinan lo plano coodenado el plano ( punto SOLUCIONES. Etudieo lo ango de la atice egún lo ditinto valoe que pueda toa el paáeto. En ete cao el ango de la ati ólo puede e coo ucho. Sin ebago podía tene hata ango i u deteinante fuee ditinto de ceo. Calculeo pue obliguéole a que valga ceo. -( (. -( ( [ ] o bien [ ] Po tanto iepe que no valga ni ni el ango de la ati apliada e. Y qué paa cuándo vale ó vale? Si Paa etudia u ango podeo pecindi de la últia fila en la do atice a que e la ua de la do piea. Obteneo que : ang ang. Si En ete cao ang el ango de que a abeo que paa no puede e tiene tabién que e. En euen: ang ang on paalela. ang ang e cotan en un punto. ang ang e cuan.. a ( ( ( D Paa que C Y D ean coplanaio ha de e - - - - D Rang ( v b No peguntan po el plano que paa po lo punto C.
8 c Áea del tiángulo C Tengao en cuenta que: i j k i j 8 u. Ve poblea PU. Geoetía nº 9. Junio. a Reolviendo el itea de do ecuacione con te incógnita que deteina la ecta podeo ecibi eta ecta en paaética aí: La ecta paa po el punto (- - tiene coo vecto diecto u ( b El plano que contiene a la ecta al punto ( viene deteinado po el punto (- - lo vectoe u( ( po tanto: c Sea w (- el vecto aociado (pependicula al plano anteio u( el vecto diecto de la ecta. Coo el vecto diecto v de la ecta que no piden e pependicula a eo do vectoe i v u w j i j k k La ecta paa po el punto ( tiene coo vecto diecto v( - Su ecuación e:. a Ve página ejecicio nº. b El vecto diecto de la ecta e ( u i j k el vecto aociado al plano w i j k u w en( co( u w v ( acen u w º 8. Veao en pie luga en qué punto cota el plano a lo eje: Haciendo obteneo l eje OZ lo cota en el punto (. Pocediendo de foa paecida obteneo que al eje OY lo cota en el ( al OX en el (. Se tata de halla el voluen del tetaedo de vétice OC que coo abeo e la eta pate del poducto ito de lo vectoe O O OC. 8 Voluen tetaedo [ O O OC] u. u Recueda que O e el oigen de coodenada: O(
RECUPERIÓN MTEMÁTICS II. RECUPERIÓN DEL LOQUE. (9.. 8.- Dada la ecta: a Deueta que e cuan. ( punto b Halla la ecuación del plano que paa po el punto P ( - e paalelo a la do ecta del apatado anteio. ( punto c Halla la ecuación del plano ' que contiene a e paalelo a. ( punto.- a Halla la ecuación del plano incidente con lo punto ( (- pependicula al plano. ( punto b Halla el ángulo que deteinan la ecta el plano. ( punto.- Sean el plano a b la ecta a Con a etudia la poición elativa de la ecta el plano. b Siguiendo con a calcula b paa que el punto ( - peteneca a la ecta al plano. c Deteina lo valoe de a b paa que la ecta eté contenida en el plano. ( punto cada apatado.- a Deueta que lo punto ( ( C( D ( on vétice de un tetaedo. ( punto b Halla el voluen de dicho tetaedo. ( punto c Copueba que C deteinan un tiángulo halla u áea. ( punto SOLUCIONES. a Reolveo el itea foado po la do ecuacione que deteinan encontao de ete odo u ecuacione paaética: La ecta po tanto paa po el punto ( - tiene coo vecto diecto u v (. Po oto lado la ecta veo que paa po el punto (- tiene coo vecto diecto v (. no on paalela ni coincidente pueto que u vectoe diectoe no on popocionale. Paa ve i e cuan o e cotan bata ve i el ango de lo vectoe u v e do o te. Rang( u v e cuan. b El plano que bucao vendá deteinado po el punto P lo vectoe diectoe de la do ecta: u v. c El plano ' vendá deteinado po el punto de la ecta lo vectoe diectoe de la do ecta: u v.
' '. a Ve apunte: página nº. b Ve apunte: página nº.. Ve poblea PU Geoetía nº. Septiebe.. a Paa deota que lo punto C D on lo vétice de un tetaedo bata copoba que NO on coplanaio o lo que e igual que lo vectoe ( - ( D( - on linealente independiente. En efecto: lo vectoe D on linealente independiente. D ( u b Voluen tetaedo CD ( c Paa copoba que lo punto C deteinan un tiángulo bata ve que no on colineale eo e evidente poque lo vectoe que vio en el apatado anteio no on popocionale. O dicho de oto odo: Rang (. Áea del tiángulo C ( i j k i j k ( u