Matemáticas II
Matemáticas II
ANDALUCÍA MODELO CURSO 009-00 SOLUCIÓN DE LA PRUEBA DE ACCESO AUTOR: José Luis Pérez Sanz Opción A El punto de infleión es aquel en el que la derivada segunda se anula. Calculamos la derivada segunda para poder hallar ese punto: e ( ) e e f () e e e f () e e f () 0 0 La fórmula de la recta tangente pedida es: y f() f ()( ) f() f () e e Por lo tanto, tenemos: 3 y ( ) y e e e e a) Igualamos las epresiones de ambas funciones: 3 4 3 6 3 7 6 0 Para resolver esta ecuación, vamos a factorizarla. Por Ruffini: 0 7 6 6 6 0 3 7 6 0 ( )( 6) 0 6 0, 3 Luego los puntos de corte entre ambas funciones son: Si y 3; P (, 3) Si y 0; P (, 0) Si 3 y 5; P 3 (3, 5) b) El recinto itado es el siguiente: y 3 4 8 4 O 4 6 8 0 4 (3, 5) 6 y 3 6 8 Y e e (, 0) 4 6 8 0X (, 3) A (36( 3 4)) d 4 7 7 4 4 3 3 3 u 4 4 a) La matriz de coeficientes asociada al sistema es: A ( 3 4 (36)) d 3 4 0 0 k k k Calculamos su determinante: A k k k k Este determinante se anula cuando k toma los valores k 0 o k. Veamos si para alguno de estos dos valores el sistema es incompatible. Si k 0 tenemos: 0 0 0 A 0 0 A * 0 0 0. 0 El rango de ambas matrices es, luego el sistema es compatible indeterminado. Si k 0 0 A 0 A * 0 0. El rango de A es, pero en el caso de A* tenemos un menor de orden 3, que es distinto de cero: 0 0 6 3 0 rango(a * ) 3 6 Como los rangos son distintos, el sistema es incompatible cuando k. b) La solución en la que z eistirá siempre que eistan soluciones, es decir, cuando el sistema sea compatible, indeterminado o determinado. En el apartado anterior vimos que cuando k 0 el sistema es compatible indeterminado. En este caso no eiste una solución en la que z, ya que si Oford University Press España, S. A. Matemáticas II 3
ANDALUCÍA MODELO CURSO 009-00 k 0, según la segunda ecuación del sistema, z 0, lo que contradice el hecho de que z tenga que valer. Por lo tanto, tenemos que tener en cuenta que el sistema es compatible determinado, es decir, que k 0 y k. Como el sistema es compatible determinado, calculamos cuál sería el valor de z general con la regla de Cramer: z Esta solución general la igualamos a, que es la solución que buscamos: k k k 0 k 0 k k 0 0 k k k k k k k k k k k Por lo tanto, el valor del parámetro que buscamos es k. a) Para estudiar la posición relativa de r y s calculamos sus vectores directores: i j k vr 0 0 (0,, 3) 0 3 i j k 0 vs 0 (, 0, ) 0 Como los vectores no son proporcionales, las rectas se cruzan o se cortan. Necesitamos un punto de cada recta: Para la recta r, consideramos, por ejemplo, y 0; sustituyendo en la segunda ecuación obtenemos z 3. Un punto de r es P r (0, 0, 3). Para la recta s, consideramos, por ejemplo, 0; sustituyendo en la primera ecuación obtenemos z 3. Un punto de s es P s (0, 0, 3). Con estos dos puntos construimos un vector: $ P s Pr P s P r (0, 0, 6) Calculamos el determinante formado por los tres vectores; v r, $ v s,p r P s : 0 0 0 0 3 6 6 Como el determinante es distinto de cero, las rectas se cruzan. b) P s Puesto que el plano contiene a s, utilizamos el punto P s y v s para calcularlo. Falta otro vector director, pero como el plano es paralelo a r, podemos usar el vector director v r. Por lo tanto, tenemos: 0 y 0 z 3 3 v s v r v r 0 3y z 3 0 s r Opción B a) Como f() es continua en todo [0, 4], lo es en el punto [0, 4]; por lo tanto, f() f() f(): f() c a b 4 a b c c Se tiene que cumplir que 4 a b c. Calculamos ahora la función derivada: a si 0 f () c si 4 La función tiene que ser derivable en, ya que (0, 4); por lo tanto, f () f (): f () a 4 a f () c c Se tiene que cumplir que 4 a c. La última condición es f(0) f(4): f(0) b f(4) 4c Igualando, tenemos b 4c. Debemos resolver el sistema formado por las tres ecuaciones: 4 a b c 4 a c b 4c Sustituimos la 3.ª ecuación en la primera y obtenemos: 4 a 4c c a c 4 Oford University Press España, S. A. Matemáticas II 4
ANDALUCÍA MODELO CURSO 009-00 Sustituimos en esta última la.ª ecuación: a (4 a) 4 4a a 3 c 4 (3) b 4 5 Luego los valores buscados son: a 3, b 5, c b) Según el teorema de Rolle, si la función es continua en [0, 4], derivable en (0, 4) y f(0) f(4), entonces eiste un punto del intervalo (0, 4) en el que la derivada se anula. Las condiciones del teorema de Rolle son precisamente las establecidas en el apartado anterior; por lo tanto, escribimos la función derivada sustituyendo en ella los valores que obtuvimos para a, b y c: 3 si 0 f () si 4 Resolvemos la ecuación f () 0. Como en [, 4) la función es el valor constante, en ese intervalo no se anula. Veamos qué ocurre en (0, ): 3 3 0 (0, 4) Calculamos previamente una primitiva de ln ( ). Esta integral se desarrolla por el método de integración por partes: u ln ( ) du d dv d v ln ( ) d ln( ) d Para resolver la integral, efectuamos la división: u Epresamos la división que hay en la integral como cociente resto divisor y tenemos: ln ( ) d ln( ) d ln( ) In ln 4 Aplicamos la regla de Barrow a la primitiva que tenemos: 0 ln ( ) d 0 ln 0 4 4 La matriz de coeficientes asociada al sistema es: A 3 A 4 3 0 El rango de esta matriz es siempre, pues eiste, por ejemplo, el menor 0. Calculamos el rango de la matriz ampliada orlando este menor: m 3 m In 4 0 5m 5m 0 Este determinante se anula cuando m o m. Se puede comprobar que los demás menores que se pueden formar también se anulan para los mismos valores de m. Por lo tanto, si m o m, el rango de la matriz ampliada es y coincide con el de la matriz de coeficientes; en otro caso los rangos no coincidirían y el sistema sería incompatible. De modo que los valores buscados para que el sistema sea compatible son m y m. En estos dos casos los sistemas que se obtienen son compatibles indeterminados con 3 grado de libertad. La situación del problema se muestra en la siguiente figura: π n π π n π Como la recta s que buscamos está contenida en, es perpendicular a su vector característico. Además, es paralela a, luego es perpendicular al vector característico de. Al ser perpendicular a ambos vectores a la vez, su vector director lo obtenemos multiplicando vectorialmente los vectores normales de los planos: P s r Oford University Press España, S. A. Matemáticas II 5
ANDALUCÍA MODELO CURSO 009-00 v i j k s (0,, ) 0 La recta s debe cortar a la recta r y la recta r corta al plano, luego debemos calcular el punto P intersección de r y, que será también un punto de s. Resolvemos el sistema formado por el plano y la recta: y z 0 P(,, ) y 0 En conclusión, la recta que buscamos tiene como vector director (0,, ) y pasa por el punto (,, ). s: (, y, z) (,, ) (0,, ), Oford University Press España, S. A. Matemáticas II 6