TRIGONOMETRÍA Problemas de resolución de triángulos rectángulos. 1. Si queremos que una cinta transportadora de 25 metros eleve la carga hasta una altura de 15 metros, cuál deberá ser el ángulo de inclinación de la cinta? 2. Una escalera de 2 m está apoyada en una pared formando un ángulo de 50 con el suelo. Halla la altura a la que llega y la distancia que separa su base de la pared. 3. El lado de un rombo mide 8 cm y el ángulo menor es de 38. Cuánto miden las diagonales del rombo? 4. Desde un punto A medimos el ángulo bajo el que se ve un edificio obteniendo 42º. Nos alejamos 40 m de él y volvemos a medir el ángulo observando que ha disminuido a 35º. Calcula la altura del edificio y la distancia a la que nos encontramos de él. 5. En lo alto de un edificio en construcción hay una grúa de 4 m. Desde un punto del suelo se ve el punto más alto de la grúa bajo un ángulo de 50º con respecto a la horizontal y el punto más alto del edificio bajo un ángulo de 40º con la horizontal. Calcula la altura del edificio. 6. Una estatua de 2,5 m está colocada sobre un pedestal. Desde un punto del suelo se ve el pedestal bajo un ángulo de 15º y la estatua bajo un ángulo de 40º. Calcula la altura del pedestal. 7. Un avión vuela entre dos ciudades, P y Q, que distan 20 km. Las visuales desde el avión a P y Q forman ángulos de 29º y 43º con la horizontal, respectivamente. A qué altura vuela el avión? 8. Dos circunferencias secantes tienen radios de 10 cm y 13 cm. Sus tangentes comunes forman un ángulo de 30º. Calcula la distancia entre los centros. 9. Desde un punto P exterior a una circunferencia de 10 cm de radio, se trazan las tangentes a dicha circunferencia que forman entre sí un ángulo de 40. Calcula la distancia de P a cada uno de los puntos de tangencia y a la circunferencia. 10. Calcula la altura de una torre sabiendo que su sombra mide 13 m cuando los rayos del sol forman un ángulo de 50 con el suelo. 11. Una escalera de 5 m está apoyada contra la pared. Cuál será su inclinación si su base dista 2 m de la pared? 12. Calcula los ángulos de un rombo cuyas diagonales miden 12 cm y 8 cm, respectivamente. Cuánto mide el lado del rombo? 13. Un triángulo tiene dos ángulos iguales de 25º cada uno. Sus respectivos lados opuestos miden, cada uno de ellos, 30 cm. Calcula su área. 14. En el triángulo ABC de la figura halla la longitud de la altura sobre AB y calcula su área. Puedes calcular la medida de los otros ángulos y del lado que faltan? 15. Halla los lados de los octógonos inscrito y circunscrito a una circunferencia de 5 cm de radio. Calcula sus áreas. 16. Calcula los lados, ángulos y área del triángulo ABC. I.E.S. "Miguel de Cervantes" (Granada) Departamento de Matemáticas GBG 1
17. La escalera de un camión de bomberos de 20 m de longitud se apoya sobre la fachada de un edificio. El ángulo que forma con la horizontal es de 75. Teniendo en cuenta que el pie de la escalera queda en una plataforma a 2,25 m de altura del suelo, calcula la altura que alcanza la escalera sobre la fachada. 18. Los brazos de un compás, que miden 14 cm, forman un ángulo de 50. Cuál es el radio de la circunferencia que puede trazarse con esa abertura? 19. Una escalera de 4 m está apoyada contra la pared. Cuál será su inclinación si su base dista 1,5 m de la pared? 20. Una finca tiene forma de triángulo rectángulo. Uno de los catetos mide 250 m, y el ángulo opuesto, 52. Calcula el área de la finca. 21. Con una escalera de 5 m se quiere alcanzar una altura de 4,2 m en una pared. Halla la inclinación con la que deberá estar apoyada. 22. En un triángulo isósceles, cada uno de los lados iguales mide 6 m, y el desigual, 10 m. Halla la amplitud de sus ángulos y calcula su área. 23. Calcula el área de un rombo cuyo lado mide 9 cm y uno de sus ángulos, 130. 24. En un triángulo rectángulo un cateto mide 7 m y el área 17,5 m 2. Halla los restantes elementos del triángulo rectángulo. 25. Calcula el área de un heptágono regular en el que el lado mide 6,4 cm. 26. Calcula la apotema de un octógono regular en el que el lado mide 5,4 cm. 27. En un triángulo rectángulo un cateto mide el doble que el otro. Calcula la amplitud de sus ángulos agudos. 28. Calcula el área y el volumen de un prisma regular pentagonal en el que la arista de la base mide 10 m y 12 m la altura. 29. Calcula el área y el volumen de una pirámide regular cuadrangular en la que la arista de la base mide 6 cm y el ángulo que forma la base con las caras laterales es de 70. 30. Las tangentes a una circunferencia de centro C trazadas desde un punto exterior P, forman un ángulo de 40. Halla la distancia P al centro de la circunferencia sabiendo que su radio es 6,4 cm. Cuál es la distancia de P a la circunferencia? 31. Una antena de telefonía móvil está en una llanura dentro de una cerca en la que está prohibido entrar. Para hallar su altura, medimos desde un punto exterior el ángulo de elevación y se obtienen 65. Nos alejamos 50 m y el nuevo ángulo de elevación es de 43. Calcula la altura de la antena de telefonía móvil. 32. Calcula la anchura del río con las medidas que ha tomado Alberto. 33. Dos edificios distan entre sí 60 metros. Desde un punto que está entre los dos edificios, vemos que las visuales a los puntos más altos de estos forman con la horizontal ángulos de 35 y 20. Cuál es la altura de los edificios, si sabemos que son gemelos? I.E.S. "Miguel de Cervantes" (Granada) Departamento de Matemáticas GBG 2
34. El diámetro de una moneda de 2 mide 2,5 cm. Averigua el ángulo que forman sus tangentes trazadas desde una distancia de 5,4 cm del centro 35. Para medir la altura de una catedral, medimos el ángulo de elevación de la parte más alta desde un punto determinado y obtenemos 68 ; nos alejamos en la misma dirección 100 m y el nuevo ángulo de elevación es de 38. Halla la altura de la catedral. 36. Calcula la apotema y el área de un heptágono regular cuyo lado mide 14,6 cm. 37. Desde una playa, dos personas observan un globo sobre el mar con unos ángulos de elevación de 47º y 54º. Si las dos personas y el globo se encuentran en un mismo plano vertical, y la distancia entre ellas es de 20 m, calcula la altura a la que se encuentra el globo. 38. En dos comisarías de policía, A y C, se escucha la alarma de un banco B. Con los datos de la figura, calcula la distancia del banco a cada una de las comisarías. 39. La longitud del lado de un octógono regular es 10 cm. Halla los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita al octógono. 40. La pendiente de una ladera de 72 m de larga y una inclinación de 17º 45' nos conduce al pie de una majestuosa estatua ecuestre. Calcula su altura sabiendo que desde el inicio de la pendiente el ángulo de elevación del punto más elevado de la estatua es de 54º 20'. I.E.S. "Miguel de Cervantes" (Granada) Departamento de Matemáticas GBG 3
TRIGONOMETRÍA Problemas de resolución de triángulos rectángulos. (Soluciones) 1. 36º 52'11,63" 2. Altura: 1,53 m; Distancia: 1,29 m. 3. Diagonal menor: 5,20 cm; Diagonal mayor: 15,13 cm. 4. Altura: 125,97 m; Distancia: 179,90 m. 5. Altura: 9,52 m. 6. Altura del pedestal: 58 cm. 7. Altura del avión: 6953 m. 8. Distancia entre centros: 11,59 cm. 9. Distancia de P a puntos de tangencia: 27,47 cm. Distancia de P a la circunferencia: 19,24 cm. 10. Altura de la torre: 15,49 cm. 11. Inclinación: 66º 25' 18,56". 12. Los ángulos son: 112º 37' 11,51" y 67º 22' 48,49". El lado del rombo: 7,21 cm. 13. Área: 344,72 cm 2. 14. Altura: 16,38 cm. Área: 385 m 2. B ˆ = 24º 45'20,07", C ˆ = 100º14'39,93" y a = 39,12 m. 15. Inscrito: lado 3,83 cm y área 70,71 cm 2. Circunscrito: lado 4,14 cm y área 82,84 cm 2. 16. b = 26,11 cm, c = 87,96 cm, B ˆ = 13º 52'16,89", C ˆ = 126º 7 '43,11" y 17. Altura: 21,57 m. 18. El radio será de 11,83 cm. 19. Inclinación: 67º 58' 32,47". 20. Área: 24415,17 m 2. 21. Inclinación: 57º 8' 24,43". Área 22. Ángulos iguales 33º 33' 26,32" y ángulo desigual 112º 53' 7,37". Área 16,58 cm 2. 23. Área: 62,05 cm 2. 2 = 738, 06 cm. 24. El otro cateto 5 m, la hipotenusa 8,60 cm y los ángulos 54º 27' 44,36" y 35º 32' 15,64". 25. Área: 148,85 cm 2. 26. Apotema: 6,52 cm. 27. Los ángulos agudos miden 63º 26' 5,82" y 26º 33' 54,18". 28. Área: 944,10 m 2. Volumen: 2064,57 m 3. 29. Área: 141,26 cm 2. Volumen: 98,91 cm 3. 30. Distancia de P al centro de la circunferencia: 18,71 cm. Distancia de P a la circunferencia: 12,31 cm. 31. Altura de la antena: 82,50 m. 32. Anchura del río: 26,82 m. 33. Altura de los edificios: 14,37 m. I.E.S. "Miguel de Cervantes" (Granada) Departamento de Matemáticas GBG 4
34. Ángulo que forman las tangentes: 26º 46' 7,02". 35. Altura de la catedral: 114,17 m. 36. Apotema: 15,16 cm. Área: 774,60 cm 2. 37. Altura del globo: 97,10 m. 38. d = 3248 m y D = 2571 m. 39. Radio de la circunferencia inscrita: 12,07 cm. Radio de la circunferencia circunscrita: 13,07 cm. 40. 73,60 m I.E.S. "Miguel de Cervantes" (Granada) Departamento de Matemáticas GBG 5