Tema 0 Vectores en el Espacio 0.- Introducción..- Vectores en el espacio..- Vectores Fijos..- Vectores Fijos.- Operaciones con ectores...- Suma de ectores...- Producto por escalar..- Base de un Espacio Vectorial. 4.- Producto escalar. 4..- Aplicaciones del producto escalar.- Bases ortogonales y ortonormales...- Base canónica 6.- Producto Vectorial. 6..- Aplicaciones al cálculo de áreas. 7.- Producto Mixto. 8.- Ejercicios Resueltos. Raúl González Medina I.E. Juan Ramón Jiménez Tema 0
Matemáticas º Bachillerato CCNN 9.0.- Introducción El concepto de ector fue utilizado desde finales del siglo XVII para representar y componer magnitudes con dirección y sentido, como son la fuerza y la elocidad. A finales del siglo XVIII, Joseph Louis Lagrange introdujo las coordenadas, con lo que aritmétizo las magnitudes ectoriales. Gauss utilizó los ectores para representar los números complejos. Möbius (en 87) se alió de los ectores para resoler problemas geométricos, dando también sentido a las coordenadas. Entre 8 y 87, Bellaitis desarrolló un álgebra de ectores, equialente al actual cálculo ectorial. Hamilton, (80-86) utiliza por primera ez el nombre del ector. Finalmente, Grassmann, entre 844 y 878, amplió la teoría de ectores, generalizándola a espacios n-dimensionales y definiendo los productos interno y externo de ectores. Cuando queremos referirnos al tiempo que demanda un suceso determinado, nos basta con una magnitud (se demoró segundos, saltó durante minuto, olerá el próximo año, etc.). Existen muchas magnitudes físicas que pueden describirse perfectamente de esta manera simple, y que reciben el nombre de escalares. Son escalares el tiempo, la masa, la densidad, el olumen, la temperatura y otras muchas más. También existen magnitudes como el desplazamiento, la fuerza, la aceleración y otras, que para quedar perfectamente descritas necesitan dirección, además de la magnitud ( camine metros!, es una solicitud muy ambigua que puede conducir a una posición final distinta para cada persona que la reciba; en cambio, camine metros por Alameda hacia el Este! producirá exactamente el efecto requerido). Estas magnitudes se denominan ectoriales, y operan según el Álgebra Vectorial que eremos a continuación. 9..- Vectores en el espacio Existen magnitudes, como la temperatura, que quedan perfectamente determinadas completamente dando un alor, o un escalar. Decimos que son magnitudes escalares. Sin embargo, existen otras muchas magnitudes físicas, como la fuerza, que para determinarlas completamente ha de indicarse su módulo, su sentido y su dirección. Estas magnitudes se llaman magnitudes ectoriales. Las magnitudes ectoriales se representan mediante ectores: F, V, a... 9...- Vectores fijos. Dados dos puntos A y B del espacio ectorial ordenado (A,B). Se le representa por AB. R, se denomina ector fijo de origen A y extremo B al par Así pues, todo ector fijo iene caracterizado por una longitud (módulo), una dirección y un sentido. Módulo: Es la distancia entre los puntos A y B, lo representaremos por AB A B Dirección: Es la dirección de la recta que pasa por A y B y la de todas las rectas paralelas a ella. Sentido: Es el recorrido de la recta cuando nos trasladamos de A a B. (Vemos que en cada recta hay dos sentidos, el que a de A a B y el que a de B a A.) Decimos que dos ectores fijos son equipolentes si tienen la misma dirección, el mismo módulo y el mismo sentido. Se dice entonces que AB es equipolente con CD y se representa por AB CD Raúl González Medina 06 Vectores en el Espacio D X-
Matemáticas º Bachillerato CCNN 9...- Vectores libres. Llamamos ector libre, al conjunto de todos los ectores equipolentes entre sí. Cada ector fijo es un representante del ector libre. Se denomina dirección, módulo y sentido de un ector libre, a la dirección, el modulo y el sentido de uno cualquiera de sus representantes. Si AB es un ector libre del espacio y O un punto cualquiera del espacio, existe un único representante de ese ector que tienen origen en el punto O. 9...- Operaciones con Vectores libres. En el conjunto de ectores libres del plano, que designaremos con siguientes: R se definen las dos operaciones 9...- Suma de Vectores: Llamamos suma de los ectores libres u y, y la representaremos por u, al ector libre que se obtiene de dos formas: a) Regla del Triángulo: Tomamos representantes de u y, de forma que el origen del representante de, coincida con el extremo del representante de u, de forma que el ector suma es aquel cuyo origen es el de y cuyo extremo es el de u. b) Regla del Paralelogramo: Si tomamos representantes de forma que y u tengan origen común, trazando líneas paralelas a ambos ectores desde sus extremos, la diagonal del paralelogramo será el ector suma. Propiedades de la suma de ectores: Asociatia: u w u w Elemento neutro: es el ector nulo, que representaremos por 0 u 0 0 u u Elemento Opuesto: u u u u 0 Conmutatia: u u La existencia de un elemento opuesto para la suma de ectores, permite restar ectores. Así, dados los ectores u y, para obtener u basta con sustituir el ector, por el ector y sumárselo al u tal y como se indica en la figura de la derecha. Raúl González Medina 06 Vectores en el Espacio D X-
Matemáticas º Bachillerato CCNN Sean u( x, y, z) y ( x ', y', z ') dos ectores, la suma matemática de ambos da como resultado otro ector u de componentes: u ( x x ', y y', z z ') Ejemplo: (,,-)+(,-6,)=(,-,-) 9...- Producto por un escalar: El producto de un escalar K, distinto de cero, por un ector libre u ( x, y, z) es otro ector libre ku con: k u ( kx, ky, kz) y que erifica: Dirección: La misma que u Sentido: el mismo que u o su opuesto dependiendo del signo de k. Módulo: Proporcional al de u. k u k u Propiedades del producto de un ector por un escalar: Ejemplo: (,-,)=(6,-,) k u k u k k k u k u k u k k u k k u u u 9..- Base de un espacio Vectorial El conjunto de los ectores libres del espacio V con las operaciones de ectores y el producto de un ector por un escalar, por cumplir las propiedades enunciadas respecto de estas operaciones tiene estructura de espacio ectorial. 9...- Combinación lineal de Vectores libres. Dada una familia de ectores,,..., se dice que un ector cualquiera, u es combinación lineal de los ectores de la familia,,... números reales,,... tales que:, u,..., si existen los Ejemplo: Expresar el ector (6,-,) como combinación lineal de los ectores (,,), (,-,0) y (-,,-7) Para ello debemos encontrar los números reales,, Se dice que el conjunto de ectores, que erifiquen: 6,, (,,),,0,, 7 Escribimos el sistema correspondiente, y lo resolemos: 6 4 4 4 7 Y echo esto al final tenemos: ( 4 4 4 6,,,,),,0,, 7,,..., Raúl González Medina 06 Vectores en el Espacio D X- de un espacio ectorial V, es sistema de generadores de V, si cualquier ector u de V se puede escribir como combinación lineal de los ectores.
Matemáticas º Bachillerato CCNN Ejemplo: A) Comprobar si los ectores (,) y (-,-) forman un sistema de generadores de R Para que seas Sistema de Generadores tienen que existir, que erifiquen: ( x, y) (,) (,) x Resolemos el sistema: y M y M* Rang(M)=Rang(M*)= S.C.D. Por tanto (,);(, ) es sistema de generadores de R B) Comprobar si (,);(, ) es sistema de generadores de R Para que sea Sistema de Generadores tienen que existir, que erifiquen: ( x, y ) (,) (, ) x y x Resolemos el sistema: y A y B x y Rang(A)=, Rang(B)= S.I. Por tanto (,);(, ) NO es Sistema de generadores de R...- Bases de un espacio ectorial En general, se dice que un conjunto ordenado B es base de un espacio ectorial V si se cumplen las siguientes condiciones: Todos los elementos de B pertenecen al espacio ectorial V. Los elementos de B son linealmente independientes. Todo elemento de X se puede escribir como combinación lineal de los elementos de la base B (es decir, B es un sistema generador de V)...- Dependencia e independencia lineal de ectores. Un conjunto de ectores,,,..., n se dice que son linealmente independientes (l.i.) (o que el sistema es libre), si dada la siguiente expresión: Se erifica que:... 0 Un conjunto de ectores,,...,... n 0 R, n se dice que son linealmente dependientes (l.d.) (o que el sistema es ligado), si dada la siguiente expresión:... 0 existe algún escalar no nulo. ( R / 0 )...- Base. Un conjunto de ectores B i i,,,..., n se dice que es una base de un espacio ectorial, si es Sistema de generadores de dicho espacio ectorial y además los ectores son linealmente independientes. Hemos isto que, dados tres ectores no nulos x, y y z de diferente dirección y cualquier otro ector,, podemos encontrar siempre tres números reales k, k y k, de manera que: Diremos que el conjunto B u,, w k x k y k z constituye una base de V. n n n n Los ectores u,, y w forman una base de R si y solo sí: det u,, w 0 Raúl González Medina 06 Vectores en el Espacio D X-4
Matemáticas º Bachillerato CCNN Ejemplo: Forman los ectores (,,),(,,-) y (,0,) una base de R? Para que ectores de R formen una base, tiene que ocurrir que sean l.i. Para comprobarlo, calculamos su determinante. (no es necesario que sean S.G.) 7 0 Los ectores son l.i. y forman una base de R 0 9..- Producto escalar Se denomina producto escalar de dos ectores A y B al número que resulta de multiplicar el módulo de A por el módulo de B y por el coseno de ángulo que forman sus líneas de acción. Matemáticamente: A B A B Cos( AB) Propiedades: u u u 0 u ( u ) u,, w V y R u u u( w) u u w u 0 u y son perpendiculares (u ortogonales) o alguno de ellos es nulo. 9...- Aplicaciones del producto escalar: Calculo del ángulo entre dos ectores: u Cos u arccos u u Comprobar si dos ectores, no nulos, son ortogonales. u u 0 Calculo del módulo de la proyección de un ector sobre otro: proy u u 9.4.- Bases ortogonales y ortonormales. Base Canónica 9.4..- Base Ortogonal: Un conjunto de ectores forman una base ortogonal, cuando dichos ectores forman una base y además son ortogonales dos a dos. x y x z y z 0 det u,, w 0 Bortogonal Base Raúl González Medina 06 Vectores en el Espacio D X-
Matemáticas º Bachillerato CCNN 9.4..- Base Ortonormal: Un ector u se dice normado o unitario si u Dado un ector cualquiera no nulo, podemos obtener un ector unitario con la misma dirección y sentido que éste, simplemente diidiéndolo por su módulo: ˆ Un conjunto de ectores forman una base ortonormal, cuando dichos ectores forman una base, son ortogonales dos a dos y además son unitarios. e e e e e e 0 det e, e, e 0 e e e B Base Unitarios ortonormal 9.4..- Base Canónica de R La base ortonormal canónica de R es la formada por los ectores: B C,0,0, 0,,0, 0,0, B ˆ, ˆ, ˆ c i j k Por tanto, cualquier ector a ax, ay, az de R se puede escribir como combinación lineal de los ersores ˆ i, ˆ j, k ˆ de la base canónica: a a,0,0 a (0,,0) a (0,0,) a i a j a k ˆ ˆ ˆ x y z x y z 9..- Módulo de un ector De la definición de producto escalar se deducía que u u u, por tanto: El módulo de un ector es la raíz cuadrada positia del producto escalar del ector por sí mismo: u u u Sea B ˆ i, ˆ j, k ˆ, una base ortonormal de V, y u un ector cualquiera de V. Podemos expresar dicho ector de la forma: u xi ˆ yj ˆ zkˆ Así resulta: u u x x y y z z x y z Raúl González Medina 06 Vectores en el Espacio D X-6
Matemáticas º Bachillerato CCNN Y de aquí la expresión del módulo del ector u en función de sus componentes cartesianas: u x y z 9.6.- Producto Vectorial El producto ectorial de los ectores u y, es otro ector que lo representaremos por u caracterizado por: y que está a) Su módulo es el producto de los módulos de u y multiplicado por el seno del ángulo que forman sus líneas de acción: u u sen y es igual al área del paralelogramo formado por ambos ectores. b) Su dirección es perpendicular al plano formado por los ectores u y. c) Su sentido iene dado por la regla de Maxwell en el supuesto de que el primer ector aya hacia el segundo por el camino más corto. Si los ectores u ( x, y, z) ortonormal B, el ector u ( x, y, z ) están referidos a una base y iene dado por la expresión: ˆi ˆj kˆ u x y z x y z Propiedades: u u No cumple en general la propiedad asociatia. u ( w) u u w u u u con R Producto ectorial de ectores unitarios ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ i i j j k k i ˆj kˆ ˆj ˆi kˆ ˆj kˆ ˆi kˆ ˆj ˆi kˆ ˆi ˆj ˆi kˆ ˆj Raúl González Medina 06 Vectores en el Espacio D X-7
Matemáticas º Bachillerato CCNN 9.6..- Aplicaciones del Producto ectorial: Cálculo del área de un triángulo de értices A, B, C. Obtención de un ector perpendicular a otros dos 9.7.- Producto Mixto los ectores u AT u y u u son perpendiculares a u y simultáneamente Se llama producto mixto de ectores u, y w y se designa por u,, w operarlos de la siguiente forma: u,, w det u,, w u w al escalar que se obtiene al El alor absoluto del producto mixto de tres ectores u, y w es igual al olumen del paralelepípedo que tiene por aristas a los ectores u, y w. El Volumen del tetraedro ABCD es igual a: V AB, AC, AD 6 Raúl González Medina 06 Vectores en el Espacio D X-8
Matemáticas º Bachillerato CCNN Como consecuencia, los puntos OABC son coplanarios, si y solo si, el olumen del paralelepípedo es nulo, es decir, el producto mixto de los ectores u, y w es cero. u,, w 0 9.8.- Ejercicios Resueltos.- Para qué alores de son linealmente independientes los ectores (,-,);(-4,6,-) y (,,)?. tanto: Vectores son linealmente independientes (l.i.) cuando su determinante es distinto de cero. Por 4 6 4 4 6 (6 4 4) 0 6 6 0 0 Por tanto, como el determinante es 0, son linealmente dependientes. Por lo que no existe ningún alor de para que sean linealmente independientes. Si obseramos el ector (,-,) y el (-4,6,-) emos que ambos son proporcionales, y por tanto linealmente dependientes. Así que estos ectores no serán nunca l.i..- Considera estos ectores u(,,); (,,a) y w(,0,0). a) Halla los alores de a para los que los ectores anteriores son linealmente independientes. Igual que en el ejercicio anterior, para que sean l.i. su determinante ha de ser distinto de cero. 0 a a 4 0; a a 0 Por tanto si a entonces los ectores son l.i. Y Si a=, los ectores u y son proporcionales, y por tanto linealmente dependientes (l.d.). b) Determina los alores de a para que los ectores u+ y u-w sean ortogonales. Dos ectores son ortogonales cuando su producto escalar es igual a cero. Por tanto: u u w a a de donde a=- 0 Por lo que si a= -, entonces (u+) y (u-w) son ortogonales. Raúl González Medina 06 Vectores en el Espacio D X-9
Matemáticas º Bachillerato CCNN.- Determina los alores de a y b, con a>0, para que los ectores (a,b,b); (b,a,b) y (b,b,a) sean unitarios y ortogonales dos a dos. Para que un ector sea unitario, tiene que ocurrir que su módulo sea la unidad, o sea, que su módulo sea igual a. Haciendo que los ectores sean unitarios, obtenemos la misma ecuación: a b Y para que sean ortogonales dos a dos, los productos escalares =0, =0 y =0. De donde obtenemos la misma ecuación: ab b 0 a b Si resolemos el sistema formado por ambas ecuaciones: obtenemos: (b=0, a=±, pero como ab b 0 a>0, entonces a=) y (b=/ y a=/) 4.- Encuentra el alor del parámetro a para que los ectores (,a,), (,a,) y (,,) formen una base. Para que un conjunto de ectores formara una base, tenia que ocurrir que los ectores fueran linealmente independientes (l.i.) y además sistema de generadores (S.G.). Como en este caso nos dan ectores y estamos en el espacio ectorial R, es suficiente con que estos ectores sean l.i., y para ello su determinante ha de ser distinto de cero. a a ( a 4 a ) (a a a ) a 4 4a a Si igualamos a cero obtenemos Por tanto si a, entonces los ectores son l.i. y forman una base. a, Si a=, escriba el ector w(6,0,) como combinación lineal de los ectores anteriores. Si a= w ( 6,0,) (,,) (,,) (,, ), de donde: Resoliendo el sistema obtenemos:, 6, 8 6 0. Por tanto: w 6 8.- Dado el ector u(-,,-4), hallar las coordenadas de los siguientes ectores: a) Unitarios y de la misma dirección que u. Un ector es unitario si su módulo es igual a uno, por tanto para calcular un ector unitario con la misma dirección de otro, lo único que tenemos que hacer es diidir el ector por su módulo: (,, 4) (,, 4) ˆ u u,, u 4 6 6 6 6 b) Paralelos a u y de módulo 6 Para que sean paralelos y de módulo 6, lo que tenemos que hacer es multiplicar el ector unitario por 6, y tenemos un ector paralelo (con la misma dirección) y de módulo 6 =6. Raúl González Medina 06 Vectores en el Espacio D X-0
Matemáticas º Bachillerato CCNN 6 w 6uˆ, 6 6, 6 6 6.- Dados los ectores u (,0,0); u (0,,-) y u =a u +b u, Qué relación deben satisfacer a y b para que el módulo de u alga la unidad?. Para que el módulo de u sea la unidad: x a u ( x, y, z ) a(,0,0) b(0,, ) de donde: y b, el módulo tiene que se : z b x y z 4a b 9b 4a 0b y esta es la relación entre a y b. 7.- Determina un ector de R, sabiendo que: La suma de sus coordenadas es. V es combinación lineal de los ectores (,,) y (-,,0) Los ectores (,0,);(0,,0) y son linealmente independientes. Si la suma de sus coordenadas es tres, tenemos : x y z Si es combinación lineal: ( x, y, z ) (,,) (,,0 ) Y si son linealmente dependientes, entonces: 0 0 0 de donde z x 0 y de donde Z=X. x 0 y z Si metemos esto en la primera ecuación y despejamos y obtenemos y x Y sustituyendo en la combinación lineal, obtenemos: ( x, x, x ) (,,) (,,0), sistema que resoliendo nos da como solución: (,, 0) z, por tanto el ector pedido es: V,, 8.- Hallar los alores de x que hacen que los siguientes ectores constituyan una base del espacio ectorial R : u(x,0,); (,x,) y w(x,,). Expresar el ector t = (-,0,) como combinación lineal de u,, w para x=0. Para que ectores de R formen una base, lo único que tengo que hacer comprobar que son l.i., y si lo son pues safi, es suficiente. x x 0 x x ( x x ) x 0 x Así que para que estos ectores formen una base ha de ocurrir que x sea distinto de ½: x. Si x=0, entonces,0, (0,0,) (,0,) (0,, ), de donde: 0 y resoliendo obtenemos: Raúl González Medina 06 Vectores en el Espacio D X-
Matemáticas º Bachillerato CCNN Así que:,0, 9.- Hallar el área del triángulo de értices A(,,), B(0,,) y C(4,0,) Para hallar el área de un triángulo lo hacemos con: S T AB AC. Lo primero es calcular los i j k ectores AB (,,4 ) y AC (,, ) AB AC 4 ˆ i ˆ j ˆ k y de aquí calculamos la superficie: S T AB AC 69 4 0.- Hallar un ector que sea perpendicular, a la ez, a los ectores u (,0, ) y (,, ) 98 Para hallar un ector perpendicular a ambos, hemos de hacer el producto ectorial. i j k u 0 ˆ i ˆ j ˆ k (,,).- Dada la base B,0,, 0,,,,, 0 comprobar si es normada, ortogonal u ortonormal. Para que sea ortogonal, tiene que ocurrir que sus ectores sean perpendiculares, y para ello el producto escalar de todos los ectores ha de ser nulo. b,0, 0,, b Por tanto, como este producto no es nulo, los ectores no son perpendiculares y por tanto no son ortogonales. Si no son ortogonales, tampoco son ortonormales. Vamos a er si la base es normada, para que sea normada, sus ectores han de ser unitarios, o sea, tiene que tener todos módulo uno. b b b 4 4 4 por tanto la base B es normada..- Hallar un ector perpendicular a (,,4) y w (,, ) y que sea unitario. Para encontrar un ector que sea perpendicular a otros dos, lo que hacemos es calcular su producto ectorial. Raúl González Medina 06 Vectores en el Espacio D X-
Matemáticas º Bachillerato CCNN u w ˆ i ˆ j ˆ k 4 ˆ( i ) ˆ( j 0 4) ˆ(6 k ) 7 ˆ i 6 ˆ j 9 ˆ k Como lo que nos piden es un ector unitario perpendicular a ambos, lo que amos a hacer es normalizar este ector. u 7 ˆ i 6 ˆ j 9 ˆ k ˆ u u 79 6 8 7 ˆ i 6 ˆ j 9 ˆ k 9ˆ i ˆ j ˆ k 9 94 ˆ i 846 94 94 94 94 ˆ j 94 94 ˆ k.- Sean los ectores (0,,0 ); (,, ) y (,, ) : a) Son los ectores linealmente independientes? Para que tres ectores sean linealmente dependientes, su determinante tiene que ser igual a cero. 0 0 0 Por tanto son linealmente dependientes. a) Para qué alores de a el ector (4,a+,-) puede expresarse como combinación lineal de los ectores,,?. ( 4, a, ) (0,,0) (,, ) (,, ) De donde: 4 a Este sistema es S.C.I. porque la primera y la tercera ecuación son proporcionales. a a Pero como, tienen infinitos alores, entonces a también. De donde a puede ser cualquier número real. Raúl González Medina 06 Vectores en el Espacio D X-
Tema 0 Anexo.- Coordenadas en una base..- Ejemplos de coordenadas..- Matriz del cambio de base. 4.- Propiedades de la matriz del cambio de base..- Ejemplos. Raúl González Medina I.E. Juan Ramón Jiménez Tema 0
Coordenadas. Cambio de base Ampliación Álgebra º Bcto. Departamento de Matemáticas http://selectiidad.intergranada.com Raúl González Medina Definición: Coordenadas. En un espacio ectorial V, fijada una base {,,... n }, todo ector u V puede ponerse de forma única como combinación lineal de dicha base: u = α + α +... α n n Los escalares α, α,..., α n se llaman coordenadas del ector u en la base {,,... n }. Ejemplos de coordenadas.. Coordenadas en distintas bases. EnR fijemos la base canónica, { (,0), (0,) }. Consideremos el ector =(,). Para hallar sus coordenadas en esta base, ponemos u como combinación lineal de la misma: (,)= (,0) + (0,) Por tanto, (,) son las coordenadas de en base canónica. Cuando se utiliza la base canónica, obtenemos el sentido usual de coordenadas. Pero cuando se utiliza otra base no es así. Por ejemplo, en R fijemos ahora la base B = { (,), (, ) } y consideremos el mismo ector =(,). Hallemos sus coordenadas en la base B. Para poner como combinación lineal de dicha base, planteamos el sistema (,)= α (,)+ β (, ) cuya solución es α = = (,) (, ), β =. Así pues, Por tanto,, son las coordenadas de en base B. No debe confundirse el ector con sus coordenadas; aquí el ector sigue siendo =(,), y las coordenadas, son un par de números que indican cómo expresar en combinación lineal de la base B.. Si u es el ector que tiene como coordenadas (, 6) en la base (,) (,4), cuál es el ector u? Según la definición de coordenadas, u = (,) + ( 6) (,4) = (, 4).. El ector cero tiene coordenadas (0,...,0) en cualquier base. http://selectiidad.intergranada.com http://selectiidad.intergranada.com Marzo de 06
Coordenadas. Cambio de base Ampliación Álgebra º Bcto. Departamento de Matemáticas http://selectiidad.intergranada.com Raúl González Medina 4. Coordenadas en un subespacio. En R, sea el subespacio S generado por los ectores (,,0) y (0,0,). (Se trata del plano x=y enr ). Los dos ectores son independientes, por tanto forman base de S. Consideremos el ector = (,,) perteneciente a S. Hallemos las coordenadas de este ector respecto a la base (,,0), (0,0,) de S. Para ello expresamos como combinación lineal de dicha base: (,,)= (,,0) + (0,0,) Así pues, las coordenadas de en esta base de S son (,). No debe sorprendernos que tenga sólo coordenadas. El ector ciertamente tendría coordenadas como elemento de R, pero tiene coordenadas como elemento del plano S, que es un subespacio de dimensión. Definición: Matriz del cambio de base. En un espacio ectorial V, dadas dos bases B y B, se llama matriz de cambio de base (o de cambio de coordenadas) de B a B a la matriz que contiene en sus columnas las coordenadas de los ectores de la base B expresados en función de la base B. Su utilidad es la siguiente: Conocidas las coordenadas de un ector en base B, nos permitirá hallar las coordenadas de dicho ector en base B. En efecto, sean (a, a,... a n ) las coordenadas de un ector en base B, y sea P la matriz de cambio de base de B a B. Entonces: a a P M a n b b = M b n o lo que es lo mismo, obteniéndose así (b, b,... b n ) las coordenadas del ector en base B. a a a n b = P - b b n Ejemplo. Consideremos en R las dos bases siguientes: la base del ejemplo () anterior, B ={ (,), (, ) } la base canónica B ={ (,0), (0,) } Vamos a construir la matriz de cambio de base de B a B. Para ello debemos expresar los ectores de la base B en función de la base canónica B. (,) = (,0) + (0,) coordenadas (,) (,)= (,0) (0,) coordenadas (, ) Introduciendo estas coordenadas en las columnas de una matriz, tendremos la matriz de cambio de base de B a B : P= http://selectiidad.intergranada.com http://selectiidad.intergranada.com Marzo de 06
Coordenadas. Cambio de base Ampliación Álgebra º Bcto. Departamento de Matemáticas http://selectiidad.intergranada.com Raúl González Medina Del mismo modo podemos construir la matriz de cambio de base de B a B. Para ello expresamos los ectores de la base canónica B en función de la base B. Podemos hallarlo planteando dos sistemas de ecuaciones, de los cuales se obtendrá (,0) = (,) + (, ) coordenadas (, ) (0,)= (,) (, ) coordenadas (, ) Introduciendo estas coordenadas en las columnas de una matriz, tendremos la matriz de cambio de base de B a B. Q= Vamos a aplicar estas matrices para hallar las coordenadas en base B del ector =(,). Tenemos sus coordenadas en la base canónica B que son (,). Utilizamos la matriz Q de cambio de base de B a B: = Así hemos obtenido,, las coordenadas de en base B. Comprobar que son las mismas que se obtuieron en el ejemplo () anterior. Podemos oler a las coordenadas en base B utilizando la matriz P de cambio de base de B a B': = Propiedades de las matrices de cambio de base.. Toda matriz de cambio de base es cuadrada nxn, donde n es la dimensión del espacio al que se refieren las bases.. Toda matriz de cambio de base es inersible (es decir, con determinante no nulo). Además, la matriz de cambio de B a B es inersa de la matriz de cambio de B a B. Comprobar en el ejemplo anterior que P y Q son inersas entre sí. Por tanto, después de hallar P, podríamos haber hallado Q como P.. La matriz de cambio de una base B a la misma base B, es la matriz identidad. Obserar en el ejemplo anterior que la matriz más fácil de obtener es la P, que pasa de una base B a la base canónica, pues basta escribir en las columnas la base B. P Base B Base canónica P= base B en columnas; Q=P - Q http://selectiidad.intergranada.com http://selectiidad.intergranada.com Marzo de 06
Coordenadas. Cambio de base Ampliación Álgebra º Bcto. Departamento de Matemáticas http://selectiidad.intergranada.com Raúl González Medina Ejemplo : En el R-espacio ectorial R se consideran las bases B = {(,,),(,, ),(,,)}, B = {(,,0),(,,0),(,,)} calcule la matriz de cambio de base de B a B. Para calcular la matriz asociada debemos calcular las coordenadas de los ectores de la base B respecto de los ectores de la base B, es decir, debemos calcular los a i j R tales que: (,,0) = a (,,)+a (,, )+a (,,) = (a + a + a,a a + a,a a + a ) (,,0) = a (,,)+a (,, )+a (,,) = (a + a + a,a a + a,a a + a ) (,,) = a (,,)+a (,, )+a (,,) = (a + a + a,a a + a,a a + a ) Esto se reduce a la resolución de tres sistemas de ecuaciones lineales: = a + a + a = a + a + a = a a + a ; = a a + a 0 = a a + a 0 = a a + a = a + a + a ; = a a + a = a a + a Los tres tienen en común la matriz de coeficientes, de forma que podemos resolerlos simultáneamente sin más que encontrar la matriz escalonada reducida de: 0 0 Las columnas 4, y 6 de la escalonada reducida será la matriz buscada. F F 0 0 0 0 F 4F 0 0 0 6 0 0 6 7 0 0 0 0 6 7 0 0 7 6 4 0 0 0 0 0 6 7 0 0 7 6 4 Hemos resuelto los tres sistemas simultáneamente, las soluciones serían: F F F F 0 0 0 6 0 4 7 F F 0 0 0 0 6 7 0 6 0 7 6 46 F +F 0 0 6 7 0 0 7 6 4 0 0 0 F 0 0 6 7 F 0 0 7 6 4 a = a = 6 a = 7 a = 0 a = a = 6 a = a = 7 a = 4 por lo que la matriz de cambio de B a B es F +F F F P = 0 6 7 7 6 4 Ejemplo : En el R espacio ectorial R, se consideran dos bases: B = { u = (,0,), u = (,,0), u = (0,0,)} B = {,, } Si la matriz de cambio de base, tomando como base nuea la base B y como base antigua B es P = Puedes calcular los ectores de la base B? Las columnas de la matriz P son las coordenadas en la base antigua de los ectores de la base nuea, es decir, = u + u u = (,0,)+(,,0) (0,0,)= (,,0) = u + u u = (,0,)+(,,0) (0,0,)= (,,0) = u + u + u = (,0,)+(,,0)+(0,0,)= (,,) 4 http://selectiidad.intergranada.com http://selectiidad.intergranada.com Marzo de 06