Igualdad de funciones

5)Realiza una tabla para cada una de las funciones, en el intervalo dado, donde el dominio son los números enteros. a) f ( x) = 3x [ 0,5] b) f ( x) = 4x + 1 [,6] 3 c) f ( x) = x [,8] d) f ( x) = x [,3] 3 e) f ( x) = 3x [ 3,4] 3x f) f ( x) = [ 0,4] x + 1 g) f ( x) = x x + 1 [ 1,4] Igualdad de funciones Sean f, g : A B dos funciones. Una forma de definir igualdad entre funciones es comparar los resultados que ellas dan cuando se les entrega cada uno de los elementos de A. Es decir, definir ff = gg xx εε AA, ff(aa) = gg(aa) Qué definición de igualdad podemos usar cuando ff: AA BB, yy gg: CC DD Notemos que nuestra definición anterior sólo tiene sentido cuando A = C, es decir cuando Dom (f ) = Dom (g) Tendrá sentido preguntarse si son iguales dos funciones que no parten del mismo conjunto? O sea, no sólo la definición de los valores de la función es relevante para que haya igualdad, sino que también importa cuáles son los dominios y los conjuntos de llegada de las dos funciones. Así, nuestra definición de igualdad para cualquier par de funciones será la siguiente: Igualdad de funciones Si ff: AA BB, yy gg: CC DD son funciones, entonces: Ejemplos: Son iguales estas funciones? DDDDDD(ff) = DDDDDD(gg) RRRRRR(ff) = RRRRRR(gg) ff = gg xx εε DDDDDD(ff), ff(xx) = gg(xx) Consideremos las funciones ff yy gg dadas por: (xx 1)(xx + ) ff(xx) = (xx 1) gg(xx) = xx + 7

Aunque a primera vista ambas funciones nos parecen iguales, esto no es así. Cuáles son el dominio y el conjunto de llegada de f y g? g es una función que está bien definida para cualquier elemento de RR, por lo que podemos considerar Dom (g) = R. Asimismo, tenemos que Rec (g) =R Para f, sin embargo, observamos que el valor f (x) no está bien definido para x = 1: en efecto, no se puede dividir por cero. En ese caso, vemos que R Rno puede ser el dominio de f. Sí podría serlo R {1} Hemos concluido que Dom (f ) 6= Dom (g), así que ambas funciones ya no pueden ser iguales. Calcular Dominio y Recorrido de funciones Hallar el dominio y el recorrido de las siguientes funciones: 1) ff(xx) = xx 3 Solución a) El dominio es el conjunto de todos los valores de xx que pueden ser colocados en el lugar de dicha variable, en nuestro caso no se presentan restricciones, luego Dom(f) = R b) Recorrido: es el conjunto de todos los valores que resultan en el lugar de ff(xx), para ello utilizaremos el siguiente procedimiento: cambiamos yy por ff(xx), y despejamos xx, y a continuación vemos cuáles son todos los valores posibles que podrían resultar. yy = xx 3 xx 3 = yy xx = yy + 3 xx = yy + 3 Vemos acá que no tenemos restricciones tampoco, luego Rec(f) = R ) ff(xx) = xx a) Dom(f) = R b) yy = xx xx = yy xx = yy Acá observamos que no podemos colocar todos los números reales dentro de la raíz, solo los positivos, luego Rec(f) = R + {0} c) 3) ff(xx) = 1 xx a) Dom(f) en este caso notamos que podemos colocar todos los números reales en el lugar de la xx, excepto el. Por lo tanto Dom(f) = R {} b) Rec(f) yy = 1 xx yy(xx ) = 1 xxxx yy = 1 xxxx = 1 + yy xx = 1 + yy yy 8

Observamos acá que el único valor que no podemos colocar en el lugar de la yy, es 0, luego Rec(f) = R {0} 4) ff(xx) = xx + 5 a) Dom(f) Notemos que la cantidad subradical debe ser mayor o igual que 0, entonces: xx + 5 0 xx 5 xx 5 Por lo tanto DDDDDD(ff) = 5, b) Rec(f) yy = xx + 5 yy = xx + 5 xx + 5 = yy xx = yy 5 xx = yy 5 Luego Rec(f) = R 5) ff(xx) = xx+3 5xx 1 de acuerdo a la definición de dominio es el conjunto de todos los x tal que f(x) existe; si observamos la función podemos apreciar que tiene un punto no definido cuando el denominador se hace 0. Es decir 5x - 1 = 0 x = 1/5 Luego el dominio de la función es Domf = R - 1/5 Por otro lado el recorrido es el conjunto de todos los y tal que existe un x de modo que y = f(x). Por lo tanto para encontrar el recorrido debemos despejar x en función de y, esto es: y = x + 3 / (5x - 1) 5x - 1 y(5x - 1) = x + 3 5xy - y = x+ 3 5xy - x = y + 3 x(5y - ) = y + 3 x = y + 3 5y - Por lo tanto el recorrido de la función es un subconjunto de números reales para los cuales 5y - 0, es decir y /5. Luego Recf = R - /5 x + + 3x 4 6) f( x) = x solución esta función tiene denominador por lo que debe tenerse que x + 3x 4 0, de lo que se deduce que (x +4)(x 1) 0 y por lo tanto x -4 y x 1. R 1, 4 Luego el dominio es { } 9

4 7) gx ( ) = x+ 9 solución como nuestra función tiene índice par se debe tener que la cantidad subradical debe ser mayor o igual que 0, es decir x + 9 0 x -9 por lo tanto el dominio es ]-9, ] Observaciones en cuanto a sacar dominios y recorridos. 1.- Si la función es racional hay que sacar los puntos donde el denominador se hace 0 (ver ejemplo).- Si la función contiene raíces cuadradas, la cantidad subradical debe ser mayor o igual que cero. 3.- En el caso de funciones lineales estas tienen dominio y recorrido real. Funciones más comunes (i) Función constante Todas las funciones de la forma f : x a donde a es un punto fijo se llaman funciones constantes. Ejemplos 1.- f(x) =. Acá f asigna a cada real el número.- g(x) = 0 Acá g asigna a cada real el número 0. (ii) Funciones lineales Todas las funciones L : R R definidas por la regla L(x) = ax + b donde a y b son reales fijos es una función lineal. Ejemplos: 1.- I(x) = x. Asigna a cada número real si mismo. Esta función se llama Identidad.- L(x) = -x 3.- L(x) = 6x - 5 iii) Funciones Polinomiales Las funciones de la forma f(x) = a n x n + a n-1 x n-1 +... + a 0, donde n es un entero positivo o cero y los a i son reales fijos se llama una función polinomial. Cabe señalar que si n = 1, entonces f(x) = a 1 x + a 0 es una función lineal y si n = 0, f(x) = a 0 x 0 = a 0 es una función constante. Para algún valor de n esta es llamada una función polinomial de grado n. Ejemplos 1.- f(x) = x² + 3x + 1.- f(x) = x³ + x + 1 10

iv) Funciones racionales Una función racional, es una función del tipo h(xx) = ff(xx) gg(xx), donde f y g son funciones polinomiales y g no es el polinomio cero. El dominio de h(x) es el conjunto de todos los x tales que g(x) 0 Ejemplos: 1.- h(x) = x. 1 - x².- h(x) = 1/x v) Funciones trigonométricas Son funciones que se establecen a fín de extender y generalizar la definición de razones trigonométricas. Las funciones trigonométricas básicas son: ff(xx) = ssssssss ff(xx) = cccccccc ff(xx) = tttttttt ff(xx) = cccccccc ff(xx) = ssssssss ff(xx) = cccccccc IV. Función valor absoluto A( x) = x, donde x x si x 0 = - x si x < 0 V.- Función Raíz cuadrada ff(xx) = xx VI.- Función exponencial f(x) = a x, donde a es algún punto fijo positivo y x es un número real VII. Función logarítmica Sea y = f(x), entonces f(x) = log a x si y solo si x = a y donde x > 0, a > 0 y a 1. El número a es fijo y es llamado la base del logaritmo. 11

Álgebra de funciones Propiedades de las funciones I.- Inyectividad (1-1) (into) Definición: Sea ff: AA BB una función, diremos que ff es inyectiva, si se cumple que: xx 1, xx εε AA, ssss ff(xx 1 ) = ff(xx ) xx 1 = xx Lo cual también se puede expresar usando la contrarecíproca es decir: pp qq ~qq ~pp En nuestro caso es entonces xx 1, xx εε AA, ssss xx 1 xx ff(xx 1 ) ff(xx ) Entonces, debe quedar claro que con cualquiera de las dos formas es posible demostrar la propiedad inyectiva. En otras palabras, esta propiedad indica que una función es inyectiva si y sólo sí a imágenes iguales corresponden preimágenes también iguales Ejemplo: 1) demuestre que la función ff(xx) = 5xx 1 es inyectiva Desarrollo ff(xx 1 ) = ff(xx ) 5xx 1 1 = 5xx 1 5xx 1 = 5xx xx 1 = xx Por lo tanto es inyectiva ) Analicemos la función ff: R R, definida por ff(xx) = xx, en este caso usando la contrarrecíproca tenemos que: Sin embargo ff() = ff( ) También podemos usarla en forma directa es decir ff() = ff( ), sin eeeeeeeeeeeeee 1

Por lo tanto no es inyectiva 3) Demostrar que la función lineal ff(xx) = aaaa + bb es inyectiva en R Ejercicios 1.- f(x) = ax + b para a 0.- f(x) = x³ 3.- sin: [-π/, π/] [-1, 1] 4.- f(x) = log a x 5.- E(x) = a x 6.- ff(xx) = 1 xx 6.- f(x) = 1/x Epiyectividad (sobreyectividad), (onto), (sobre) Definición: una función ff: R R es epiyectiva si y solo si: yy εε BB, xx εε AA, tttttt qqqqqq yy = ff(xx) En otras palabras una función ff es epiyectiva cuando todo el conjunto de llegada está cubierto, es decir todos los elementos del conjunto de llegada son imagen de algún elemento del dominio. Algebraicamente esto se demuestra despejando la variable xx de la función y expresándola en función de yy,siendo este valor el xx que andamos buscando. Ejemplos: 1) La función ff(xx) = xx no es epiyectiva, dado que para el real yy = 1 no existe ningún real xx tal que 1 = xx ) Consideremos ahora la función ff(xx) = aaaa + bb, demostraremos que ff es epiyectiva. Sea yy εε R cualquiera, nos interesa encontrar un xx εε R, tal que yy = ff(xx) Nuestra tarea consiste entonces en encontrar ese xx Sea yy = aaaa + bb Despejamos xx aaaa + bb = yy aaaa = yy bb xx = yy bb aa Lo cual no presenta ninguna dificultad ya que por definición de ff(xx), aa 0 Por lo tanto encontrado el valor de xx, concluimos que ff(xx) es biyectiva Biyectividad Definición: Sea ff: AA BB una función diremos que ff es biyectiva si es inyectiva y epiyectiva a la vez. 13

Podemos afirmar entonces que la función ff(xx) = xx no es biyectiva, y por el contrario la función ff(xx) = aaaa + bb si lo es. Funciones pares e impares 1.- Par: una función ff se dice que es una función par si: ff( xx) = ff(xx) para todo x en el dominio de ff Ejemplos a) f(x) = x² b) f(x) = e -x² c) f(x) = x d) f(x) = cosx.- Impar: ff es una función impar si ff( xx) = ff(xx) para todo x en el dominio de ff Ejemplos a) f(x) = sinx b) f(x) = x 3 c) f(x) )= 1/x d) f(x) = xe x² Observaciones Muchas funciones no son ni pares ni impares. Por ejemplo f(x) = x² - x no es par ni impar. Un polinomio p(x) es par si y solo si aa ii+1 = 0, es decir solo potencias pares aparecen en p(x) Un polinomio p(x) es impar si y solo si aa ii = 0, es decir todas las potencias impares de x aparecen en p(x). Contrario a las reglas de la aritmética (i) la suma de (dos o más ) funciones impares es impar (ii) el producto de una función par por una impar es impar. 14