Dpto. Matemática Aplicada Universidad de Málaga M. Atencia & I. P. Cabrera
Sucesiones numéricas y ejemplos Convergencia Una sucesión numérica es una lista infinita de números reales a 1,a 2,a 3,...,a n, tantos como números naturales. Una sucesión de números reales es una aplicación ϕ :N R Se denota por a n = ϕ(n) y se suele identificar la aplicación con el conjunto imagen. ϕ(n) = 1 es una sucesión constante a n = {1,1,1,...}. ϕ(n) = n, es decir, a n = n es el conjunto {1,2,...,n,...} a n = log(n+1) = {log2,log3,...} M. Atencia & I. P. Cabrera
Convergencia Límite de una sucesión Se dice que una sucesión {a n } converge a l si dado un número real ε > 0, existe un número natural n 0 tal que a partir de él, todos los términos de la sucesión distan de l menos que ε : lim a n = l si para todo ε > 0 existe n 0 Ntal que n + para todo n n 0 se tiene a n l < ε. Dicho de otro modo, en cualquier entorno de l están contenidos todos los términos de la sucesión salvo un número finito. El ĺımite de una sucesión, en caso de existir, es único. Una sucesión que no es convergente, se dice que es divergente. M. Atencia & I. P. Cabrera
Propiedades Sucesiones numéricas Convergencia Si lim n + a n = l y lim n + b n = m, entonces lim (a n +b n ) = l +m n + lim (λ a n) = λ l n + lim (a n b n ) = l m n + lim n + a n b n = l m si m 0. M. Atencia & I. P. Cabrera
Convergencia Sucesiones acotadas Una sucesión {a n } está acotada superiormente si an M para todo n N. Una sucesión {a n } está acotada inferiormente si an M para todo n N. Una sucesión {a n } está acotada si está acotada superior e inferiormente. Toda sucesión convergente está acotada. El recíproco no es cierto, por ejemplo a n = ( 1) n no es convergente pero 1 a n 1, para todo n. Una sucesión acotada y monótona (a n a n+1 o a n a n+1 ) sí es convergente. M. Atencia & I. P. Cabrera
Convergencia Sucesiones divergentes a ± Existen sucesiones que a medida que vamos tomando números naturales, los valores de la sucesión se van haciendo indefinidamente grandes o indefinidamente pequeños. Por ejemplo, a n = n o a n = n 2. Se dice que una sucesión {a n } diverge a + si para cualquier k R existe n 0 N tal que para todo n n 0 se cumple a n > k. Se dice que una sucesión {a n } diverge a si para cualquier k R existe n 0 N tal que para todo n n 0 se cumple a n < k. M. Atencia & I. P. Cabrera
Convergencia Subsucesiones Sea {a n } una sucesión de números reales y ϕ :N N una aplicación tal que ϕ(k) < ϕ(k +1) para todo número natural k. Se dice que la sucesión {b k } definida por b k = a ϕ(k) es una subsucesión de {a n }. Toda subsucesión de una sucesión convergente (resp. divergente) a l (resp. a ± ) también converge (resp. diverge) a l (resp. ± ). En particular, el carácter de una sucesión se mantiene si se eliminan un número finito de elementos puesto que dado {a n }, basta tomar la subsucesión {a n0 +k}, para algún n 0 N. M. Atencia & I. P. Cabrera
Sucesiones numéricas Convergencia Cálculo de ĺımites de sucesiones usando funciones Dada una sucesión {a n } de números reales, se puede considerar la función real de variable real dada por f(x) = a x y se cumple que lim a n = lim f(x) n x + Ejemplo 2n 2 +n+1 2x 2 +x +1 lim = lim = 2 n n+10 x + x +10 M. Atencia & I. P. Cabrera
y Convergencia El concepto de serie de números reales se introduce para formalizar la idea intuitiva de sumar infinitos números reales, más concretamente de sumar los términos de una sucesión. Para una sucesión {a n } se construye una nueva sucesión a {S n }, a la que se denomina sucesión de sumas parciales, sumando consecutivamente en la forma: S 1 = a 1 ; S 2 = a 1 +a 2 ;...;S n = a 1 +a 2 + +a n En el caso de que dicha sucesión {S n ) sea convergente a l R, se dice que la serie a n es convergente a l. M. Atencia & I. P. Cabrera
y Convergencia Condición necesaria de convergencia Cuando una serie general {a n } tiende a 0. La serie lim n La serie a n es convergente, entonces, el término n 3 +n 2 2 n 3 n 3 +n 2 2 n 3 = 1 0. no puede ser convergente puesto que ( 1) n+1 no puede ser convergente puesto que la sucesión ( 1) n+1 no tiene ĺımite. M. Atencia & I. P. Cabrera
y Convergencia Propiedades Si 1 2 3 4 a n = l y (a n +b n ) = l +m (λ a n ) = λ l (a n b n ) l m a n = n=k b n = m, entonces, a n (a 1 +a 2 + +a k 1 ) M. Atencia & I. P. Cabrera
Sucesiones numéricas Serie geométrica de razón r, y Convergencia r n Si r 1, la serie no converge, pues el término general {r n } no tiende a 0. Si r < 1, entonces r n = r 1 r. M. Atencia & I. P. Cabrera
Sucesiones numéricas Series de términos positivos Convergencia absoluta y condicional Series alternadas Criterio de condensación. P-series Criterio de condensación Sea {an} una sucesión decreciente de términos no negativos. Entonces, a n es convergente si y sólo si 2 k a 2 k convergente. i=1 k=1 Este criterio es muy útil si en el término general de la serie aparece la función logaritmo. 1 Una serie del tipo np, a la que se denomina p-serie, es convergente si y sólo si p > 1. M. Atencia & I. P. Cabrera
Sucesiones numéricas Series de términos positivos Convergencia absoluta y condicional Series alternadas Criterio de comparación Sean a n y a n b n para todo n N entonces, Si Si b n dos series de términos positivos tales que b n converge entonces a n diverge entonces a n también converge. b n también diverge. M. Atencia & I. P. Cabrera
Sucesiones numéricas Series de términos positivos Convergencia absoluta y condicional Series alternadas Criterio de comparación por paso al ĺımite Sean lim n a n y b n dos series de términos positivos tales que b n 0 para todo n suficientemente grande y supongamos que a n = c 0. Entonces, b n a n y b n tienen el mismo carácter M. Atencia & I. P. Cabrera
Series de términos positivos Convergencia absoluta y condicional Series alternadas Criterio de la raíz Sea lim n a n una sucesión de términos positivos tales que n an = l. Entonces, 1 Si l < 1, la serie 2 Si l > 1, la serie 3 Si l = 1, la serie a n es convergente. a n es divergente. a n puede ser convergente o divergente. M. Atencia & I. P. Cabrera
Series de términos positivos Convergencia absoluta y condicional Series alternadas Criterio del cociente Sea lim n a n una sucesión de términos positivos tales que a n+1 a n = l. Entonces, 1 Si l < 1, la serie 2 Si l > 1, la serie 3 Si l = 1, la serie a n es convergente. a n es divergente. a n puede ser convergente o divergente. M. Atencia & I. P. Cabrera
Sucesiones numéricas Series de términos positivos Convergencia absoluta y condicional Series alternadas Convergencia absoluta y condicional Para una serie arbitraria a n tal que a n es convergente, se tiene que a n es convergente y además En tal caso, se dice que a n a n a n es absolutamente convergente. i=1 De una sucesión convergente que no es absolutamente convergente, se dirá que es condicionalmente convergente. M. Atencia & I. P. Cabrera
Sucesiones numéricas Criterio de Leibniz Series de términos positivos Convergencia absoluta y condicional Series alternadas Los criterios anteriores solamente son válidos para series cuyos términos salvo quizás un número finito, son positivos. También son aplicables a las series que tienen todos los términos negativos, ya que entonces se considera la serie ( a n). Criterio de Leibniz para series alternadas Sea {an} una sucesión decreciente de términos positivos que satisface lim a n = 0. Entonces, la serie n ( 1)n a n es convergente. M. Atencia & I. P. Cabrera
Existen muy pocas series cuya suma puede determinarse, por ejemplo las series geométricas. A continuación se citan dos ejemplos más. Series aritmético-geométricas: Si 0 r < 1, entonces nrn = Si r 1 la serie es divergente r (1 r) 2 Series telescópicas: La serie (b n b n+1 ) es convergente si y sólo si existe lim b n, en cuyo caso se cumple n (b n b n+1 ) = b 1 lim n b n M. Atencia & I. P. Cabrera