Ingeniero en Informática Cálculo Infinitesimal 2 Tema. Sucesiones y series de funciones.. a) Estudiar la convergencia puntual y uniforme en el intervalo [, ] de las sucesiones de funciones (f n ), (g n ) y (h n ), siendo: f n (x) = x n, g n(x) = x n, h n (x) = { n 2 x si x n /x si n x. b) Probar que la sucesión de funciones (f n ) converge uniformemente a la función límite en cualquier intervalo [ a, a] R. Es uniformemente convergente en R? c) Estudiar la convergencia uniforme a la función límite de la sucesión (g n ) en el intervalo [a, b] (, ) y en el intervalo (, ). 2. Sea la sucesión de funciones (f n ) definida por: { ( x) n x si x [, ] f n (x) = si x R [, ] Probar que (f n ) tiende en R a la función nula y que la convergencia es uniforme. 3. Dada la sucesión de funciones: 2n 2 x x <, 2n f n (x) = 2n 2n 2 x 2n x <, n x. n a) Estudiar en [, ] la continuidad de las funciones f n, así como de la función f límite puntual de (f n ). Garantiza esto la convergencia uniforme de (f n ) en [, ]? b) Probar que la sucesión (f n ) converge uniformemente en [a, ], con a (, ). c) Es lim f n = lim f n? Qué nos dice esto sobre la convergencia uniforme de (f n ) a f en el intervalo [, ]? 4. Sean (f n ), con f n : [, ] R, la sucesión de funciones dada por f n (x) = 2nxe nx2 y f la función límite puntual. a) Comparar lim f n con lim f n. Qué se deduce de este resultado? b) Estudiar si se puede garantizar la convergencia uniforme de la sucesión a la función límite en los intervalos [a, b] [, ]. 5. Se define, para cada n N, la función f n : [, ) R dada por: f n (x) = + n 2 x 2 a) Encontrar la función f, límite puntual de la sucesión de funciones (f n ). b) Justificar que la convergencia no es uniforme en [, ). Y en [a, ), con a >?
Sucesiones y series de funciones 2 c) Estudiar si se verifica lim a f n = a f. 6. Estudiar la convergencia uniforme de la sucesión (f n ), definida por f n (x) = n sen(nx), a la función límite f en R. Se puede garantizar f (x) = (lim f n ) (x) = lim f n(x), para x R? 7. Dada la sucesión de funciones (f n ), definida mediante f n (x) = n e n2 x 2, x R. a) Probar que (f n ) converge uniformemente a la función nula f(x) =, x R. b) Probar que la sucesión de derivadas (f n) converge puntualmente también hacia la función nula en R. c) Probar que la convergencia de (f n) no es uniforme en ningún intervalo de la forma [ a, a], con a >. 8. Estudiar la convergencia puntual y uniforme de la serie de funciones f n, definida por a la función suma S, con S(x) = lim k en el intervalo [, ]. fn (x) = x n ( x), n= k f n (x), donde los términos f n son funciones definidas n= 9. Dada la serie de funciones f n, con f n : R R, n =, 2,..., determinar la función suma, indicando si la convergencia es uniforme, siendo: { ( ) n si x > n, f n (x) = si x n.. Probar que la serie funcional es uniformemente convergente en (x + n + )(x + n) n= [, ] y determinar su suma (justifíquese que es telescópica).. Probar que si a n, con a n R, es una serie absolutamente convergente, entonces las series de funciones f n y g n, definidas por f n (x) = a n sen(nx) y g n (x) = a n cos(nx) convergen uniformemente en R a la función suma. 2. a) Estudiar la convergencia puntual y uniforme de la serie n= sen n 2 x n 2 a la función suma. Puede asegurarse del resultado obtenido algo sobre la convergencia de la serie derivada. b) Estudiar la convergencia puntual y uniforme de la serie derivada.
Ingeniero en Informática Cálculo Infinitesimal 2 Tema 2. Series de Potencias.. Hallar el radio de convergencia de la serie de potencias a n (x a) n, con la sucesión (a n ): a) (, 2, 3, 4,...) b) (, 2!, 3!, 4!,...) c) (, 2 2, 3 3, 4 4,...) d) (, 2, 2, 2 2,...) 2. Hallar el radio de convergencia de las series de potencias siguientes: a) x n x n x n b) c) n n 2 n= n= Estudiar el comportamiento de cada serie en los extremos de su intervalo de convergencia. 3. Hallar los campos de convergencia y las sumas de las series siguientes: n= n= a) + x2 4 + x4 6 + x6 x3 + b) x + 64 3 4 + x5 5 6 + x7 7 64 + 4. Dada la serie de potencias S(x) = x2 2 + x3 2 3 + x4 3 4 + a) Estudiar la convergencia puntual, absoluta y uniforme. b) Hallar una expresión para la función suma S y utilizarla para obtener la suma de las series numéricas 2 2 3 + 3 4 y 2 + 2 3 + 3 4 + 5. a) Hallar el campo de convergencia y la suma de la serie S (x) = + x 2 + x2 3 + x3 4 +... n b) Obtener una expresión para la suma de la serie S 2 (x) = n + xn y utilizarla para hallar la suma de la serie numérica 2 3 2 + 3 4 2 2 + 4 5 2 3 + 6. Desarrollar en serie de potencias (centrada en el origen), indicando dónde el valor de la función coincide con el de la serie, las siguientes funciones: a) f(x) = xe x b) f(x) = Ch x c) f(x) = ( + e x ) 2 d) f(x) = n= ( x 2 ) e) f(x) = 4x f) f(x) = x x 2 3 + x 2 + 3x 4 2 7. Usando la derivación y la integración término a término (y justificando lo que se haga), desarrollar en serie de potencias las siguientes funciones: + x a) f(x) = arcsen x b) f(x) = arctg x c) f(x) = log x
Series de Potencias 4 8. Obtener la suma de las siguientes series numéricas: a) b) c) d) 3 5 (2n ) 2 4 6 (2n), usando el desarrollo de f(x) = arcsen x. 2n + (2n + ) 2 n, usando el desarrollo de f(x) = x ( + x) 2. ( ) n, usando el desarrollo de f(x) = 3n + x + t 3 dt. ( ) n (2n + )(, usando el desarrollo de f(x) = arctg x. 3) 2n+ 9. Utilizando el desarrollo en serie de potencias adecuado en cada caso, calcular las integrales siguientes, con la cota de error ε que se indica: a) sen x x, ε < 5 b) + x e x, ε < 3 c) e x2, ε < 4. Probar que la función f(x) = e /x2, f() =, de clase infinito, no es analítica en el origen.. Sea (a n ) la sucesión de término general a n = n log( + n) a) Hallar el radio de convergencia y estudiar el comportamiento en los extremos de las series de potencias a n x n y ( 3) n a n x 2n. b) Estudiar el carácter de la serie numérica 2 n log(2 + n) suma en términos de la función f(x) = a n x n. y expresar el valor de su 2. Obtener la suma de la función generatriz de cada una de las sucesiones siguientes: a) (,,,,...) b) (,...,,,,...) c) (,,,,...) d) (,,,,,,...) e) (, 2, 3, 4,...) f) (,, /2, /3,...) g) (, α, α 2, α 3,...) h) (, α(α ) 2!, α(α )(α 2) 3!,...) 3. Si f(x) = f(x)+g(x), a n x n y g(x) = n= b n x n, obtener la sucesión que tiene de función generatriz: n= f(x) + g( x), f(x) g(x), 2 x f(x), α f(x), f(α x), f(x2 ), 4. La sucesión de Fibonacci es (,,, 2, 3,...). Obtener la suma de su función generatriz y deducir, a partir de ella, la expresión del término general, a n = a n + a n 2, en función de n. n 5. Resolver, con a =, a =, las recurrencias: a n = a n +a n 2 + y a n = +a n + a k. x k= f(t) dt.
Ingeniero en Informática Cálculo Infinitesimal 2 Curso Tema 3. Series de Fourier.. Demostrar las siguientes igualdades: a) b) c) d) a a a a T f(x) dx = 2 a f(x) dx =, donde f f(x) dx = a+t a f(x) dx, donde f Sugerencia: Probar primero la igualdad a+t a f(x) dx = b+t b es una función par. es una función impar. f(x) dx, con f periódica de periodo T. a f(x) dx = T a+t f(x) dx, con f periódica de periodo T. f(x) dx. 2. Probar que si f es una función derivable y periódica, de periodo T, entonces la función derivada f también es periódica y de periodo T. Se puede asegurar lo mismo para la función F (x) = 3. a) Calcular π π sen mx sen nx dx y π π x f(t) dt? cos mx cos nx dx, para m, n N. b) Si f es una función par y g una función impar, probar que fg es impar. Utilizar este hecho para probar que π sen mx cos nx dx =, para todo m, n N. π 4. Sea f una función 2π-periódica con serie de Fourier f(x) = a + + (a n cos nx + b n sen nx). a) Probar que es equivalente a tener f(x) = c k e ikx, con c k = f(x) e ikx dx, 2π k = π y encontrar las relaciones que existen entre los coeficientes a n, b n y los c k. π < x <, b) Hallar los coeficientes de Fourier, c k, de la función 2π-periódica f(x) = < x < π, x =, π. 5. Hallar la serie de Fourier de la función 2π-periódica { k π < x <, f(x) = k < x < π. Definir f en x = nπ, con n Z de modo que la serie de Fourier converja puntualmente a la función en R. Es la convergencia uniforme? Probar que se verifica la igualdad π 4 = 3 + 5 7 + n= π
Series de Fourier 6 6. Hallar las series de Fourier de las funciones 2π-periódicas, definidas en π x < π por: { π x <, f(x) = x, g(x) = x, h(x) = x x < π. Indicar, en cada caso, dónde hay convergencia puntual. Redefinir, donde sea preciso, cada una de las funciones para que la convergencia puntual sea válida en R. Qué se puede decir sobre la convergencia uniforme en cada caso? Probar que se verifica la igualdad n= n 2 = π2 6. Indicación: Utilizar convenientemente la serie de Fourier de g(x) = x y el hecho de que una serie numérica absolutamente convergente se puede reordenar sin alterar su suma (por ejemplo, sumando primero los términos impares y luego los pares... ) 7. a) Probar que si una función f tiene los coeficientes de Fourier a n, b n, entonces αf, con α constante, tiene por coeficientes de Fourier α a n y α b n b) Si la función g tiene los coeficientes de Fourier a n, b n, probar que los coeficientes de Fourier de f + g son a n + a n y b n + b n. c) Encontrar la serie de Fourier de la función 2π-periódica, definida por f(x) = x + π, en π < x < π. Definir el valor en x = π, para que la serie de Fourier converja puntualmente a la función. 8. Obtener la serie de Fourier de tipo seno y la serie de Fourier de tipo coseno de la función f, definida por f(x) = x, en x π y extendida, en cada caso, para que sea 2π-periódica. 9. Obtener las series de Fourier de tipo seno y de tipo coseno de la función f(x) = cos x, definida en < x < π, y extendida convenientemente para que sea, en cada caso, 2π-periódica y se tenga convergencia puntual en R.. a) Sea la función periódica f, de periodo 2L. Probar que se obtiene, de la serie de Fourier de la función 2π-periódica g, definida por g(t) = f( L t ), la serie de Fourier para f: π ( f(x) = a + a n cos nπx L + b n sen nπx ) L con, a = L 2L n= L f(x) dx, a n = f(x) cos nπx L L L L dx y b n = f(x) sen nπx L L L b) Hallar las serie de Fourier de la función f, de periodo 2L, definida por f(x) = x en L x < L. (Sol : a = L/2, a n = 4L/(nπ) 2, n impar; los demás coeficientes nulos.). a) Sean f una función 2π-periódica e integrable en [ π, π] y S n el polinomio trigonométrico S n (x) = c +c cos x+d sen x+ +c n cos nx+d n sen nx. Probar que el valor mínimo de f S N 2, siendo ( 2 π N f S N 2 2 = f(x) c (c n cos nx + d n sen nx)) dx, π se alcanza cuando c n = a n y d n = b n, siendo a n y b n, los coeficientes de Fourier de f. b) Probar que si S n converge uniformemente a f en [ π, π], entonces f S n 2. n= L dx
Ingeniero en Informática Cálculo Infinitesimal 2 Curso Tema 4. Ecuaciones diferenciales de primer orden.. a) Sea la ecuación diferencial lineal 2y + y = 3. Justificar que las isoclinas son rectas paralelas al eje de abscisas y dibujar el campo direccional para (x, y) [, 5] [, 6]. Se puede aventurar algún comportamiento geométrico de las soluciones? b) Estudiar los campos direccionales de las ecuaciones diferenciales y y+x = y y xy = en una región centrada en el origen. Aventurar las curvas integrales para y() =. 2. Encontrar la ecuación diferencial de primer orden que tiene por solución la familia uniparamétrica de parábolas y = cx 2. Hallar las trayectorias ortogonales de la familia. 3. Hallar la solución general de las ecuaciones diferenciales lineales siguientes: a) 2y + y = 3. b) y xy =, c) y + 2y = e x d) x dy dx 3y = x4 e) (2y x 3 )dx xdy = f) xy + 2y = sen x 4. Encontrar la solución a los problemas de valores iniciales siguientes: a) 2y + y = 3, y() = b) y xy =, y() = c) x dy dx 3y = x4, y() =, x >. 5. Encontrar dos soluciones particulares distintas de la ecuación diferencial xy 3y =, con valor inicial y() =, definidas en el intervalo [, ]. Se podrían encontrar dos soluciones distintas del mismo problema en el intervalo [,2]? 6. Resolver la ecuación diferencial xy + 2y = 4x 2, con valor inicial y()=2, y determinar el intervalo en el que la solución es válida. Estudiar el intervalo para la solución con y() =. 7. a) La ecuación diferencial de primer orden y +p(x)y = q(x)y n es conocida como ecuación de Bernoulli y no es lineal, excepto cuando n = ó. Probar que el cambio de variables z = y n la transforma en una ecuación lineal en la variable z. b) Resolver las ecuaciones diferenciales: i) xy + y = x 4 y 3 y ii) y + xy = xe x2 y 3. 8. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales separables: a) yy + x = b) y + y 2 sen x = c) y = + x + y 2 + xy 2 d) dy dx = x e x y + e y e) x 2 dx ( + y 2 )dy = f) y log y dx x dy = 9. a) Probar que si la ecuación diferencial de primer orden y = f(x, y) se puede poner en la forma y = g(y/x), siendo g una función de la variable z = y/x, entonces se pueden separar las variables x, z. b) Resolver las ecuaciones: i) x 2 y 2 + 2xyy = y ii) (x + y) dx (x y) dy =.
Ecuaciones diferenciales de primer orden 8. a) Comprobar que el método de las aproximaciones sucesivas de Picard permite obtener la solución del problema de valores iniciales y = y, con y() =. b) Aplicar el método de Picard al problema y = 2x( + y), con y()=, para obtener la solución φ(x) = e x2.. Probar que la ecuación diferencial no lineal ( + y 2 )y = 2xy tiene en cada punto del plano una única curva integral que pasa por él. 2. Resolver la ecuación diferencial y = y 2, con y() = y determinar el intervalo en el que existe la solución. Considerar y() = y y estudiar el intervalo según los valores de y. 3. Probar que cualquier ecuación diferencial separable, M(x) + N(y) y =, es también exacta. Resolver (por el procedimiento más cómodo) las siguientes ecuaciones diferenciales exactas: a) 2xy + x 2 y = b) x 2 y 2 2xyy = c) 2x sen 3y + 3x 2 cos 3yy = d) y dx + x dy = e) (x + y) dx = (y x) dy f) ( sen x x 2 e y )y = y cos x + 2xe y 4. a) Probar que si (M y N x )/N = α, en donde α es una función sólo de x, entonces la ecuación diferencial M(x, y) + N(x, y) y = tiene un factor integrante de la forma u(x) = e α(x) dx. Se puede aplicar a la ecuación diferencial lineal de primer orden? b) Si es (M y N x )/M = β(y), probar que un factor integrante es v(y) = e β(y) dy c) Encontrar un factor integrante y resolver las ecuaciones diferenciales: i) 3xy + y 2 + (x 2 + xy)y = y ii) dx + (x/y sen y) dy = 5. Dinámica de poblaciones. Antes de que Mr G tomara cartas en el asunto, la variación del número de internautas N(t) que usaba el navegador N, en cada momento t, crecía proporcionalmente al valor en ese instante (en realidad dn/dt = rn y no se conocía muy bien r > ). Así que Mr A, el propietario de N (que sabía resolver EDOs), aunque había empezado solo (N() = ) se las prometía muy feliz... Por qué? A punto de lograrse lo que predecía la teoría, Mr G introdujo otro navegador W y consiguió (parece que con artimañas... ) W (t) usuarios de su navegador al ritmo de la ecuación logística dw/dt = (r aw )W, con a >. Hasta qué valor de W (t) se espera aumento de usuarios de W? (Poner W = r( W/K)W, con K = r/a y hacer sin resolver la EDO). Mr A estudió el comportamiento de las soluciones de la ecuación logística para distintos valores de W () > y vio que, en cualquier caso, para t suficientemente grande terminarían usando W la misma cantidad de personas P (de hecho, φ (t) = P es una solución particular de equilibrio de la EDO, que se llama, por eso, asintóticamente estable). Cuando estimó una aproximación de K quedó tan conmocionado que ha demandado a Mr G. Como no puede conseguir que empiece en W () = (Mr A sabe que se obtiene la solución de equilibrio inestable φ 2 (t) = ) está intentando judicialmente obligar a que W (t) verifique la ecuación W = r( W/K)W. Estudia las curvas integrales de ambas ecuaciones con algunos valores W () = W y entenderás a Mr A. (Sol. Logística: W (t) = W K/(W + (K W )e rt ) )
Ingeniero en Informática Cálculo Infinitesimal 2 Curso Tema 5. Ecuaciones diferenciales lineales. Reducción del orden.. Hallar la solución general, reduciendo previamente el orden, de las ecuaciones diferenciales de segundo orden lineales o no lineales siguientes: a) y y = b) xy y = 3x 2 c) y + x(y ) 2 = d) y + y = e) yy + (y ) 2 = f) y + y(y ) 3 = 2. a) Comprobar que y = /x es una solución de la ecuación 2x 2 y + 3xy y =, en los reales positivos. Hallar otra solución independiente y la solución general. b) Comprobar que y = x es una solución, en el intervalo (, ), de la ecuación de Legendre (definida en el Ejercicio 4), con α =, y hallar la solución general. 3. a) Probar que si y es una solución de y +p (x)y +p 2 (x)y +p 3 (x)y =, se puede reducir a la ecuación de 2 orden (en v ), y v + (3y + p y )v + (3y + 2p y + p 2 y )v =. b) Comprobar que y = e x es una solución de (2 x)y + (2x 3)y xy + y =, para x < 2, y hallar la solución general de la ecuación diferencial. Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes. 4. Hallar la solución general de las ecuaciones lineales homogéneas de 2 orden siguientes: a) y = b) y y = c) y + y = d) y 2y = e) y + y + y = f) y 4y + 4y = 5. Encontrar la solución a los problemas de valores iniciales siguientes: a) y y =, y() =, y () =. b) y + 4y =, y(π/2) =, y (π/2) =. c) y + 3y + 2y =, y() =, y () =. d) y + y + 2y =, y() = y () =. 6. Resolver las ecuaciones y problemas de valores iniciales siguientes: a) y (4) y = c) y (4) + 8y =, y() =, y () = y () =, y () =. b) y (4) + y + y = d) y 3y + 3y y =, y() = y () =, y () = 2. Ecuaciones lineales no homogéneas. 7. Resolver las ecuaciones y el problema de valores iniciales siguientes: a) y + 3y + 2y = 2e x e x b) y + 3y + 2y = xe x sen(2x) c) y 3y + 3y y = cos(2x), y() = y () =, y () = 2.
Ecuaciones diferenciales lineales 8. Resolver las ecuaciones siguientes: a) y + 3y + 2y = 2e x (usar variación de parámetros y comparar con Ejercicio 7.a.) b) y + y = / sen x c) y + 4y + 4y = e 2x /x 2 Ecuaciones con coeficientes variables. Soluciones en serie. 9. a) (Abel) Probar que si y e y 2 son soluciones de y +p (x)y +p 2 (x)y =, en un intervalo I, donde p y p 2 son continuas, entonces el Wronskiano es W (y, y 2 )(x) = c e p (x) dx, siendo c constante. Concluir que, en I, es siempre W = ó W. Indicación: Sustituyendo y e y 2 en la ecuación y, luego, eliminando p 2, queda W + p W =. b) Determinar (salvo constante multiplicativa) el Wronskiano de cualquier sistema fundamental de soluciones de 2x 2 y + 3xy y =, con x >. Comprobar el resultado y determinar la constante c, para las soluciones obtenidas en el Ejercicio 2.a.. Obtener la solución general, en cualquier intervalo que no contenga al origen, de las ecuaciones diferenciales lineales siguientes: a) 2x 2 y + 3xy y = b) x 2 y + 4xy + 2y = c) x 2 y 3xy + y = d) x 2 y + 3xy + 5y =. a) Probar que la ecuación de Euler, x 2 y + α x y + β y =, se transforma con el cambio de variables z = log x, en la de coeficientes constantes d 2 y/dz 2 + (α )dy/dz + β y =. b) Resolver la ecuación 2x 2 y + 3xy y =, con x >, por este procedimiento. 2. Encontrar las soluciones en la forma φ(x) = n= a nx n, de y y = e y +y =, hallando los a n, en cada caso, por: a) sustitución de la serie de potencias en la ecuación y b) cálculo directo de los coeficientes de la serie de Taylor de la solución φ. Comprobar que determinan en R las soluciones esperadas. 3. Hallar la solución en serie φ(x) = n= a n(x a) n de la ecuación de Airy, definida por y xy =, centrada en a = y a =. 4. a) Para la ecuación de Legendre, definida por ( x 2 )y 2xy +α(α+)y =, determinar los puntos ordinarios y estudiar si los puntos singulares son regulares o irregulares. b) Obtener dos soluciones independientes, en serie de potencias, en un entorno del origen. Probar que si α N, la ecuación tiene una solución polinómica. 5. Probar que x = es un punto singular regular de las ecuaciones siguientes: a) 2x 2 y + x(2x + )y y = b) xy + 2y xy = c) x 2 y + xy + (x 2 )y =. En cada caso, si es posible, hallar dos soluciones independientes (x > ) en serie de Frobenius.
Ingeniero en Informática Cálculo Infinitesimal 2 Curso Temas 7 y 8. Métodos numéricos. (Utilizar un ordenador). Hallar el polinomio de interpolación de los puntos {(, 5), (, 3), (2, ), (3, 3)}, mediante: a) La resolución de un sistema de ecuaciones. b) La obtención del polinomio de Lagrange. c) El método de las diferencias divididas de Newton. d) El método de Newton para soportes equidistantes. 2. a) Obtener una cota del error cometido al evaluar f(x) = e x, para x [, ], mediante el polinomio de interpolación, P (x), para el soporte S = {,, }. b) Utilizar el soporte S = {cos π/6,, cos 5π/6} y obtener el polinomio de interpolación Q(x). Hallar una cota del error al utilizarlo para evaluar f(x) = e x en [, ]. Se mejora o empeora la cota obtenida en el apartado anterior? c) Comparar el valor de los polinomios P y Q en x =, con el que proporciona una calculadora razonable evaluando e x. 3. Polinomios de Chebyshev a) Para x [, ], sea T n (x) = cos(n arccos x), para cada n. Probar, que haciendo la sustitución θ = arccos x, con θ [, π], se tiene la siguiente relación de recurrencia que define a los polinomios T n de Chebyshev: T (x) =, T (x) = x, T n (x) = 2xT n (x) T n 2 (x), n 2. b) Probar que los valores x k = cos( (2k + )π/2n), k =,,..., n, son las raíces de T n (x), para n. c) Se puede probar que el máximo de la expresión (x x )(x x ) (x x n ), en el intervalo [, ], se minimiza a /2 n ; y, además, ello sucede cuando x, x,..., x n, son las raíces del polinomio de Chebyshev T n+ (x). (Consultar, por ejemplo, en Análisis numérico de Burden-Faires). Utilizando este hecho, probar que el soporte de n puntos que garantiza un menor error para evaluar una función en [, ], mediante el polinomio interpolador de Lagrange, está determinado por S = {cos π 2n 4. Sea la función f(x) = + 2x 2., cos 3π 2n,..., cos (2n )π 2n }. a) Verificar el fenómeno Runge al aproximar f, en [, ], por el polinomio interpolador para un soporte equidistante de n puntos, en los casos n = 4 y n =. b) Obtener el polinomio interpolador de la función f, para el soporte de Chebyshev, determinado por S = {cos π 3π (2n )π, cos,..., cos }. 2n 2n 2n c) Comprobar gráficamente cómo, en el apartado anterior, no se presenta el fenómeno Runge. Razonar (en base a la Nota siguiente) por qué, para esta función, se puede afirmar que no surgirá tal fenómeno al considerar soportes de Chebyshev con un mayor número de puntos. Nota: Se puede probar que si f es una función de clase en [, ], la interpolación con soportes de Chebyshev produce una sucesión de polinomios (P n ) que converge uniformemente a f en el intervalo.
Métodos numéricos 2 5. Obtener aproximaciones de log 2, evaluando numéricamente dx + x, mediante: a) La regla del trapecio simple y compuesta con divisiones de [, ] en 2 y 4 subintervalos. b) La regla de Simpson simple y compuesta con una división de [, ] en 4 subintervalos. c) En cada caso, determinar la cota del error que predice la teoría y comparar el resultado con el error obtenido al tomar como log 2 el valor de la calculadora del Ejercicio 2. 6. Determinar el número de subintervalos en el que es necesario dividir [, ], para obtener una aproximación de seis cifras decimales exactas de 2 log x dx, mediante: a) La fórmula compuesta del trapecio. b) La fórmula compuesta de Simpson. 7. Encontrar una solución numérica en el intervalo [, ] al problema de valores iniciales determinado por y ( + x) =, y() =, mediante: a) El método de Euler con pasos h = 25 y. b) El método de Heun, con pasos h = 25 y. c) El método de Runge-Kutta con pasos h = 5 y 2. d) Comparar, para la mejor aproximación en cada caso, la nube de puntos de la solución obtenida y el polinomio interpolador, con la gráfica de la solución exacta. 8. Mostrar que aplicando el método de Euler al resolver el PVI y = f(x), y(a) =, en el intervalo [a, b], el valor obtenido en y(b) es una suma de Riemann que aproxima b a f(x) dx. 9. La función error, erf(x) = 2 x e t2 dt, está tan tabulada, que se considera conocida... π a) Plantear un problemas de valores iniciales que tenga erf por solución y utilizar el método de Runge-Kutta con paso h = para obtener una tabla de valores en [, 2]. Comparar los valores obtenidos con los que proporciona Mathematica (implementada Erf[x]). b) Resolver el PVI y 2xy =, y() = /2 en [, 2], utilizando Runge-kutta con paso h =, y comparar el resultado con la solución exacta al utilizar la función erf.. Hallar la solución numérica, en [, 2], al PVI y + 4y + 5y =, con y() = 3, y () = 5, aplicando a un sistema equivalente de EDOs de primer orden los métodos de Euler y Runge- Kutta adaptados, con h =. Comparar los valores obtenidos con los de la solución exacta.