3.3 Ejercicios propuestos

Francisco M. Ocaña Peinado y Paula R. Bouzas 81 3.3 Ejercicios propuestos 1. La variable aleatoria X representa el intervalo de tiempo que transcurre entre dos llegadas consecutivas de pacientes a una consulta de un hospital, siendo la función de densidad asociada a X, por: f(x) = 1 2 e x/2 x > 0 a) Obtenga la función de distribución de probabilidades. b) Probabilidad de que transcurran menos de 8 minutos entre 2 llegadas consecutivas. c) Probabilidad de que transcurran más de 7 minutos entre 2 llegadas consecutivas. d) Probabilidad de que un intervalo entre 2 llegadas consecutivas se encuentre entre 2 y 6 minutos. 2. El tiempo T de atención (en minutos) en una consulta a un paciente es una v.a. con función de densidad dada por: f(t) = 1 50 20 < t < 70 a) Obtenga la esperanza y varianza de esta v.a. b) Calcule la función de distribución. c) Calcule la probabilidad de que la atención al paciente sea inferior a 30 minutos. d) Calcule la probabilidad de que el tiempo de atención esté comprendido entre 30 y 60 minutos. e) Calcule la probabilidad de el tiempo de atención que sea superior a 60 minutos. f) Calcule la probabilidad de que el tiempo de atención sea inferior a 10 minutos. 3. El tiempo de vida en semanas de una bacteria en un alimento es una v.a. T con función de densidad f(t) dada por: f(t) = ke t si t 1

82 Cap 3. Variables Aleatorias a) Determine k para que f(t) sea función de densidad. b) Función de Distribución. c) Probabilidad de que la bacteria viva más de 5 semanas. 4. Sea X una variable aletoria continua definida en [0,4] con función de densidad f(x) = 1 kx. Halle el valor de k para que f(x) sea función de densidad, así 2 como P[1 X 2] 5. Sea X una v.a. continua, que representa el error cometido al determinar la densidad de una sustancia. Suponiendo que X es una v.a. distribuida uniformemente en el intervalo [a = 0.02, b = 0.02]. Calcule la probabilidad de que el error cometido esté: a) entre 0.01 y 0.014 b) entre -0.011 y 0.011 6. Una v.a.x con recorridor X = 0,1,2,3,4}, tiene la función masa de probabilidad dada en la siguiente tabla: X 0 1 2 3 4 p(x) 0.3 0.25 k 0.1 0.1 Calcule el valor de k, la función de distribución, P[X 1], P[X 2], P[X = 2.5], P[X > 2.5], así como E[X] y Var[X]. 7. Una v.a.x con recorridor X = 0,1,2,3,4}, tiene la función masa de probabilidad dada en la siguiente tabla: X 0 1 2 3 4 p(x) 0.1 a b c 0.2 Sabiendo que P[X 2] = P[X 2] = 0.75, calcule E[X] y Var[X], así como la función de distribución. 8. Un grupo de investigadores han determinado después de varios estudios, la probabilidad de que un individuo esté infectado por cierto virus es 1/3. Si selecciona a un grupo de diez personas, calcule: a) Cuál es la probabilidad de que ninguna esté infectada? b) Cuál es la probabilidad de que estén infectadas más de la mitad? c) Cuál es el número esperado de infectados? d) Cuál es la probabilidad de que estén infectados por el virus 3 individuos? e) Cuál es la probabilidad de que estén infectados 2 como máximo?

Francisco M. Ocaña Peinado y Paula R. Bouzas 83 f) Cuál es la probabilidad de que stén infectados por el virus de 6 a 8 individuos, ambos inclusive? 9. En un reciente estudio en España se ha publicado que el 80 % de las personas que practican una dieta fracasan. Supóngase que, para empezar a estudiar las causas que llevan al fracaso en la práctica de la dieta se toman al azar 8 individuos que practicaron una dieta. Calcule: a) Probabilidad de que un individuo fracasara al practicar la dieta. b) Probabilidad de que haya 6 individuos que fracasaran en la práctica de la dieta. c) Probabilidad de que como máximo 5 individuos fracasaran en la práctica de la dieta. d) Probabilidad de que 3 individuos no fracasaran en la práctica de la dieta. e) Cuál es la probabilidad de que 2 individuos como máximo no fracasaran en la práctica de la dieta? 10. Se ha colocado un puesto de donación de sangre, al cual llegan las personas interesadas en donar con un promedio de 3.2 llegadas por hora. a) Cuál es la probabilidad de que en una hora lleguen menos de 3 personas? b) Cuál es la probabilidad de que lleguen 4 ó más personas en una hora? c) Cuál es la probabilidad de que en dos horas lleguen 6 personas? 11. La presión diastólica de una población de enfermos se distribuye según una Normal de media 90 mm y desviación típica de 12 mm. Responda a las siguientes cuestiones: a) Cuál es al probabilidad de que un enfermo tenga presión superior a 95mm? b) Cuál es al probabilidad de que un enfermo tenga presión inferior a 79 mm? c) Cuál es la probabilidad de que un enfermo tenga presión entre 80 mm y 110 mm? d) Cuál es la presión a partir de la cuál se encuentran el 75 % de los individuos con presión más alta? 12. Si la estatura X de una población de 500 personas con sobrepeso es normal de media 172 cm y varianza 25 cm 2, calcule el número de individuos con estatura mayor de 180 cm y comprendida entre 170 y 175 cm. 13. El peso de los niños de una determinada población es una variable aleatoria que se ajusta a un modelo Normal de media 40kg y desviación típica 12kg. Determine: a) Probabilidad de que el peso de un niño de esta población esté comprendido entre 37 y 49 kg. b) Probabilidad de que el peso de un niño sea superior de 46 kg.

84 Cap 3. Variables Aleatorias c) Probabilidad de que el peso sea inferior a 28 kg. d) El peso a partir del cuál se encuentran el 20 % de los niños con pesos más altos. 14. Un laboratorio prepara sobres de Vitamina C, resultando que uno de cada cinco sobres contiene sobrepeso. a) Si se toma al azar una muestra de diez sobres, calcule: 1) El número esperado de sobres que contienen sobrepeso. 2) Probabilidad de que al menos dos de los sobres contengan sobrepeso. 3) Probabilidad de que como máximo tres de los sobres contengan sobrepeso. b) Si se toma al azar una muestra de 100 sobres, calcule la probabilidad de que menos de 25 sobres contengan sobrepeso. 15. A un ambulatorio acuden pacientes a un promedio de 25 pacientes cada hora. Calcule la probabilidad de que en una hora: a) Acudan menos de 25 pacientes. b) Acudan más de 30 pacientes. 16. De los resultados de un estudio, se desprende que el 5 % de los pacientes que se someten a una operación de reducción de estómago no supera dicha intervención. Si en una clínica privada están previstas 10 operaciones de este tipo en un mes, determine: a) Número esperado de personas que no superan la operación. b) Probabilidad de que 2 personas no superen la operación. c) Probabilidad de que 8 personas superen la operación. d) Probabilidad de que al menos 8 personas superen la operación. e) Probabilidad de que como máximo 1 persona no supere la operación. 17. La demanda diaria de un complemento vitamínico es una v.a. de Poisson con promedio de demanda de 5 unidades diarias. Si se selecciona un día al azar, calcule las siguientes probabilidades: a) Probabilidad de que no se demande el producto. b) Probabilidad de que se demanden al menos 3 unidades de dicho producto. c) Probabilidad de que se demanden a lo sumo 2 unidades del producto. d) Probabilidad de que se demanden a lo sumo 4 unidades. 18. Los análisis de sangre de un grupo de personas de una población muestran que la cantidad de glucosa en sangre es una v.a. Normal de media 90mg/dl y desviación típica 25mg/dl. Si se selecciona a una persona de dicha población, calcule:

Francisco M. Ocaña Peinado y Paula R. Bouzas 85 a) Probabilidad de que esa persona sea hipoglucémica (cantidad de glucosa inferior a 65mg/dl). b) Probabilidad de que esa persona tenga los valores considerados normales (cantidad de glucosa entre 65 y 110 mg/dl). c) Calcule los valores de cantidad de glucosa en sangre que contienen al 90 % central de la población. 19. En un centro dietético, 1 de cada 5 pacientes permanece en él más de 15 minutos. Si en un día acuden 50 pacientes, cuál es la probabilidad de que más de 8 clientes permanezcan en ella más de 15 minutos? 20. Se ha comprobado que el tiempo de duración de un tratamiento dietético en hombres es una v.a. exponencial con media de 16 días. Se pide: a) Cuál es la probabilidad de que a un hombre al que se le ha prescrito el tratamiento abandonde el mismo antes de 20 días? b) Cuál es la probabilidad de que a un hombre al que se le ha prescrito el tratamiento lo siga durante más de 25 días? c) El 90 % de los hombres siguen el tratamiento menos de N días. Determine N.