σ-álgebra Memo Garro Introducción En este apunte estudiaremos el concepto de σ-álgebra, como un tipo especial de familia de subconjuntos de un espacio Ω, aunque todavía desde un punto de vista puramente abstracto, para que en lugares posteriores del curso elaboremos una interpretación probabilística propiamente de este objeto matemático. También en este artículo mostraremos un método para construir un σ-álgebra a partir de una familia determinada de subconjuntos del espacio Ω. De modo que en la primera parte revisaremos las nociones generales del concepto de σ-álgebra de subconjuntos, para que en segundo término veamos cómo a partir de una familia podemos generar una nueva familia que posea estructura de σ-álgebra. Comenzaremos con la consideración del caso particular de una familia finita que particiona el espacio total, y de ahí, obtendremos la idea general que nos permitirá ampliar el método a familias finitas más generales. Ahora bien, nuestro método será en todo momento constructivo, lo cual significa que obtendremos una familia cuyos elementos serán completamente definidos. Por su parte, esta situación nos permitirá conocer la cardinalidad, y establecer ciertas condiciones de numerabilidad de la σ-álgebra así generada. 1 σ-álgebra En esta sección estudiaremos la estructura de subconjuntos más importante en la teoría de las probabilidades contemporánea. En adelante consideramos un espacio Ω no vacío. Definición 1.1 (σ-álgebra). Sea F una familia de subconjuntos de un espacio Ω. Entonces, F posee estructura de σ-álgebra sobre Ω, si y sólo si, (σ1) Ω F. (σ2) Si A F, entonces A c F. (σ3) Si {A n } n 1 es una sucesión de elementos en F, entonces A n F. Observación 1.1. Si una familia cumple (σ3) decimos que es cerrada bajo uniones numerables. Es claro que una familia cerrada bajo uniones numerables también es cerrada bajo uniones finitas. 1
Observación 1.2. En el lenguaje cotidiano sólo diremos que F es una σ-álgebra de subconjuntos de Ω. Observación 1.3. Es importante subrayar la importancia que tiene señalar el espacio en el cual se está considerando la familia F. En ocasiones estas estructuras no estarán definidas sobre Ω sino sobre alguno de sus subconjuntos, y otras ocasiones nos referiremos a σ-álgebras definidas sobre espacios diferentes. Ilustraremos este concepto mediante algunos ejemplos. Ejemplo 1.1. Sobre cualquier espacio no vacío Ω, las familias P(Ω) = {A A Ω} (el conjunto potencia) y {, Ω} poseen estructura de σ-álgebra sobre Ω. En efecto, es fácil ver que las condiciones (σ1) y (σ2) se cumplen para ambas familias. Ahora bien, la unión cualquiera de subconjuntos de Ω es un subconjunto mismo de Ω, en particular esto sucede para uniones numerables; entonces la propiedad (σ3) es válida para la familia P(Ω). Por otra parte, toda sucesión en la familia {Ω, } es en realidad una sucesión finita, cuya unión es, o bien Ω, en cualquier caso, dicha unión es elemento de {Ω, }. Ejemplo 1.2. Sea Ω el pequeño espacio {1, 2, 3, 4}. Y consideremos las familias A = {, Ω, {2, 3, 4}, {1}}, B = {, Ω, {1}, {2}, {1, 2}, {3, 4}, {2, 3, 4}, {1, 3, 4}} y C = {, Ω, {1, 3, 4}, {2}}. Mediante una inspección visual notamos que todas ellas poseen estructura de σ-álgebra sobre el mismo espacio Ω. Sin embargo, las familias D = {{1}, {2}, } y E = {{1}, {2}}, no son σ-álgebras sobre Ω. Pasamos al estudio de familias más complejas. Ejemplo 1.3. Por convención entenderemos como subconjunto contable, aquel subconjunto (o espacio) de cardinalidad finita o a lo sumo infinito numerable. Sea Ω un espacio no contable. Consideremos la familia F = {A Ω A es contable o A c es contable}. Como ejemplo tenemos que Ω podría ser el conjunto R de los números reales, y un elemento de F en tal caso es el conjunto N de los números naturales. Se tiene que F posee estructura de σ-álgebra sobre Ω. Las tres condiciones de un σ-álgebra son verificables. (σ1). Se tiene que el conjunto vacío no posee elementos, y Ω c =, con lo cual Ω F. (σ2). Ahora, supongamos que A F, A es contable o A c es contable A c es contable o A es contable A c es contable o (A c es contable, entonces A c F. (σ3). Consideremos la sucesión {A n } en la familia F. Sea A = A n, entonces A F. Efectivamente, se tienen dos posibles situaciones: I. Si A es contable, entonces, obviamente A F. 2
II. Ahora, supongamos que A es no contable, debemos probar que A c es contable. Para ello observamos que, según nuestra suposición, existe un número natural m tal que A m es no contable (de lo contrario, A sería contable); entoces A c m es contable, pues A m F. Y dado que ( A c = A n = A c n A c m, entonces A c es contable. Con lo cual A F. El siguiente ejemplo muestra que una familia cerrada bajo uniones finitas no necesariamente es una σ-álgebra. Ejemplo 1.4. Sea Ω = (0, 1]. La familia { G = A D A, D finito A D }, con A = {(x, y] 0 x y 1}, es cerrada bajo uniones finitas (lo cual se sigue de forma inmediata de la propia definición de G), sin embargo no es σ-álgebra. Por ejemplo, los intervalos (1/2n, 1/(2n 1)] pertencen a G (de hecho pertenecen a A), sin embargo, dado que son ajenos, su unión no puede ser expresada como una unión finita de intervalos en A. Consideremos la nueva familia { } F = A D A, D contable. Entonces F es σ-álgebra. A D Ahora bien, de las condiciones impuestas en la Definición 1.1 es posible derivar una definición alternativa. Formalmente, exponemos el siguiente enunciado. Teorema 1.1. La familia F posee estructura de σ-álgebra sobre Ω, si y sólo si, (σ 1) F. (σ 2) Si A F, entonces, A c F. (σ 3) Si {A n } es una sucesión de elementos de F, entonces A n F. Demostración. = ] Supongamos que F es σ-álgebra sobre Ω, entonces Ω F, según (σ1), pero por (σ2) se tiene que = Ω c F, esto prueba (σ 1). Ahora, la condición (σ 2) es exactamente la condición (σ2) de la Definición 1. Por último, si para una sucesión 3
{A n } n N contenida en F se tiene que {A c n} n N también está contenida en F por la propiedad (σ2), entonces A c n F, por (σ3), pero de nueva cuenta por (σ2), ( c A n = An F, lo cual prueba (σ3). = ] Esta prueba es análoga a la primera parte y se deja a su ingenio. Ahora exponemos un resultado que nos será de gran utilidad en la sección próxima. Teorema 1.2. Sea B una familia arbitraria de σ-álgebras sobre Ω. Entonces la familia E = { A A F, F B} es σ-álgebra sobre Ω. Observación 1.4. Tenemos que E = F, si consideramos la operación intersección en el F B sentido habitual. En palabras, lo que dice este resultado es que la intersección arbitraria de σ-álgebras sobre un mismo espacio, es de nueva cuenta una σ-álgebra sobre dicho espacio. Demostración. (σ1) Es claro que Ω F para toda F B, entonces Ω E. (σ2) Ahora sea A E, entonces A F para toda F B, por tanto A c F para toda F B, de donde se sigue que A c E. (σ3) Ahora, si una sucesión {A c n} n N está contenida en E, entonces está contenida en toda F B, por ello A n F para toda F B, esto prueba que A n E. Esto prueba que E es en efecto σ-álgebra sobre Ω. Ejemplo 1.5. En referencia al Ejemplo 1.2 se tiene que si B = {A, C}, entonces E = {, Ω} es σ-álgebra. Sin embargo, las familias del tipo U = { A A F para alguna F B} (en este caso, si consideramos la unión en su forma habitual entonces U = F) no son necesariamente σ-álgebras, como lo muestra el siguiente ejemplo. Ejemplo 1.6. En referencia al Ejemplo 1.2 se tiene que si B = {A, C} entonces la familia U = {, Ω, {2, 3, 4}, {1}, {1, 3, 4}, {2}} no es σ-álgebra. En efecto, los subconjuntos {1} y {2} pertenecen a U, pero {1} {2} = {1, 2} no pertenece. Terminamos esta sección con el planteamiento del problema que intentaremos resolver la sección próxima. En el Ejemplo 1.2, las familias A, B, C, el potencia de Ω = {1, 2, 3, 4} y la familia {, Ω} son cinco σ-álgebras sobre Ω. Entonces, en general para un espacio Ω no vacío, podemos preguntarnos acerca de cuál es el número de familias que poseen estructura de σ-álgebra definidas sobre dicho espacio. La respuesta a tal cuestionamiento puede resultar un poco complicada, considerando que el espacio Ω puede ser infinito. Sin embargo, podemos buscar alguna pregunta cuya respuesta resulte menos compleja. Tal vez 4 F B
dicho ejemplo también nos inquieta acerca de las relaciones (de contensión) que pueden guardar las σ-álgebras definidas sobre Ω (en nuestro ejemplo observamos que A B y C B, y todas contienen a {, Ω} y están contenidas en el potencia de Ω). Es decir, a caso será posible encontrar una σ-álgebra en Ω tal que contenga a cualquier otra σ-álgebra definida también sobre Ω?; o todavía más, será a caso posible encontrar una σ-álgebra tal que ella misma esté contenida en cualquier otra σ-álgebra sobre Ω?. En respuesta consideremos las siguientes familias de subconjuntos G Ω = P(Ω) y S Ω = {, Ω}. Entonces G Ω es la más grande σ-álgebra definida sobre Ω, en el sentido de que cualquier otra familia con estructura de σ-álgebra sobre Ω estará contenida en ella. Y por otra parte S Ω es la más pequeña σ-álgebra definida sobre Ω, en el sentido de que simpre estará contenida en cualquier otra. Esto se debe a lo siguiente: En primer lugar, según nuestro primer ejemplo, tanto G Ω como S Ω son σ-álgebras sobre Ω. Ahora, si consideramos la familia Σ = {F F σ-álgebra sobre Ω} tendremos que Σ está formada por familias de subconjuntos de Ω, puesto que las σ-álgebras no son más que familias especiales de subconjuntos de Ω mismo. Es decir: F Σ : F P(Ω) = G Ω, y es evidente además que G Ω = P(Ω) P(Ω) Σ. Esto prueba que G Ω contiene, efectivamente, toda σ-álgebra definida sobre Ω. Por otra parte, si F es σ-álgebra entonces Ω F, y por ello F. Por tanto S Ω F. De lo anterior se concluye que para cualquier σ-álgebra F definida sobre Ω S Ω F G Ω. 2 σ-álgebra generada La sección anterior concluyó con un par de cuestionamientos muy generales, y solo encontramos respuesta para uno de ellos. Ahora reduciremos el rango de nuestros cuestionamientos buscando dar un mejor perfil a las respuestas encontradas. Supongamos que C es una familia de subconjuntos de Ω. Consideremos todas las σ-álgebras en las cuales C está contenida. Como es evidente que C P(Ω), nos preguntamos ahora si es posible encontrar la σ-álgebra más pequeña la cual contenga C. Y todavía más, será acaso posible saber la cardinalidad de tal σ-álgebra. La última respuesta queda pendiente, por lo pronto enunciamos el siguiente resultado. 5
Teorema 2.1. Sea C cualquier familia no vacía de subconjuntos del espacio Ω. Entonces existe una única σ-álgebra F 0 definida sobre Ω tal que i) C F 0 y ii) Si F 1 es una σ-álgebra en Ω tal que C F 1 entonces F 0 F 1. Demostración. Consideremos pues familia C no vacía de subconjuntos de Ω. Primeramente definimos B = {F C F, F es σ-álgebra en Ω}. Dado que C P(Ω) y P(Ω) es σ-álbebra sobre Ω, tenemos que P(Ω) B. Por tanto nuestra familia de σ-álgebras B es no vacía. Existencia. Sea F 0 = F B F (donde se entiende en el sentido habitual, ver Observación 1.4). Sabemos que F 0 es un σ-álgebra (Teorema 1.2). Ahora bien, como C F para toda F B (por definición), se tiene entonces que C F 0. Ahora, para cualquier otra σ-álgebra F 1 en Ω tal que C F 1, se sigue que F 1 B. Y por la propia definición de F 0, se tiene que F 0 = F F 1. F B Unicidad. Si existe F 0, σ-álgebra, tal que cumple con i) y ii), entonces F 0 F 0, puesto que C F 0 y F 0 cumple con ii). Pero también F 0 verifica estas dos propiedades, entonces por tanto F 0 = F 0. F 0 F 0, Definición 2.1 (σ-álgebra generada). La familia F 0 del teorema anterior es denominada σ-álgebra generada por la familia C, y se denota por el símbolo σ(c). Ejemplo 2.1. Retomando el Ejemplo 1.2, sea Ω = {1, 2, 3, 4}, se tiene que σ({{1}}) = A, σ({{1}, {2}}) = B y σ({{1, 3, 4}}) = C. Ejemplo 2.2. Familias distintas de subconjuntos de un mismo espacio pueden generar la misma σ-álgebra. Por ejemplo, σ({ }) = {Ω, } = σ({ω}), y de modo más general σ({a}) = {, Ω, A, A c } = σ({a c }), para cualquier A Ω. Un ejemplo similar más amplio, útil e interesante se presenta en un tipo particular de σ-álgebra definida sobre R, conocida como σ-álgebra de Borel, la cual será nuestro tema de estudio en un artículo posterior. Ahora demostraremos algunas propiedades que nos servirán más adelante en la determinación de un método par construir una σ-álgebra. Conviene mantener estas propiedades en mente, pues también servirán para probar algunos teoremas más interesantes. Lema 2.1. Sean C y C familias de subconjuntos del espacio Ω. Si C C entonces σ(c) σ(c ). 6
Demostración. Por hipótesis y por el teorema anterior (propiedad i)), es decir, C C σ(c ), C σ(c ). Entonces, sabemos que σ(c ) es σ-álgebra, y nuevamente por el teorema anterior (propiedad ii)), σ(c) σ(c ). Lema 2.2. Si la familia C de subconjuntos del espacio Ω forma por sí misma una σ-álgebra, entonces σ(c) = C. Demostración. El último teorema nos dice directamente que C σ(c) (por la propiedad i)). Ahora bien, es obvio que C C, y C es σ-álgebra, entonces por nuestro famoso y repetido teorema anterior (propiedad ii)) se sigue que σ(c) C. Con lo cual σ(c) = C. 3 Un método para construir una σ-álgebra Sea Ω un espacio no vacío. Como se mencionó en el resumen, nuestra construción la dividiremos en dos casos. (1). Consideremos una familia finita A = {A 1, A 2,..., A n } y supongamos que tal familia particiona al espacio Ω. Afirmación 3.1. Cualquier elemento de la σ-álgebra generada por la partición A es igual a una unión finita de elementos de A mismo, esto es, { } σ(a) = I {1, 2,..., n}. Nota: Entenderemos, por convención, que si I = entonces i I =. i I Demostración. Por comodidad, nombremos F = { i I I {1, 2,..., n} }. Por definición sabemos que A σ(a). Por lo tanto σ(a), para toda i = 1, 2,..., n. Se sigue entonces que σ(a) I {1, 2,..., n}, i I por las propiedades de σ-álgebra de σ(a). Con lo cual F σ(a). Ahora demostraremos la contención contraria, para ello observamos que F posee estructura de σ-álgebra. En efecto, (σ1) es evidente que Ω = n F; i=1 7
ahora, (σ2) sea E F, entonces existe I E {1, 2,..., n}, único, tal que E = i IE, de donde E c = Ω\E ( n ) ( = = = = = i=1 I c E ( [( i I c E ( ) i I c E ) ( ( ( ]. i I c E ( Ahora bien, si ω (, entonces para toda i IE se tiene que ω /, y como la familia {A 1,..., A n } particiona Ω, entonces existe j {1,..., n}, pero j / I E, tal que ω A j, así entonces ( i I A E c i. Por otro lado, si ω i I A E c i, entonces ω / para toda i I E, de lo contrario existirían A j y A k distintos (pues j pertenecería a I E y k a su complemento) tales que ω A k A j =, lo cual es imposible. Por tanto ω (, es decir, i I A E c i (. Entonces i I A E c i = (. De este modo, E c = ( = i I c E i I c E, luego E c F. Por último (σ3), sea {E m } m 1 F, entonces existe I m {1, 2,..., n} para toda m 1 tal que E m = i I m m 1, se sigue, E m =. m=1 m 1 i I m 8
Ahora bien, ω m t.q. ω m 1 i I m i I m m t.q. j I m t.q. ω A j j I m t.q. ω A j ω m=1 i m=1 Im ω i I, donde I = m=1 I m {1, 2,..., n} (notése como I es finito). Por tanto, E m = = F. m=1 m 1 i I m i I Luego F σ-álgebra sobre Ω. Es claro además que A F, y según los lemas de la sección anterior, esto es σ(a) F. σ(a) σ(f) = F, Ejemplo 3.1. Consideremos un subconjunto A no vacío de Ω. Podemos nombrar A 1 = A y A 2 = A c y considerar la partición A = {A 1, A 2 }. Entonces σ(a) = {, Ω, A 1, A 2 } Ejemplo 3.2. Para una partición de tamaño tres A = {A 1, A 2, A 3 } se tiene que σ(a) = {, Ω, A 1, A 2, A 3, A 1 A 2, A 1 A 3, A 2 A 3 } Â Qué es lo que notamos? En el Ejemplo 3.1, σ(a) tiene 4 = 2 2 elementos, tantos como subconjuntos posee {1, 2}. En el ejemplo siguiente, el número de elementos de σ(a) es 8 = 2 3, exactamente como el potencia de {1, 2, 3}. Entonces podemos deducir el siguiente enunciado. Afirmación 3.2. Si la familia finita A = {A 1, A 2,..., A n } es partición de Ω entonces #σ(a) = #P({1, 2,..., n}) = 2 n. Demostración. Ya se sabe que σ(a) = { i I I {1, 2,..., n} }. Defínase una función f : P({1, 2,..., n}) σ(a), tal que para I P({1, 2,..., n}) entonces f(i) = i I σ(a). Es fácil mostrar que la función f es biyectiva, de donde se sigue #σ(a) = #P({1, 2,..., n}) = 2 n. 9
(2). Ahora supongamos que la familia finita A = {A 1, A 2,..., A n } no particiona el espacio Ω. Qué sucede ahora? Qué forma tiene σ(a)? Cuántos elementos posee? Es natural pensar que el método a seguir ahora tendrá que remitirnos al primero de los casos tratados. Para ilustrar el modelo general sólo trataremos el caso en que n = 2. Primero definimos una nueva familia A compuesta por los subconjuntos A 1 = A 1 \A 2, A 2 = A 2 \A 1, A 3 = A 1 A 2 y A 4 = Ω\(A 1 A 2 ). No es difícil observar que esta nueva familia particiona al espacio Ω, luego según el caso anterior, σ(a ) está formada por todas las uniones finitas que de los elementos de A podemos realizar. Ahora bien, de la definición de cada subconjunto A i tenemos que A σ(a), de donde σ(a ) σ(a). Por otra parte, tenemos que A 1 = (A 1 \A 2 ) (A 1 A 2 ) = A 1 A 3, de modo que A 1 σ(a ). Y de la misma manera A 2 = (A 2 \A 1 ) (A 2 A 1 ) = A 1 A 3, por tanto A 2 σ(a ). Entonces A σ(a ), por tanto σ(a ) σ(a). De donde se desprende que σ(a ) = σ(a) En cuanto a la cardinalidad, dado que no podemos asegurar cuáles subconjuntos de la nueva familia A son no vacíos, sólo podemos decir que #σ(a) = σ(a ) 2 4. 10