xyz0. Dados la ecta : y el punto P(, 0, ) exteio a : x y z a) Halla la ecuación en foma geneal del plano que contiene a y a P b) Halla la ecuación (como intesección de dos planos) de la ecta s que pasa po P y es paalela a la ecta a) Dos puntos de la ecta : xyz0 x y z xz0 y0 z, x A(,0,) x z y z x z, y B(,,) y z 3 Se tienen los vectoes diectoes AB (,, 0) y AP (, 0, 0) La ecuación implicita del plano que pasa po el punto P(, 0, ) con vectoes AB (,,0) y AP (,0,0) seá:
x 0 y 0 z0 0 0 z b) s es paalela a : u u AB (,,0) x y z s 0 s x y x y z xy0 s 0 x z z0 0 xyz0. Dada la ecta : y los puntos P(,, 0) y Q(0,,3): x z 0 a) Halla la ecuación del plano que contiene a y es paalelo a PQ b) Halla la ecuación de la ecta s pependicula a que pasa po Q e inteseca a a) Las ecuaciones paaméticas de la ecta : xyz0 x z 0 xy0 z0 x0, y0 A(0,0,0) x 0 xz y x, z B(,,) x z 0 Las ecuaciones paaméticas de la ecta que pasa po el punto A(0, 0, 0) con vecto diecto AB (,, ): x y z
La ecuación implicita del plano que pasa po el punto A(0, 0, 0) con vectoes AB (,,) y PQ (,3,3) seá: x 3 y 0 yz0 3 z b) Sea Hs Como H se tiene (x, y, z) (,, ) HQ (,, 3 ) Siendo s ABHQ (,,) (,,3 ) 0 4 4 4 4 4 5 entonces HQ,, 3,, 3 3 3 3 3 3 3 Las ecuaciones paaméticas de la ecta s que pasa po el punto 4 5 Q(0,,3) con vecto diecto HQ,,, o bien, 3 3 3 v ( 4,, 5), seán: s x4 sy z 3 5
ango(u, v) ango(u, v, AB) Coincidentes ango(u, v) ango(u, v, AB) Paalelas ango(u, v) ango(u, v, AB) Secantes ango(u, v) ango(u, v, AB) 3 Se cuzan
3. Encuenta un valo de a 0 paa que las ectas: xy5z3 y 3 z y x x z a sean paalelas. Paa el valo de a que has encontado, calcula la ecuación del plano que contiene a ambas ectas. a) Las ecuaciones paaméticas de la ecta : x y5z3 x z xy z x0, y A(0,,) x 0 y5z4 x z 3, y B(,,3) z 3 Las ecuaciones paaméticas de la ecta que pasa po el punto x A(0,,) con vecto diecto AB (, 9, ): y9 z y 3 z C(, 3,0) s x a v s (,a,) Como s Los vectoes AB (, 9, ) y v (,a,) son 9 popocionales: a9 a s La ecuación implicita del plano que pasa po el punto A(0,,) con vectoes AB (, 9, ) y AC (,, ) seá: x 9 y 0 xy0z80 z
x y z 4. Dada la ecta definida po: 3 a) Halla la ecuación del plano que pasa po el oigen y contiene a. b) Halla la ecuación del plano que pasa po el oigen y es pepencicula a. x y z a) : 3 A(,,), u (, 3,) La ecuación implicita del plano que pasa po el punto O(0, 0, 0) con vectoes diectoes AO (,, ) y u (, 3, ) seá: x 3 y 0 7x 3y 5z 0 z b) Si ' n u (,3,) ' La ecuación implicita del plano ' seá: x 3y z D 0 Como O(0, 0, 0) es un punto del plano ', sustituyendo: D0 La ecuación implicita del plano ' x 3y z 0
5. Dados los puntos A(,,) y B(0, 0, ), halla los puntos C en el eje OX tales que el áea del tiángulo de vétices A, B y C es. AC x AB A AC (x,, ) AB (,, 0) i j k AC x AB x i j xk (,, x) 0 AC x AB ( ) ( x) 5 x AC x AB 5 x A 5x 4 5x 6 x Los puntos pedidos son: (,0,0) y (,0,0) 6. Considea las ectas: xyz40 x0 y s xy70 y50 a) Estudia la posición elativa de y s b) Halla un punto P de y oto punto Q de s tales que el vecto PQ sea pependicula a ambas. c) Cuántos cuadados se pueden constui teniendo un vétice en el punto P y un lado en la ecta s?. Calcula su áea. a) Dos puntos y un vecto diecto de la ecta son:
xy4 z0 x y 7 y3, x A(,3,0) xz4 y0 x 7 x7, z3 B(7,0,3) AB (6, 3, 3) u (,,) Adviétase que también se podía habe calculado un vecto diecto de la ecta de la siguiente foma: xyz40 x y 7 0 xyz40 n (,, ) xy70 n (,,0) u n x n i j k u n x n i jk (,,) 0 x0 Las ecuaciones paaméticas de la ecta s son: y 5 0 x sy5 C(, 5,0), vs C(0,0,) z Se tienen los vectoes: u (,,) vs C(0,0,) CB C(5, 5, 3)
0 5 0 5 50 3 Los vectoes son linealmente independientes Las ectas se cuzan. b) Los puntos de las ecta y s tienen la foma: x7 x y sy5 z 3 z P(7,,3 ) Q(, 5, ) PQ ( 5, 5, 3 ) Si PQ PQ. u ( 5, 5, 3 ). (,, ) 0 ( 5 ) ( 5 ) ( 3 ) 0 68 0 () Si PQ s PQ. u ( 5, 5, 3 ). (0, 0,) 0 s 0( 5 ) 0( 5 ) ( 3 ) 0 30 () Resolviendo el sistema () y (): 68 3 Sustituyendo en P(7,,3 ) y Q(, 5, ): P(5,,) y Q(, 5,) y PQ( 3, 6, 0) c) Se pueden constui dos cuadados que tengan un vétice en P y un lado en la ecta s. La longitud de los cuadados es PQ PQ 9 36 45 A PQ 45u cuadado
7. a) Pueba que si dos vectoes u y v tienen el mismo módulo, entonces los vectoes u+v y u v son otogonales. b) Considea los vectoes x (,,3) e y (,3, ) ) Son linealmente independientes los vectoes x y y x y ) Calcula el áea del paalelogamo que tiene tes vétices consecutivos en los puntos (, 5, ), (0,0,0) y ( 3,,4) a) u (u,u,u ), v (v,v,v ), u v 3 3 uv (u v,u v,u v ) 3 3 uv (u v,u v,u v ) 3 3 Si uv uv (uv).(uv) 0 (uv,uv,u3v 3).(uv,uv,u3v 3) 0 (uv ). (u v ) (u v ). (uv ) (u3v 3). ( u3v 3) 0 u v u v u v 0 3 3 3 3 (u u u ) (v v v ) 0 u v 0 pues u v b) ) x (,,3), y (,3, ) xy (,5,), xy ( 3,,4) 5 5 ango ya que 0 3 4 3 Po tanto, xy e xy son linealmente independientes. c) BA (, 5,), BC ( 3,, 4) APaalelogamo BA x BC
i j k BA x BC 5 i 0 j 4k (, 0,4) 3 4 A BA x BC ( 0) 4 780 u Paalelogamo 8. Dados los vectoes u (a,b,), v ( 3,4,) y w (,,c), detemina el valo de los paámetos a, b, c de manea que los vectoes v y w sean pependiculaes y además u x w v, donde x denota el poducto vectoial. Qué ángulo foman u y v en dicho caso? u (a,b,), v ( 3,4,), w (,,c) Si v w v.w 0 ( 3,4,).(,,c) 0 38c0 c5 i j k u x v a b ( 5b)i (5a)j (ab)k 5 u x v ( 5b,5a,ab) 5b 3 Si u x w v 5a4 a b b /5 a 3/5 En este caso u y v son pependiculaes: 3 9 4 u.v,,.( 3,4,) 0 5 5 5 5
xy0 x 9. Dadas las ectas: y s z yz50 a) Detemina su posición elativa b) En caso de cotase, detemina el ángulo que foman y el punto de cote xy0 a) Un punto A y un vecto diecto de z i j k u n x n 0 i j u (,,0) 0 0 y0 x 0 y z A(0,, ) x Dos puntos B y C y un vecto diecto de s y z 5 0 x z0 y5 B(,5,0) y 5 0 x y0 z5 C(,0, 5) z 5 0 BC (0, 5, 5) v (0,, ) s Po ota pate, AB (, 3,)
0 Los vectoes son linealmente u, v s, AB 0 0 dependientes y u,v s no son 3 popocionales Las ectas son secantes u. v u v cos(u v ) s s s u. v (,, 0). (0,, ) s u, v u. vs o cos(uv) s (uv). s 0 u v s s 0. Resolve la siguiente ecuación vectoial: x (,, ) (,3,5) sabiendo que x 6, donde el símbolo significa poducto vectoial. Si x (a,b,c) (a,b,c) (,, ) (,3,5) i j k a b c (b c) i (a c) j (a b)k (, 3, 5) 3 a c bc sistemacon a c 3 infinitas soluciones a b 5 a5 b La solución debe veifica x a b c 6 a b c 6 sustituyendo, queda:
a a5 3a a 6 3a 8a 5 0 5 a 3 obteniéndose los esultados: a, b, c x (,,) 5 5 5 5 a, b, c x,, 3 3 3 3 3 3. Se considean las ectas: x y z3 x y z y s 3 a) Justifica azonadamente que ambas ectas se cuzan. b) Halla la pependicula común y que cota a las dos ectas. a) Un punto y un vecto diecto de cada ecta: x y z3 u (,,), A(0,,3) x y z s v s (3,, ), B(,0, ) 3 AB (,, 4) Si y s se cuzan, los vectoes u,v y AB seán linealmente independientes, en consecuencia, su deteminante debeía se distinto de ceo. s
3 350 y se cuzan 4 b) Denotando po t a la pependicula común. i j k w 7j7k t 3 w (0,7,7) w (0,,) t t El plano que contiene a w y a la ecta : u (,,), A(0,,3): 0 x y 0 4xyz0 z 3 t Un punto Q de la ecta t seá Q s, se halla sustituyendo las ecuaciones paaméticas de la ecta s en : x3 x y z s y 3 z 4x y z 0 4( 3 ) ( ) 0 4 0 4 33 5 3 Q,, Q,, 4 4 4 4 4 4
La ecuación de la ecta t pependicula a las ectas y s, con el 5 3 vecto diecto w t (0,,) y el punto Q,,, seá: 4 4 4 5 x 4 t y 4 3 z 4 xyz0. Dados el plano : xyz50 y la ecta x y z 0 a) Calcula el punto de intesección ente el plano y la ecta. b) Encuenta la ecuación continua de la ecta s contenida en el plano, que es pependicula a y cota a la ecta. xyz0 n (,,) a) x y z 0 n (,, ) i j k u n x n (,,)x (,, ) (,, 3) yz0 paa x0 z5, y5 A(0, 5,5) y z 0 x Las ecuaciones paaméticas de y5 z 5 3 Paa halla un punto P se sustituyen las ecuaciones paaméticas de la ecta en el plano : xyz50 ( 5 ) (53 ) 50
5 00 y el punto P(4, 3, ) b) s v n s v u s s Como s y s cota a, el punto Ps i j k v u xn 3 (, 7, 3) s x 4 y3 z La ecuación continua de s: s 7 3 3. Un plano detemina sobe la pate positiva de los ejes OX, OY y OZ tes segmentos de longitudes, 3 y 4 m, espectivamente. a) Halle la ecuación del plano. b) Halle la ecuación de la ecta que contiene a los puntos A(, 0, 3) y B(0, 6, a) y estudie la posición elativa de y según los valoes de a. c) Paa el caso a, halle el punto donde se cotan y. a) El plano pasa po los puntos A(,0, 0),B (0,3, 0) y C(0,0, 4) AB (,3, 0) AC (,0, 4) El plano se halla con A(,0,0),AB (,3,0) y AC (,0, 4):
x 3 0 y 0 6x4y3z0 0 4 z b) La ecuación paamética de la ecta que pasa po los puntos A(,0,3), B(0, 6, a), con AB (, 6, a3) seá: x y6 z 3 (a 3) Paa halla la posición elativa de y, se sustituyen las ecuaciones de en el plano : 6x 4y 3z 0 6( ) 4(6 ) 3 3 (a3) 0 33a9 9 Si a no existe valo de 3 3a Si a y se cotan 9 c) Si a 3 3. sustituyendo los valoes a y en la ecta : x y6 se cotan en P(4, 6, 4) z 3
4. Dados los puntos P (, 3, ), P (a,,0), P 3(, 5, 4) y P(,0,), 4 se pide: a) Halla el valo de a paa que los cuato puntos estén en el mismo plano. b) Halla los valoes de a paa que el tetaedo con vétices en P, P, P, P tenga volumen igual a 7. c) Halla la ecuación del plano cuyos puntos equidisten de P y de P. 3 4 3 a) Sean los puntos P(,3, ), P (a,,0), P 3(, 5, 4) y P(,0,) 4 La ecuación del plano que pasa po P, P 3 y P 4 con PP 3(0,,5), PP (, 3,3) y P(,0,): 4 4 0 x 3 y 0 x5yz380 5 3 z Ahoa se impone la condición que P (a,,0) veifique la ecuación: 8 4.a5..0 38 0 a 8 a 3 b) P P (a,,) PP (0,,5) 3 PP (, 3,3) 4 a 0 VTetaedo detpp, PP 3, PP 4 3 7 6 6 5 3 70 0 a 8 4 a 3
c) Si ' equidista de P y de P, 3 3 entonces M, el punto medio de PP, petenece a ': P P 3 3 M,4, El plano ' es pependicula a PP, en consecuencia, n P P (0,,5) 3 ' 3 La ecuación del plano ' es de la foma: y 5z D 0 3 Como M,4, ' tiene que veifica la ecuación del plano: 3 3 3.4 5. D 0 D ' y 5z 0 ' 4y0z30 3x y z 6 0 5. Dados el plano : xyz0 y la ecta : x y 0 a) Estudia la posición elativa de y. Calcula la distancia de a b) Calcula la ecuación geneal o implícita del plano que contiene a y es pependicula a. a) : xyz0 3x y z 6 0 n (3,, ) : x y 0 n (,, 0) 3x y z 6 0 n (3,, ) : x y 0 n (,, 0)
i j k u n x n 3 (,,) 0 Un punto de, po ejemplo, si y 0: 3x z 6 0 y0 x, z3 A(,0,3) x 0 x Ecuaciones paaméticas de y z 3 Paa halla la posición elativa de y, se sustituyen las ecuaciones paaméticas de en el plano : : ( ) (3 ) 0 3 0 Como la ecuación no tiene solución, y no tienen puntos comunes. En consecuencia, La distancia ente y, con A(, 0, 3) y : xyz0, es:..0.3 3 dist(, ) dist(a, ) 3 u ( ) 3 c) Como ' n ' ' se detemina con A, u y n x ' y 0 ' xz40 z3
6. a) Calcula las ecuaciones paaméticas de la ecta que pasa po el oigen de coodenadas y es pependicula al plano deteminado po los puntos A(, 0, ), B(,, 3) y C(3, 0, 0) b) Calcula los posibles valoes de a paa que el punto P(a, a, a) equidiste de la ecta y del plano π del apatado anteio. a) A(, 0, ), B(,, 3), C(3, 0, 0) AB (,,), AC (,0, ) i j k n ABxAC (,4, ) 0 n (,, ) Como u n (,, ) Las ecuaciones paaméticas de la ecta que pasa po O(0, 0, 0) con vecto diecto u (,, ): x y z b) La distancia del punto P a la ecta :
Aea u x OP u.d d dist(p, ) paalelogamo i j k uxop (3a,0, 3a) a a a uxop u u xop 9a 9a 3a u ( ) ( ) 6 uxop 3a u 6 d dist(p, ) a 3 Paa calcula la ecuación del plano se toma el punto C(3, 0, 0) y los vectoes AB (,,) y AC (, 0, ) x 3 0 y 0 xyz30 z La distancia del punto P al plano :.a.a.a3 3 6 dist(p, ) ( ) 6 6 dist(p, ) dist(p,) a 3 a
7. Dado el punto P(,, ) y el plano : xyz5 a) Calcula las ecuaciones continuas de la ecta pependicula al plano que pasa po el punto P. b) Calcula el punto simético de P especto del plano. a) P(,, ), : xyz5 u n (,, ) x y z b) El punto O se calcula sustituyendo las ecuaciones paaméticas de en la ecuación del plano. x y z : xyz5 ( ) ( ) ( ) 5 4 7 7 34 O,, 3 3 3 3 x 7 x 3 3 PP' y 5 O y 3 3 z 7 z 3 3 5 El punto simético de P especto de es P',, 3 3 3
8. Dado el punto P(,, 3) y la ecta xyz30 x y 4 0 encuente la ecuación geneal del plano que es pependicula a la ecta y que cumple dist(p, ) 3 xyz30 n (,, ) a) P(,, 3), x y 4 0 n (,, 0) i j k u n n x n (,, ) 0 xyzd0...3d 7D Como dist(p, ) 3 3 ( ) ( ) ( ) 3 7D 9 7D9 D6 7D9 D Hay dos planos que veifican las condiciones: xyz60 ' xyz0
9. Dados los puntos P(4,, ) y Q(3, 3, ), encuenta los dos puntos, R y R, del plano xyz30 tales que PQR y PQR son tiángulos equiláteos. a) P(4,, ), Q(3, 3, ), xyz30 Sea R(x,y,z) un punto del plano PQ (,, 0) PQ PR (x 4, y, z ) QR (x3,y3,z) Paa que el tiángulo PQR sea equiláteo, se tiene que cumpli: PQ PR QR PR (x 4) ( y ) ( z ) ( ) Q R (x 3) ( y 3) ( z ) ( ) Como R veifica la ecuación: xyz30 (3) Opeando, esulta el sistema: x y z 6x6yz70 x y z 3 0 x y z 8x 4y z 9 0 Restando la ª ecuación de la ª, esulta: xy0 xy0 xy0 xyz30 xy4z60 xyz30 xy xy z
Con z, xy en x y z 8x4yz90 ( y) y 4 8 ( y) 4 y 4 9 0 y 3 x 4 y 5y60 y x 3 Los puntos pedidos son: R(4,3,) y R(3,,) 0. a) Si v 6, w 0 y vw 4, calcula el ángulo que foman los vectoes v y w. b) Calcula las ecuaciones paaméticas y la ecuación geneal del plano que pasa po los puntos A(,5,0) y B(0,,) y es paalelo a la ecta 3x y30 y3z0 a) v 6, w 0, vw 4 Po el teoema del coseno: a b c bccosaˆ 4 6 0.6.0.cos Aˆ 96 36 0.cos Aˆ ˆ cos A Aˆ 0º b) A(,5,0), B(0,,), AB (, 4,) 3x y30 n (3,,0) y3z0 n (0,, 3) i j k u n x n 3 0 ( 6,9,6) / u (,3,) 0 3
Ecuación paamética plano : x y43 z La ecuación geneal del plano que pasa po el punto B(0,,) con vectoes diectoes AB (, 4,) y u (,3,): x 4 3 y 0 x4y5z90 z. Se considea el plano xyz0, la ecta x y z3 y el punto A(,0,). 3 a) Obtene la ecuación del plano que pasa po el punto A, es paalelo a la ecta y es pependicula al plano. b) Detemina, si es posible, un plano pependicula a que pase po A y que no sea paalelo a. a) El vecto nomal n al plano está contenido en el plano. Siendo el plano un vecto paalelo al vecto diecto u de la ecta (u ) está contenido en el plano. ' Un vecto pependicula al plano seá n uxn x y z3 u (3,,) 3
xyz0 n (,,) i j k n uxn 3 4j8k (0, 4,8) La ecuación del plano que pasa po el punto A(,0,) con vecto nomal n (0, 4,8) seá: 0.(x ) 4.(y0) 8.(z) 0 y z4 0 x y b) Un punto de z3 3 es B(,, 3) Se impone que el vecto AB petenezca al plano. De este modo, cota a la ecta en el punto B, y el nuevo plano y no son paalelos. AB (,,3) (,0,) (,,) Como xyz0 v n (,,). Oto vecto de seá AB (,,), y un punto del plano es B(,,3). x y z3 0 xy3z50
. a) Halla la ecta que cota a las ectas: x y z xy0 y s 3 3 yz50 y que pasa po el punto A(,0, 7) b) Calcula la distancia del punto A a la ecta. a)paa estudia la posición elativa de las ectas y s Un punto P y un vecto diecto u de la ecta : x y z P(0,,) u (, 3,3) 3 3 Un punto B y un vecto diecto v s de la ecta s: xy0 y s si x0 B(0,,7) yz50 z7 i j k vs 0 i jk (,,) 0 Sean u (, 3,3), v (,,) y PB (0,, 7) (0,,) (0, 3, 6) s 3 3 0 Las ectas y s se cuzan 0 3 6 Sea t la ecta que cota a las ectas y s y que pasa po A El plano que pasa po A y contiene a s: xy0 El punto A(,0, 7) cumple la ecuación del plano xy0 Se calcula el punto P
x Las ecuaciones paaméticas de y3 z 3 Sustituyendo en el plano, esulta: 3 xy0 (3 ) 0 3 5 Sustituyendo el valo en : P3,, Las ecuaciones paaméticas de la ecta t que pasa po los puntos 5 5 5 A(,0, 7) y P3,, con AP5,, : x5 5 x y z 7 ty t 5 5/ 5/ 5 z7 b) S u x PA h. u u x PA hd(a,) u (, 3,3) PA (, 0, 7) (0,,) (,, 8) i j k u x PA 3 3 30 i 0 j 0k (30, 0, 0) 8 u x PA 30 0 ( 0) 00 0 u ( 3) 3. u x PA 0. d(a,) h u. 0 5
3. Halla la ecuación de la cicunfeencia que tiene su cento en el oigen x y de coodenadas y pasa po los focos de la elipse 5 9 x y 5 9 a 5, b 9 Al se una elipse se cumple que: a b c 59c c4 Los focos de la elipse son: ( 4,0) y (4, 0) El adio de la cicunfeencia es 4. Su ecuación es: x y x y 6 x 3 y z 4. Calcula el ángulo que foma la ecta 5 con el plano x5y7z0 ang(, ) n.u ˆ n. u.cos(n π u) n.u sencos(90 ) n. u x3 y z 5 u (,5, ) u 5 ( ) 30 n (, 5, 7) n ( 5) 7 78 n.u (, 5,7).(, 5, ) 4 5 7 8 n.u 8 n. u 78. 30 o sen cos(90 ) 35 '
5. Dado el punto P(,,). Calcula la ecuación de la ecta ' x simética de y especto del punto P. z Sean A y B dos puntos de la ecta, se calculan las coodenadas de sus siméticos A' y B' especto del punto P. Es deci, P es el punto medio de los segmentos AA' y BB'. La ecta ' es la que une los puntos A' y B' x y z 0 x y z0 A(,,0) x y z B(,,) a b 0c A(,,0) y A'(a,b,c) P(,,) B(,,) y B'(d,e,f) d e f con lo que A'(0, 5,4) y B'(, 6,) A'B' (,, ) x ' y 5 z 4
6. Dados el plano xyz, la ecta (x, y, z) (, 0, 0) (0,,), y el punto P(,,0), se pide: a) Halla la ecuación de una ecta s que sea pependicula a y pase po P. b) Halla el punto P', simético de P especto de. c) Halla el punto P'', simético de P especto de. a) Se halla el plano, pependicula a que pasa po P: x y u n (0,,) z P yzd0 0D0 D yz0 Sustituyendo en esulta: yz0 0 Q(,, ) Q,, QP0,, La ecuación de la ecta s que pasa po P(,, 0) con QP 0,, : x sy z b) El punto Q es el punto medio del PP' segmento PP' : Q
a a PP' b Q b0 P'(,0,) c c c) xyz n (,,) Sea la ecta PP '': v n (,,) x tpp'' y z PP'' El punto M es el punto medio del segmento PP'': MPP'' Sustituyendo t PP'' en esulta: xyz ( ) ( ) 3 M(,, ) M,, 3 3 3 Las coodenadas del punto P'': d d 3 3 PP'' e M e P'',, 3 3 3 3 3 f f 3 3
7. a) Detemina el cento y el adio de la esfea: x y z x 4y 8z 4 0 b) Detemina el cento y el adio de la cicunfeencia intesección de la esfea del apatado anteio con el plano z 0. a) La ecuación de una esfea de cento C(a,b,c) y adio es: (x a) (y b) (z c) x axy byz zxa b c 0 Compaando con la ecuación: x y z x4y8z40 a a b 4 b c 8 c 4 a b c 4 4645 5 El cento de la esfea es el punto C(,, 4) y el adio 5 b) Pimeo se calcula la ecuación de la cicunfeencia esolviendo el sistema: z 0 x y z x 4y 8z 4 0 x y x 4y 4 0 La ecuación de la cicunfeencia de cento C(a,b) y adio : (x a) (y b) x ax y b y a b 0 Compaando con la ecuación: x y x4y40 a a b 4 b a b 4 4 4 3 El cento de la cicunfeencia es el punto C(, ) y adio 3
x yz30 8. Halla la distancia ente el punto P(,, 3) y la ecta : x y z 0 La ecta en foma paamética: o o x x y z 3 0 x z : : y 3 xyz0 yxz3z z También se podía habe hecho: xyz30 z0 xy 3 : x y A(,, 0) xyz0 xy i j k xyz30 n (,, ) : u (, 3, ) x y z 0 n' (,,) El plano que pasa po P(,, 3) y es pependicula a : n u (,3,) (x ) 3(y ) (z 3) 0 x3yz00 x El punto de cote del plano x3yz00 con : y 3 z ( ) 3( 3 ) 0 0 4 36 9 El punto de cote Q(, 3, ) Q,, 4 4 4 8 5 3 8 5 3 75 d(p,) d(p,q) PQ,, 4 4 4 4 4 4 4
x y z 9. Calcula la distancia del punto P(,, 3) a la ecta : x y z : A(, 0, ) u (,, ) AP (,,) Utilizando la expesión vectoial la distancia del punto P a la ecta : d(p,) i j k AP u (,,) (,,) (3, 6,6) u (,,) (,,) (,,) x x ( ) 3 3 ( 6) 6 9 3 La distancia del punto a la ecta es independiente del punto de la ecta que se tome y del vecto diecto. x : y B( 3,, 4) v (4,, 4) BP (4,, ) z i j k 4 BP v (4,, ) (4,, 4) 4 4 ( 6,, ) v (4,, 4) (4,, 4) (4,, 4) x x d(p,) 3
30. a) Halla el luga geomético de los puntos que equidistan de los planos de ecuaciones 3x4y50 y xyz90 b) Qué puntos del eje OY equidistan de ambos planos? a) Si P(x,y,z) es uno de los puntos del luga geomético, entonces: 3x 4y5 x y z9 3x 4y5 xyz9 3 ( 4) ( ) 5 3 33x4y55xyz9 9x y 5 0x 0y 5z 45 9x y 5 0x 0 y 5z 45 esultando xy5z300 9x y 5z 60 0 Son los planos bisectoes del diedo que deteminan los dos planos dados. b) Un punto del eje OY tiene la foma P(0, y, 0). La distancia de P a cada uno de los planos ha de se igual, es deci: 4y5 y9 4y5 y9 3 ( 4) ( ) 5 3 34y5 5y9 y 5 0y 45 y 5 30 y 5 0y 45 y 30 Hay dos puntos P (0, 5, 0) y P0,,0