Tema 3. Especificación, estimación y validación de modelos ARIMA

Tema 3. Especificación, esimación y validación de modelos ARIMA. La Meodología Box-Jenkins. Especificación inicial.. Conrases de raíces uniarias.. Análisis de correlogramas y correlogramas parciales 3. Esimación. 4. Valoración de modelos 4. Conrases de hipóesis sobre los coeficienes 4. Análisis de residuos 4.3 Conrases respeco a modelos alernaivos 5. Una aplicación a una serie real

. Meodología Box-Jenkins La meodología propuesa por Box y Jenkins para el análisis de series emporales consise en los siguienes pasos:. Deerminar la ransformación esacionaria de la serie.. Analizar el correlograma y el correlograma parcial para deerminar cuál es el modelo apropiado para la ransformación esacionaria 3. Esimar los parámeros del modelo 4. Diagnósico para comprobar que el modelo saisface los supuesos iniciales, fundamenalmene que las innovaciones no esán relacionadas con el pasado. 5. En el caso de que las innovaciones no sean ruido blanco, proponer un modelo alernaivo en función de la información conenida en el correlograma de los residuos.

. Especificación inicial Dada una serie emporal concrea, la primera eapa para su análisis es la especificación de un modelo inicial para ajusar a dicha variable. La propuesa de dicho modelo inicial se basará en: i. Primero deerminar cuál es la ransformación esacionaria ii. Analizar los correlogramas de la ransformación esacionaria para deerminar los órdenes del modelo ARMA esacional muliplicaivo adecuado.

. Conrases de raíces uniarias La deerminación de la ransformación esacionaria para una deerminada variable puede basarse en res insrumenos fundamenales: i) Análisis visual del gráfico de la serie ii) Análisis del correlograma de la serie. Cuando una serie es esacionaria, sus correlaciones ienden a cero relaivamene rápido. Por lo ano cuando observamos que las correlaciones no ienden a cero suficienemene rápido, podemos sospechar que la serie no es esacionaria iii) Conrases de raíces uniarias: Dickey-Fuller

.4.3...0 0.9 0.8 50 500 750 000 50 500 Daily Euro-Dollar exchange rae from 4h January 999 up o 5h May 005

.03.0.0.00 -.0 -.0 -.03 50 500 750 000 50 500 Firs differences of logs of euro-dollar exchange raes: reurns

5.0 4.8 4.6 4.4 4. 4.0 3.8 80 8 84 86 88 90 9 94 96 98 00 0 04 LDESEMPLEO

.3...0 -. -. 80 8 84 86 88 90 9 94 96 98 00 0 04 Tasas anuales de desempleo

.3...0 -. -. 80 8 84 86 88 90 9 94 96 98 00 0 04 Diferencias mensuales de las asas de desempleo anuales

Vamos a considerar ahora el conrase de Dickey- Fuller para deerminar si una serie es o no esacionaria Supongamos que la serie ha sido generada por un modelo AR() = c + φ y y + a

El conrase DF esá diseñado para conrasar la siguiene hipóesis: H 0 : φ = ( non saionary) H : φ < ( saionary) Bajo la nula, esamos ineresados en la raíz posiiva: esamos conrasando si enemos un paseo aleaorio. Siempre enemos que incluir una consane en el modelo porque esamos conrasando frene a la alernaiva de esacionariedad (no de media cero). Es un conrase unilaeral.

Por razones numéricas, el conrase se basa en la esimación por MCO de la siguiene ecuación El esadísico se calcula de la forma habiual. Sin embargo, su disribución asinóica debe ser obenida numéricamene porque, bajo la hipóesis nula, la serie no es esacionaria y la eoría asinóica habiual no se puede uilizar. a y c a y c y + + = + + = * ) ( φ φ 0 : 0 : * * 0 < = φ φ H H

Ejemplo: Tipo de cambio.4.3...0 0.9 0.8 50 500 750 000 50 500 Daily Euro-Dollar exchange rae from 4h January 999 up o 5h May 005

El conrase puede exenderse (DF Aumenado) para considerar esrucuras dinámicas más complejas que un modelo AR(). En ese caso, la disribución del esadísico no cambia. Sin embargo, la disribución depende de los componenes deerminisas que se incluyan en el modelo (consanes, endencias, variables ficicias ec.)

Ejemplo: desempleo 5.0 4.8 4.6 4.4 4. 4.0 3.8 80 8 84 86 88 90 9 94 96 98 00 0 04 LDESEMPLEO

.3...0 -. -. 80 8 84 86 88 90 9 94 96 98 00 0 04 Tasas anuales de desempleo

.3...0 -. -. 80 8 84 86 88 90 9 94 96 98 00 0 04 Diferencias mensuales de las asas de desempleo anuales

. Análisis de correlogramas y correlogramas parciales Una vez que la serie ha sido ransformada en una serie esacionaria, debemos analizar el correlograma y el correlograma parcial para deerminar cuál es el modelo inicial apropiado para represenar la dependencia dinámica de dicha ransformación esacionaria

Ejemplos.3...0 -. -. 80 8 84 86 88 90 9 94 96 98 00 0 04 Diferencias mensuales de las asas de desempleo anuales

.5.4.3...0 -. -. -.3 -.4 9 93 94 95 96 97 98 99 00 0 0 03 04 05 Tasas anuales de variación de edificios consruidos

.8.6.4..0 -. -.4 9 93 94 95 96 97 98 99 00 0 0 03 04 05 Variaciones mensuales de las asas anuales de edificios consruidos

. Esimación Los parámeros del modelo ARMA pueden esimarse por Máxima Verosimiliud asumiendo una disribución condicional concrea para la serie de inerés. Aunque las observaciones no son muuamene independienes, la verosimiliud puede obenerse mediane ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( y f Y y f Y f Y y f Y y f Y f Y y f Y f L T T T T T T T T T T = = = = = ) ( log )) ( log( log y f Y y f L T + = =

y Si es condicionalmene Normal enonces su densidad condicional viene dada por f ( y Y ) = ( πvar ( y Y )) exp ( y E( y Y )) Var( y Si ambién asumimos que el proceso es esacionario y Gaussiano, de forma que la disribución marginal de las observaciones iniciales sea Gaussiana, enonces la densidad marginal es ( y ) = µ f ( y) exp / πσ σ ( ) / Y )

El logarimo de la verosimiliud Gaussiana es ( ) ) ( log ) ( ) ( ) ( log ) log( ) ( log )) ( log( log σ µ σ π = + = = = = y Y y Var Y y E y Y y Var T y f Y y f L T T T

En los modelos ARMA, la varianza condicional siempre es consane. Por lo ano, La media condicional y la disribución marginal dependen del modelo paricular que se haya ajusado a la serie. ( ) ) ( log ) ( ) ( ) log( log σ µ σ σ σ π = = y Y y E y T T L T a a

Ejemplo: AR() Por lo ano, la log-verosimiliud Gaussiana es φ µ = c φ σ σ = a ) ( + = y c Y y E φ ( ) + = = ) ( ) ( ) log( log φ σ φ φ σ φ σ π a T a a c y y c y T T L

Si consideramos que los valores iniciales de la serie son fijos en disinas realizaciones, enonces T log L = ( T ) log(π ) σ a ( y c φ y ) El esimador de máxima verosimilud condicional es equivalene a MCO: sus propiedades asinóicas son las mismas que las del esimador de máxima verosimiliud. σ a T =

Bajo el supueso de esacionariedad, la disribución asinóica del esimador de máxima verosimiliud es la habiual, lo que nos permie realizar conrase de hipóesis sobre los parámeros del modelo de forma esándar.

Ejemplo: Masa monearia europea 7.0E+09 6.0E+09 5.0E+09 4.0E+09 3.0E+09.0E+09.0E+09 0.0E+00 970 975 980 985 990 995 000 005 Masa monearia europea.04.03.0.0.00 -.0 -.0 -.03 -.04 970 975 980 985 990 995 000 005 Variaciones mensuales de las asas anuales de la masa monearia europea

Ejemplo: Desempleo 5.0 4.8 4.6 4.4 4. 4.0 3.8 80 8 84 86 88 90 9 94 96 98 00 0 04 LDESEMPLEO.3...0 -. -. 80 8 84 86 88 90 9 94 96 98 00 0 04 Diferencias mensuales de las asas de desempleo anuales

Ejemplo: Tipo de cambio.4.3...0 0.9 0.8 50 500 750 000 50 500 Daily Euro-Dollar exchange rae from 4h January 999 up o 5h May 005.03.0.0.00 -.0 -.0 -.03 50 500 750 000 50 500 Firs differences of logs of euro-dollar exchange raes: reurns

4. Valoración de modelos Una vez que el modelo ha sido ajusado a la serie de inerés, la úlima eapa consise en analizar si el modelo es apropiado. Para ello vamos a realizar 3 ipos de análisis: a) Conrases sobre los coeficienes: significaividad y raíces comunes. b) Diagnósico: Ese análisis se basa habiualmene en los residuos que no deben esar correlacionados con el pasado: su correlograma no debe ener ninguna correlación significaivamene disina de cero. c) Conrases respeco a modelos alernaivos.

Comparación de modelos La selección de los parámeros p y q mediane el análisis del correlograma puede presenar dificulades prácicas en algunos casos. Por ello, se han propueso crierios para decidir enre modelos alernaivos para una deerminada series emporal. En la prácica se uilizan dos de esos crierios: el AIC (Akaike Informaion Crieria) y el BIC (Bayes Informaion Crieria).

Crierios de información El AIC se basa en elegir aquel modelo que minimice la siguiene canidad: AIC( p, q) ˆ = log( σ a ) + ( p + q) T El crierio BIC elige el modelo que minimice AIC( p, q) = log( ˆ σ ) a + ( p + q) T log( T ) Esos crierios y fundamenalmene AIC ienden a sobreparamerizar los modelos.

Ejemplo: Masa monearia europea.04.0.04.03.0.0.00.00 -.0 -.04 -.0 -.0 975 980 985 990 995 000 Residual Acual Fied

Ejemplo: Desempleo.3...0.03.0.0.00 -.0 -.0 -.03 8 84 86 88 90 9 94 96 98 00 0 04 Residual Acual Fied -. -.

Ejemplo: Tipo de cambio.03.0.0.03.0.0.00 -.0 -.0 -.03.00 -.0 -.0 -.03 50 500 750 000 50 500 Residual Acual Fied

5. Una aplicación a una serie real: Turisas exranjeros en España.40E+07 7.0.00E+07 6.5.60E+07.0E+07 6.0 5.5 5.0 8.00E+06 4.5 4.00E+06 4.0 0.00E+00 970 975 980 985 990 995 000 005 3.5 970 975 980 985 990 995 000 005 EXTRANJEROS LEXTRANJEROS

.4.3...0 -. -. -.3 -.4 -.5 970 975 980 985 990 995 000 005 DSLEXTRANJEROS

.4..0.4..0 -. -.4 -.6 -. -.4 970 975 980 985 990 995 000 005 Residual Acual Fied

.4..0 -..3 -.4.. -.6.0 -. -. -.3 970 975 980 985 990 995 000 005 Residual Acual Fied

.4.3...0 -. -. -.3 -.4 970 975 980 985 990 995 000 005 DDSLEXTRANJEROS

.4..0.3...0 -. -. -.3 970 975 980 985 990 995 000 005 -. -.4 Residual Acual Fied