Regresión espuria en especificaciones dinámicas

Transcripción

1 Ensaos Volumen XXVIII, núm.1, mao 009, pp. 1-0 Regresión espuria en especificaciones dinámicas Manuel Gómez Zaldivar 1 Oscar Manjarrez Casro Daniel Venosa-Sanaulària 3 Fecha de recepción: 17 XII 008 Fecha de acepación: 17 III 009 Resumen La regresión espuria ha sido documenada en economería desde el rabajo de Granger Newbold (1974). Dicho fenómeno ha sido idenificado usando una vasa diversidad de Procesos Generadores de Daos que van desde una simple raíz uniaria sin deriva (uni roo wihou drif), hasa una serie esacionaria en endencia con rompimienos esrucurales (broken rend saionar). No obsane, la especificación bajo la cual se han realizado esos rabajos es la regresión simple con una sola variable eplicaiva. En ese documeno se demuesra que, usando series esacionarias en endencia independienes enre sí, la regresión espuria ambién ocurre cuando se esima una especificación dinámica. Dicha especificación dinámica es empleada frecuenemene en el esudio de las epecaivas. Los resulados amplían complemenan dos cuesiones que con frecuencia son sugeridas en los manuales de economería: cuando el proceso es esacionario en endencia con quiebres esrucurales, (i) en especificaciones dinámicas, el esadísico Durbin-Wason no iende a cero, por lo que no es una prueba fiable de regresión espuria, (ii) la inclusión de la variable dependiene rezagada en el conjuno de eplicaivas no siempre corrige el problema de la regresión espuria. Palabras clave: Regresión Espuria, procesos esacionarios en endencia, especificación dinámica. 1 Deparameno de Economía Finanzas, Universidad de Guanajuao. Deparameno de Economía Finanzas, Universidad de Guanajuao. 3 Auor responsable de la correspondencia. Deparameno de Economía Finanzas, Universidad de Guanajuao. DCEA-Campus Marfil, Fracc. I, El Esablo, Guanajuao, Go. CP 3650, Méico. Teléfono fa: 5 (473) ; correo elecrónico: daniel@venosa-sanaularia.com.

2 Ensaos Absrac The spurious regression phenomenon, idenified b Granger and Newbold (1974) is well known in economerics. In fac, spurious regression occurs under a wide varie of Daa Generaing Processes: drifless uni roo, uni roo wih drif, rend saionari, broken-rend saionari, However, he phenomenon has been solel sudied under he assumpion ha he specificaion o be esimaed is a simple linear regression wih a single regressand. We prove in his aricle ha he spurious regression phenomenon also occurs when a dnamic specificaion is esimaed. Dnamic specificaions are commonl emploed o model epecaions. Our resuls eend he common knowledge concerning spurious regression usuall found in popular ebooks: when he variables are rend saionar (i) using hem in dnamic specificaion does no preclude he Durbin-Wason saisic o collapse so he laer is no a reliable ool in he idenificaion of he spurious regression, and (ii) including he lagged value of he dependen variable as a regressand does no alwas solve he problem of spurious regression. Kewords: Spurious Regression, Trend Saionari, Dnamic Specificaion. JEL classificaion: C1, C13, C. Inroducción El esudio de la regresión espuria -en economía- iene su origen en un esudio de Mone Carlo realizado por Granger Newbold (1974), mismo que la pone en evidencia mediane la simulación de procesos no esacionarios e independienes enre sí. Con dichas variables simuladas, Granger Newbold esimaron la especificación = α 0 + β0 + u por el méodo de Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO). Los resulados de sus simulaciones arrojaron lo que ho se conoce como regresión sin senido: se deecó mu frecuenemene una relación esadísica ineisene enre variables independienes. El fenómeno de regresión espuria puede ser definido formalmene, como en seguida se epone. Considere dos procesos generados como caminaas aleaorias independienes enre sí: + = 1 u, u iid(0, σ ) (1) = 1 + v, v ~ iid(0, σ ) () u v

3 Esime por MCO la siguiene regresión: Regresión espuria en especificaciones dinámicas 3 = 0 + β 0 α + ε (3) Sabiendo que las variables son independienes, sería de esperar que el esimador del parámero β así como la bondad del ajuse R del 0 ejercicio de esimación, fueran cercanos a cero. Sin embargo, ése no es siempre el caso. Esa relación esadísica sin senido, resulane de esimar una regresión usando series no esacionarias, es conocida como regresión espuria. La eplicación eórica de ese fenómeno fue epuesa por Phillips (1986), quien, definiendo las variables como en (1) () respecivamene, demosró que el esimador por MCO de β no iende a 0 cero como debería; mienras que su esadísico asociado, diverge a asa T (con lo que la hipóesis nula de no significancia acaba siendo rechazada, conforme aumene el amaño de muesra). Así mismo, Phillips demosró que, en esas condiciones, la R converge en probabilidad a uno. Cabe mencionar que los Procesos Generadores de Daos usados por Phillips (1986) son en eremo sencillos: raíz uniaria sin deriva. En esudios poseriores, diversos auores han demosrado que el fenómeno ambién ocurre usando procesos más complejos que los empleados por Phillips: caminaa aleaoria con deriva, procesos inegrados fraccionalmene, procesos inegrados de órdenes superiores, ec. No obsane, la lieraura no inclue en su haber especificaciones dinámicas usando procesos con endencia deerminisa. En ese rabajo, se emplea jusamene esa especificación se demuesra que el fenómeno de regresión espuria ambién se gesa. Al esimar por MCO la relación = α + β + δ + ε, siendo ambas variables esacionarias en 1 endencia e independienes enre sí, las herramienas de inferencia esadísica - en paricular, el esadísico asociado a βˆ - indican erróneamene la eisencia de una relación esadísica enre. La imporancia de ese resulado radica en que complemena eiende lo señalado en algunos libros de economería, que frecuenemene son uilizados (Maddala, 199; Griffihs, Hill Judge, 1993; Hamilon, 1994; Johnson Dinardo, 1998; Wooldridge, 000; Davidson Mackinnon, 004). Ese rabajo se esrucura de la siguiene manera: en la primera sección (1), se ofrece una breve revisión de la lieraura concerniene a la regresión espuria; en la segunda sección (), se presena la imporancia de las

4 4 Ensaos especificaciones dinámicas en economía aplicada juno con los resulados asinóicos; en la ercera sección (3), se encuenran los eperimenos de muesra finia. Por úlimo, se incluen los comenarios finales res apéndices, en los que: (i) se siúan los resulados del arículo sobre la lieraura concerniene a regresión espuria; (ii) se eplica la meodología para realizar los cálculos asinóicos (iii) se presena el código informáico que efecúa ales cálculos. Cabe mencionar que los úlimos dos apéndices corresponden a documenos aneos que esán disponibles en línea. 1. Breve revisión de la lieraura Al esimar una regresión lineal simple por el méodo de MCO uilizando dos variables -la eplicada la eplicaiva-, ambas independienes con un fuere componene endencial, eise la posibilidad de que al esudiar la significancia esadísica del parámero asociado al regresor, se infiera una relación -ineisene- enre ales variables. A lo anerior se le denomina Error ipo I suele minimizarse esableciendo un nivel de, por ejemplo, 5%. Cuando la frecuencia del error ipo I es mucho maor a la que uno fija con el nivel, se dice que ese esadísico arroja resulados espurios. La relación sin senido resulane es conocida en la lieraura económica economérica como regresión espuria. Como a se mencionó aneriormene, las consecuencias de las regresiones espurias enre caminaas aleaorias independienes fueron señaladas, inicialmene, por Granger Newbold (1974), usando simulaciones de Mone Carlo. Los auores enfaizaron lo inapropiado que podría llegar a ser el uso de las pruebas esadísicas radicionales, en presencia de series no esacionarias. Regresión espuria en procesos con endencia esocásica Phillips (1986) propuso la uilización de una eoría asinóica no esándar que eplica en el ámbio eórico dicho fenómeno. Los procesos generadores de daos (PGDs) empleados por ese úlimo auor son las sencillas caminaas aleaorias sin deriva. Phillips demosró que las disribuciones ano de los parámeros como de los esadísicos, difieren de las disribuciones esándar, es decir, las que se obienen bajo los supuesos clásicos del modelo de regresión; encuenra, además, que la disribución del inercepo diverge que el coeficiene de la pendiene así como el coeficiene de deerminación, R, no convergen en su verdadero valor, que es cero. De igual forma, las epresiones de los esadísicos asociados a los parámeros esimados divergen a asa T, siendo T el amaño de la muesra. Lo anerior implica, asinóicamene, un rechazo sisemáico de la hipóesis nula, H 0 : β = 0, con base en los valores críicos convencionales. Por úlimo, Phillips encuenra

5 Regresión espuria en especificaciones dinámicas 5 que la prueba Durbin-Wason (DW) de auocorrelación de primer orden converge a cero. Marmol (1995) esudia el fenómeno usando series que son generadas por procesos de inegrados de orden d, donde d { 1,,... }. Marmol encuenra que el esimador del inercepo, diverge; la asa de divergencia depende del orden de inegración de las variables. Por ora pare, ano el esimador de β como la R ienen una disribución límie nodegenerada, independienemene del orden de los procesos. Al igual que Phillips (1986), Marmol demuesra que el esadísico asociado a la pendiene diverge a asa T. Además, el esadísico DW converge a cero independienemene del orden de inegración. Ora eensión imporane la llevan a cabo Cappuccio Lubian (1997), quienes esudian las propiedades asinóicas de la esimación de la regresión (3), cuando ambas variables son procesos de memoria larga. Al esimar por MCO el coeficiene βˆ, los auores demuesran que ése iene una disribución límie no-degenerada. Con respeco al esadísico, Cappuccio Lubian obienen la misma asa de divergencia que Phillips. La R iene ambién una disribución límie no-degenerada el esadísico DW, como en los casos previos, converge en probabilidad a cero. Marmol (1996b) demuesra que la regresión espuria se da ambién cuando las variables empleadas ienen disinos órdenes de inegración, no imporando cual sea ése en cada una. Los esadísicos, ano αˆ como, divergen a asa T 1/. Con respeco a la DW, ésa converge a cero a una asa que, esa sí, depende del orden de inegración de las variables. En lo que respeca a la R, se obiene una disribución límie no-degenerada, no imporando el orden de inegración de las series. Enorf (1997) realiza un esudio similar al de Phillips (1986); sólo que los PGDs que él usa son raíces uniarias con deriva. Enorf encuenra que la esimación por MCO de β converge en probabilidad, a la razón de las derivas de. de βˆ. Además, el esadísico βˆ diverge a asa T. En el caso del coeficiene de deerminación, R, ése converge a 1.

6 6 Ensaos 1.. Regresión espuria en procesos con endencia deerminisa La regresión espuria ambién ocurre cuando el componene de endencia de las series es de nauraleza deerminisa (ver ecuación 5 en la próima sección). Uno de los primeros resulados en ese senido fue proviso por Hasseler (000), en cuo rabajo se demuesra que el fenómeno de regresión espuria esá presene en series esacionarias con respeco a una endencia lineal. Ese mismo resulado fue obenido, de manera independiene, por Kim, Lee Newbold (004). En forma análoga a Enorf (1997), Kim, Lee Newbold encuenran que el esimador del coeficiene de la pendiene converge en probabilidad a la razón de las pendienes de de ; en Enorf, era la razón de derivas. De igual manera, el esadísico crece a 3/ asa T. Eendiendo los resulados de Kim, Lee Newbold (004), Noriega Venosa-Sanaulària (006) esudian el fenómeno de la regresión espuria donde las endencias deerminisas de los PGDs esán sujeas a cambios esrucurales. Noriega Venosa-Sanaulària demuesran que, cuando eisen múliples rompimienos esrucurales en las series, la regresión espuria se presena, como en los demás casos mencionados, asinóicamene. Sin embargo, en ese rabajo la asa de divergencia del esadísico asociado a βˆ vuelve a ser T, como en la maoría de los casos en los que el componene de endencia es esocásico. Recienemene Noriega Venosa-Sanaulària (007) realizan un esudio del fenómeno de regresión espuria, donde las variables usadas en la especificación (3) resulan de combinaciones de los PGDs que anes se mencionan. Desacan en paricular las combinaciones de procesos deerminisas esocásicos en los que, como aneriormene sucede, ambién se da la regresión espuria. βˆ. Regresión dinámica: resulados asinóicos Para cualquier disciplina que aborde el esudio de la nauraleza, resula paricularmene relevane conocer las consecuencias de la realización de un eveno (variaciones en el precio de peróleo, aumeno de la ofera monearia, crecimieno del ingreso, recaudación fiscal,...), a que es necesario, por ejemplo, reducir o amplificar los efecos negaivos (posiivos), a ravés de políicas económicas. Dicho conocimieno es ambién necesario si la finalidad del esudio es la elaboración de pronósicos. No obsane, raras son las ocasiones en que los efecos de dicho fenómeno son eclusivamene insanáneos; por lo general, repercuen en periodos poseriores. En oras palabras, es imporane esudiar la dinámica de los procesos; los modelos economéricos dinámicos consiuen, de hecho, una herramiena prácica para hacerlo. En ese senido, conviene saber si las especificaciones dinámicas radicionalmene usadas en economería son suscepibles de

7 Regresión espuria en especificaciones dinámicas 7 arrojar inferencia espuria, bajo qué circunsancias lo harían. En ese rabajo, se aborda la cuesión desde el ángulo de la esacionariedad. Qué ocurre con la esimación de especificaciones dinámicas, cuando las series empleadas conienen un componene de endencia deerminisa? En esa sección, se presenan las propiedades asinóicas de los esimadores en una especificación dinámica. En una primera insancia, definimos los Procesos Generadores de Daos con los que se rabaja. Como a se señaló, la dependencia de una variable,, (dependiene) respeco a ora u oras variables (eplicaivas) raramene es insanánea. Es común consaar que los cambios en esa úlima ienen efeco no sólo en la realización conemporánea de la variable dependiene, sino ambién en las realizaciones fuuras. Semejane dinámica puede ser modelada, por ejemplo, mediane especificaciones que reciben el nombre de Modelos de Rezagos Disribuidos (MRD). El ejemplo más simple de un MRD, un MRD(1,0), es: = + β + δ 1 α + ε (4) El rezago de la variable dependiene en ano que eplicaiva en la ecuación (4), implica una serie de repercusiones dinámicas en, que se dirimen en el iempo ane un cambio en. Ha un efeco inmediao, seguido además de respuesas en el coro, mediano largo plazo. En esa sección se presena el resulado eórico principal del arículo. La especificación esudiada consise en un modelo dinámico simple, un MRD(1,0), como el esipulado en (4). El PGD de ambas variables,{ w } =1 para w =,, es un proceso esacionario en endencia, que denoaremos TS (por sus siglas en inglés, Trend Saionar): PGDA = µ = µ + β + β + ε + ε (5) donde ε ε son, o bien (i) variables independiene e idénicamene disribuidas (iid) o, si no, (ii) procesos que saisfacen las condiciones generales esablecidas en la proposición 17.3 de Hamilon (1994, p. 505): u = ψ w( L) ε w = ψ w, jε w 1, j= 0 para w=,

8 8 Ensaos donde j= 0 ψ < la secuencia { ε } con media cero, varianza j w, j w σ w cuaro momeno finio [lo cual auoriza que haa auocorrelación heeroscedasicidad]. Se esudia en primera insancia el caso en el que las innovaciones, ε ε son iid. Si al invesigar una posible relación dinámica enre se esima la regresión (4), enonces, dicha esimación posee las siguienes propiedades asinóicas: Teorema 1 Sean dos variables independienes generadas de acuerdo al PGD A, donde ε ε son independienes enre sí ambién son variables aleaorias (v. a.), independiene e idénicamene disribuidas con esperanza cero varianza consane, σ σ, respecivamene. Esime por MCO la regresión (4) denoe αˆ, β ˆ δˆ los esimadores de β δ, respecivamene. Enonces, cuandot : σ p αˆ + σ β ( µ β σ β + σ µ β β ) α, ˆ σ β p β β σ β + σ β ˆ σ β p δ σ β + σ β < 1 T = 1/ α ˆ T = 1/ β ˆ T = 1/ δ ˆ O p O p O p (1) (1) (1) R = 1 O ( T p F = O ( T p 3 ) )

9 Regresión espuria en especificaciones dinámicas 9 DW donde σ β p σ + 3σ β + β σ β p denoa convergencia en probabilidad ( p ) orden de convergencia. O indica el Prueba: ver apéndices B C disponibles en: hp:// Es fundamenal desacar que los res coeficienes esimados, αˆ, β ˆ δˆ, convergen en probabilidad, sin necesidad de escalar por una poencia de T, a una epresión disina de cero. Noe que el esimador de δ es asinóicamene posiivo menor a la unidad. Más imporane aún es el comporamieno de los esadísicos asociados a dichos parámeros. Ésos divergen a asa T. Debido a lo anerior, conforme el amaño de la muesra aumene, habrá un rechazo sisemáico de la hipóesis nula. En oras palabras, se obendrá evidencia de que los parámeros no son nulos. Resala en paricular el esimador βˆ, pues al concluir que es disino de cero, se considerará que sí eise una relación esadísica enre las variables, aun cuando ésa es ineisene. Además, la medida de bondad del ajuse, la R, converge en probabilidad con la unidad, lo que indica un ajuse perfeco ; mienras que la prueba de significancia conjuna, la prueba de F, 3 diverge en eremo rápidamene, a asa T. Ello indica que, asinóicamene, siempre se rechaza la hipóesis nula de que odos los parámeros son iguales a cero. Todo lo anerior inducirá a una conclusión errónea, al eisir, (i) un aparene buen ajuse del modelo, (ii) una fuere significancia esadísica de odos los parámeros. En lo que concierne al esadísico DW, ése ambién converge en probabilidad a un valor no nulo. Lo anerior conrasa con la creencia de que una regresión espuria arroja un DW cercano a cero. Ahora, presenamos los resulados asinóicos de la esimación de esa misma especificación [ecuación (4)], suponiendo que las innovaciones de los PGDs no son iid sino que más bien son procesos - esacionarios- con una ciera esrucura de auocorrelación: Teorema Sean dos variables independienes generadas de ε son independienes enre sí obedecen acuerdo al PGD A, donde ε a las condiciones esablecidas por Hamilon (1994, p.505). Esime por MCO

10 10 Ensaos la regresión (4) denoe αˆ, β ˆ δˆ los esimadores de α, β σ, respecivamene. Enonces, cuandot : ρ p αˆ ˆ ( σ p β σ 3 1 β ( β β + µ β µ β ) + σ β + σ β ( µ β µ β ) ρ 1 β ) β β + σ β σ β + σ β ˆ p ρ β δ σ β 1 + σ β + σ β < 1 T = 1/ α ˆ T = 1/ β ˆ T = 1/ δ ˆ O p O p O p (1) (1) (1) R = 1 O ( T p ) F = O ( T p 3 ) (1) DW = O p donde ρ 1 denoa la primera auocovarianza de la v.a. ε. Prueba: ver apéndices B C disponibles en: Los resulados asinóicos en presencia de auocorrelación en las innovaciones de los PGDs no son mu diferenes a los aneriores. Las epresiones son más eensas, pero los órdenes de divergencia se manienen inacos. Ello implica que el fenómeno de la regresión espuria sigue manifesándose en ese caso: esimadores esadísicamene significaivos individualmene en conjuno bondad del ajuse ala. En lo que concierne al esadísico DW, en ese caso ampoco se colapsa; por lo que

11 Regresión espuria en especificaciones dinámicas 11 conrariamene a la maor pare de los resulados de regresión espuria, no es posible idenificarla mediane la observación de un esadísico DW cercano a cero. Los resulados obenidos en ese esudio complemenan a los a eisenes en especificaciones esáicas. Dado que los procedimienos para deecar corregir regresión espuria en especificaciones dinámicas difieren de su conrapare esáica, incluimos una breve discusión en el apéndice A, donde se eplica más dealladamene los conrases. 3. Resulados eperimenales Los resulados hasa ahora obenidos son de nauraleza asinóica, por lo que sólo son válidos, en principio, en muesras de gran amaño. Eise la posibilidad de que esos úlimos provean una aproimación mu pobre a lo que se observa en muesras de amaño menor, como las que usualmene esán disponibles para información macroeconómica. Con objeo de esudiar las propiedades de los esimadores en muesras finias, conviene realizar eperimenos de Mone Carlo. En esa sección, se presenan los resulados de esimaciones hechas con daos simulados así como con las fórmulas asinóicas obenidas aneriormene, con objeo de evaluar qué an rápido son ésas úlimas una represenación adecuada de los esimadores de MCO, cuando se usan muesras relaivamene pequeñas. Para generar los daos, se emplea el PGD A. Se reiene -en cada replicación de la simulación- el valor de los esadísicos asociados a los parámeros que acompañan a las variables 1 en la regresión (4); con base en ésos, se decide si ha evidencia suficiene para rechazar la hipóesis nula 4, H 0 : βˆ ó δ ˆ = 0. Lo anerior se repie 10,000 veces la proporción o asa de rechazo es la que se repora en el cuadro (1). Dichas asas de rechazo se calculan para muesras de amaño T=50, 100, 00, 500, 1,000 10,000. Los parámeros usados en los PGDs de son los siguienes: µ = 0. 5, µ = 0. 8, β = β = La magniud de ésos corresponde aproimadamene a los obenidos en el esudio empírico de Noriega (004). Los resulados simulados muesran que, en un 99% de los casos, cuando T 50, el esadísico señala que eise una falsa relación βˆ 4 Nivel de confianza 5%; valor críico

12 1 Ensaos enre las series. Esos resulados ienen aún maor conundencia con muesras maores a 100 (donde el rechazo es sisemáico). Cuadro 1 Tasa de rechazo usando los esadísicos δˆ : variables generadas con base en el PGD A. Las innovaciones son iid T βˆ δˆ Teórico Simulado Teórico Simulado , , βˆ La imporancia de ese cuadro radica en la similiud eisene enre resulados asinóicos de muesra finia. En efeco, odo parece indicar que los primeros consiuen una buena aproimación a los segundos, aun en muesras an pequeñas como las de 50 observaciones. La segunda simulación que se presena en esa sección, dealla la observación del fenómeno de la regresión espuria bajo diversos escenarios, concernienes a la nauraleza de las innovaciones en el PGD A. Se incorporan a ése: (i) Innovaciones e z ~ iidn(0,1) (ii) procesos auorregresivos [ AR 1) : u ϕ u + e, donde z =, ; ϕ = 0.4; ϕ 0.7; e ~ iidn(0,1) ]; ( z = z z 1 z = z (iii) procesos de promedios móviles [ MA 1) : u _ z θ θ + e, donde z =, ; θ = 0.4; θ 0.7; e ~ iidn(0,1) ] ( = z z 1 z = z (iv) Ruidos blancos heeroscedásicos

13 Regresión espuria en especificaciones dinámicas 13 [ e ~ iid N(0,1) para =1,,,T/ ; e ~ iid N(0,16) para =(T/)+1, (T/)+,,T, e ~ iidn(0,9) para =1,, T/; ~ iidn(0,16) = ( T / ) + 1,( 7) +,... T ] e para El cuadro () arroja resulados ineresanes. Por una pare, confirma el eperimeno anerior de Mone Carlo, en ano indica que los resulados asinóicos son buenas aproimaciones a los esimadores por MCO, en muesras finias; la asa de rechazo de H 0 usando el esadísico asociado a βˆ es, para odo fin prácico, igual al 100%; la medida de bondad del ajuse, la R, es en odos los casos superior a 0.9 para muesras con 100 observaciones o más; el esadísico de prueba F se dispara desde T=50, con lo que la significancia conjuna de los parámeros queda respaldada por ése, el esadísico DW es O (1), lo que deja paene que no en oda p regresión espuria, dicho esadísico iende a cero. Todos los apunes aneriores se manienen bajo disinos ipo de innovaciones en ambas variables; ésas pueden ser ruido blanco homoscedásico o heeroscedásico, procesos auorregresivos o de promedios móviles. Desaca el hecho de que, bajo heeroscedasicidad, los resulados de muesras finias parecen requerir de más observaciones para equipararse a los asinóicos.

14 14 Ensaos Cuadro Inferencia en regresiones dinámicas espurias: (i) Tasa de rechazo del esadísico ; (ii) Bondad de Ajuse R ; (iii) Esadísico F ; (iv) βˆ Esadísico DW: Variables generadas con base en el PGD A. Las innovaciones son iid, procesos auoregresivos, procesos de promedios móviles procesos independiene no-idénicamene disribuidos (heeroscedásicos). Innovaciones T Esadísico Ruido Blanco AR(1) MA(1) Heerosc. 50 Tasa de rechazo R F DW Tasa de rechazo R F DW Tasa de rechazo R F DW Tasa de rechazo R F DW

15 Regresión espuria en especificaciones dinámicas 15 Conclusiones En ese rabajo, se ha presenado la eoría asinóica de los esimadores de Mínimos Cuadrados Ordinarios usando una especificación dinámica simple asumiendo que las variables empleadas son generadas como Procesos Esacionarios en Tendencia independienes enre sí. Con base en lo anerior fue posible eender los resulados de Kim, Lee Newbold (004) Noriega Venosa-Sanaulària (006) en una dirección original, pueso que el fenómeno de regresión espuria suele ser esudiado únicamene en el marco de una especificación sencilla con ordenada en el origen una única variable eplicaiva. El resulado obenido muesra que la regresión espuria ambién se da en especificaciones dinámicas, cuando la nauraleza de la endencia en las variables es deerminisa. Se demosró que ese fenómeno se da, ano asinóicamene como en muesras finias en eremo pequeñas, es decir, menores a 100 observaciones. El esadísico asociado al esimador de β diverge a asa T, mienras que la R converge a 1 el esadísico de 3 significancia conjuno, F, diverge a asa T. Cabe resalar que el coeficiene de deerminación, R, así como la prueba F, indican -erróneamene- que el modelo esá correcamene especificado, por lo que eise un gran riesgo en el supueso de llevar a cabo inferencia sin senido, al esimar una especificación dinámica. Por ora pare, se enconró que el esadísico DW, conrario a lo que usualmene se obiene en esa lieraura, no se colapsa; por lo cual, la regla heurísica para decidir si ha regresión espuria- R > DW - definiivamene no aplica en ese caso. Finalmene, se presenó evidencia con daos simulados, que corrobora la perinencia de los resulados asinóicos en muesras finias.

16 16 Ensaos Apéndice A. Complemeno de resulados conocidos en la lieraura Cuando se raa de esimar una especificación esáica, como la represenada en la ecuación (3) se considera que las variables ienen un componene de endencia esocásico 5, el rabajo de Phillips (1986) permie vislumbrar la posibilidad de idenificar, de manera heurísica, la regresión espuria mediane el esadísico DW; la regla señala que, cuando DW < R, ha regresión espuria. En efeco, cuando la regresión es espuria, dicho esadísico iende a cero. Lo anerior quedó confirmado en casos en los que las variables se consruen con PGDs más elaborados, que los que empleó Phillips (1986). 6 La sugerencia de revisar el esadísico DW con objeo de idenificar una posible regresión espuria puede enconrarse en muchos manuales de economería; a manera de ejemplo, mosramos los siguienes casos: Johnson Dinardo; Economeric Mehods, p.61: One should no overreac o hese seemingl alarming resuls [Se refieren al fenómeno de regresión espuria]. Firs, low DW saisics are now usuall aken as indicaions of seriousl misspecified relaions, so ha one abandons he relaion and works on a re-specificaion... Griffihs, Hill Judge; Learning and Pracicing Economerics, pp : Granger and Newbold suggesed ha when a Leas Squares regression leads o a high R bu a low Durbin-Wason saisic, hen he relaionship should be esimaed in firs differences... Gujarai; Basic Economerics, pp : Tha here is somehing wrong in he preceding regression is suggesed b he eremel low Durbin-Wason [DW] value, which suggess ver srong firs-order auocorrelaion... Maddala; Inroducion o Economerics, pp : However, if he DW saisic is ver low, i ofen implies a misspecified equaion, no maer wha he value of he R is. In such case... Los aneriores eracos son válidos en los escenarios bajo los cuales esuvieron escrios. En ese arículo, probamos que si modificamos ales escenarios, es decir que cuando se esima una regresión dinámica con procesos TS dicha regla definiivamene no aplica, pueso que el esadísico 5 Concreamene, consideran el caso en que ambas variables conienen una raíz uniaria. 6 Ver Marmol (1995), Cappuccio Lubian (1997) Marmol (1996b), enre oros.

17 Regresión espuria en especificaciones dinámicas 17 DW no sólo no converge a cero, sino que de hecho se maniene relaivamene cercano a. En oras palabras, los resulados aquí epuesos complemenan dicha regla heurísica al señalar que, jusamene, no aplica en especificaciones dinámicas donde los procesos son TS. También es relevane mencionar que ha oros casos en los que la regresión es espuria la DW no iende a cero. Tsa Chung (000), quienes generalizaron el rabajo de regresión espuria usando procesos independienes- de memoria larga de Cappuccio Lubian (1997), enconraron combinaciones de procesos de esa nauraleza que, al ser uilizadas en la esimación por MCO de la especificación (3), arrojan esadísicos DW disinos a cero. 7 Ora de las consecuencias de los resulados de los Teoremas 1, que complemena modesamene algunos consejos esbozados en los manuales de economería, iene que ver con el uso de las especificaciones dinámicas como solución a la regresión espuria. Se sugiere ocasionalmene, que: incluir rezagos de la variable dependiene del lado de los regresores puede resolver el problema de la regresión espuria. Lo anerior, reieramos, es una prácica válida si el componene de endencia de las series es esocásico, al como suponen los auores de los siguienes eracos de libros de economería: Johnson Dinardo; Economeric Mehods, p. 61: Second, hese resuls [de regresión espuria] are all derived from regressions involving onl curren variables. If are independen random walks and is regressed on, hen a double specificaion error has been commied; a relevan variable 1 has been ecluded and... Davidson MacKinnon; Economeric Theor and Mehods, pp : Upon reflecion, i is no enirel surprising ha ess based on he spurious regression model [ver especificación (3): = α 0 + β 0 + ε ] do no ield sensible resul [...] I migh seem ha we could obain sensible resuls b running he regression [ver especificación (4): = α + β + δ 1 + ε ] Hamilon; Time Series Analsis, pp : [Cures for Spurious Regressions]...The firs approach is o include lagged 7 Conviene aclarar, en ese caso, que es relaivamene conocido en economería que la prueba Durbin-Wason de auocorrelación de primero orden, no funciona en especificaciones dinámicas; es necesario emplear la prueba h de Durbin. No obsane, recalcamos que la DW ambién se emplea para evaluar si la regresión es espuria o no. Es en ese senido, que nosoros la esudiamos.

18 18 Ensaos values of boh he dependen and independen variable in he regression... Sobra decir que las res afirmaciones son cieras, bajo los condiciones dispuesas por los auores. Cuando la nauraleza de la endencia de las series es esocásica, el incluir variables rezagadas aminora o corrige parcialmene los efecos de la regresión espuria. No obsane, conviene noar que la regresión espuria no sólo se gesa enre variables con endencias esocásicas, sino ambién con su equivalene deerminisa (Kim, Lee Newbold, 003; Noriega Venosa-Sanaulària, 006 Noriega Venosa-Sanaulària, 007). Cuando los PGD son de ese ipo, como se demuesra aquí, incluir un rezago de la variable dependiene enre los regresores no evia el problema ni mucho menos permie idenificarlo. 8 Referencias Cappuccio, N. D. Lubian, (1997). Spurious Regressions Beween I(1) Processes wih Long Memor Errors, Journal of Time Series Analsis, 18, Davidson, R. J. Mackinnon, (004). Economeric Theor and Mehods, Oford Universi Press. Enorf, H. (1997). Random Walks Wih Drifs: Nonsense Regression and Spurious Fied-Effec Esimaion, Journal of Economerics, 80, Granger, C. W. J. Newbold, P. (1974). Spurious Regressions in Economerics, Journal of Economerics,, Griffihs, W. E., Hill, R.C. Judge, G. (1993). Learning and Pracicing Economerics, John Wile & Sons Inc. Hamilon, J. (1994). Time Series Analiss. Princeon. Hasseler, U. (000). Simple Regressions wih Linear Time Trends, Journal of Time Series Analsis, 1, En ese senido, es imporane agregar que la cura de la regresión espuria propuesa por Wooldridge (000) -consisene en incluir una endencia deerminisa en la especificaciónampoco funciona cuando las series involucradas en la regresión espuria son esacionarias en endencia con rompimienos esrucurales. Ello esá demosrado en Noriega Venosa- Sanaulària (006).

19 Regresión espuria en especificaciones dinámicas 19 Hendr, D. F. (1995). Dnamic Economerics, Oford Universi Press, Advanced Tes in Economerics. Johnson, J. J. Dinardo (1998). Economeric Mehods. McGraw Hill. Kim, T.H., Lee, Y. S. Y Newbold, P. (003). Spurious RegressionsWih Processes Around Linear Trends or Drifs, Discussion Papers in Economics. (004). Spurious regressions wih saionar processes around linear renes, Economics Leers, 83(), Maddala, G. (199). Inroducion o Economerics (ed.), New York, NY: McMillan. Marmol, F. (1995). Spurious Regressions Beween I(d) Processes, Journal of Time Series Analsis, 16, (1996a). Correlaion Theor of Spuriousl Relaed Higher Order Inegraed Processes, Economics Leer, 50, (1996b). Nonsense Regressions Beween Inegraed Processes of Differen Orders, Oford Bullein of Economics and Saisics, 58, (1998). Spurious Regression Theor wih Nonsaionar Fracionall Inegraed Processes, Journal of Economerics, 84, Noriega, A. E. (004). Uni Roo Tesing under Muliple Srucural Breaks: a Mone Carlo Sud, [Mimeo], Escuela de Economía, Universidad de Guanajuao. Noriega, A. E. D. Venosa-Sanaularia, (006). Spurious Regression Under Broken Trend Saionari, Journal of Time Series Analsis, 7, (007). Spurious Regression and Trending Variables, Oford Bullein of Economics and Saisics, 69(3), Phillips, P. (1986). Undersanding Spurious Regressions in Economerics, Journal of Economerics, 33, (1998). New Tools for Undersanding Spurious Regressions, Economerica, 66,

20 0 Ensaos Tsa, W.J. Chung, C. (000). The spurious regression of fracionall inegraed processes, Journal of Economerics, 96(1), Wooldridge, J. M. (000). Inroducor Economerics. A Modern Approach. Wesern College Publishing.

21 Regresión espuria en especificaciones dinámicas 1 Apéndice B. Desarrollo asinóico Se dealla la meodología empleada para obener los resulados asinóicos: Sea la especificación 4, misma que se esima suponiendo que las variables se generan con base en el PGD A. La esimación de los parámeros β α ˆ, ˆ δˆ se hizo mediane la formulación maricial de MCO: 9 U X Y + = β donde: Se calculan los esimadores de MCO mediane la fórmula clásica Y X X X ' ) ' ( ˆ 1 = β. Si desarrollamos la mariz cuadrada X X ' obenemos: = 1 ' T X X Por ora pare, al desarrollar Y X ' obenemos: = 1 ' Y X 9 Todas las sumas son hasa T.

22 Ensaos Desarrollamos poseriormene cada una de las sumaorias que aparecen en esas marices (se coloca bajo cada componene de la sumaoria el orden de divergencia que le corresponde). Dado que las sumaorias (i) (iv), 1 1 ienen el mismo PGD,, ; (ii), (iii) 1 ; 1 son esencialmene iguales (sólo cambia el subíndice de los parámeros), las desarrollamos usando la noación z=,. Todos los órdenes de convergencia pueden enconrarse en Phillips (1986), o en Hamilon (1994): z = µ zt + β z + 13 u z 13 1 / Op ( T ) Op ( T ) z 1 = µ zt + β z β zt + uz 1 13 O ( T = µ z T + β z u z z z z u z z u z µ β + µ + β O p ( T ) O p ( T ) p 1 / z ) z z µ 3 / O p ( T ) 1 = µ z T + µ zβ z µ zβ zt + µ z u z + z u z 1 + β β + β u + β u 1 β z z u z + z u zu z / Op ( T ) z z z z En los resanes desarrollos es necesario disinguir de :

23 Regresión espuria en especificaciones dinámicas 3 Finalmene, sólo resa precisar las sumas deerminisas: Apéndice C. Cálculo asinóico en Mahemaica TM Las epresiones aneriormene desarrolladas se capuran en un programa que realiza odo el cálculo asinóico necesario. En ese aparado, se presena el código realizado en Mahemaica 4.1 para obener el valor asinóico de los esimadores αˆ, β ˆ δˆ, así como de σ ˆ de la R. 10 Para poder leer dicho código es necesario conocer el glosario; ése se divide en dos. El primer glosario [ver cuadro (3)] es el que permie leer los programas relaivos a la esimación de los parámeros, la varianza la bondad de ajuse. El segundo glosario [ver cuadro (4)] permie leer los programas relaivos al cálculo del esadísico DW: 10 El esadísico F puede derivarse fácilmene con base en su relación con la R.

24 4 Ensaos C.1. Glosarios Cuadro 3: Glosario para demosración de resulados asinóicos relaivos a αˆ, β ˆ δ ˆ, σ ˆ R. z =,. Noe que 1/ u u = O ( ausencia de auocorrelación O p (T ) en presencia de ésa. 1 p T ) en

25 Regresión espuria en especificaciones dinámicas 5 Cuadro 4: Glosario para demosración de resulados asinóicos relaivos al numerador del esadísico DW(el denominador es asinóicamene σˆ T z =, ). C.. Demosración del eorema 1 C..1. Esimación de los parámeros, la varianza la bondad de ajuse

26 6 Ensaos

27 Regresión espuria en especificaciones dinámicas 7

28 8 Ensaos C... Esimación del esadísico Durbin-Wason ClearAll; Sd = ( B + * S) * T ;

29 Regresión espuria en especificaciones dinámicas 9 C.3. Demosración del eorema C.3.1. Esimación de los parámeros, la varianza la bondad de ajuse El código es idénico al anerior; basa con reemplazar, en la epresión de S1, C*T 1/ por C*T. C.3.. Esimación del esadísico Durbin-Wason ClearAll; Sd = ( B + * S * S1) * T ;

30 30 Ensaos