PREDICCIÓN CON REDES NEURONALES: COMPARACIÓN CON LAS METODOLOGÍAS DE BOX Y JENKINS. Autora Joanna Verónica Collantes Duarte

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1 UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y SOCIALES INSTITUTO DE ESTADÍSTICA APLICADA Y COMPUTACIÓN PREDICCIÓN CON REDES NEURONALES: COMPARACIÓN CON LAS METODOLOGÍAS DE BOX Y JENKINS Auora Joanna Verónica Collanes Duare Tuor Prof. Giampaolo Orlandoni Merli Jurado Prof. Gerardo Colmenares La Cruz Prof. Luciano Maldonado TRABAJO DE GRADO Presenado ane la UNIVERSIDAD DE LOS ANDES En cumplimieno parcial de los requisios para opar al íulo de MAGISTER SCIENTIAE EN ESTADÍSTICA APLICADA Mérida, Venezuela 2001

2 RESUMEN El objeivo principal de esa invesigación es comparar las meodologías de Box y Jenkins, ARIMA y Función de Transferencia, uilizadas frecuenemene en esadísica para predicción con series de iempo, con una écnica de la Ineligencia Arificial denominada Redes Neuronales (RN). Las nociones básicas de análisis de series de iempo en el campo esadísico se exponen brevemene. Así como ambién se reseñan los concepos fundamenales de Redes Neuronales que permian diseñar RN adecuadas para predicción. Una meodología para predicción con redes neuronales es propuesa. Ésa preende servir de guía para ener éxio en la predicción con series de iempo. La comparación planeada se basa en el esudio de dos aplicaciones, la primera, es la serie del número de nacimienos mensuales ocurridos en España. A esa serie se le aplica la meodología ARIMA y RN para predicción (caso univariable). El modelo ARIMA proporciona un mejor ajuse, pero la RN logra mejores predicciones.. La segunda aplicación comprende dos series: el gaso de publicidad mensual (en miles de $) y el número de venas mensuales (en miles de casos). Se desea predecir el número de venas en base al gaso de publicidad. En ese caso se aplica el Modelo de Función de Transferencia y RN para predicción (caso bivariable). La RN resula ser muy superior al MFT, ano en el ajuse como en la predicción. El puno más álgido en el diseño del modelo de la red son las enradas o rerasos de la serie. En forma empírica, se llegó a la conclusión de que puede uilizarse la meodología ARIMA como una herramiena de preprocesamieno de daos, considerando como enradas los rerasos involucrados en el modelo proporcionado por esa meodología. En el caso del MFT no podemos llegar a la misma conclusión, seguramene, porque en el ejemplo esudiado no se logra capar el parón de comporamieno del proceso. Sin embargo, herramienas muy úiles resularon ser los correlogramas simple y parcial, y el gráfico de correlación cruzada para idenificar los rerasos de inerés candidaos a ser enradas.

3 A mi hija, mi esposo y mis padres con odo mi amor ii

4 AGRADECIMIENTO Al uor Prof. Giampaolo Orlandoni Merli, por guiar pacienemene esa invesigación y esar dispueso a comparir sus conocimienos. Al Prof. Gerardo Colmenares La Cruz, por sus apores y siempre oporunas correcciones. Al Prof. Francklin Rivas Echeverría, por sus valiosas ideas y explicaciones. Al Lic. Milon Quero, por las sugerencias meodológicas y por ener siempre una palabra de alieno. A mi esposo Hussein El Fakih Rodríguez, por su colaboración e inconmensurable paciencia. A la Virgen de Coromoo. Gracias. iii

5 INDICE CAPÍTULO I: Inroducción Planeamieno y Formulación del Problema Objeivos Alcances y Limiaciones... 3 CAPÍTULO II: Series de Tiempo: Meodologías de Box y Jenkins Nociones Básicas de Series de Tiempo y Predicción Definición de Serie de Tiempo Objeivos del Análisis de Series de Tiempo Componenes de una Serie de Tiempo Méodos de Predicción Méodos de Box y Jenkins ARIMA: Modelo Univariable Función de Transferencia: Modelo Bivariable CAPÍTULO III: Redes Neuronales Neuronas Biológicas Modelo de una Neurona Arificial Funciones de Acivación Arquiecura de Red Enrenamieno y Generalización Enrenamieno Generalización Modelos de Redes Neuronales Arificiales usados para Predicción iv

6 CAPÍTULO IV: Una Meodología para Predicción con Redes Neuronales Meodología para Predicción de un Modelo Univariable con Redes Neuronales Meodología para Predicción de un Modelo Bivariable con Redes Neuronales CAPÍTULO V: Experimenos y Resulados Serie Nacimienos: Caso Univariable Meodología ARIMA Redes Neuronales Análisis Comparaivo: Ajuse y Predicción Serie Publicidad y Venas: Caso Bivariable Función de Transferencia Redes Neuronales Análisis Comparaivo: Ajuse y Predicción CAPÍTULO VI: Conclusiones y Recomendaciones Conclusiones Recomendaciones Referencias Bibliográficas Apéndice 1: Valores originales de la serie nacimienos, la predicción ARIMA y el error Apéndice 2: Ruinas desarrolladas en MaLab para la predicción con RN (caso univariable) Apéndice 3: Programa en SAS para la consrucción del MFT Apéndice 4: Valores de la serie original de venas, predicción usando el MFT y error Apéndice 5: Ruinas desarrolladas en MaLab para la predicción con RN (caso bivariable) Glosario de Acrónimos v

7 INDICE DE FIGURAS 3.1. Dibujo esquemáico de neuronas biológicas Equivalencia enre la neurona arificial y biológica Modelo de una neurona Función Paso Función Lineal Función Rampa Función Logísica Función Tangene Hiperbólica Función Gaussiana Ejemplo de una arquiecura de red Parón de enrenamieno en forma abular y gráfica Red neuronal RN de alimenación adelanada con una capa ocula para la predicción de series de iempo con daos mensuales Red Neuronal Función de Base Radial con 3 cenros de daos Secuencia del número de nacimienos ocurridos en España desde enero de 1960 hasa diciembre de Diagrama de caja por año para el número de nacimienos ocurridos en España enre 1960 y Tabla de los resulados de la prueba de homogeneidad de varianza de Levene para el nº de nacimienos Tabla de los resulados de la prueba de homogeneidad de varianza de Levene para el ln (nº de nacimienos ) Secuencia del número de nacimienos con las ransformaciones: logarimo neperiano y 1era. diferencia en la pare regular (enero de 1960-diciembre de 1999) Correlograma simple con las ransformaciones: logarimo naural y 1era. diferencia en la pare regular Correlograma parcial con las ransformaciones: logarimo naural y 1era. diferencia en la pare regular Correlograma simple con las ransformaciones: logarimo naural, 1era. diferencia en la pare regular y 1era. diferencia en la pare esacional...52 vi

8 5.9. Correlograma parcial con las ransformaciones: logarimo naural, 1era. diferencia en la pare regular y 1era. diferencia en la pare esacional Correlograma simple (esacional) con las ransformaciones: logarimo naural, 1era. diferencia en la pare regular y 1era. diferencia en la pare esacional Correlograma parcial (esacional) con las ransformaciones: logarimo naural, 1era. diferencia en la pare regular y 1era. diferencia en la pare esacional Serie original y ajusada. Periodo: enero de 1960 diciembre de Correlograma simple de los residuos para la serie nacimienos Correlograma parcial de los residuos para la serie nacimienos Serie original y la predicción. Periodo: enero de 1992 diciembre de Mariz de pesos enre las 13 enradas y los 7 nodos de la capa ocula Medias de los pesos para las 13 enradas Tabla con las RN seleccionadas, nº de enradas y nº de nodos de la capa ocula Errores de ajuse y predicción para las cinco RN seleccionadas Errores de ajuse y predicción para la mejor RN y el modelo ARIMA Gráfico del ajuse de la serie nacimienos con RN y ARIMA Gráfico de la predicción de la serie nacimienos con RN y ARIMA Gráfico de secuencia de la serie publicidad Correlograma simple de la serie publicidad Correlograma parcial de la serie publicidad Correlograma simple con 1 era. diferencia regular Correlograma parcial con 1 era. diferencia regular Serie publicidad original y ajusada. Periodo de enrenamieno: 80 daos Correlograma simple de los residuos Correlograma parcial de los residuos Gráfico de correlación cruzada Correlograma simple de los residuos Correlograma parcial de los residuos Correlación cruzada de los residuos con x Esimación de los parámeros del MFT mediane SAS Serie original de venas y la predicción. Periodo: 20 úlimos meses Tabla con las RN seleccionadas, nº de enradas y nº de nodos de la capa ocula Errores de ajuse y predicción para las seis RN seleccionadas Errores de ajuse y predicción para la mejor RN y el MFT Gráfico del periodo de predicción: valores verdaderos de la serie venas, RN y MFT...75 vii

9 Capíulo I: Inroducción Pág. Nº 1 CAPÍTULO I INTRODUCCIÓN Ese capíulo inroducorio esablece que el enfoque de ese esudio es de ipo comparaivo, enre las écnicas esadísicas de Box y Jenkins, uilizadas en predicción con series de iempo y la écnica compuacional, derivada de la Ineligencia Arificial, denominada Redes Neuronales. Así como ambién, preende ransmiir la esencia del rabajo realizado, sus objeivos, su imporancia, sus alcances y limiaciones.

10 Capíulo I: Inroducción Pág. Nº PLANTEAMIENTO Y FORMULACIÓN DEL PROBLEMA Planeamieno del Problema La predicción basada en series de iempo es de gran inerés prácico, pues permie conocer con un margen de error valores fuuros de una serie basándose en sus valores pasados (caso univariable), lo cual podría faciliar la oma de decisiones y la planificación. En ocasiones exise una relación causal enre dos series, en ese caso valores pasados de una serie ayudan a predecir valores fuuros de ora serie (caso bivariable). La esadísica clásica para poder predecir uiliza, con mucha frecuencia, las meodologías de Box y Jenkins (Box, Jenkins y Reinsel, 1994). Esas meodologías requieren del crierio de un expero, los pasos a realizar dependen del ipo de daos, esos daos deben ser esacionarios, se analizan los gráficos de correlaciones, se evalúa la adecuación del modelo, se mide el error de predicción, ec. Esos procedimienos pueden resular complejos, lo cual nos conduce a inenar dar solución a ese problema mediane las nuevas écnicas compuacionales que han omado auge en los úlimos años. La Ineligencia Arificial ha surgido como una nueva área del conocimieno. Esá formada por un conjuno de écnicas que inenan imiar, en forma arificial, las habilidades relacionadas con la ineligencia humana. Una de esas écnicas que raa de simular el pensamieno humano mediane conexión de neuronas es la denominada Redes Neuronales, uilizada recienemene con un relaivo éxio para la predicción de series de iempo. Pueden ciarse algunos rabajos en el área como los realizados por: Wong 1991, Hill e al 1996, Wedding II y Cios 1996, Faraway y Chafield 1998, enre oros. Formulación del Problema Cuál es la capacidad prediciva de las Redes Neuronales en comparación con las Meodologías de Box y Jenkins? 1.2. OBJETIVOS Objeivo General Comparar los méodos de predicción: Meodologías de Box y Jenkins y Redes Neuronales.

11 Capíulo I: Inroducción Pág. Nº 3 Objeivos Específicos Diseñar Redes Neuronales para que realicen procesos de predicción univariable y bivariable. Predecir valores de series de iempo uilizando los méodos: Redes Neuronales y las Meodologías de Box y Jenkins: ARIMA y Función de Transferencia. Analizar y comparar los resulados obenidos con las diferenes meodologías para predicción, uilizando como crierios comparaivos los errores de ajuse y predicción ALCANCES Y LIMITACIONES Con esa invesigación se preende analizar en forma comparaiva y mediane casos de esudio, las Meodologías de Box y Jenkins, usadas ampliamene en esadísica para la predicción con series de iempo, y una écnica de la Ineligencia Arificial denominada Redes Neuronales. Un objeivo es proponer cieros diseños de redes neuronales que pudieran ser úiles al momeno de predecir, ano en el caso de disponer de una sola serie de iempo (caso univariable), como en el caso de la exisencia de ora serie de iempo que enga una relación causal con la primera y que ayude a mejorar su predicción (caso bivariable). El desarrollo de esa invesigación se presena mediane seis capíulos: El primero es un capíulo inroducorio, donde se planea el problema, objeivos, alcances y limiaciones de la invesigación. El segundo capíulo proporciona las nociones básicas de series de iempo, en el ámbio esadísico, y se hace énfasis en las Meodologías de Box y Jenkins: Meodología ARIMA que permie predecir valores de una serie de iempo en base a sus valores pasados (caso univariable), y la meodología de Función de Transferencia que proporciona valores fuuros de una serie de iempo en base a sus valores pasados y a ora serie con la cual se iene una relación causal (caso bivariable). El ercer capíulo inroduce al área de Redes Neuronales, se definen y esablecen los aspecos más imporanes y por úlimo, se exponen varios modelos de redes usados para predicción por diversos auores. En el cuaro capíulo se planea una meodología para consruir los modelos de redes neuronales que se uilizarán para la predicción, ano en el caso univariable como bivariable. Se esablece la forma de medir el error, lo cual se uilizará como crierio comparaivo enre las Meodologías de Box y Jenkins y las Redes Neuronales. El quino capíulo se dedica, primero, a la aplicación de la Meodología ARIMA y a la consrucción del modelo de Red Neuronal Univariable

12 Capíulo I: Inroducción Pág. Nº 4 para la serie de iempo del número de nacimienos mensuales ocurridos en España enre enero de 1960 y diciembre de 1999; y segundo, a la aplicación de la écnica de Función de Transferencia y a la consrucción del modelo de Red Neuronal Bivariable para las series de gasos mensuales de publicidad y número de venas mensuales de ciera empresa. En cada uno de los casos se discuen los resulados obenidos según los crierios de comparación esablecidos. Por úlimo, en el sexo capíulo se planean las conclusiones, así como algunas recomendaciones para el camino a explorar en esa línea de invesigación. Ese rabajo no preende esablecer la superioridad de una meodología sobre ora, sino de evaluar, mediane ejemplos, la posibilidad de predecir uilizando Redes Neuronales, y discuir las venajas y desvenajas de ésas comparadas con las meodologías de Box y Jenkins, uilizadas comúnmene en esadísica.

13 Capíulo II: Series de Tiempo: Meodologías de Box y Jenkins Pág. Nº5 CAPÍTULO II SERIES DE TIEMPO: METODOLOGÍAS DE BOX Y JENKINS Muchos daos se almacenan en forma de series de iempo, mensuales, rimesrales, anuales y es de gran imporancia para las empresas u organismos poder pronosicar sus valores para la planificación y la oma de decisiones. Un méodo frecuenemene uilizado en la esadísica clásica para la predicción con series de iempo de una variable es el descrio por Box y Jenkins (Box, Jenkins y Reinsel, 1994), basado en el proceso Auorregresivo Inegrado de Promedio Móvil: ARIMA (de sus siglas en inglés, Auoregressive Inegraed Moving Average ). En el marco de las Meodologías de Box y Jenkins se consideran los modelos de función de ransferencia para predecir valores de una serie de iempo en base a valores pasados de esa serie y de oras series que ienen una relación causal con ésa. En ese capíulo se esudiarán las nociones básicas de series de iempo, así como ésos méodos de predicción mencionados.

14 Capíulo II: Series de Tiempo: Meodologías de Box y Jenkins Pág. Nº NOCIONES BÁSICAS DE SERIES DE TIEMPO Y PREDICCIÓN Definición de Serie de Tiempo De acuerdo a Bowerman y O Connel, 1993, una serie de iempo es una secuencia cronológica de observaciones de una variable paricular. Conseguimos series de iempo en los disinos campos del saber: en economía, mercadeo, demografía, meeorología, ingeniería, ec. Muchos son los ejemplos de series de iempo que podrían ciarse, ales como: Las venas mensuales de una empresa en la úlima década. El número de auomóviles producidos por año de deerminada marca en el periodo La emperaura diaria promedio en los úlimos 6 meses Objeivos del Análisis de Series de Tiempo Según Chafield, 1978, son varios los objeivos por los cuales se puede querer analizar una serie de iempo: Descripción: Cuando enemos una serie de iempo, el primer paso en el análisis es graficar los daos y obener medidas descripivas simples de las propiedades principales de la serie. Explicación: Cuando las observaciones son omadas sobre dos o más variables, es posible usar la variación en una serie para explicar la variación en oras series. Predicción: Dada una serie de iempo se puede querer predecir los valores fuuros de la serie. Ese es el objeivo más frecuene en el análisis de series de iempo. Conrol: Cuando una serie de iempo se genera por mediciones de calidad de un proceso, el objeivo del análisis puede ser el conrol del proceso Componenes de una Serie de Tiempo Una serie de iempo frecuenemene es examinada con la inención de descubrir parones hisóricos que puedan ser úiles en la predicción. Para idenificar esos parones es

15 Capíulo II: Series de Tiempo: Meodologías de Box y Jenkins Pág. Nº7 conveniene pensar que una serie de iempo consise de varios componenes (Bowerman y O Conell, 1993): 1. Tendencia: Una serie de iempo iene endencia cuando por largos periodos los valores crecen o decrecen. También puede definirse como cambios en la media. 2. Ciclos: Se refiere a movimienos hacia arriba y hacia abajo alrededor del nivel de la endencia. Esas flucuaciones, medidas de pico a pico, pueden ener una duración larga. 3. Variaciones Esacionales: Son parones periódicos que ocurren y se repien cada deerminado iempo, por ejemplo: anualmene. Esas variaciones son usualmene causadas por facores como el clima y las cosumbres. 4. Flucuaciones Irregulares: Son movimienos erráicos en una serie de iempo que no siguen un parón regular, ni reconocible. Tales movimienos represenan lo que queda en una serie de iempo después de que la endencia, ciclos y variaciones esacionales han sido explicadas Méodos de Predicción Pueden obenerse valores fuuros de una serie de iempo observada mediane una gran variedad de méodos de predicción. Esos méodos pueden clasificarse fundamenalmene en res ipos: 1. Subjeivo: Las predicciones se hacen sobre bases subjeivas usando el crierio, la inuición, el conocimieno en el área y ora información relevane (Chafield, 1978). Enre esos méodos esán: Ajuse de una curva subjeiva, el Méodo Delphi y comparaciones ecnológicas en iempo independiene. Ninguno de esos méodos se considerará en ese esudio. 2. Univariado: Ese ipo de méodo obiene valores fuuros de la serie basándose en el análisis de sus valores pasados, se inena conseguir un parón en esos daos, se asume que ese parón coninuará en el fuuro y se exrapola para conseguir ales predicciones. Son muchos los méodos que encajan en esa caegoría, enre ésos se encuenran: Exrapolación de curvas de endencia, suavización exponencial, méodo de Hol-Winers y méodo de Box y Jenkins (ARIMA). Ese

16 Capíulo II: Series de Tiempo: Meodologías de Box y Jenkins Pág. Nº8 úlimo es un méodo ampliamene uilizado y es en el que cenraremos nuesro inerés. 3. Causal o Mulivariado: Involucra la idenificación de oras variables que esán relacionadas con la variable a predecir. Una vez que esas variables han sido idenificadas, se desarrolla un modelo esadísico que describe la relación enre esas variables y la variable a predecir. La relación esadísica derivada es enonces usada para predecir la variable de inerés (Bowerman y O Connell, 1993). Enre esos méodos esán: Regresión múliple, modelos economéricos y méodo de Box y Jenkins (Modelo de Función de Transferencia). Ese úlimo méodo es una exensión del modelo ARIMA que consise en describir la relación enre la variable de enrada y la variable de salida. Aunque el méodo puede generalizarse para varias variables de enrada, nos concenraremos únicamene en el caso bivariable (una variable de enrada y una de salida) MÉTODOS DE BOX Y JENKINS Se esudiarán dos meodologías desarrolladas por Box y Jenkins que permien predecir valores fuuros de una serie de iempo basándose en valores pasados de una sola variable o dos variables enre las que exise una relación causal ARIMA: Modelo Univariable El proceso Auorregresivo Inegrado de Promedio Móvil: ARIMA (de sus siglas en inglés, Auoregressive Inegraed Moving Average ) es denominado ambién Méodo (Univariane) de Box y Jenkins. Ese enfoque de Box y Jenkins es una de las meodologías de más amplio uso para el análisis de series de iempo. Es popular debido a su generalidad y cuena con programas de compuación bien documenados. Si bien Box y Jenkins no fueron los creadores ni quienes conribuyeron de manera más imporane en el campo de los modelos ARMA, si fueron quienes los popularizaron y los hicieron accesibles (Maddala, 1996). La meodología de Box y Jenkins requiere que la serie sea esacionaria o que sea esacionaria después de una o más diferenciaciones. Una serie de iempo es esacionaria, si su media, su varianza y su covarianza (en los disinos rezagos) permanecen consanes sin imporar el momeno en el cual se midan

17 Capíulo II: Series de Tiempo: Meodologías de Box y Jenkins Pág. Nº9 (Gujarai, 1997). Para el raamieno de la no esacionariedad en la media se propone la diferenciación sucesiva de la serie, aprovechando la propiedad de que gozan una gran pare de los procesos esocásicos, de converirse en esacionarios al diferenciarlos ciero número de veces. Las primeras diferencias de los valores de la serie de iempo y1, y2,..., yn son: z = y y donde = 2,3,...,n (2.1) 1 Las segundas diferencias son: z ( y y ) ( y y ) = para = 3,4,...,n (2.2) La meodología de Box y Jenkins aplica méodos auorregresivos, promedio móvil, auorregresivos y de promedio móvil y, auorregresivo inegrado de promedio móvil. A coninuación se explicarán brevemene cada uno de esos procesos. Las series de iempo se suponen en adelanes esacionarias a menos que se especifique lo conrario. Considérese Y = y - µ, donde y son los valores originales de la serie de iempo, µ es la media de odos los valores de la serie, y Y es la desviación del proceso respeco a la media. ε es una perurbación aleaoria o ruido blanco (con media cero, varianza consane y covarianza cero). Los diferenes procesos son: a) Proceso Auorregresivo (AR) Definición: Al modelo Y = φ1y-1 + φ2y φpy-p + ε (2.3) donde p denoa el número de érminos auorregresivos y φ1, φ2,..., φp es un conjuno finio de pesos o parámeros, se le denomina proceso auorregresivo de orden p o AR(p). Los érminos φ son coeficienes deerminados por regresión lineal. Esos coeficienes son muliplicados por los p valores previos de la serie. Ese modelo relaciona el valor pronósico de Y con la suma ponderada de sus valores en periodos pasados, más una perurbación aleaoria en el iempo. Equivalenemene, y haciendo uso del operador reardo B, que funciona de la siguiene manera BY = Y-1, un proceso auorregresivo puede expresarse como: (1- φ1b - φ2b φpb p ) Y = ε (2.4) o en forma abreviada φp(b)y = ε (2.5)

18 Capíulo II: Series de Tiempo: Meodologías de Box y Jenkins Pág. Nº10 b) Proceso de Promedio Móvil (MA) Definición: Y podría ser generado por el modelo: Y = ε - θ1ε-1 - θ2ε θqε-q (2.6) donde q denoa el número de érminos de promedio móvil y θ1, θ2,..., θq, son el conjuno finio de pesos o parámeros. A ese modelo se le denomina proceso de promedio móvil de orden q, o MA(q). Los érminos θ son coeficienes deerminados mediane méodos ieraivos no lineales y son muliplicados por los q errores de predicción previos. En ese proceso se relaciona el valor pronósico a los errores de predicciones previas. El modelo MA(q) ambién puede escribirse equivalenemene como: Y = (1- θ1b - θ2b θqb q ) ε (2.7) o en forma abreviada Y = θq(b)ε (2.8) c) Proceso Auorregresivo y de Promedio Móvil (ARMA) Se sabe que un proceso de promedio móvil finio (ver Box, Jenkins y Reinsel, 1994) Y = ε - θ1ε-1 θ < 1 Puede ser escrio como un proceso auorregresivo infinio Y = ε i= 1 i θ Y 1 i Por lo ano, si el proceso fuera realmene MA(1), se podría obener una represenación no parsimoniosa en érminos de un modelo auorregresivo. Conrariamene, un AR(1) no puede ser represenado usando un proceso de promedio móvil. En la prácica, para obener una paramerización parsimoniosa, algunas veces es necesario incluir ambos érminos, auorregresivo y promedio móvil. Así, Y = φ1y-1 + φ2y φpy-p + ε - θ1ε-1 - θ2ε θqε-q (2.9) o en forma abreviada φp(b)y = θq(b)ε (2.10) es llamado proceso auorregresivo y de promedio móvil de orden (p,q) o ARMA(p,q). (Box, Jenkins y Reinsel, 1994).

19 Capíulo II: Series de Tiempo: Meodologías de Box y Jenkins Pág. Nº11 d) Proceso Auorregresivo Inegrado de Promedio Móvil (ARIMA) Los modelos de series de iempo analizados esán basados en el supueso de que las series de iempo consideradas son esacionarias (media y varianza consanes). Pero se sabe que muchas series de iempo son no esacionarias, es decir, son inegradas. Si se debe diferenciar una serie de iempo d veces para hacerla esacionaria y luego aplicar a ésa el modelo ARMA(p,q), se dice que la serie de iempo original sigue un proceso auorregresivo inegrado de promedio móvil o ARIMA(p,d,q), donde p denoa el número de érminos auorregresivos, d el número de veces que la serie debe ser diferenciada para hacerse esacionaria y q el número de érminos de promedio móvil. (Gujarai, 1997). El modelo ARIMA(p,d,q) puede ser escrio como: φp(b)(1-b) d Y = θq(b)ε (2.11) Los procesos ARIMA son suficienes para explicar procesos con endencia pero incapaces de represenar procesos con esacionalidad y se hace necesaria una generalización de esos para lograr explicar los comporamienos esacionales. Los modelos esacionales consideran los rerasos del proceso y de la perurbación aleaoria periódicamene, es decir, cada s periodos. Por ejemplo, si los daos son mensuales es lógico considerar el periodo s=12. El objeo de esos reardos esacionales (s) es explicar la dependencia que ienen enre sí iguales periodos de años sucesivos, por ejemplo, marzo del 94 con marzo del 93 y marzo del 92 direcamene y a ravés de los errores (perurbaciones no explicadas) asociadas a esos períodos. Los modelos esacionales se denoan aneponiéndoles la lera S y el orden de sus parámeros se escribe con mayúscula, como sigue: modelos auorregresivos esacionales SAR(P), promedios móviles esacionales SMA(Q) y, auorregresivo y de promedios móviles esacionales SARMA(P,Q). Los modelos SARMA son análogos al proceso ARMA pero considerando los reardos del ruido blanco y del proceso de s en s. Sin embargo esos modelos SARMA no son capaces de explicar odos los movimienos esacionales, pues si esos crecieran de año en año, los SARMA serian incapaces de recoger esa evolución pues al igual que los ARMA son esacionarios. Esa dificulad se resuelve a ravés de los modelos auorregresivos de promedios móviles inegrados esacionales SARIMA(P,D,Q).

20 Capíulo II: Series de Tiempo: Meodologías de Box y Jenkins Pág. Nº12 La unión de modelos esacionales con modelos no esacionales conduce a un modelo de gran capacidad de adapación que puede reflejar ano la endencia como la esacionalidad de una serie (enfoque de Box y Jenkins). La combinación de esos modelos se logra a ravés de la muliplicación de los operadores polinomiales que caracerizan a cada modelo obeniendo los modelos conocidos como ARIMA(p,d,q)xSARIMA(P,D,Q). La noación que emplearemos para esa combinación de modelos es en érminos generales un ARIMA(p,d,q)x(P,D,Q)s, donde los parámeros no considerados en el modelo seleccionado serán de orden cero : p : orden de un modelo auorregresivo AR d : orden de diferenciación en la pare regular o no esacionaria de la serie q : orden de un modelo promedio móvil MA P : orden de un modelo auorregresivo esacional SAR D : orden de diferenciación en la pare esacional de la serie Q : orden de un modelo promedio móvil esacional SMA El modelo ARIMA(p,d,q)x(P,D,Q)s puede escribirse como: φp(b s ) (1-B s ) D φp(b)(1-b) d Y = θq(b s ) θq(b)ε (2.12) como Y = y - µ, enonces el modelo puede expresarse como: φp(b s ) (1-B s ) D φp(b)(1-b) d y = δ + θq(b s ) θq(b)ε (2.13) donde δ es una consane. Herramienas para la deerminación de los órdenes del modelo El número de érminos en la pare AR y MA del modelo final no son escogidos arbirariamene. Para eso, Box y Jenkins proporcionan un méodo esrucurado que deermina cual modelo ajusa mejor a la serie en cuesión y recomiendan que el modelo se manenga an simple como sea posible (principio de parsimonia). En general, no hay más de res érminos AR o MA. (Wedding y Cios, 1996). La herramiena principal para deerminar los órdenes del modelo son los correlogramas simple y parcial, que son la represenación gráfica de las funciones de auoccorrelación simple y parcial, las cuales se explican brevemene a coninuación: a) Función de Auocorrelación Simple Considere la serie de iempo Y1, Y2,..., Yn. La auocorrelación simple muesral en el reraso k, denoada por rk, es:

21 Capíulo II: Series de Tiempo: Meodologías de Box y Jenkins Pág. Nº13 r k n k = 1 = n ( Y * Y = 1 Y 2 + k ) (2.14) Esa canidad mide la relación lineal enre las observaciones de la serie de iempo separadas por un reraso de k unidades de iempo. La auocorrelación rk oma valores enre 1 y 1. Para conocer si el valor de rk es significaivo se uiliza el esadísico rk : r r = k s k r k donde s r k es el error esándar de rk, dado por: s r k = n k 1 j= 1 r 1/ 2 2 j 1/ 2 La función de auocorrelación simple es el conjuno de auocorrelaciones simples muesrales en los rerasos k=1,2,...; a la represenación gráfica de esas auocorrelaciones se le denomina correlograma simple. (Bowerman y O Connell, 1993). b) Función de Auocorrelación Parcial La auocorrelación parcial muesral en el reraso k es: r1 si k=1 rkk = r k 1 k 1 j= 1 k 1 j= 1 r k 1, j r r k j r k 1, j j si k=2,3,... (2.15) donde r kj = r k 1, j r r kk k 1,k j para j=1,2,...,k-1 El valor de esas auocorrelaciones puede pensarse inuiivamene como la relación de las observaciones de la serie de iempo separadas por un reraso de k unidades de iempo, eliminando el efeco de las observaciones inermedias.

22 Capíulo II: Series de Tiempo: Meodologías de Box y Jenkins Pág. Nº14 Para conocer si el valor de rkk es significaivo se uiliza el esadísico rkk : r r = kk s kk r kk donde s r kk es el error esándar de rkk, dado por: s kk = r 1 n 1/ 2 La función de auocorrelación parcial es el conjuno de las auocorrelaciones parciales muesrales en los rerasos k=1,2,...; a la represenación gráfica de esas auocorrelaciones se le denomina correlograma parcial. (Bowerman y O Connell, 1993). Eapas del Méodo Univariado de Box y Jenkins o Méodología ARIMA Para consruir un modelo ARIMA que recoja suficienemene bien las caracerísicas de la serie se hace uso de la meodología de Box y Jenkins que puede ser esrucurada en cinco eapas: 1. Análisis Exploraorio de la Serie Consise en un primer análisis, mediane gráficos y pruebas esadísicas para obener esacionariedad (media y varianza consane) a) Se grafica la serie a ravés del iempo, de manera de observar a priori sus componenes: endencia, esacionalidad y ciclos. Podría noarse la necesidad de aplicar diferencias, en la pare no esacional o regular, para hacer que la media sea consane. Podría observarse esacionalidad mediane una paua repeida de acuerdo con el periodo esacional s, lo que implicaría la necesidad de diferencias en la pare esacional. Eso se confirmaría en la segunda eapa mediane los correlogramas. b) Se realiza un diagrama de caja (por año) que permia esudiar el comporamieno de la varianza. Al sospechar que la varianza no es consane, es conveniene aplicar la prueba de Levene. Si el esadísico es significaivo, se rechaza la hipóesis nula de homocedasicidad y será necesario realizar alguna ransformación a la serie. Enre las más uilizadas esán las ransformaciones de Box-Cox. Si λ es el esadísico de Box-Cox, enonces la serie y se ransforma de la siguiene manera:

23 Capíulo II: Series de Tiempo: Meodologías de Box y Jenkins Pág. Nº15 λ ( y 1) = para λ 0 λ ( ) y λ = ln y para λ = 0 (2.16) Obsérvese que para λ=1, la ransformación apenas si iene influencia sobre los valores originales. El valor que más se suele uilizar es el de λ=0 porque simplemene consise en omar logarimos neperianos de los valores originales y con frecuencia es una ransformación exiosa. Podría realizarse nuevamene la Prueba de Levene para verificarlo. 2. Idenificación del Modelo En esa eapa se debe sugerir un conjuno reducido de posibles modelos. a) Selección del conjuno de esimación: conjuno de daos que se usará para la esimación y adecuación del modelo; y del conjuno de predicción: conjuno de daos que se guardará para evaluar las predicciones. b) Deerminación de los correlogramas o funciones de auocorrelación simple y parcial para esablecer, conjunamene con lo observado en la primera eapa, el número de diferencias que se aplicarán y que converirán el proceso en esacionario. Una serie no es esacionaria en la pare regular si en el correlograma simple se observa que los valores decrecen lenamene en los reardos 1,2,... c) Deerminación de los órdenes del componene auorregresivo (p) y promedio móvil (q) del modelo ARMA (p,q), haciendo uso de los parones que se observan en los correlogramas simple y parcial: Correlograma Simple Correlograma Parcial Modelo Decae lenamene Se cora después del reardo p AR(p) Se cora después del reardo q Decae lenamene MA(q) Decae lenamene Decae lenamene ARMA(p,q) d) Esudio de la esacionalidad. En caso de presenar esacionalidad con periodo s, se aplica una diferencia esacional (1-B) s para converir la serie en esacionaria. La esacionalidad se manifiesa en el gráfico de la serie (eapa 1) y en el correlograma simple que presenará valores posiivos que decrecen lenamene en los reardos s, 2s, 3s,...

24 Capíulo II: Series de Tiempo: Meodologías de Box y Jenkins Pág. Nº16 e) Deerminación de los órdenes P y Q del proceso SARMA(P,Q), de la misma manera que en la pare regular, pero, considerando solamene los valores de los correlogramas en los reardos s,2s,3s,... f) Especificación del modelo ARIMA idenificado y se sugieren oros modelos posibles. 3. Esimación de los Parámeros del Modelo Una vez idenificado el modelo, φp(b s ) (1-B s ) D φp(b)(1-b) d Y = θq(b s ) θq(b)ε (2.17) los valores de los parámeros φ y θ se esiman mediane la minimización de la suma de cuadrado de los errores ε. Eso se hace uilizando el méodo de mínimos cuadrados condicional o el méodo de mínimos cuadrados incondicional. Generalmene esas esimaciones se hacen con la ayuda de herramienas compuacionales como SPSS, SAS, ec. 4. Adecuación del Modelo Una idea, a priori, de la adecuación del modelo se logra graficando la serie original y la ajusada por el modelo ARIMA conra el iempo, de manera que se puedan observar sus similiudes y diferencias. Un modelo ARIMA es adecuado para represenar el comporamieno de una serie si se cumple lo siguiene: a) Los residuos, diferencia enre el valor original de la serie y el valor esimado por el modelo, se aproximan al comporamieno de un ruido blanco (media cero, varianza σ 2 y covarianza cero). Al observar los correlogramas no deberán observarse valores significaivamene diferenes de cero, como indicaivo de ausencia de correlación serial, así como ampoco parones (endencia, ciclos) que indicarían que el modelo no exrajo oda la información posible. b) Los parámeros del modelo ARIMA seleccionado son significaivamene diferenes de cero. c) Los parámeros del modelo esán poco relacionados enre sí.

25 Capíulo II: Series de Tiempo: Meodologías de Box y Jenkins Pág. Nº17 d) El grado de ajuse es elevado en comparación al de oros modelos alernaivos. La bondad del ajuse puede evaluarse con la Desviación Esándar Residual (DER), Crierio de Información de Akaike (AIC), y con el Crierio Bayesiano de Schwarz (SBC), enre oros. A coninuación se da una breve explicación de cada uno (Faraway y Chafield, 1998): Desviación Esándar Residual (DER): Su expresión maemáica es: σ ˆ = S (2.18) (T r) donde S es la suma cuadráica de los residuos, T es el número de las observaciones efecivas que se usan en el ajuse del modelo (recuerde que se pierden observaciones por diferenciación) y r es el número de parámeros esimados en el modelo, incluyendo la consane. La DER es un crierio de selección de modelo, un valor pequeño indica una mayor adecuación del modelo. Crierio de Información de Akaike: El esadísico AIC propueso por Akaike esá dado por: AIC = T ln(s/ T) + 2r (2.19) Ese crierio permie seleccionar un modelo. Se prefiere el modelo que enga el menor valor de AIC. Crierio Bayesiano de Schwarz: La expresión maemáica de ese esadísico es: SBC = T ln(s/ T) + r ln(t) (2.20) Ese crierio es un méodo para la selección de un modelo. Se prefiere el modelo que enga el mínimo valor del esadísico. El SBC penaliza los parámeros adicionales más severamene que el AIC, conduciendo a modelos más simples. 5. Predicción a) La predicción se basa en el modelo ARIMA seleccionado. b) Se predicen m períodos, correspondienes al amaño del conjuno de predicción, con sus inervalos de confianza.

26 Capíulo II: Series de Tiempo: Meodologías de Box y Jenkins Pág. Nº18 c) Se calculan los errores de predicción. Es imporane juzgar la adecuación del modelo en función de qué an bien se pronosican los daos no empleados para la esimación del modelo. Para evaluar la predicción, se uilizarán dos ipos de medición del error (Makridakis y Wheelwrigh, 1994): Error Medio Absoluo m 1 EMA = y + i ŷ + i (2.21) m i= 1 donde y + i son los valores observados de la serie que perenecen al conjuno de predicción y, ŷ + i son los valores pronosicados por el modelo ARIMA. Raíz del Error Cuadrado Medio Porcenual RECMP = 1 m m y + i yˆ y i= 1 + i + i 2 (2.22) Ora forma de evaluar la predicción es a ravés de la correlación enre los valores observados y los pronosicados por el modelo. Valores alos de esa correlación indican una buena adecuación del modelo. d) Si la serie pareciera cambiar en el iempo, pudiera ser necesario recalcular los parámeros, o desarrollar un nuevo modelo Función de Transferencia: Modelo Bivariable En la meodología de Box y Jenkins, el érmino Modelo de Función de Transferencia (MFT) se refiere a un modelo que predice valores fuuros de una serie de iempo en base a valores pasados de esa serie y a una o más series relacionadas con la serie de iempo a predecir. Es decir, se esudian modelos mulivariables. En esa invesigación, se considerará el caso más sencillo de un MFT, se usará ese modelo para predecir valores fuuros de una serie de iempo, llamada serie de salida, en base a valores pasados de esa serie y en base a ora serie de iempo relacionada, llamada serie de enrada. Es decir, se considerará solamene el modelo bivariable. (Bowerman y O Connell, 1993). Esquemáicamene: Serie de Enrada x Función de Transferencia Serie de Salida y

27 Capíulo II: Series de Tiempo: Meodologías de Box y Jenkins Pág. Nº19 Se supone que exise una relación causal unidireccional a priori, desde la serie de enrada hacia la serie de salida, eliminando la posibilidad de reroalimenación. Eapas para Consruir un Modelo de Función de Transferencia Bowerman y O Connell proporcionan una meodología de res eapas para consruir un modelo de función de ransferencia, la cual explicamos a coninuación: 1. Idenificar un modelo que describa a la serie de enrada y preblanquear a la serie de enrada y salida. Se denoa el -ésimo érmino de la serie de enrada por x y el de la serie de salida por y. Se asume que la ransformación necesaria para hacer a la serie de enrada esacionaria es la misma que para la serie de salida. A la serie de enrada esacionaria la denoaremos por Z (x). Se deberán seguir los siguienes pasos: a) Análisis de los correlogramas simple y parcial de la serie de enrada x, de la misma manera que se hizo en el caso univariable, para deerminar la necesidad de alguna ransformación que conduzca a que la serie de iempo sea esacionaria Z (x). b) Análisis de los correlogramas simple y parcial de Z (x) para idenificar el modelo ARIMA (p,q,p,q). Eso fue explicado en la página Nº 15. c) Esimación del modelo. Seleccionar un modelo cuyos parámeros sean significaivos. φp(b s ) φp(b)z (x) = θq(b s ) θq(b)ε (2.23) d) Adecuación del modelo mediane el análisis de los residuos, de la misma manera que el caso univariable (pág. 16). e) Preblanqueo de x (Z (x) ). Se despeja ε de (2.23) y a ese error del modelo para la serie de enrada se le denomina α. s φˆ p (B )ˆ φp (B) (x) α = Z s (2.24) θˆ (B )ˆ θ (B) Q q f) Preblanqueo de y (Z (y) ). Al error del modelo para la serie de salida se le denomina β.

28 Capíulo II: Series de Tiempo: Meodologías de Box y Jenkins Pág. Nº20 s φˆ p (B )ˆ φp (B) (y) β = Z s (2.25) θˆ (B )ˆ θ (B) Q q 2. Idenificar un MFT preliminar que describa la serie de enrada. a) Para idenificar una función de ransferencia preliminar que describa la relación enre y y x, se calcula la función de correlación cruzada (CC) enre los valores de α y los valores de β. La CC es un conjuno, para los rerasos k = -10,-9,...,0,...,9,10, de valores de: r ( α k, β ) = n = b ( α n k = b ( α α) 2 α)( β 1/ 2 n = b + k ( β β) β) 2 1/ 2 (2.26) donde α = n = b α n b + 1 y β = n = b β n b + 1 rk(α, β) es llamada la correlación cruzada enre los valores de α y β en el reraso k y es una medida de la relación lineal enre los valores de α y β+k. Se puede represenar mediane el gráfico de CC. b) Verificar que no exisan valores significaivos en las CC anes del reraso cero (en los MFT se asume que valores presenes de y esán relacionados con valores presenes y/o pasados de x y no al revés). c) Idenificar b, el reraso donde la CC es esadísicamene diferene de cero. d) Idenificar s. El valor de s se fija igual al número de rerasos que esán enre la primera CC significaiva y el comienzo del parón de decaimieno. s es el número de valores pasados de x que influyen sobre y. e) Idenificar r. La prácica ha demosrado que puede deerminarse r examinando el decaimieno de la CC después del reraso (b+s). Si cae en forma exponencial amoriguada, r=1. Si cae en forma sinusoidal amoriguada, r=2. r represena el número de valores pasados de y que esán relacionados con y

29 Capíulo II: Series de Tiempo: Meodologías de Box y Jenkins Pág. Nº21 f) El MFT preliminar general es de la forma: Cw(B) δ(b) (y) b (x) z = µ + B z + η (2.27) donde: µ: consane que se incluye en el modelo si es esadísicamene diferene de cero. C: es un parámero escalar desconocido η: represena un componene de error w(b) = 1- w1b- w2b wsb s δ(b) = 1 - δ1b - δ2b δrb r 3. Idenificación de un modelo que describa a η y del modelo final de función de ransferencia. a) Calcular la función de correlación cruzada de los residuos con los valores de enrada x y las auocorrelaciones simple y parcial de los residuos. b) Verificar que se cumpla una condición necesaria para la validez del MFT, que esablece que la serie de enrada preblanqueada α debe ser esadísicamene independiene del componene del error η. Eso se cumple cuando los valores de la probabilidad en las correlaciones cruzadas son grandes y no se puede rechazar la hipóesis de independencia. c) Enconrar, por medio de los correlogramas simple y parcial de los residuos, el modelo que describe a η. s θˆ Q (B )ˆ θq (B) η = a s (2.28) φˆ (B )ˆ φ (B) p donde a es una variación aleaoria en el iempo. d) Se susiuye η en el MFT preliminar (ecuación 2.27) y eso consiuye el modelo final de función de ransferencia: p z (y) θˆ (B )ˆ θ (B) s Cw(B) b (x) Q q = µ + B z + a s (2.29) δ(b) φˆ p (B )ˆ φp (B) Una vez consruido el MFT se generan los valores correspondienes al ajuse y predicción de la serie y, y se calculan sus respecivos errores, como en la meodología ARIMA.

30 Capíulo III: Redes Neuronales Pág. Nº22 CAPÍTULO III REDES NEURONALES La Ineligencia Arificial (IA) es un área del conocimieno compuesa por un conjuno de écnicas que se basan en imiar compuacionalmene las disinas habilidades relacionadas a la ineligencia del ser humano, como por ejemplo: reconocimieno de parones, diagnósico, clasificación, enre oros. Una de esas écnicas imia, específicamene, el comporamieno de las neuronas en el cerebro humano, por lo cual se le ha denominado Redes Neuronales Arificiales (RNA). Es de inerés en ese rabajo la aplicación de esa meodología para la predicción uilizando series de iempo. En ese capíulo se inroducirán los concepos básicos de las RNA, su arquiecura y varios modelos que han sido uilizados con fines de pronósico.

31 Capíulo III: Redes Neuronales Pág. Nº NEURONAS BIOLÓGICAS Las RNA persiguen imiar cieras habilidades humanas aribuibles al cerebro y a millones de elemenos inerconecados llamados Neuronas. Según Colina y Rivas (1998): Las neuronas son células nerviosas que consiuyen los elemenos primordiales del sisema nervioso cenral. Son capaces de recibir señales provenienes de oras neuronas, procesar esas señales, generar pulsos nerviosos, conducir esos pulsos, y ransmiirlos a oras neuronas. Las neuronas esán formadas por res componenes principales: dendrias, cuerpo celular y axón (ver figura 3.1). Fig Dibujo Esquemáico de Neuronas Biológicas Las dendrias son como un árbol de redes recepivas de fibras nerviosas que llevan señales elécricas al cuerpo de la célula. (Hagan, Dermuh y Beale, 1996) El cuerpo celular coniene el núcleo, iene forma esférica y es aquí donde se ejecuan odas las ransformaciones necesarias para la vida de la neurona. (Colina y Rivas, 1998) El axón ransmie la señal de salida a oras neuronas. El inercambio químico de información enre una neurona y ora se hace a ravés de la sinapsis. Ésa es el puno de inerconexión enre neuronas. La neurona arificial es una versión muy simple de la neurona biológica, pero puede esablecerse fácilmene una equivalencia enre ambas, como lo manifiesan Colina y Rivas (1998):

32 Capíulo III: Redes Neuronales Pág. Nº24 La operación de la neurona es un proceso en donde la célula ejecua una suma de señales que llegan por sus dendrias (enradas). Cuando esa suma es mayor que ciero umbral, la neurona responde ransmiiendo un pulso a ravés de su axón (salida). La siguiene figura ilusra el modelo arificial y la equivalencia enre la neurona arificial y biológica: Salida Fig. 3.2: Equivalencia enre la Neurona Arificial y Biológica 3.2. MODELO DE UNA NEURONA ARTIFICIAL Una neurona arificial o nodo es una unidad de procesamieno de información que es fundamenal para la operación de una red neuronal (Haykin, 1994). En un modelo de una neurona pueden idenificarse los siguienes elemenos: Enradas o nodos de enrada: son escalares que se le proporcionan a la red, de acuerdo al problema en esudio. Salidas o nodos de salida: son los valores que arroja la red como resulado del aprendizaje. Un conjuno de pesos sinápicos o simplemene pesos: son valores numéricos que expresa la imporancia de la enrada correspondiene. El valor de la enrada xi se dirige a la neurona k muliplicado por el peso wik. (El primer subíndice de los pesos se refiere a la enrada y el segundo a la neurona en cuesión). Un puno de suma de enradas ponderadas: aquí se realiza la combinación lineal o suma de odas las enradas muliplicadas por sus correspondienes pesos. Una función de acivación: es una función, que puede ser lineal o no lineal, que limia el rango de la salida de la neurona. Sesgo: es un valor formado por una enrada fija e igual a 1, denominada x0, muliplicada por el peso w0k.

33 Capíulo III: Redes Neuronales Pág. Nº25 La figura 3.3 (a) ilusra en dealle el modelo de una neurona y, equivalenemene, la figura 3.3 (b) represena una forma más abreviada del mismo: x 0 =1 x 1 x 2 x p M Γ k Y k (a) Fig. 3.3: Modelo de una Neurona (b) En la figura 3.3 (a) se puede observar que la neurona k puede describirse mediane las siguienes ecuaciones: a) La acumulación v k = p i= 0 x w i ik (3.1) b) La función de acivación y ( ) = Γ (3.2) k v k donde x0,x1,...,xp son las enradas de la neurona k; w0k,w1k,...,wpk son los pesos de la neurona k; vk es la suma de las enradas muliplicadas por los pesos correspondienes; Γ(.) es la función de acivación y yk es la salida de la neurona k. Los pesos son parámeros escalares que se van ajusando según la aplicación de una regla de aprendizaje de manera de cumplir con la relación enrada/salida y la función de acivación se selecciona de acuerdo al objeivo del problema y al rango de valores en que se requiera la salida FUNCIONES DE ACTIVACIÓN La selección de la Función de Acivación (FA) depende del crierio del invesigador y del problema en esudio, en muchas ocasiones se selecciona por ensayo y error. Exisen diversos ipos de FA, enre los más uilizados esán:

34 Capíulo III: Redes Neuronales Pág. Nº26 1. Función Paso: La salida de ese ipo de FA puede ser 0 o 1, dependiendo si el parámero de la función es posiivo o negaivo. Se usa para problemas de clasificación. En forma maemáica puede expresarse como: y gráficamene, 1 si v 0 Γ(v) = (3.3) 0 si v < 0 1 0,8 0,6 0,4 0, Fig Función Paso 2. Función Lineal: La enrada de la FA es igual a la salida. Se usa en diversos ipos de redes, con frecuencia, en la capa de salida. Su expresión maemáica es: Γ(v) = v (3.4) Gráficamene, Fig Función Lineal

35 Capíulo III: Redes Neuronales Pág. Nº27 3. Función Rampa: Su salida esá enre 1 y 1. Maemáicamene se expresa como: Gráficamene, -1 si v -1 Γ(v) = v si -1 < v < 1 (3.5) 1 si v 1 1,5 1 0, , ,5 Fig Función Rampa 4. Función Logísica: Su salida comprende valores enre 0 y 1. Es la FA más usada en redes neuronales y se recomienda para problemas de predicción. Su expresión maemáica es: 1 Γ ( v) = (3.6) 1 v + e En forma gráfica, 1 0, Fig Función Logísica