SUPERFICIES. 2.4 Forma y curvatura: Curvatura normal. Curvaturas principales, fórmula de Euler. Curvatura de Gauss y media. Clasificación de puntos

SUPERFICIES. 2.4 Forma y curvatura: Curvatura normal. Curvaturas principales, fórmula de Euler. Curvatura de Gauss y media. Clasificación de puntos

2.1 Superficie parametrizacida. Ecuaciones implícitas. Curvas paramétricas. 2.2 Plano tangente y recta normal. 2.3 Métrica sobre una superficie: Primera forma fundamental y aplicaciones. 2.4 Forma y curvatura: Segunda forma fundamental. Curvatura normal. Curvaturas principales, fórmula de Euler. Curvatura de Gauss y media. Clasificación de puntos.

CURVAS Y SUPERFICIES, S.L. Rueda Cloud Gate, Chicago. Anish Kapoor, 2004

Sea S una superficie parametrizada, con representación paramétrica α : D R 2 R 3 α(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) de clase al menos 3 en el conjunto abierto D y regular en todos sus puntos.

Sea S una superficie parametrizada, con representación paramétrica α : D R 2 R 3 α(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) de clase al menos 3 en el conjunto abierto D y regular en todos sus puntos. Segunda forma fundamental Consideramos el vector unitario normal a la superficie S en un punto α(u, v), N(u, v) = α u(u, v) α v (u, v) α u (u, v) α v (u, v). Los coeficientes de la segunda forma fundamental de α son e = α uu (u, v) N(u, v), f = α uv (u, v) N(u, v), g = α vv (u, v) N(u, v).

Definición Llamamos segunda forma cuadrática fundamental de la superficie S, a la forma cuadrática II : T α(u,v) S R II(w) = ( u v ) ( e f f g ) ( u v ) siendo (u, v ) las coordenadas del vector w en la base de T α(u,v) S dada por {α u (u, v), α v (u, v)}.

Definición Llamamos segunda forma cuadrática fundamental de la superficie S, a la forma cuadrática II : T α(u,v) S R II(w) = ( u v ) ( e f f g ) ( u v ) siendo (u, v ) las coordenadas del vector w en la base de T α(u,v) S dada por {α u (u, v), α v (u, v)}. Ejemplo Sea S un plano, con parametrización α(u, v) = (a 1 + b 1 u + c 1 v, a 2 + b 2 u + c 2 v, a 3 + b 3 u + c 3 v), (u, v) R 2. Podemos comprobar que II(w) = 0, para todo w T α(u,v) S.

Curvatura de curvas sobre la superficie Sea C una curva sobre la superficie S parametrizada por β(s) = α(u(s), v(s)) siendo s la longitud de arco. CURVAS Y SUPERFICIES, S.L. Rueda

El vector curvatura en un punto arbitrario P = β(s) de la curva viene dado por β (s).

El vector curvatura en un punto arbitrario P = β(s) de la curva viene dado por β (s). Se llama curvatura normal de la superficie en el punto P = β(s) al escalar k n (s) = β (s) N(u(s), v(s)).

El vector curvatura en un punto arbitrario P = β(s) de la curva viene dado por β (s). Se llama curvatura normal de la superficie en el punto P = β(s) al escalar k n (s) = β (s) N(u(s), v(s)). La proyección del vector curvatura sobre el vector normal a la superficie N(u(s), v(s)), se llama vector curvatura normal de la superficie en el punto P = β(s) y es igual a k n (s) = k n (s) N(u(s), v(s)). Al vector diferencia k g (s) = β (s) k n (s) se le llama vector curvatura tangencial.

Si la curva C sobre la superficie viene dada por una parametrizacidón γ(t) = α(u(t), v(t)) ( donde t no tiene por qué ser el parámetro arco) la curvatura normal se calcula k n (t) = II(γ (t)) I(γ (t), γ (t)), que sólo depende de la dirección del vector tangente a la superficie en el punto γ(t).

Si la curva C sobre la superficie viene dada por una parametrizacidón γ(t) = α(u(t), v(t)) ( donde t no tiene por qué ser el parámetro arco) la curvatura normal se calcula k n (t) = II(γ (t)) I(γ (t), γ (t)), que sólo depende de la dirección del vector tangente a la superficie en el punto γ(t). Podemos hablar por tanto de curvatura normal de la superficie S en la dirección w de T α(u,v) S, k n (w) = II(w) I(w, w) = e(u ) 2 + 2fu v + g(v ) 2 E(u ) 2 + 2F u v + G(v ) 2.

Teorema de Meusnier Todas las curvas sobre la superficie S que tienen la misma recta tangente en un punto P, tienen la misma curvatura normal en P. Geométricamente La curvatura normal k n (w) en P = α(u 0, v 0 ), coincide (en valor absoluto) con la curvatura de la curva intersección de S con el plano que contiene a P y tiene vectores directores N(u 0, v 0 ) y w. Las circunferencias osculatrices de todas las curvas contenidas en S, que pasan por P y tienen a w como vector tangente en P,

son todas secciones de una misma esfera. Las curvas que resultan de intersecar S con el haz de planos que contiene a la recta P + w y las circunferencias osculatrices de cada una de

son todas secciones de una misma esfera. Las curvas que resultan de intersecar S con el haz de planos que contiene a la recta P + w y las circunferencias osculatrices de cada una de Ejemplos 1. Como consecuencia del teorema anterior, si S es un plano, entonces tiene curvatura normal cero en todos sus puntos. Además, se deduce de k n (w) = II(w) I(w, w) = 0 I(w, w) = 0. 2. La curvatura normal de una esfera x 2 + y 2 + z 2 = a 2 es k n (w) = 1 a, es constante en cualquier dirección w. 3. Cilindro elíptico.

La curvatura normal de un cilindro elíptico en la dirección w viene dada por la expresión a(u ) 2 k n (w) = a 2 (u ) 2 + (v ) 2.

La curvatura normal de un cilindro elíptico en la dirección w viene dada por la expresión a(u ) 2 k n (w) = a 2 (u ) 2 + (v ) 2. Si w es el vector tangente a una curva coordenada u = k (constante), tiene coordenadas (0, 1) y la curvatura normal en dicha dirección es 0. Si w es el vector tangente a una curva coordenada v = k (constante), tiene coordenadas (1, 0) y la curvatura normal en dicha dirección es 1 a, constante.

Direcciones asintóticas CURVAS Y SUPERFICIES, S.L. Rueda Definición Una dirección w de T α(u,v) es una dirección asintótica si k n (w) = 0.

Direcciones asintóticas CURVAS Y SUPERFICIES, S.L. Rueda Definición Una dirección w de T α(u,v) es una dirección asintótica si k n (w) = 0. Equivalentemente, si II(w) = 0. Si (u, v ) son las coordenadas de w en la base {α u (u, v), α v (u, v)}, las coordenadas de las direcciones asintóticas verifican la ecuación, e(u ) 2 + 2fu v + g(v ) 2 = 0. Dependiendo del caracter de la segunda forma cuadrática fundamental en un punto de la superficie, habrá dos, una o ninguna dirección asintótica en un punto dado de la superficie (según sea indefinida, semidefinida o definida dicha la segunda forma cuadrática fundamental).

Direcciones asintóticas CURVAS Y SUPERFICIES, S.L. Rueda Definición Una dirección w de T α(u,v) es una dirección asintótica si k n (w) = 0. Equivalentemente, si II(w) = 0. Si (u, v ) son las coordenadas de w en la base {α u (u, v), α v (u, v)}, las coordenadas de las direcciones asintóticas verifican la ecuación, e(u ) 2 + 2fu v + g(v ) 2 = 0. Dependiendo del caracter de la segunda forma cuadrática fundamental en un punto de la superficie, habrá dos, una o ninguna dirección asintótica en un punto dado de la superficie (según sea indefinida, semidefinida o definida dicha la segunda forma cuadrática fundamental). Ejemplo Obtengamos las direcciones asintóticas en el (0, 0, 0) de la superficie parametrizada por α(u, v) = (ucos(v), u sen(v), v), (u, v) R [0, 2π).

La expresión de la segunda forma fundamental en un punto arbitratio de la superficie es II(w) = 2u v. 1 + u 2 En el punto α(0, 0) = (0, 0, 0), tenemos II(w) = 2u v.

La expresión de la segunda forma fundamental en un punto arbitratio de la superficie es II(w) = 2u v. 1 + u 2 En el punto α(0, 0) = (0, 0, 0), tenemos II(w) = 2u v. Las direcciones asintóticas son las soluciones de la ecuación u v = 0. Esto es, u = 0 o v = 0, que son las direcciones de las curvas coordenadas (o paramétricas) de la superficie en el punto (0, 0, 0).

Curvaturas principales Definición Se llama curvaturas principales de S en P a los valores k 1 (P ) máximo y k 2 (P ) mínimo de la curvatura normal k n (w) (con w T p S, w = 1). Las direcciones principales son los vectores w 1 y w 2 para los que se obtienen dichas curvaturas k 1 (P ) = k n (w 1 ) y k 2 (P ) = k n (w 2 ). Son valores intrínsecos a la superficie, no dependen de la parametrización elegida.

Curvaturas principales Definición Se llama curvaturas principales de S en P a los valores k 1 (P ) máximo y k 2 (P ) mínimo de la curvatura normal k n (w) (con w T p S, w = 1). Las direcciones principales son los vectores w 1 y w 2 para los que se obtienen dichas curvaturas k 1 (P ) = k n (w 1 ) y k 2 (P ) = k n (w 2 ). Son valores intrínsecos a la superficie, no dependen de la parametrización elegida. Definición Un punto P de S se dice umbilical si k 1 (P ) = k 2 (P ), la curvatura normal es costante en todas las direcciones y por tanto k n (w) = e E = f F = g G.

En los puntos umbilicales todas las direcciones se pueden considerar principales. Un caso particular de punto umbilical es un punto plano, en el que se anula la segunda forma fundamental y, por tanto, k n (w) = 0 en cualquier dirección w. Fórmula de Euler Sea θ el ángulo que forma w T P S, w = 1, con w 1 w = cos(θ)w 1 + sin(θ)w 2. Denotamos por k n (θ) la curvatura normal en la dirección de dicho vector. Fórmula de Euler Fijado un punto P de S, con k 1 (P ) k 2 (P ), k n (θ) = cos 2 (θ)k 1 (P ) + sen 2 (θ)k 2 (P ).

El operador forma es la aplicación lineal F P : T P S T P S. Matriz del operador forma en la base {α u (u 0, v 0 ), α v (u 0, v 0 )}: M FP = Se verifica que: ( E F F G ) 1 ( e f f g ) = 1 EG F 2 ( F f Ge F g Gf F e Ef F f Eg ) 1. Las curvaturas principales, k 1 = k 1 (P ) y k 2 = k 2 (P ) de S en P, son los valores propios de F P. 2. Las direcciones principales, w 1 y w 2 de S en P, son vectores propios ortogonales y unitarios de F P asociados a k 1 y k 2. F P (w 1 ) = k 1 w 1 y F P (w 2 ) = k 2 w 2.

La matriz asociada a F P en la base B = {w 1, w 2 }, de las direcciones pricipales, es ( ) k1 (P ) 0 M FP (B) =. 0 k 2 (P )

Paraboloide hiperbólico z = xy parametrizado por α(u, v) = (u, v, uv), u, v R Fórmula de Euler: k(θ) = cos(2θ). En P = (0, 0, 0) = α(0, 0), la matriz asociada al operador forma, en la base {α u (0, 0) = (1, 0, 0), α v (0, 0) = (0, 1, 0)}, es ( ) 0 1 M FP = 1 0 Diagonalizando tenemos que las curvaturas principales son k 1 (P ) = 1 y k 2 (P ) = 1, con direcciones principales w 1 = (1, 1, 0) y w 2 = (1, 1, 0).

Curvatura de Gauss y curvatura media Las nociones más importantes de curvatura son: CURVAS Y SUPERFICIES, S.L. Rueda Definición Se denomina curvatura de Gauss o total de una superficie S en un punto P al producto de las curvaturas principales, K(P ) = k 1 (P )k 2 (P ) = det(m FP ) = eg f 2 EG F 2, que coincide con el determinante de la matriz del operador forma. Definición Se denomina curvatura media de una superficie S en un punto P a la media aritmética de las curvaturas principales, H(P ) = k 1(P ) + k 2 (P ) 2 = 1 2 traza(m F P ) = 1 Eg + Ge 2F f, 2 EG F 2 que coincide con un medio de la traza de la matriz del operador forma.

SIMPLE CURVATURA DOBLE CURVATURA

Otro método para calcular direcciones y curvaturas principales Sean (h 1, h 2 ) las coordenadas de un vector w T P S en la base {α u (u, v), α v (u, v)}. Si w es una dirección principal sus coordenadas deben verificar k n (h 1, h 2 ) h 1 = 0, k n(h 1, h 2 ) h 2 = 0 de donde se obtiene la siguiente ecuación 0 = (ef fe)h 2 1 + (eg ge)h 1 h 2 + (fg gf )h 2 2 = h 2 2 h 1 h 2 h 2 1 e f g E F G.

Tomando como coordenadas de una dirección (1, λ) con λ = h 2 /h 1 se obtiene una ecuación de segundo grado en λ, siempre que fg gf 0 0 = (ef fe) + (eg ge)λ + (fg gf )λ 2, cuyas soluciones λ 1, λ 2 proporcionan las direcciones principales (1, λ 1 ), (1, λ 2 ). Se demuestra que los vectores (1, λ 1 ), (1, λ 2 ) son ortogonales ya que I((1, λ 1 ), (1, λ 2 )) = 0.

Tomando como coordenadas de una dirección (1, λ) con λ = h 2 /h 1 se obtiene una ecuación de segundo grado en λ, siempre que fg gf 0 0 = (ef fe) + (eg ge)λ + (fg gf )λ 2, cuyas soluciones λ 1, λ 2 proporcionan las direcciones principales (1, λ 1 ), (1, λ 2 ). Se demuestra que los vectores (1, λ 1 ), (1, λ 2 ) son ortogonales ya que I((1, λ 1 ), (1, λ 2 )) = 0. Las curvaturas principales son las curvaturas en las direcciones principales: k 1 = k n (1, λ 1 ) y k 2 = k n (1, λ 2 ).

Ejemplo Paraboloide reglado z = xy dado por la paramerización: α(u, v) = (u, v, uv), (u, v) R 2. Tiene todos sus puntos hiperbólicos, las direcciones asintóticas en cada punto son las direcciones de las curvas coordenadas, que son rectas incluidas en la superficie.

Las direcciones principales en un punto arbitratio de la superficie α(u, v) son (1, λ 1 ), (1, λ 2 ) con λ 1 y λ 2 soluciones de la ecuación de segundo grado en λ λ 2 λ 1 e f g E F G = 1 + u2 λ 2 λ 2 v 2 = 0. 1 + v2 + u 2

Las direcciones principales en un punto arbitratio de la superficie α(u, v) son (1, λ 1 ), (1, λ 2 ) con λ 1 y λ 2 soluciones de la ecuación de segundo grado en λ λ 2 λ 1 e f g E F G = 1 + u2 λ 2 λ 2 v 2 = 0. 1 + v2 + u 2 Esto es, λ 1 = (1 + v2 )(1 + u 2 ) (1 + v 2 ), λ 2 = (1 + v 2 )(1 + u 2 ). (1 + v 2 )

Las direcciones principales en un punto arbitratio de la superficie α(u, v) son (1, λ 1 ), (1, λ 2 ) con λ 1 y λ 2 soluciones de la ecuación de segundo grado en λ λ 2 λ 1 e f g E F G = 1 + u2 λ 2 λ 2 v 2 = 0. 1 + v2 + u 2 Esto es, λ 1 = (1 + v2 )(1 + u 2 ) (1 + v 2 ), λ 2 = (1 + v 2 )(1 + u 2 ). (1 + v 2 ) En el punto (0, 0, 0) = α(0, 0), tenemos direcciones principales con coordenadas (1, λ 1 ) = (1, 1) y (1, λ 2 ) = (1, 1).

La curvatura en una dirección y en un punto arbitratios es igual a: k n (h 1, h 2 ) = 2h 1 h 2 1 + v2 + u 2 (h 2 1 + h2 1 v2 + 2uvh 1 h 2 + h 2 2 + h2 2 u2 ).

La curvatura en una dirección y en un punto arbitratios es igual a: k n (h 1, h 2 ) = 2h 1 h 2 1 + v2 + u 2 (h 2 1 + h2 1 v2 + 2uvh 1 h 2 + h 2 2 + h2 2 u2 ). En el punto (0, 0, 0) y en las direcciones principales, obtenemos las curvaturas principales: k 1 = k n (1, 1) y k 2 = k n (1, 1).

La curvatura en una dirección y en un punto arbitratios es igual a: k n (h 1, h 2 ) = 2h 1 h 2 1 + v2 + u 2 (h 2 1 + h2 1 v2 + 2uvh 1 h 2 + h 2 2 + h2 2 u2 ). En el punto (0, 0, 0) y en las direcciones principales, obtenemos las curvaturas principales: k 1 = k n (1, 1) y k 2 = k n (1, 1).

Clasificación de los puntos de una superficie Según la posición relativa de la superficie S y el plano tangente P + T P S a S en el punto P podemos clasificar los puntos de S. Dicha posición viene determinada por el signo de la curvatura total K(P ) de S en P. 1. Un punto P de la superficie S es elíptico si y sólo si K(P ) > 0. 2. Un punto P de la superficie S es parabólico si y sólo si K(P ) = 0. 3. Un punto P de la superficie S es hiperbólico si y sólo si K(P ) < 0.

Teniendo en cuenta que EG F 2 > 0 se deduce que el signo de la curvatura total depende del signo de = ef g 2. 1. PUNTO ELÍPTICO > 0, en un entorno del punto P la superficie está toda a un mismo lado del plano tangente. No existe ninguna dirección asintótica. La segunda forma fundamental es definida positiva o negativa. 2. PUNTO PARABÓLICO = 0. Hay una única dirección asintótica. Excepto en esta dirección, el punto P se comporta como un punto elíptico. Si e, f, g no se anulan simultaneamente, la segunda forma fundamental es semidefinida positiva o negativa. 3. PUNTO HIPERBÓLICO < 0, la superficie está parte a un lado del plano tangente en el punto P y parte al otro. Existen dos direcciones asintóticas. La segunda forma fundamental es indefinida.

Ejemplo Toro dado por la paramerización: α(u, v) = ((cos(u)+2)cos(v), (cos(u)+2) sen(v), sen(u)) (u, v) [0, 2π) [0, 2π).

Ejemplo Toro dado por la paramerización: α(u, v) = ((cos(u)+2)cos(v), (cos(u)+2) sen(v), sen(u)) (u, v) [0, 2π) [0, 2π). El determinante de la matriz de la segunda forma fundamental es igual a ( ) 1 0 = det = cos(u)(cos(u) + 2). 0 cos(u)(cos(u) + 2) > 0, u [0, π/2) [3π/2, 2π), PUNTOS ELÍPTICOS. = 0, u {π/2, 3π/2}, PUNTOS PARABÓLICOS. < 0, u (π/2, 3π/2)), PUNTOS HIPERBÓLICOS.

> 0, u [0, π/2) [3π/2, 2π), PUNTOS ELÍPTICOS. = 0, u {π/2, 3π/2}, PUNTOS PARABÓLICOS. < 0, u (π/2, 3π/2)), PUNTOS HIPERBÓLICOS.

> 0, u [0, π/2) [3π/2, 2π), PUNTOS ELÍPTICOS. = 0, u {π/2, 3π/2}, PUNTOS PARABÓLICOS. < 0, u (π/2, 3π/2)), PUNTOS HIPERBÓLICOS. α(π/4, 0) α(π/2, 0) α(π, 0) Punto elíptico Punto parabólico Punto hiperbólico

En el punto hiperbólico P = α(π, 0) la superficie tiene dos direcciones asintóticas, con curvatura nula. Las coordenadas de dichas direcciones verifican la ecuación: (u ) 2 (v ) 2 = 0. En el punto P, la base de las direcciones del plano tangente es B = {v 1 = α u (π, 0) = (0, 0, 1), v 2 = α v (π, 0) = (0, 1, 0)}.

En el punto hiperbólico P = α(π, 0) la superficie tiene dos direcciones asintóticas, con curvatura nula. Las coordenadas de dichas direcciones verifican la ecuación: (u ) 2 (v ) 2 = 0. En el punto P, la base de las direcciones del plano tangente es B = {v 1 = α u (π, 0) = (0, 0, 1), v 2 = α v (π, 0) = (0, 1, 0)}. En la base B las direcciones asintóticas tienen coordenadas (1, 1) y (1, 1). Por tanto, las direcciones asintoticas son v 1 +v 2 = (0, 1, 1) v 1 v 2 = (0, 1, 1).

Ejemplo Sea S la superficie de revolución obtenida al girar alrededor del eje X la curva de ecuaciones cartesianas: y = e x, z = 0. α(t, θ) = (t, e t cos(θ), e t sen(θ)), (t, θ) R [0, 2π). En rojo la curva coordenada γ 1 (t) = α(t, 0) y en azul la curva coordenada γ 2 (θ) = α(3, θ).

Las curvaturas principales k1 y k 2 son los valores propios de la matriz ( ) 1 ( ) E F e f A = F G f g que define la llamada aplicación de Weingarten.

Las curvaturas principales k1 y k 2 son los valores propios de la matriz ( ) 1 ( ) E F e f A = F G f g que define la llamada aplicación de Weingarten. En el ejemplo anterior A = ( 1 + e 2t 0 0 e 2t ) 1 ( e t 1+e 2t 0 0 e t 1+e 2t es diagonal. Por tanto, las curvaturas principales son los elementos de la diagonal principal k 1 = e t (1 + e 2t ) 3/2 y k 2 = 1 e t 1 + e 2t. Cuando la matriz A es diagonal, las direcciones principales tienen coordenadas (1, 0) y (0, 1), k 1 = k n (1, 0) = e E y k 2 = k n (0, 1) = g G. )

La curvatura total y la curvatura media son K = k 1 k 2 = det(a) = ef g2 EF G 2 = 1 (1 + e 2t ) < 0, K 2 m = k 1 + k 2. 2 los puntos de esta superficie son todos hiperbólicos. Es decir, en cada punto de la superficie existen dos direcciones asintóticas.

La curvatura total y la curvatura media son K = k 1 k 2 = det(a) = ef g2 EF G 2 = 1 (1 + e 2t ) < 0, K 2 m = k 1 + k 2. 2 los puntos de esta superficie son todos hiperbólicos. Es decir, en cada punto de la superficie existen dos direcciones asintóticas. Calculamos sus coordenadas resolviendo II(h 1, h 2 ) = 0 y obtenemos direcciones w 1 de coordenadas (1, 1) y w 2 de coordenadas (1, 1) en la base {α t, α θ }.

CURVAS Y SUPERFICIES, S.L. Rueda MUSEO BRITA NICO, artesonado de N. Foster.