Tema 2 Series numéricas. 2.. Definiciones y propiedades generales. 2... Definiciones y primeros ejemplos. Definición 2... Sea {a n } una sucesión de números reales. Para cada n N, definimos n S n := a k = a + + a n. Al par ({a n }, {S n }) se le llama serie de término general a n k= y se suele representar por a n ó a + a 2 + + a n +... Los términos de la sucesión {S n } se llaman sumas parciales de la serie. Si la sucesión {S n } es convergente, es decir, si S R tal que S = lím S n, se dirá que la serie es convergente, al valor S se le llama suma de la serie, y se escribirá a n = S. a n Si la sucesión {S n } es divergente, es decir, si lím S n = (± ), se dirá que la serie a n es divergente y se escribirá a n = (± ). Si la sucesión {S n } es oscilante, es decir, no tiene límite, la serie también se dirá oscilante. Ejemplo 2..2. Consideremos la serie geométrica (progresión geométrica indefinida) de razón a R, es decir, + a + + a n + = a n.
Curso 205/206 Cálculo Infinitesimal Las sumas parciales de esta serie, son: + a + + a n = an a = an si a S n = a a +.. (n).... + = n si a = () Si a <, es lím S a n n = lím a =. Luego la serie es convergente y su suma a es S = a. (2) Si a >, es lím S a n n = lím =. Luego la serie es divergente. a (3) Si a =, es lím S n = lím n = +. Luego la serie es divergente. (4) Si a =, se tiene que lím n, pues S 2n = y S 2n = 0. Luego la serie es oscilante. Ejemplo 2..3. Una serie a n se dice telescópica cuando su término general puede escribirse como diferencia de dos términos consecutivos de otra sucesión, es decir, si existe {b n } tal que a n = b n b n+. El comportamiento de la serie telescópica, viene determinado por el de la sucesión {b n }. Teorema 2..4. En las condiciones anteriores, la serie a n es convergente (repect. divergente) si y sólo si la sucesión {b n } es convergente (respect. divergente). En caso de convergencia, a n = b l, donde l = lím b n. Demostración. Las sumas parciales son S n = n a k = k= n (b k b k+ ) = b b n+. Por tanto, {S n } es convergente (respect. divergente) si y sólo si {b n } es convergente (respect. divergente). Además, lím S n = lím (b b n+ ) = b l, siempre que estemos en el caso convergente. Ejemplo 2..5. Consideremos la serie armónica, es decir, la serie de los inversos de los naturales:. Vamos comprobar que esta serie es divergente. Para ello, sea k N y n consideremos n = 2 k. Entonces: k= S 2 k = + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + + 2 k > + ( 2 + 4 + ) ( + 4 8 + 8 + 8 + 8 = + 2 +.. (k).... + 2 = + k 2 k + ) + + ( 2 k + + ) 2 k 2
Grupo B Curso 205/206 Es evidente que S n+ = S n + n+ > S n para cada n N, por lo que la sucesión de sumas parciales es estrictamente creciente. Pero por lo anterior, la subsucesión {S 2 k} k es divergente, por lo que la sucesión completa debe ser divergente. También podemos ver la divergencia de la serie armónica, a través de la integral de Riemann. En efecto, log n = n n x dx = k= k+ k n x dx < k= k+ k n k dx = k = S n < S n Por tanto, como lím log n = +, se deduce que lím S n = + y la serie armónica es divergente. k= 2..2. Algunas propiedades generales. Teorema 2..6. Sean a n y b n dos series numéricas. (a) Si las dos series son convergentes, entonces la serie (a n + b n ) = a n + b n. (a n + b n ) es convergente y (b) Si una serie es divergente y la otra convergente, entonces la serie divergente. (a n + b n ) es Teorema 2..7 (Propiedad distributiva). Sea a n una serie numérica. (a) Si la serie es convergente, entonces λ R la serie verifica que (λa n ) = λ a n. (λa n ) es convergente y se (b) Si la serie es divergente, entonces λ 0 la serie (λa n ) es divergente. Definición 2..8. Sea a n una serie numérica y sea g : N N una aplicación 3
Curso 205/206 Cálculo Infinitesimal estrictamente creciente. Definimos b = a + + a g() b 2 = a g()+ + a g()+2 + + a g(2). b n+ = a g(n)+ + a g(n)+2 + + a g(n+) Entonces la serie consecutivos. b n se dice que se ha obtenido a partir de a n asociando términos Teorema 2..9 (Propiedad asociativa). En una sucesión convergente o divergente se pueden asociar términos consecutivos sin que varíe el carácter de la serie ni su suma, si es convergente. Nota 2..0. Esta propiedad no es cierta series oscilantes. Tampoco es cierta, en general, la propiedad disociativa, es decir, del hecho de que una serie obtenida asociando términos consecutivos sea convergente o divergente, no significa que la serie original también lo sea, ya que ésta puede ser oscilante. Por ejemplo, la serie de término general a n = ( ) n es oscilante, pero asociando términos consecutivos de dos en dos, es decir, tomando b = a +a 2, b 2 = a 3 +a 4,...,b n = a 2n +a 2n, la serie resultante es convergente a 0. Teorema 2... Si intercalamos (o suprimimos) en una serie un número finito de términos cuya suma sea A, la nueva serie mantiene el carácter de la original y, caso de ser convergente de suma S, la nueva suma será S + A (o S A si se suprimen términos). Teorema 2..2 (Condición necesaria de convergencia). Sea a n una serie convergente. Entonces lím a n = 0 Teorema 2..3 (Condición general de convergencia de Cauchy). Una serie a n es convergente si y sólo si ε > 0 n 0 N tal que n, m n o con m > n se tiene que m a k < ε. k=n+ 4
Grupo B Curso 205/206 2.2. Series de términos positivos. 2.2.. Definición y propiedades generales. Definición 2.2.. Una serie a n se dice que es una serie de términos positivos cuando a n > 0 n N. Teorema 2.2.2. Una serie de términos positivos es convergente o divergente a +, pero nunca oscilante. Corolario 2.2.3. Una serie de términos positivos es convergente si y sólo si su sucesión de sumas parciales está acotada (superiormente). 2.3. Criterios de convergencia. Teorema 2.3. (Criterio general de comparación). Sean términos positivos. (a) Si n 0 y c > 0 tales que b n < c a n n n 0 y es convergente. (b) Si n 0 y c > 0 tales que b n < c a n n n 0 y divergente. Corolario 2.3.2. Sean a n y a n y b n dos series de a n es convergente, entonces b n es divergente, entonces b n a n es b n dos series de términos positivos. Si α, β > 0 y n 0 N tales que αa n < b n < βa n n n 0 entonces ambas series tienen el mismo carácter. Teorema 2.3.3 (Criterio de comparación por paso al límite). Sean b n series de términos positivos tales que lím = l [0, + ]. a n (a) Si l (0, + ), entonces ambas series tienen el mismo carácter. (b) Si l = 0 y a n es convergente, entonces (c) Si l = + y a n es divergente, entonces b n es convergente. b n es divergente. a n y b n dos 5
Curso 205/206 Cálculo Infinitesimal Teorema 2.3.4 (Criterio de condensación de Cauchy). Sea a n una serie de términos positivos tal que la sucesión {a n } es decreciente. Entonces las series tienen el mismo carácter. a n y 2 n a 2 n Ejemplo 2.3.5. Como aplicación del criterio anterior, vamos a estudiar el carácter de la serie armónica generalizada con α R. nα En primer lugar, si α < 0 entonces lím = + = 0 y la serie debe ser divergente; nα y si α = 0, entonces lím n α = lím = 0 y la serie también será divergente. Así pues nos centraremos en el caso α > 0, por lo que la sucesión { } a n = n es decreciente. Entonces 2 n 2 n α a 2 n = 2 nα = 2 n( α) ( = 2 α ) n, que es una serie geométrica de razón 2 α. Por consiguiente, si α >, es 2 α < y la serie será convergente. Mientras que si 0 < α <, es 2 α > y la serie será divergente. En resumen, n α es convergente si α > divergente si α Teorema 2.3.6 (Criterio de Pringsheim). Sea Entonces a n una serie de términos positivos. (a) Si α > tal que lím nα a n [0, + ), la serie (b) Si α tal que lím nα a n (0, + ], la serie Teorema 2.3.7 (Criterio de la raíz). Sea λ = lím n an. Entonces (a) Si λ < la serie (b) Si λ > la serie a n es convergente. a n es divergente. (c) Si λ = no se puede afirmar nada. a n converge. a n diverge. a n una serie de términos positivos tal que 6
Grupo B Curso 205/206 Teorema 2.3.8 (Criterio del cociente). Sea que λ = lím a n+. Entonces a n a n una serie de términos positivos tal (a) Si λ < la serie (b) Si λ > la serie a n es convergente. a n es divergente. (c) Si λ = no se puede afirmar nada. Teorema 2.3.9 (Criterio de Raabe). Sea ( λ = lím n a ) n+. Entonces a n (a) Si λ > la serie (b) Si λ < la serie a n es convergente. a n es divergente. (c) Si λ = no se puede afirmar nada. a n una serie de términos positivos tal que 2.3.. Series alternadas Definición 2.3.0. Se dice que la serie b n es una serie alternada cuando sus términos van alternando de signo, es decir, cuando b n b n+ < 0 n N. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que el primer término es positivo, en cuyo caso, una serie alternada será de la forma ( ) n+ a n con a n > 0 n N (si el primer término fuese negativo, bastaría con multiplicar la serie anterior por ). Teorema 2.3. (Criterio de Leibnitz). Sea {a n } una sucesión decreciente y convergente a 0. Entonces la serie alternada ( ) n+ a n es convergente. Además, si las suma de la serie es S y S n es la n-ésima suma parcial, se cumple que S S n < a n+. ( ) n+ Ejemplo 2.3.2. La serie armónica alternada n es convergente. 7
Curso 205/206 Cálculo Infinitesimal 2.3.2. Convergencia absoluta y condicional: reordenaciones. En esta sección se estudiarán series numéricas cuyos términos no son necesariamente positivos. En realidad, trabajaremos con series en las que haya infinitos términos positivos e infinitos términos negativos, pues en otro caso, el estudio puede reducirse a las series de términos positivos. En efecto, si hay una cantidad finita de términos negativos, se puede prescindir de ellos sin alterar el carácter de la serie; mientras que si hay una cantidad finita de términos positivos, multiplicando por la serie, estaríamos en el caso anterior. Definición 2.3.3. Sea a n una serie numérica. Se dice que a n es absolutamente convergente si la serie de términos positivos pero a n diverge, se dirá que a n es convergente. Si a n es condicionalmente convergente. a n converge, Proposición 2.3.4. Toda serie absolutamente convergente es convergente. Nota 2.3.5. El recíproco no es cierto en general, pues n es divergente pero ( ) n n es convergente, es decir, la serie armónica alternada es condicionalmente convergente. Definición 2.3.6. Sea a n una serie numérica. Definimos las siguientes series aso- ciadas p n y q n, donde p n = máx{a n, 0} y q n = mín{a n, 0} n N, de modo que a n = p n + q n y a n = p n q n. De esta forma, p n es una serie de términos no negativos (luego convergente o divergente a + ) y (luego convergente o divergente a ). q n es una serie de términos no positivos Teorema 2.3.7. Sea a n una serie numérica. Entonces (a) a n es absolutamente convergente si y sólo si las series p n y q n son conver- gentes. En tal caso a n = p n + q n y a n = p n q n. (b) Si a n es condicionalmente convergente, entonces las series p n y q n son divergentes. 8
Grupo B Curso 205/206 Nota 2.3.8. El recíproco del apartado (b) del teorema anterior no es cierto en general. Definición 2.3.9. Sea a n una serie numérica y sea g : N N una aplicación biyectiva. Entonces la serie de la serie a n. b n, donde b n = a g(n) n N, se dice que es una reordenación Lema 2.3.20. Cualquier reordenación de una serie de términos positivos tiene el mismo carácter que la original y la misma suma, caso de ser convergente. Teorema 2.3.2 (Dirichlet). Sea a n una serie numérica absolutamente convergente de suma S. Entonces cualquier reordenación suya también es absolutamente convergente de suma S. Teorema 2.3.22 (de reordenación de Riemann). Sea a n una serie numérica condicionalmente convergente. Entonces, α R {, + } existe una reordenación de a n tal que b n = α. Corolario 2.3.23. Sea a n una serie numérica tal que todas sus reordenaciones son convergentes, entonces suma. a n es absolutamente convergente y todas convergen a la misma Definición 2.3.24. Una serie numérica a n se dice incondicionalmente convergente cuando todas sus reordenaciones son convergentes. Teorema 2.3.25. Una serie numérica es incondicionalmente convergente si y sólo si es absolutamente convergente. b n 9