Espacios vectoriales

CAPíTULO 2 Espacios vectoriales 1. Definición de espacio vectorial Es frecuente representar ciertas magnitudes físicas (velocidad, fuerza,...) mediante segmentos orientados o vectores. Dados dos de tales vectores se define geométricamente su suma mediante superposición. Algebraicamente esta operación define una estructura de grupo abeliano en el conjunto de todos los vectores. Además, si λ es un número (escalar) y v un vector se define geométricamente el producto de λ y v. Estas dos operaciones están relacionadas a través de algunas igualdades básicas: λ(v 1 + v 2 ) = λv 1 + λv 2... Estas propiedades justifican la definición de espacio vectorial abstracto del siguiente modo: Definición 2.1. Sea K un cuerpo. Un espacio vectorial sobre K es un grupo abeliano (V, +) junto con operación entre los elementos de K y V que asigna a cada λ K y v V un elemento λv cumpliendo las siguientes condiciones. 1. λ K, v 1,v 2 V, λ(v 1 + v 2 ) = λv 1 + λv 2 ; 2. λ, µ K, v V, (λ + µ)v = λv + µv; 3. λ, µ K, v V, (λµ)v = λ(µv); 4. v V, 1 K v = v. Los elementos de V se llaman vectores y los de K escalares. Ejemplo 2.1. 1. R 2 es R-espacio vectorial. 2. K n, donde K es un cuerpo, es un K espacio vectorial. 3. F(R, R) es un R-espacio vectorial. Si (V, +) es un K-espacio vectorial, las operaciones de K las denotaremos + y. Observemos que el signo + se utiliza para denotar dos operaciones distintas (una V y otra en K). El contexto deja claro que operación nos referimos en cada caso. De forma similar, denotaremos por 0 el elemento neutro de (V, +) y el de (K, +). En caso de confusión, podemos distinguir 0 V y 0 K. Finalmente si λ K, v V, λ denota el inverso de λ en (K, +) mientras que v denota el inverso de v en (V, +). Proposición 2.1. Si (V, +) es un K-espacio vectorial, entonces 1. 0 v = 0; 11

12 2. ESPACIOS VECTORIALES 2. ( λ)v = (λv); 3. si λv = 0, entonces λ = 0 ó v = 0. Ejercicio 2.1. a) Si λv = µv y v 0, entonces λ = µ. b) Si λv = λw y λ 0, entonces v = w. 2. Subespacios Definición 2.2. Sea (V, +) un K-espacio vectorial. Un subconjunto W V se dice que es un subespacio vectorial de V si W con las operaciones de V posee la estructura de K-espacio vectorial, es decir, 1. v,w W, v + w W (+ es una operación en W); 2. λ K y w W, λw W. En este caso escribiremos W V. Ejemplo 2.2. 1. V = R 2, W = {(x, y) R 2 x = y} = {(x, x) x R}. 2. {0} y V siempre son subespacios. 3. Las funciones continuas de R en R forman un subespacio en el espacio de todas las funciones de R en R. Proposición 2.2. Sea V un K-espacio vectorial y W 1,W 2 V. Entonces W 1 W 2 V. Ejemplo 2.3. W 1 = {(x,y,z) R 3 y+z = 0}, W 1 = {(x,y, z) R 3 x+z = 0}, W 1 W 2 = {(x, x, x) x R}. En general si W 1,...,W n V, entonces W 1... W n V. Definición 2.3. Sea V un K-espacio vectorial y W 1,W 2 V. Se llama suma de los subespacios W 1 y W 2 al conjunto W 1 +W 2 = {w 1 +w 2 w 1 W 1,w 2 W 2 }. Proposición 2.3. Si W 1,W 2 V, entonces W 1 + W 2 V. Ejemplo 2.4. W 1 = {(x,x) x R}, W 1 = {(x,2x) x R}, W 1 + W 2 = R 2. (explicarlo geometricamente) Definición 2.4. Sea V un K-espacio vectorial y W 1,...,W n V. Se dice que la suma de W 1 +... + W n es directa si todo vector de W 1 +... + W n es suma de únicos vectores de W i. Es decir para todo v W 1 +...+W n existen únicos w i W i tales que v = w 1 + +w n. En este caso escribiremos W 1... W n. Diremos que W 1 y W 2 son complementarios si V = W 1 W 2. Proposición 2.4. Sea V un K-espacio vectorial y W 1,W 2 V. Entonces W 1 + W 2 = W 1 W 2 si y sólo si W 1 W 2 = {0}. Ejemplo 2.5. W 1 = {(x, x) x R}, W 1 = {(x,2x) x R}, W 1 + W 2 = W 1 W 2 = R 2.

3. SISTEMAS DE GENERADORES Y SISTEMAS LIBRES. BASES. 13 3. Sistemas de generadores y sistemas libres. Bases. Definición 2.5. Supongamos que V es un K-espacio vectorial y S = {v 1,...,v n } V. Se llama combinación lineal de S a todo vector de la forma λ 1 v 1 +...+λ n v n con λ 1,...,λ n K. Al conjunto de todas las combinaciones lineales de S lo denotaremos S. Observamos que S es un subespacio vectorial de V y v 1,...,v n S. Definición 2.6. S se llama subespacio generado por S. Si W V y W = S, se dice que S es un sistema generador de W. Si existe un conjunto finito de vectores S V tales que V = S, entonces se dice que V es un K-espacio finitamente generado. Ejemplo 2.6. 1. V = R 2, S = {(1,1)}, S = {(x,x) x R}. 2. V = R 2, S = {(1,1),(1,0)}, S = R 2. 3. W = {(x, y, x, 2y) x, y R} = {1,0, 1,0),(0,1,0, 2)} Ejercicio 2.2. Sean v 1,...,v n V. Si v i es combinación lineal de v 1,...,v i 1,v i+1,...,v n, entonces v 1,...,v n = v 1,...,v i 1,v i+1,...,v n. Ejercicio 2.3. Si W 1 = S y W 2 = T, entonces W 1 + W 2 = S T. Es cierto W 1 W 2 = S T? Definición 2.7. Sea V un K-espacio vectorial y S = {v 1,...,v n } V. Se dice que S es un conjunto libre o linealmente independiente si la única situación en que λ 1 v 1 +... + λ n v n = 0 es cuando λ 1 = = λ n = 0. Observemos que si {v 1,...,v n } es un sistema linealmente independiente entonces λ 1 v 1 +...+λ n v n = µ 1 v 1 +...+µ n v n si y sólo si λ 1 = µ 1,...,λ n = µ n. Por lo tanto, v 1,...,v n = Kv 1... Kv n. Definición 2.8. Sea V un K-espacio vectorial y B = {v 1,...,v n } V. Diremos que B es una base si B es un sistema generador y es linealmente independiente. Acordamos que cuando V consiste de un solo vector su base es el conjunto vació. Ejemplo 2.7. 1. Sea V = R 2. Entonces B 1 = {(1,0),(0,1)} y B 2 = {(1,1),(1,0)} son bases de V. 2. Sea V los polinomios sobre R de grado menor que n. Entonces 1,x,...,x n 1 es una base de V. Notemos que si B = {v 1,...,v n } es una base de V entonces cualquier elemento de V se expresa y de forma única como v = λ 1 v 1 +... + λ n v n con λ 1,...,λ K. Los elementos λ 1,...,λ n se llaman coordenadas del vector v respecto de la base B.

14 2. ESPACIOS VECTORIALES Ejemplo 2.8. Sea V = R 2. Entonces B 1 = {(1,0),(0,1)} y B 2 = {(1,1),(1,0)} son bases de V. Los coordinadas de v = (2,3) respecto de B 1 son 2,3 y las coordinadas de v = (2,3) respecto de B 2 son 3, -1. Ahora nos planteamos demostrar que en cualquier espacio vectorial finitamente generado V existe base. Necesitaremos el siguiente lema. Lema 2.5. Sea S = {v 1,...,v s } un sistema linealmente independiente y v V con v v 1,...,v s. Entonces {v 1,...,v s,v} son linealmente independientes. Teorema 2.6. Sea V un K-espacio vectorial, S un sistema libre y T un sistema generador finito de V. Entonces existe T 0 T tal que S T 0 es una base de V. Corolario 2.7. Sea V un K-espacio vectorial finitamente generado. Entonces V posee base. De hecho, cualquier sistema generador contiene una base. Entonces como vemos de cualquier sistema de generadores de un espacio vectorial se puede extraer una base y también es posible construir bases a partir de sistemas de vectores linealmente independientes. 4. Dimensión de un espacio vectorial Teorema 2.8. Sea V un K-espacio vectorial finitamente generado. Entonces, todas las bases tienen el mismo número de elementos. Dicho número se denomina dimensión del espacio vectorial y se denota dim K V. Sea B una base. Es claro basta probar que para cualquier otra base S, S B. Lo vamos a probar por la inducción inversa sobre B S. Si B S = B entonces B S. Si existe s S \ B, entonces s es una combinación lineal de los vectores de B y por lo tanto S no es una base. Concluimos que B = S. Con esto hemos probado la base de inducción. Ahora suponemos que hemos probado que S B para cualquier base S cuando B S > s. Suponemos ahora que B S = s < B. Si no existe v S \ B, entonces S = s < B y hemos terminado. Entonces suponemos que existe v S \ B. Consideramos el conjunto S = S \ v. Tenemos que S = S 1, S B = B S = s. Como v no es una combinación lineal de elementos de S, concluimos que S no es una base. Por el Teorema 2.6, podemos completar S hasta una base con los elementos de B. Entonces existe B B tal que S 1 = S B es una base de V. Notemos que B S y por lo tanto S 1 B = B (S B) > B S = s.

5. MATRIZ DE CAMBIO DE BASE 15 Aplicando la hipótesis inductiva, obtenemos que S 1 B. Por lo tanto, Ejemplo 2.9. S = S + 1 S 1 B. Corolario 2.9. Sea V un K-espacio vectorial de dimensión n, S un sistema generador y T un sistema de vectores linealmente independientes. Entonces 1. T n y además T = n si y sólo si T es una base; 2. S n y además S = n si y sólo si S es una base. Corolario 2.10. Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita y W V. 1. W es finitamente generado y dim W dim V ; 2. existe un subespacio W tal que V = W W. Teorema 2.11. Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita y W,W V. Entonces dim(w + W ) = dimw + dimw dim(w W ). 5. Matriz de cambio de base Sea V un K-espacio vectorial. En adelante vamos a considerar también matrices con vectores de V como entradas. Estas matrices se puede multiplicar por las matrices sobre K. Sea M = (v ij ) una matriz k m donde v ij V y A = (a ij ) una matriz m n con entradas a ij K. Definamos el producto de M y A como u 11... u 1n u 21... u 2n m N = MA =... = (u ij), donde u ij = a kj v ik. k=1 u k1... u kn Necesitaremos la siguiente proposición. Proposición 2.12. Sea B = {v 1,...,v m } una base de un K-espacio vectorial V y A y B dos matrices m n. Si entonces A = B. (v 1,...,v m )A = (v 1,...,v m )B, Definición 2.9. Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita y B = {v 1,...,v n }, B = {v 1,...,v n} dos bases de V. Se llama matriz de cambio de base de B a B a la matriz n n cuya j-ésima columna está formada por las coordenadas del vector v j respecto de la base B. Ejemplo 2.10. 1. V = R 3, B c = {e 1,e 2,e 3 } es la base canónica y B = {v 1,v 2,v 3 } donde v 1 = (1,1,0), v 2 = e 3 y v 3 = e 2. 2. Id

16 2. ESPACIOS VECTORIALES Supongamos que B y B son dos bases de V, B = {v 1,...,v n }, B = {v 1,...,v n} y sea P la matriz de cambio de base de B a B (escribiremos más brevemente, B P B ). Si P = (p ij ) se tiene que o en la forma matricial v j = p 1j v 1 +...p nj v n, (v 1,...,v n) = (v 1,...,v n )P. Proposición 2.13. Sean B, B y B tres bases de V, B P B, B Q B. Entonces la matriz de cambio de base de B a B es PQ y la matriz de cambio de base de B a B es P 1 (en particular P 1 GL n (K)). Proposición 2.14. Sea V un K-espacio vectorial, B = {v 1,...,v n } una base y A = (a ij ) M n (K). Definimos los vectores v j = a 1j v 1 +... + a nj v n. Entonces, A GL n (K) si y sólo si B = {v 1,...,v n} es una base. En este caso, A es la matriz de cambio de base de B a B. 1 1 0 Ejercicio 2.4. Demostrar que A = 1 2 1 GL 3 (R) y hallar su 1 0 1 inverso. La matriz de cambio de base de B a B permite relacionar las coordenadas de cualquier vector respecto de estas bases. Proposición 2.15. Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita B = {v 1,...,v n }, B = {v 1,...,v n} dos bases de V, X = x 1. x n y X = sus coordenadas respecto de B y B respectivamente y P es la matriz de cambio de base de B a B. Entonces, X = P 1 X. Por eso a veces la matriz P 1 se llama la matriz de cambio de coordenadas. Ejemplo 2.11. Sea V = R 3, B c = {e 1,e 2,e 3 } la base canónica y B = {v 1,v 2,v 3 } donde v 1 = (1,1,0), v 2 = e 3 y v 3 = e 2. Sea v = (1,1,1). Ejercicio 2.5. Decide si cada uno de los siguientes conjuntos es una base de R 3. Si lo es, escribe la matriz de paso de la base canónica a la nueva base y utilízala para encontrar las coordenadas en la nueva base de v = (1,3,5). B 1 = {(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1)}, B 2 = {(0,1,2),(1,2,3),(2,3,4)} B 3 = {(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0)}, B 4 = {(1,1,1),(1,2,3),(1, 2, 3)}. x 1. x n

6. PRODUCTO DE ESPACIOS. ESPACIO COCIENTE. 17 6. Producto de espacios. Espacio cociente. Definición 2.10. Dados dos K-espacios vectoriales U y V definimos el producto El conjunto U V con dos operaciones U V = {(u, v) u E,f F }. suma (u 1,v 1 ) + (u 2,v 2 ) = (u 1 + u 2,v 1 + v 2 ) producto por scalares λ(u, v) = (λu,λv) es un K-espacio vectorial. Proposición 2.16. Si U y V son de dimensión finita, entonces U V también lo es y dim U V = dimu + dimv. Definición 2.11. Si W es un subespacio de un K-espacio vectorial V, podemos definir la relación W : u W v u v W. Ésta es una relación de equivalencia (comprobarlo), que llamaremos la relación de equivalencia módulo W. Si u W v, diremos que u y v están relacionados módulo W. Denotaremos por [u] la clase de equivalencia de cualquier vector u V. En el conjunto cociente (conjunto de clases de equivalencia) definimos la operaciones suma [u] + [v] = [u + v] producto por scalares λ[u] = [λu]. Ambas operaciones están bien definidas, es decir, no dependen de la elección de representantes (comprobarlo). El conjunto V/W con dos operaciones es un K- espacio vectorial. Proposición 2.17. Sea W un subespacio de un K-espacio vectorial V y U el complemento de W. Entonces 1. V/W = {[u] u U}; 2. si u 1 y u 2 U y [u 1 ] = [u 2 ], entonces u 1 = u 2 ; 3. si B = {b 1,...,b k } es una base de U, entonces {[b 1 ],...,[b k ]} es un base de V/W. Ejemplo 2.12. Corolario 2.18. Si V es de dimensión finita, V/W también lo es y dim V/W = dimv dimw.

18 2. ESPACIOS VECTORIALES 7. Ejercicios Ejercicio 2.6. Determinar si en los siguientes casos el conjunto V tiene estructura de K-espacio vectorial, donde la suma y el producto por escalares se consideran definidos de forma natural. 1. V = C, K = R. 2. V = R, K = C. 3. V = {a + bi a,b Q}, K = Q. 4. V = {f : [0,1] R f es continua}, K = R. 5. V = {f : R [0,1] f es continua}, K = R. Ejercicio 2.7. Sea K un cuerpo y S(K) := {(x 0,x 1,x 2,...,x n,...) x i K} el conjunto de las sucesiones de elementos de K (una notación común para este conjunto es K N ). Definimos: (x 0,x 1,x 2,...,x n,...) + (y 0,y 1,y 2,...,y n,...) = (x 0 + y 0,x 1 + y 1,...,x n + y n,...) y para λ K, λ (x 0,x 1,x 2,...,x n,...) = (λx 0,λx 1,λx 2,...,λx n,...). a) Demuestra que, con estas operaciones, S(K) es un K-espacio vectorial. b) Para i N, sea e i S(K) la sucesión para la que x i = 1 y x j = 0 si j i (es decir, e 0 = (1,0,0,0,...), e 1 = (0,1,0,0,...), etc.). Sea E = {e i i N}. Es E linealmente independiente? Es E una base se S(K)? Ejercicio 2.8. Sea K un cuerpo. Comprueba si son o no K-espacios vectoriales los siguientes conjuntos con las operaciones indicadas: a) V = {(x 1,x 2 ) K 2 }, (x 1,x 2 )+(y 1,y 2 ) = (x 1 +y 1,0),λ(x 1,x 2 ) = (λx 1,0). b) V = {(x 1,x 2 ) K 2 x 1 0,x 2 0}, (x 1,x 2 ) + (y 1,y 2 ) = (x 1 y 1,x 2 y 2 ), λ(x 1,x 2 ) = (λx 1,λx 2 ). V. Ejercicio 2.9. Estudiar en qué casos es W subespacio del K-espacio vectorial 1. V = R 2, K = R, W = {(2x, 3x) x R}. 2. V = R 2, K = R, W = {(x 2, x 3 ) x R}. 3. V = {f : [0,1] R f es continua}, K = R, W = {f V f(0) = f(1)}. 4. V = {f : [0,1] R f es continua}, K = R, W = {f V f(0) = 1}. 5. V = M 2 2 (Q), K = Q, W = {A V A 2 = 0}. 0 a b 6. V = { 0 0 c a,b, c C}, K = C, W = {A V A 2 = 0}. 0 0 0 Ejercicio 2.10. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K. Demuestra que dos vectores v 1 y v 2 en V \ { 0} son linealmente dependientes si y sólo si existe k K tal que v 2 = kv 1. Ejercicio 2.11. Sea K un cuerpo. Encuentra todos los subespacios vectoriales de K (visto como un K espacio vectorial).

7. EJERCICIOS 19 Ejercicio 2.12. Demuestra que si V es un subespacio vectorial de R 3, entonces V = { 0}, o V es una recta que pasa por el origen, o V es un plano que pasa por el origen o V = R 3. Ejercicio 2.13. Sea W el subespacio de R 4 generado por (1,2, 5,3) y (2, 1,4,7). Determina si el vector (0,0, 37, 3) pertenece a W. Ejercicio 2.14. Consideramos el R-espacio vectorial V = R R = {funciones f : R R}. Comprueba si son subespacios vectoriales de V a) V 1 = {f V f es diferenciable (en todo R) y su derivada es continua}. [Este es un conjunto muy importante. Se llama C 1 (R).] b) V 2 = {f V f es diferenciable dos veces y f (x) f (x) + f(x) = 0}. c) V 3 = {f V f es diferenciable dos veces y f (x) xf (x) + x 2 f(x) = 0}. d) V 4 = {f V f es diferenciable y (f (x)) 2 = f(x)}. Ejercicio 2.15. Consideramos el R-espacio vectorial V = M m n (R) de las matrices m n. Comprueba si son los siguientes subconjuntos son subespacios vectoriales de V. Si la respuesta es afirmativa, encuentra bases cuando m = n = 2 y también cuando m = n = 3. a) V 1 = {A V a 11 = 0}. b) V 2 = {A V a 11 + a 12 = 0}. c) V 3 = {A V n i=1 a ii = 0}. [Aquí consideramos sólo el caso m = n.] d) V 4 = {A V a ij = a ji i,j}. [Aquí consideramos sólo el caso m = n.] e) V 5 = {A V a ij = a rs i, j, r, s}. f) V 6 = {A V n j=1 a ij = 2π para i = 1,...,m}. [Fijamos la suma de los elementos de cada fila.] Ejercicio 2.16. Construye una base de R 4 que contenga a los vectores (2, 2,3,1) y ( 1,4, 6, 2). Ejercicio 2.17. Consideremos en R 4 los subespacios vectoriales W 1 =< v 1,v 2,v 3 > y W 2 =< v 4,v 5 > con v 1 = (1, 2, 1,3), v 2 = (0,2,1, 1),v 3 = ( 2,6,3, 7),v 4 = (1,2,1,1),v 5 = (2,0, 1,1). Calcula las dimensiones de W 1,W 2,W 1 +W 2 y W 1 W 2. Ejercicio 2.18. Consideremos en R 3 los subespacios W =< (1,1,1) > y V = {(x 1,x 2,x 3 ) x 1,x 2,x 3 R y x 1 + x 2 + x 3 = 0}. i) Demuestra que W + V = R 3 y que la suma es directa. ii) Expresa al vector (1,2,0) como suma de un vector en W y un vector en V. Ejercicio 2.19. Sea R[x] 3 = {p(x) = a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +a 3 x 3 a 0,a 1,a 2,a 3 R}. a) Demuestra que B = {x 3 + 4x,3x 2 + 4,6x,6} es una base de R[x] 3 y calcula las coordenadas de p(x) = 2 + 2x x 2 x 3 en B. b) Sea W = {(a b) + 2ax + bx 2 + (a + 2b)x 3 a,b R}. Demuestra que W es un subespacio vectorial de R[x] 3. Encuentra una base de W y un subespacio complementario de W en R[x] 3. Ejercicio 2.20. Dada una matriz A = (a i,j ) M m n (K), llamamos traspuesta de A a la matriz A t = (b i,j ) M n m (K) tal que b i,j = a j,i. Consideremos los

20 2. ESPACIOS VECTORIALES conjuntos S = {A M 2 2 (R) A = A t } [se llaman matrices simétricas de 2 por 2.] H = {A M 2 2 (R) A = A t } [se llaman matrices hemisimétricas] Demuestra que S y H son subespacios vectoriales de M 2 2 (R) y que M 2 2 (R) = S H. Ejercicio 2.21. Consideramos los subespacios de R 4 E 1 =< (1,1,1,1),(1, 1,1, 1),(1,3,1,3) >, E 2 =< (1,2,0,2),(1,2,1,2),(3,1,3,1) >. a) Calcula las dimensiones de los espacios E 1,E 2,E 1 E 2 y E 1 + E 2. Es la suma E 1 + E 2 directa? b) Describe geométricamente los espacios cocientes R 4 /E 1 y R 4 /E 2. Calcula las dimensiones y encuentra bases de cada uno.