UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CLAVE DE EXAMEN DEL CURSO: Matemática Básica 2 TIPO DE EXAMEN: Primer Examen Parcial SEMESTRE: Segundo NOMBRE DE LA PERSONA QUE RESOLVIÓ EL EXAMEN: José Guillermo Villafuerte Díaz NOMBRE DE LA PERSONA QUE DIGITALIZÓ EL EXAMEN: José Guillermo Villafuerte Díaz NOMBRE DEL REVISOR: Inga. Helen Rocío Ramírez Lucas NOMBRE DE LA CLAVE: clave-116-1-m-2-2012
Universidad de San Carlos de Guatemala Departamento de Matemática Facultad de Ingeniería Matemática Básica 2 Escuela de Ciencias Primer Examen Parcial Tema 1 Use la definición de derivada como límite para encontrar para. Tema 2 Determine. a) b) Tema 3 a) Determine la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto. b) Determine el o los puntos sobre la misma curva en los que las rectas tangentes son perpendiculares a la recta encontrada en el inciso (a). Tema 4 Evalúe los siguientes límites: a) Tema 5 b) c) Copie en su cuadernillo la gráfica de f que se le presenta a continuación y úsela para responder a las siguientes preguntas. a) En qué puntos es f discontinua? Justifique cada una de sus respuestas. b) En qué puntos es f no derivable? Justifique cada una de sus respuestas. c) Existe alguna discontinuidad removible? Dónde, y por qué es removible? d) Trace la gráfica de la derivada de f.
RESOLUCIÓN Tema 1 Use la definición de derivada como límite para encontrar para. Dada la definición Desarrollando [ ] [ ] * + [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Evaluando el límite [ ] [ ] Respuesta:
Tema 2 Determine. a) ( ) ( ) ( * +) ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) Respuesta: ( ) ( ) b) ( ) Respuesta:
Tema 3 a) Determine la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto. b) Determine el o los puntos sobre la misma curva en los que las rectas tangentes son perpendiculares a la recta encontrada en el inciso (a). a) Recta tangente a la curva en el punto Gráfica de la curva Pendiente de la recta tangente Utilizando la ecuación de punto-pendiente Sustituyendo Ecuación de la recta tangente ( ) b) Determine el o los puntos sobre la misma curva en los que las rectas tangentes son perpendiculares a la recta encontrada en el inciso (a). Análisis de la gráfica Curva Azul Recta tangente del inciso (a) Verde Rectas perpendiculares a la recta tangente del inciso (a) Rojo El problema nos solicita encontrar los puntos sobre la curva, cuyas rectas tangentes son perpendiculares a la recta encontrada en el inciso (a). Por inspección gráfica se determina que las coordenadas a encontrar pertenecerán a los puntos P1 y P2.
Dada la propiedad de perpendicularidad de dos pendientes Por lo tanto se obtiene la pendiente de las rectas tangentes a la curva (rectas en rojo), pero que al mismo tiempo son perpendiculares a la pendiente (m ) recta tangente del inciso (a) (recta en verde). Igualando la pendiente a la primera derivada Despejando para x, se encontrarán las coordenadas en x de los puntos P1 y P2. Dada las coordenadas en x, se prosigue a calcular sus respectivas imágenes. Para Por lo tanto las coordenadas de P1 serán ( ) Para ( ) ( ) Por lo tanto las coordenadas de P2 serán ( )
Tema 4 Evalúe los siguientes límites: a) Reescribiendo Evaluando el límite b) Evaluando el límite c) ( )
Tema 5 a) En qué puntos es f discontinua? Justifique cada una de sus respuestas. En (a), (b), (c), (d) y (e) la función f(x) es discontinua porque no cumplen la definición de continuidad: b) En qué puntos es f no derivable? Justifique cada una de sus respuestas. Para que una función sea derivable, ésta debe ser continua en dicho punto. Por lo tanto, dada la discontinuidad determinada en el inciso anterior, se justifica que la gráfica no es derivable en (a), (b), (c), (d) y (e). c) Existe alguna discontinuidad removible? Dónde, y por qué es removible? Sí existe una discontinuidad removible en (d). Porque si redefinimos f(x) en ese punto podemos volver la función continua. d) Trace la gráfica de la derivada de f.