ACADEMIA DE FÍSICO-MATEMÁTICAS CICLO ESCOLAR TERCER SEMESTRE MATEMÁTICAS III G E O M É T R Í A GUÍA A N A L Í T I C A

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1 GEOMETRÍA ANALÍTICA CENTRO DE ESTUDIOS DE BACHILLERATO LIC. JESÚS REYES HEROLES ACADEMIA DE FÍSICO-MATEMÁTICAS CICLO ESCOLAR TERCER SEMESTRE MATEMÁTICAS III G E O M É T R Í A GUÍA A N A L Í T I C A G U Í A E X A M E N E X T R A O R D I A N R I O E N E R O T U R N O M A T U T I N O Elaboró: Arq. Daniel Constantino Sosa. 1

2 Geometría analítica CONTENIDO DE LA GUIA Localización de parejas de coordenadas en el plano cartesiano Distancia entre dos puntos Punto medio de un segmento determinado Triángulo: Recta: Circunferencia: a) Demostrar si es un triángulo: rectángulo equilátero b) Calcular área del triángulo método determinantes c) Calcular perímetro de un triángulo d) Calcular ángulos internos del triángulo a) Ecuación de la recta conocidos dos puntos b) Ecuación de la recta conocido un punto y su pendiente c) Intersección de dos rectas - dadas las ecuaciones Intersección de dos rectas - dados sus puntos de coordenadas d) Ecuación de la recta de la forma punto pendiente e) Ecuación general de la recta e) Distancia de un punto a una recta f) Rectas perpendiculares g) Pendiente y ángulo de Inclinación de una recta a) Ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen b) Ecuación general de la circunferencia c) Pasar de la ecuación general de la circunferencia a la ordinaria d) Hallar la ecuación gral. de la circunferencia que pasa por tres puntos Recta y Circunferencia: a) Hallar la ecuación general de la circunferencia cuyo centro es la intersección de las rectas b) Hallar la ecuación general de la circunferencia de centro C ( h, k ) y que es tangente a la recta Parábola: a) Ecuación general con vértice en un punto ( h, k ),y eje de simetría paralelo al eje de coordenadas x b) Ecuación general con vértice en un punto ( h, k ),y eje de simetría paralelo al eje de coordenadas y c) Hallar los elementos (vértice, foco, directriz y lado recto ) dada la ecuación general, o dado el foco y la directriz Elipse: a) Ecuación general con centro en el origen,dado un foco y la longitud del eje menor b) Ecuación general con centro en el origen,dado un vértice y la distancia focal c) Hallar los elementos (los focos, vértices, excentricidad y longitud del lado recto) dada la ecuación general Nota: los temas indicados en la guía que no se encuentren ejemplificados en la misma, el alumno tendrá que investigarlos. 2

3 Investigar: a) Sistema de Ejes de Coordenadas Rectangulares Cartesianas b)teorema de Pitágoras c) Distancia entre dos puntos d) Método de Determinantes Demostrar que el triángulo cuyos vértices: son : A ( 2, 3 ), B ( 7, 3 ) y C ( 7, 9 ) representan un triángulo rectángulo Localiza los puntos A ( 2, 3 ), B ( 7, 3 ),y C ( 7,9 ) en un sistema de ejes de coordenadas y calcula el perímetro del triángulo resultante. Utiliza la formula de la distancia entre dos puntos. Formula: d (x x ) (y y ) Área de un triángulo Utiliza el método de determinantes Localiza los puntos A (4, -5), B (-3,-2) y C (5,3), Calcular el área del triangulo formado por los vértices ABC. ( utiliza el método de Determinantes). EJEMPLO. DETERMINANTE: A [ ( ) ( ) ] 2 1 [ ( ) ] 1 59 (- 59 ) A 29.5 u 2 Resuelve los siguientes ejercicios Localizar los puntos y calcular el área de cada triangulo de los siguientes ejercicios ( UTILIZA EL METODO DE DETERMINANTES PARA EL ÁREA, EN LOS EJERCICIOS PROPUESTOS ) 1.- A (-6, -5 ), B ( 8, 2 ) y C ( 5, - 6 ). 2.- A ( 2, -3 ), B ( - 6, 3 ) y C ( - 4, -1). 3

4 Localización de puntos en el plano cartesiano. ( ORDENADA Y ABSCISA). EJEMPLO: Localizar los puntos A ( 4, - 5 ), B (- 3,- 2 ) y C ( 5,3 ),Únelos y obtiene el triangulo correspondiente ( Δ ABC ) y C (5,3) B(-3,-2) x A(4,-5) EJERCICIOS Localiza las siguientes parejas de coordenadas en el plano cartesiano, cada ejercicio en un plano Cartesiano. Únelos y forma el triángulo correspondiente. 1.- A ( 3, 5 ), B ( - 7, - 4 ), C ( - 5, 6 ). 2.- D ( -2, -3 ), E ( - 5, 8 ), F ( 7,- 2 ). Distancia entre dos puntos. Utiliza la formula de la distancia entre dos puntos EJEMPLO: Hallar la distancia entre los puntos A ( 2, - 5 ), B ( - 2,- 3 ). Formula: d (x x ) (y y ) (x 1, y 1 ) ( 2,- 5) y (x 2, y 2 ) (- 2,- 3) d d, d unidades 4

5 EJERCICIOS Hallar la distancia entre los siguientes pares de puntos: 1.- P ( - 5, 6 ), Q ( 4, 0 ). 2.- R ( - 5, 6 ), S ( 4, 0 ). 3.- T ( - 5, 6 ), U ( 4, 0 ). 4.- V ( - 5, 6 ), W( 4, 0 ). Punto medio de un segmento determinado. Aplica Utiliza la formula de punto medio. EJEMPLO: Cuáles son las coordenadas del punto medio del segmento A ( 5, 3 ), B ( 1,- 1 )? Formula: x, y x 3, y 1 EJERCICIOS. Hallar las coordenadas del punto medio que divide al segmento: 1.- A ( - 3, - 2 ), B ( -2, 0 ). 2.- C ( 9, -10), D ( -4, 7 ). 3.- E ( -12,-10), F ( 1, 0 ). 4.- G ( -12, 14), H ( -2, 3 ). Recta Pendiente de la recta conocidos dos de sus puntos. Aplica Utiliza la formula de la pendiente EJEMPLO: Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos ( 1, -1 ) y ( -3, 2 )? Formula: m, m

6 EJERCICIOS Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos: 1.- A ( - 1, 1 ), B ( 2, 1 ). 2.- C ( - 3, 1 ), D ( 4, 2 ). 3.- E ( 5, -1 ), F ( 2,- 4 ). 4.- G ( 1, 0 ), H ( -1, 2 ). Recta Ecuación general de la recta conocidos dos puntos. Aplica Utiliza la formula de la recta conocidos dos de sus puntos EJEMPLO: Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P 1 (- 2,1) y P 2 (0,3). Formula: y - y (x - x 1 ) ; y - 1 ( x - ( -2)) y 1 1 ( x + 2 ) ; y - 1 x + 2, y x +2+ 1, x y EJERCICIOS Hallar la ecuación general de la recta que pasa por los puntos: 1.- P ( 0, -2 ) y Q ( -3,1 ). 2.- R ( 2, -1 ) y S ( 7, 6 ). 3.- T ( 2,- 5 ) y U ( - 2,-3). 4.- V ( - 6,-1) y W( -5,-2 ). Recta Ecuación general conocidos un punto y la pendiente. Aplica Utiliza la formula de la recta conocidos dos de sus puntos EJEMPLO. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P 1 (-3,-1) y pendiente m - 2 Formula: y - y 1 m (x - x 1 ) y ( -1 ) - 2 ( x - (- 3)) y ( x + 3 ), y x - 6, 2x + y

7 EJERCICIOS Hallar la ecuación general de la recta que pasa por un punto y tiene pendiente m, 1.- P ( -2, -1 ) y m R ( 3, 4 ) y m 3.- T ( 1,- 2 ) y m 4.- V ( -,-1) y m -1 Recta Intersección de dos rectas. Aplica Utiliza el método de ecuaciones simultaneas- método de igualación EJEMPLO : Hallar el punto de intersección de las rectas: x + 2y y 3x - 4y x + 2y 5 0 igualando en ec. 1 x - 2y + 5, sustituyendo x en ec. 2 3 (- 2y + 5 ) - 4y ; - 6y y y - 4y ; - 10y - 20, y, y 2 Sustituyendo en ecuación 1 el valor obtenido x + 2( 2 ) x - 1 0, x 1 por lo tanto ( 1, 2 ). EJERCICIOS Hallar las coordenadas del punto de intersección de las rectas x - 3y y 3x + 5y x + y y x - 3y x + 3y y 6x - 2y

8 Recta Perpendicularidad de dos rectas Aplica Utiliza la formula de punto medio condición de perpendicularidad EJEMPLO : Encontrar la ecuación general de la recta l 1 que pasa por el punto medio del segmento A (2,-4), B (-3,6) y es perpendicular a la recta 5x - 5y 5 0 FORMULA x, y x y , Pm ( - 0.5,1 ) Para la pendiente 5x - 5y Para la pendiente de l 1 Ax + By + C 0 m, m 1, m l 1-1 Para encontrar la ecuación de l 1 FORMULA y - y 1 m ( x - x 1 ), sustituyendo y ( x -1) y x + 1, x + y , 1x + y EJERCICIOS Hallar la ecuación general de la recta que pasa por el punto medio del segmento indicado y es perpendicular a la recta : 1.- A ( 1, 4 ), B ( -3, -5 ). y recta 3x 4y C ( - 7,- 9 ), D ( 1, 0 ). y recta 8x + 7y E ( 8, - 10), F ( -2, -4 ). y recta x + 9y G ( - 6,11 ), H ( -6,11 ). y recta 6x 2y

9 Recta Angulo entre dos rectas Aplica Utiliza pendiente y ángulo de inclinación EJEMPLO. Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos (- 2,1) y ( 0,5) (x 1, y 1 ) (-2,1 ) y (x 2, y 2 ) (0, 5) m ; m 2 ; m 2 α arc tan 2 ; α EJERCICIO. 1.- Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos (4,7) y (-3,-7) Recta Angulo entre dos rectas Aplicar - Utiliza pendiente de la recta y ángulo de inclinación EJEMPLO. Hallar el ángulo entre las rectas cuyas pendientes son: m 1-3 y m 2-5 Formula: tan θ, tan θ ; tan -1 θ θ EJERCICIO. 1.- Hallar el ángulo entre las rectas cuyas pendientes son: m 1 9 y m 2-8 9

10 Recta Angulo entre dos rectas EJEMPLO. Aplicar - Utiliza Pendiente de la recta, abscisa y ordenada al origen Cuál es la pendiente de la recta 2x + 5y - 1 0? Cuáles son sus intersecciones con los ejes? m - ; A 2 ; B 5 y C - 1 donde y m - ; a - ; b - La intersección con los ejes es: ( ) ( ) EJERCICIO. 1.- Cuál es la pendiente de la recta 7x + 12y ?, Cuáles son sus intersecciones con los ejes? Recta Intersección de dos rectas Aplicar Ecuaciones simultaneas método de eliminación EJEMPLO. 1.- Hallar el punto de intersección de las rectas: x + 2y y 3x - 4y x + 2y 5 0 3x 4y +5 0 Despejando e igualando en ecuación 1, x - 2y + 5 Sustituyendo en ecuación 2, 3 (- 2y + 5 ) - 4y ; - 6y y y - 4y ; - 10y - 20, y, y 2 Sustituyendo en ecuación 1 el valor de y. x + 2 ( 2 ) x - 1 0, x 1, El punto de intersección es P i ( 1, 2 ) 10

11 EJERCICIOS. 1.-Hallar el punto de intersección de las rectas: 3x - 2y y 3x - 6y Hallar el punto de intersección de las rectas: 7x +12y y 4x 4 y Hallar el punto de intersección de las rectas: x - 3y y 7x - y Recta ANGULO ENTRE DOS RECTAS Aplicar Utiliza pendiente de la recta en la formula ángulo entre dos rectas EJEMPLO 1 Calcular el valor de los ángulos internos del triángulo A (-3,2), B (5,4) y C (2,-5) Graficar. Formula : m m AB m BC m AC Tan -1 de β Tan -1 de α , 1 3(0.25) β , 1 (0.25)( 1.4) α Tan de µ 1 3( 1.4) µ , µ La suma de los ángulos α +β + µ

12 EJEMPLO 2 Calcular el valor de los ángulos internos del triángulo cuyos vértices son: A (1,1), B (6,4), y C (3,-7). Graficar. m AB m BC m AC Tan -1 de β (0.6)( 4) , β Donde β ( ), Por lo tanto β Tan -1 de α (3.666)(0.6) , α Tan -1 de µ (3.666)( 4) , µ La suma de los ángulos α +β + µ EJEMPLO 3 Calcula el valor de los ángulos internos del triángulo cuyos vértices son A (5,3), B (-2,2) C (-4,4). Graficar m AB m AC m BC

13 Continua del ejercicio pag Tan -1 de β 0.257, β ( 0.111)(0.142) Tan -1 de α 1.331, α ( 1)(0.142) Tan -1 de µ ( 0.111)( 1) 0.800, µ La suma de los ángulos α + β + µ EJERCICIOS. 1.- Calcula los ángulos internos del triángulo cuyos vértices son : A (-5,-3), B (9,-6), y C (1,-9). Graficar 2.- Calcula el valor de los ángulos internos del triángulo cuyos vértices son A (5,3), B (-2,2) C (-4,4). Graficar Circunferencia Ecuación general de la circunferencia Aplicar Ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen y distancia entre dos puntos EJEMPLO. Hallar la ecuación general de la circunferencia de centro C ( 0,1 ) y pasa por el punto P 1 (- 1,- 2 ). Formula: d (x x ) (y y ) Ecuación de la circunferencia ( x h ) 2 + ( y k ) 2 r 2 Para encontrar el radio. (x 1, y 1 ) ( 0, 1) y (x 2, y 2 ) ( -1,-2 ), r, r, r unidades Para encontrar la ec. Gral de la circunferencia. ( x 0 )² + ( y 1 )² ( )² x² +y² - 2y +1 10, x² +y² - 2y , x² +y² - 2y

14 EJERCICIOS. Hallar la ecuación general de la circunferencia con centro C ( h, k ) y pasa por el punto indicado. 1.- Centro ( 0, 2 ) y punto Q ( -3,-6 ). 2.- Centro ( -4, -6 ) y punto S ( 10, -1). 3.- Centro ( -5, 5 ) y punto U ( - 2,- 4). 4.- Centro ( 8, - 9 ) y punto W ( 1, 7 ). Circunferencia Ecuación general de la circunferencia Aplicar Ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen EJEMPLO. Hallar la ecuación general de la circunferencia de centro C ( - 5, 3 ) y radio r 4 Formula: ( x h ) 2 + ( y - k ) 2 r 2, Donde C ( h, K ) ( x (- 5)) 2 + ( y - 3 ) ( x + 5 ) 2 + ( y - 3 ) 2 16 x² +10x y² - 6y x² +y² + 10x - 6y x² +y² + 10x - 6y EJERCICIOS. Hallar la ecuación general de la circunferencia con centro C ( h, k ) y radio indicado: 1.- Centro ( 0, -2 ) y r Centro ( -6, -4 ) y r Centro ( 5, - 5 ) y r Centro ( -9, 8 ) y r 14

15 Circunferencia Circunferencia que pasa por tres puntos Aplicar Utilizar ecuación general de la circunferencia x 2 + y 2 + D x + E y -+ F 0 EJEMPLO. Encontrar la ecuación general de la circunferencia que pasa por tres puntos. A (0,5), B (-3,-1) y C (6,- 2). Para A ( 0,5 ) (0) 2 + (5) 2-0D + 5E + F 0 0D + 5E+ F - 25 Ec.1 Para B ( -3,-1 ) (-3) 2 + (-1) 2-3D - 1E + F 0-3D - 1E + F - 10 Ec.2 Para C ( 6,- 2 ) (6) 2 + (-2) 2 + 6D - 2E + F 0 6D - 2E + F - 40 Ec.3 Tomando Ec.1 y Ec.2-1( 0D + 5E + F - 25 ) - 0D - 5E F D - 1E + F D - 1E + F D - 6E 15 Ec.4 Tomando Ec.2 y Ec.3-1(-3D - 1E + F -10 ) 3D + 1E - F +10 6D - 2E + F D - 2E + F D - 1E -30 Ec.5 Tomando Ec.4 y Ec.5 9(-3D - 6E 15 ) - 27D - 54E 135 3( 9D - 1E -30 ) - 27D - 3E E E , E Sustituyendo el valor de E en la Ec.4-3D - 6E 15-3D 6 ( ) 15-3D D , D D

16 Continua del ejercicio pag. 15 Sustituyendo E y D en la Ec.1 0D + 5E + F ( ) + F - 25, F - 25, F ; F Sustituyendo valores D, E y F en la ecuación general de la circunferencia. x 2 + y 2 + D x + E y + F 0 x 2 + y x y EJERCICIOS. 1.- Encontrar la ecuación general de la circunferencia que pasa por tres puntos. A ( 2, 4 ), B ( - 2,- 5 ) y C ( 3,- 6 ). 2.- Encontrar la ecuación general de la circunferencia que pasa por tres puntos. A ( - 1,- 1 ), B (- 4, 3 ) y C ( 5, 5 ). Parábola. Aplicar Utilizar la ecuación de la parábola con centro C ( h, K ) y vértice fuera del origen EJEMPLO 1 Encontrar la ecuación general de la parábola, si v (2,-1) y f (1,-1). Hallar la ecuación de la directriz y la longitud del lado recto. h 2 FORMULA. Si F ( h + p, k ), ( y k )² 4p ( x h ) k -1 p -1 h + p 1 ( y + 1) ² 4( -1 ) ( x 2 ) 2 + p 1 y² + 2y+ 1-4( x - 2) p 1-2 y² + 2y +1-4x + 8 p - 1 y² - 2y - 4x + 7 LR 4 ( - 1 ) LR -4 LR 4 FORMULAs directriz x h p Lado recto LR І 4p І x 2 - ( - 1) 3 LR 4 16

17 EJEMPLO 2 Dada la ecuación general de la parábola encontrar las coordenadas del foco, del Vértice, la directriz y del lado recto. y² - 2y 4x + 7 y² - 2y 4x +7 ( y² + 2y ) - 4x + 7 ( y² + 2y + 1) - 4x ( y + 1)² - 4x + 8 ( y + 1)² - 4 ( x 2 ) por lo tanto p ( y k )² 4p ( x h ), 4 4 v ( h, k ) f ( h + p, k) -1, p -1 vértice v ( 2,-1), foco f ( 2-1, -1), foco f (1, -1) h 2 DIRECTRIZ x h p LR І 4p І k - 1 x 2 - ( - 1) LR 4(1) p - 1 x 3 LR 4 EJEMPLO 3 Encontrar la ecuación general de la parábola cuyo vértice v (-2,-2) y cuyo foco f (-1,-1). Hallar la ecuación general de la directriz y la longitud del lado recto. FORMULA. Si F ( h + p, k ), ( y k )² 4p ( x - h) h - 2 h + p - 1 k p - 1 p 1 p , por lo tanto p 1 ( y + 2)² 4(1) ( x + 2 ) y² + 4y ( x+ 8), y² + 4y + 4 4x + 8 y² + 4y - 4x - 4 0, y² - 4y - 4x + 4 LR 4 (1), LR 4 directriz x

18 EJERCICIOS. 1.- Encontrar la ecuación general de la parábola cuyo vértice v (2,-1) y cuyo foco f (1,-1). Hallar la ecuación general de la directriz y la longitud del lado recto. 2.- Dada la ecuación general de la parábola encontrar las coordenadas del foco del vértice la directriz y del lado recto. y² - 2y 4x Encontrar la ecuación general de la parábola cuyo foco f (2,-1) y cuya directriz y - 9 Elipse. Aplicar Utilizar la ecuación de la elipse con centro en el origen o fuera del origen y foco fuera del origen EJEMPLO 1 Hallar la ecuación de la elipse con centro en el origen, un foco de coordenadas f (2, 0) y longitud del eje menor igual a 6. FORMULA. 1, a 2 b 2 + c 2, f ( c, 0 ) c 2, La longitud del eje es 2b 6 por lo tanto b 3 de modo que a Por lo tanto la ecuación es: 1 EJEMPLO 2 Hallar la ecuación de la elipse con centro en el origen, un vértice con coordenadas v (0, - 4) y distancia focal igual a 2. FORMULA. 1, a 2 b 2 + c 2, v ( 0,- a ), La distancia focal es 2c c 1,De las ordenadas de los vértices a 4, de modo que b 2 a 2 c 2 b , b Por lo tanto la ecuación es: 1 18

19 EJERCICIOS. 1.- Hallar la ecuación de la elipse con centro en el origen, un foco de coordenadas f (0,-6) y longitud del eje menor igual a Hallar la ecuación de la elipse con centro en el origen, longitud del eje mayor igual a 18 y foco f( 0,3) y longitud del eje menor igual a 12 Elipse. Aplicar Utilizar la ecuación general de la elipse y la formula 1 EJEMPLO Hallar los focos, vértices, excentricidad y longitud del lado recto de la elipse. 25x y FORMULA. 1, a 2 b 2 + c 2, LR, 1, a 2 25 y b 2 16 por lo tanto a 5, b 4 entonces c c 3, foco f ( 0, 3 ) y f (0, -3 ), los vértices son v ( 0,5 ) y v (0,-5 ), la excentricidad 1, El lado recto LR EJERCICIOS. 1.- Hallar los focos, vértices, excentricidad y longitud del lado recto de la elipse. 25x 2 + 9y Hallar los focos, vértices, excentricidad y longitud del lado recto de la elipse. 9x 2 + 5y Hallar los focos, vértices, excentricidad y longitud del lado recto de la elipse. x 2 + 3y

20 Bibliográfia. Geometría analítica Algebra Matemáticas 3 Solís Rodolfo A. Baldor Eduardo Basurto Hidalgo Tercera reimpresión Publicación Cultural Editorial PEARSON Editorial: Lumaza Edición 1983 Primera edición 2010 México 1994 Núm. Pág. 198 Núm. Pág. 195 Num. Pág. 197 Geometría y Trigonometría Consulta matemático Matemáticas III Dr. J. A. Baldor Lic. L. Galdós Lorenzo Escalante Pérez Primera edición Editorial: cultural Boook Mart Publicación Cultural Nap. 994 México, 2 a Edición Núm. Pág. 405 Núm. Pág