Fundamentos de la Prueba de Hipótesis Maestría en Administración Universidad Cristóbal Colón 1
Objetivos del Capítulo Desarrollar la metodología de prueba de hipótesis como una técnica para analizar diferencias y tomar decisiones Determinar los riesgos implicados al tomar tales decisiones si nos basamos únicamente en la información de muestra Estudiar la interrelación de estos riesgos con el tamaño de la muestra utilizada 2
Metodología de la Prueba de Hipótesis Técnica para analizar diferencias entre los resultados que realmente observamos (en la estadística de muestra) y los que esperaríamos obtener si alguna hipótesis fuera verdadera y luego, tomar las decisiones respectivas: Se deben o No se deben tomar acciones correctivas? 3
Metodología de la Prueba de Hipótesis La metodología de las PH nos permitirá hacer inferencias con respecto al valor específico de un parámetro de población, mediante el análisis de diferencias entre los resultados que en realidad observamos y los resultados que esperaríamos obtener si alguna hipótesis subyacente fuera realmente verdadera 4
Metodología de la Prueba de Hipótesis Hipótesis nula y alterna La PH empieza con algo de teoría, afirmación o supuestos con respecto a un parámetro poblacional La hipótesis de que el parámetro de la población es igual a un supuesto o alguna afirmación se conoce como hipótesis nula (H 0 ); 5
Metodología de la Prueba de Hipótesis La H 0 es la hipótesis que siempre se va a probar La H 0 siempre se refiere a un valor especificado del parámetro de población (como µ x ), no a un estadístico de muestra (como Xˆ ) El planteamiento de la H 0 siempre contiene un signo de igualdad con respecto al valor especificado del parámetro (H 0 : x = 368 grs) 6
Metodología de la Prueba de Hipótesis La base teórica de la PH requiere que la H 0 sea considerada verdadera hasta que las evidencias, como los resultados observados a partir de los datos de la muestra, indiquen que es falsa. Siempre que definamos una H 0, también se debe especificar una hipótesis alternativa o de trabajo H 1 o una que debe ser verdadera si se encuentra que H 0 es falsa. 7
Metodología de la Prueba de Hipótesis La H 1 representa la conclusión a la que se llegaría si hubiera suficiente evidencia de la información de la muestra para decidir que es improbable que la H 0 sea verdadera y por tanto rechazarla. El hecho de no rechazar la H 0, no es una prueba de que ésta sea verdadera El planteamiento de H 1 nunca contiene un signo de igualdad (H 1 : µ x 368 grs) 8
Metodología de la Prueba de Hipótesis Nunca podemos probar que tal hipótesis sea correcta (H 0 ) porque estamos basando nuestra decisión únicamente en la información de la muestra, no en la población entera Si no rechazamos H 0, lo único que podemos decir es que la evidencia fue insuficiente para garantizar su rechazo 9
Metodología de la Prueba de Hipótesis Valor Crítico de la estadística de prueba El proceso de TD no puede hacerse apoyado en un juicio subjetivo de una persona con respecto al significado de muy cercano o muy diferente Se requiere que utilicemos la metodología de la PH, ya que proporciona definiciones operacionales para la evaluación de las diferencias y cuantifica el proceso de TD, de tal manera que se pueda encontrar la probabilidad de obtener un resultado de 10
Metodología de la Prueba de Hipótesis (cont.) muestra dado si la H 0 fuera verdadera; esto se logra: Determinando, primero, la distribución de muestreo de la estadística de prueba (media de la muestra) ya sea Z o t n-1, y luego Calculando la estadística de prueba particular, basándose en el resultado de la muestra dado. 11
Metodología de la Prueba de Hipótesis Regiones de rechazo y de no rechazo La distribución de muestreo de la estadística de prueba se divide en dos regiones, una Región de Rechazo o (Región crítica) y una Región de no Rechazo 12
Metodología de la Prueba de Hipótesis Región de Rechazo Región de no rechazo Región de Rechazo Valor crítico Valor crítico El valor crítico separa las regiones de no rechazo de la de rechazo 13
Metodología de la Prueba de Hipótesis Riesgos en la TD al utilizar la metodología de PH Cuando utilizamos una estadística de muestra para tomar decisiones acerca de un parámetro poblacional, existe el riesgo de llegar a una conclusión incorrecta. Se pueden presentar dos tipos de errores cuando se aplica la metodología de PH 14
Metodología de la Prueba de Tipos de errores: Hipótesis Error tipo I, ( o nivel de significancia) se presenta si la H 0 es rechazada cuando, de hecho, es verdadera y debía ser aceptada Error tipo II, ( o Nivel de riesgo) se presenta si la H 0 es aceptada cuando, de hecho, es falsa y debía ser rechazada 15
Metodología de la Prueba de Hipótesis Coeficiente de confianza Se le conoce así al complemento (1- ) de la probabilidad de cometer un error tipo I, cuando se multiplica por 100%, produce el nivel de confianza. Es la probabilidad de que la H 0 no sea rechazada cuando de hecho es verdadera y debía ser aceptada. 16
Metodología de la Prueba de Riesgo ( ) Hipótesis La probabilidad de cometer el error tipo II depende de la diferencia entre los valores supuesto y real del parámetro de población Como es más fácil encontrar diferencias grandes, si la diferencia entre el estadístico y el parámetro es grande, la probabilidad de cometer un error tipo II, probablemente sea pequeña Por el contrario, si la diferencia es pequeña la probabilidad de cometer el error II es alta 17
Metodología de la Prueba de Hipótesis Potencia de una prueba El complemento (1- ) de la probabilidad de cometer un error tipo II se le conoce como la potencia de una prueba estadística La potencia de una prueba es la probabilidad de rechazar H 0 cuando, de hecho, ésta es falsa y debería ser rechazada 18
Metodología de la Prueba de Hipótesis Riesgos en la toma de decisiones Tabla 11.1 Prueba de hipótesis y toma de decisiones Situación Real Decisión estadística Ho cierta Ho Falsa No rechazar Ho Decisión ok Error tipo II Rechazar Ho p(confianza) = (1-alfa) Error tipo I p(error tipo I) (Alfa) p(error t II)= (Beta) Decisión ok p(potencia) (1-Beta) 19
Prueba de Hipótesis Z para la media ( x conocida) Prueba de hipótesis de dos extremos Ho: µ x = 368 grs. H 1 : µ x 368 grs. Estadístico de prueba Z X ˆ x n x 20
Prueba de Hipótesis Z para la media ( x conocida) Región de rechazo Rechazar Ho No rechazar Ho Rechazar Ho.025.025 Z = -1.96 Z = +1.96 µ x = 368 21
Planteamiento del Valor p para la Prueba de Hipótesis Prueba de dos extremos Es la probabilidad de obtener una estadística de prueba igual o más exacta que el resultado obtenido a partir de los datos de la muestra, dado que la Ho es realmente verdadera A menudo al valor p se le conoce como nivel de significación observado 22
Planteamiento del Valor p para la Prueba de Hipótesis Significa el mínimo nivel al cual Ho puede ser rechazada: p p 23
Planteamiento del Valor p para la Prueba de Hipótesis Valor p Valor p.4332.4332.0668.0668 Z = -1.50 Z = +1.50 0 Valor p total = 0.0668 + 0.0668 = 0.1336 0.1336 > = 0.05, no se rechaza Ho 24
Relación entre la estimación del IC y la PH Los componentes principales de una inferencia estadística son: La estimación del IC y la PH La estimación de IC se ha utilizado para estimar parámetros Las PH se ha utilizado para TD con respecto a valores de los parámetros 25
Pruebas de un Extremo En algunos casos la H 1 se enfoca sólo en una dirección Ho: µ x 368 grs (el proceso funciona adecuadamente) H 1 : µ x > 368 grs (el proceso no funciona adecuadamente) La región de rechazo está contenida en el extremo superior de la distribución de muestreo de la media. 26
Pruebas de un Extremo Aplicación Ho: µ x 368 grs H 1 : µ x > 368 grs Estadístico de prueba Z, = 0.05 Z X ˆ x n x 27
Pruebas de un Extremo Región de rechazo o aceptación Región de no rechazo µ = 368 Rechazar Ho.05 +1.645 Z 28
Potencia de una Prueba Recordar que: representa la probabilidad de que la Ho sea rechazada cuando, de hecho, es verdadera y debería ser aceptada representa la probabilidad de que Ho no sea rechazada cuando, de hecho, es falsa y debería rechazársele La potencia de la prueba (1- ) representa la sensibilidad de la prueba 29
Potencia de una Prueba Estadística para detectar cambios que se presenten al medir la probabilidad de rechazar Ho cuando, de hecho, es falsa y debería ser rechazada La potencia de la prueba estadística depende de que tan diferente en realidad es la media verdadera de la población del valor supuesto (Ho) Si la diferencia es grande, la potencia será mucho mayor que si la dif fuera pequeña 30
Potencia de una Prueba Aplicación Tomando como base nuestro ejemplo de cajas de cereales, suponga que el proceso de llenado está sujeto a inspección por la PFC, que sólo se preocupa por cajas con menos contenido del especificado (368 grs.); el representante de la PFC está dispuesto a aceptar que x = 15 grs y elige =.05 y una muestra aleatoria n = 25. Haga el planteamiento para probar la Ho, cuando la media de la población es realmente 360 grs. 31
Potencia de una Prueba Solución El valor Xˆ que nos permitirá rechazar la Ho se encuentra con la siguiente ecuación Xˆ x Z L x Dado que la prueba es de un extremo con nivel de significancia de 0.05, el valor Z = 1.645 y sustituyendo los valores en la fórmula nos queda: ˆ X L 368 15 25 n 1.645 368 4.935 363. 065 32
Potencia de una Prueba Región de Rechazo Rechazar Ho.05 Z L = -1.645 No rechazar Ho µ=368 33
Potencia de una Prueba Solución (cont) La regla de decisión, para esta prueba de un extremo, sería: Rechazar Ho si Xˆ < 363.065 La regla de decisión establece que, si una muestra aleatoria de 25 cajas revela una media de muestra menor a 363.065 grs, la H 0 será rechazada y se llegará a la conclusión de que el proceso no está funcionando adecuadamente 34
Potencia de una Prueba Si, de hecho, éste es el caso, la potencia de la prueba mide la probabilidad de llegar a la conclusión de que el proceso no está funcionando adecuadamente, para valores que difieren de la media de la población verdadera 35
Potencia de una Prueba Ejemplo Nos gustaría determinar la posibilidad de rechazar H 0 cuando la media de la población es realmente 360 gramos Basándonos en nuestra regla de decisión, necesitamos determinar la probabilidad o el área bajo la curva normal que se encuentra por debajo de 363.065 gramos 36
Potencia de una Prueba Solución Z Xˆ 1 x n En la que µ 1 es la media de la población real. Así pues, 363.065 360 Z 15 25 1.02 37
Potencia de una Prueba Determinación de la potencia de la prueba Rechazar Ho.50.3461 No rechazar Ho = 1-.8461 = 0.1539 µ 1 = 360 Xˆ L 363. 065 = 0.1539 38
Potencia de una Prueba Por consiguiente, la probabilidad de cometer un error tipo II es 15.39% (Ver figura 11.11, pág. 406 libro) 39
Potencia de una Prueba De lo anterior, se puede afirmar lo siguiente: Una prueba de un extremo es más poderosa que una de dos extremos Puesto que la probabilidad de cometer un error del tipo I ( ) y la probabilidad de cometer un error del tipo II ( ) tienen una relación inversa, y esta última es el complemento de la potencia de una prueba (1- ), entonces y la potencia de la prueba varían en proporción directa 40
Potencia de una Prueba Un aumento en el valor del nivel de significación ( ) escogido tendría como resultado una disminución en la potencia Un aumento en el tamaño de la muestra, tiene como resultado un aumento en la potencia de la prueba Una disminución en el tamaño de n tiene como resultado una disminución en la potencia de la prueba 41