Práctico 2:Diferenciación. La siguiente función refleja la posición de un automóvil que se desplaza sobre una recta 00t si 0 t x = f (t) = 00 si t.25 (t.25) + 00 si.25 t 2.75 350 3 (a) Halle la razón de cambio de x respecto de t en los intervalos [0, ], [0.75,.0], [, 2] y [2, 2.5] (b) Enquéintervalossemantuvoquietalaagujadelvelocímetroyenquévalor? 2. Compute la razón de cambio para la función y = x 2 en el intervalo [x, x + x]. A qué valor (dependiente de x) se aproxima esa razón de cambio cuando x se torna más pequeño, acercándose a 0? 3. Para cualquier función y = f (x), considere los puntos P =(x 0,f(x 0 )) y Q = (x 0 + x, f (x 0 + x)), ambos pertenecientes al gráfico Gr (f). Demuestre que la y razón de cambio correspondiente al intervalo [x x 0,x 0 + x] coincide con la pendientedelarectaquepasapor P y Q. Qué fórmula define la función afín (S (x) =mx + b) quecoicideconf en los puntos x 0 y x 0 + x? 4. Utilizar simplificaciones algebraicas para evaluar los siguientes límites, en caso de existir a) lim x 0 x 2 +x 3x b) lim x 2 x 2 4 x 2 c) lim x 2 x 4 6 x 2 3x+2 d) lim k 4 k 2 6 k 2 e) lim x x 2 3x+2 x f) lim x 3 2x 3 6x 2 +x 3 x 3 g) lim x 5 x 25 h) lim +x 2 x 2 x 25 x 0 i) lim x+3 3x+ x x + x 5. Demostrar que las siguientes proposiciones son equivalentes: () lim x a f (x) =l (2) lim x a (f (x) l) =0 (3) lim h 0 f (a + h) =l (4) lim h 0 (f (a + h) l) =0. El paso de () a (3) se conoce como "cambio de variable". Poniendo x = a + h, resulta h = x a, que tenderá hacia 0 cuando x tienda hacia a. La conversión se justifica usando la propiedad 7. La primera fila se puede pensar como un cambio en la variable y. y l si y sólo si z = y l 0. Se justifica en la propiedad 2 (con - en vez de +). Estas conversiones son parte del lenguaje y su uso simplifica drásticamente muchos razonamientos.
6. Calcular: lim x 0 sin x 2+cos π. x 7. Hallar las pendientes de las siguientes curvas en los puntos indicados. En todos los casos obtener la ecuación de la recta tangente y trazar las gráficas aproximadas de ambas (a) y =2x 2 en el punto (, 2) (b) y =2x 7 en el punto (2, 3) (c) y = en el punto 2, x 2 (d) y = x 2 en el punto (2, 4) 8. Determinar si las siguientes funciones son diferenciables en 0. Si es así hallar la razón de cambio puntual. Hacer las gráficas einterpretar losresultadosobtenidos a) y = x b) y = x x c) y = x 2 x ½ 2x si x 0 d) f(x) = x 2 si x>0 9. Una partícula se mueve sobre una línea recta en la que se fija un sistema de coordenadas. s(t) =4t 2 +3t representa la posición de la partícula en el instante t respecto de ese sistema. El tiempo t está medido en segundos y la distancia al origen de coordenadas, s(t), en centímetros. (a) Calcular la velocidad media de la particula en los siguientes intervalos de tiempo: [,.2], [,.], [,.0], [,.00]. (b) Calcular la velocidad de la partícula en el instante t =. (c) Determinar los intervalos de tiempo en los que la partícula se mueve en sentido positivo. (d) Idem en sentido negativo. 0. Calcular f 0 (a): ) f (x) = x 2) f (x) = x 3) f (x) =8 x 2 4) f (x) = x x+. Calcular las derivadas de las siguientes funciones: ) 3x 2x 3 2) 4x 5 7x 3 + x 2 2 3) 25x + x 2 4) 2x 3 +5x 7 5) 4x 4 7x 3 + x 2 6) 3 5 x2 2x 8 7) 3x 4 2x 2 + x 8) πx 7 8x 5 + x + 9) (x 3 + x)(x ) 0) (2x 2 ) (x 4 +) ) (2x +3) + x 2 x 2
2. Calcular las derivadas de las siguientes funciones: a) sin x cos x b) sin x+cos x c) tan x x 2 +3x d) sin x x 3. Hallar las derivadas de las funciones siguientes: ) (x +) 8 2) (2x 5) 2 3) (sen x) 3 4) sen 2x 5) sen x + x 6) x+ sen 2x 7) (2x 2 +3) 3 8) cos (sen 5x) 9) sen (2x +5) 2 0) sen [cos (x + )] ) (3x ) 4 2) (4x) 3 3) (sen 2x) 2 4) sen 3x 5) (sen x)(cosx) 6) (x 3 +2x)(sen 3x) 7) sen x+cos x 8) x+ cos 2x 9) x3 + x 20) x2 2x+3 2) sen (x 2 +5x) 4. Dar la ecuación de la recta tangente a las curvas siguientes en el punto indicado.. y =sinx, x = π 2 2. y =cosx, x = π 6 3. y =tan3x, x = π 4 4. y = tan x,x= π 4 5. y =tan x 2,x= π 2 6. y =cos πx 3,x= 7. y =sinπx, x = 2 5. Hallar dy dx en términos de x y y en las siguientes ecuaciones. a) x 2 + xy =2 b) (x 3) 2 +(y +) 2 =37 c) y 2 +2x 2 y + x =0 d) x 2 y 2 = x 2 + y 2 6. Hallar la recta tangente a las siguientes curvas en los puntos indicados. (a) x 2 y 2 =9,en(, 3). (b) 2x 2 y 3 +4xy 2x =0,en(, 2). 3
Algunas fórmulas útiles 4 Volumen de una bola de radio r: 3 πr3 Area de una esfera de radio r: 4πr 2 Volumendeunconodealturah y radio de la base r: 3 πr2 h Area de un disco de radio r: πr 2 Longitud de una circunferencia de radio r: 2πr 7. En el triángulo rectángulo de la figura, suponer que θ está decreciendo a razón de rad/seg. Hallar cada una de las derivadas indicadas: 30 z y θ (a) dy, cuando θ = π si x es constante, x =2 dt 3 (b) dz,cuandoθ = π si y es constante, y =0 2 dt 4 (c) dx dt, cuando x =si x e y están cambiando, pero z es constante, z =2 8. Un cubo se expande de manera que su lado está cambiando a razón de 5cm/seg. Hallar la razón de cambio de su volumen cuando la arista mide 4cm. 9. Hay un farol en lo alto de un poste a 6.0m del suelo. Una mujer de.53m de altura camina alejándose del poste. Hallar la razón a la que cambia su sombra si ella camina a razón de.22m/seg. 20. Un depósito tiene forma de cono con el vértice hacia abajo, de 3.3m de altura y con la boca, circular, de.22m de radio. Se vierte agua en el depósito a razón de 0.5m 3 / min. Con qué rapidez está subiendo el nivel del agua cuando la profundidad es de.5m? x 2. Calcular el vector tangente a la curva dada en el punto indicado ½ x =cost ³ 2 ) en y =sint, ½ 2 x =cos2t 2) 2 2 y =sin2t en ³ 2, 2 2 2 3) ½ x =5t y = 5t 2 +5t en t =0yent = 4) ½ x =cos2t y =sint en t = 3π 2 22. Calcular las siguientes derivadas de orden superior: 4
(a) segunda derivada de (x 2 +) 5. (b) séptima de x 7 +5x. (c) d3 (x 3 +2x 5). dx 3 (d) cuarta derivada de cos x (e) f (7) (x), para f(x) =sen x. 23. Sea n un entero no negativo. Calcular d k x n dx k y d k x n dx k x=0, para k Z, 0 k<n,k= n y k>n 24. Una partícula se mueve de modo que en el instante t su posición está dada por s(t) =t 3 2t Enquéinstanteseslaaceleraciónigualaa a) b) 0 c) 5 25.Unobjetoviajasobreunarectaconunavelocidaddadaporlafunciónv(t) =4t 5. Hallar la aceleración en el instante t =2. 26. Dado un polinomio p (x) =a 0 + a x +... + a n x n, () encontrar una función f tal que f 0 (x) =p (x). 27. Dado un polinomio como en () y un número real b encontrar una función f que resuelva el problema de valores iniciales (PVI) ½ f 0 (x) =p (x) f (0) = b 28. En el instante t =0, un objeto pasa hacia arriba por una plateforma a 0m de altura, con una velocidad de 2m/seg. Sólo actúa sobre él la fuerza de la gravedad, queleimprimeunaaceleraciónde 9.8m/seg 2. Cuándo llegará al suelo? Ejercicios complementarios 29. Probar que lim x a f (x) =0 si y sólo si lim x a f (x) =0 Hint. y = sg (y) y con sg una función acotada. 30. Si lim x a f (x) =0,dado ε>0 en cualquier entorno reducido de a existe x tal que f (x) <ε. Hint. Usar la propiedad 4 con las funciones f y ε. 5
3. Una escalera de 5.20m de largo está apoyade en una pared vertical. Si el extremo inferior de la escalera se está alejando a razón de 0.92m/seg, con qué rapidez desciende la parte superior cuando el extremo inferior se encuentra a 2.45m de la pared? 32. Una rueda de feria de 5m de diámetro efectúa una revolución cada 2min. Sielcentro de la rueda está a 9mts del suelo, con qué rapidez se mueve verticalmente un pasajero cuando la rueda está a 3mts sobre el suelo?. 33. Un globo se está elevando desde el punto P. Un observador O, situado a 9m de ese punto, dirige su mirada hacia el globo, y el ángulo θ que forma con el globo crece a razón de 0, 3 rad/seg. Hallar la razón con la que está creciendo la distancia del globo al suelo cuando:. θ = π 4 2. θ = π 3 3. cos θ =0.2 4. sin θ =0.3 5. tan θ =4 34. Una escalera de 9m de largo está apoyada sobre una pared. Suponiendo que la parte inferior de la escalera se desliza alejándose de la pared a razón de 0.9m/s, Conqué rapidez está cambiando el ángulo entre la escalera y el suelo cuando la parte inferior está a 4.5m de la pared?. 35. Hallar (a) f 0 (x), la pendiente de la gráfica de f en el punto de absisa 2 ylarectatangente en ese punto.para f(x) =x 2 +. (b) d(2x3 ) dx (c) d ( 2 ). dx x+ (d) dc, donde c es una constante cualquiera dx 36. Consideremos el polinomio de primer grado T definido en (??). Observar que T (a) = f (a) y T 0 (a) =f 0 (a). Puede haber otro polinomio de primer grado distinto con estas dos propiedades? 37. Otra manera de mirar la aproximación de f por T : Probar que si f es diferenciable en el punto a, entonces existe una función (x) tal que: Deducir de allí que, en este caso,.- lim x a (x) =0 2.- (f T )(x) = (x)(x a). f (x) f (a) =[f 0 (a)+ (x)] (x a) (2) 38. Seguir estas instrucciones para completar una demostración de la regla de la cadena: 6
(a) Aplicando (2) a f en a ya g en b, se tendrán dos funciones, η con lim x a (x) = lim y b η (y) =0, talesque,ademásde(2), tambiénvale g (y) g (b) =[g 0 (b)+η (y)] (y b). (3) (b) Con estos elementos se puede hacer una buena evaluación del incremento de la composición: g f (x) g f (a) = g (f (x)) g (b) =[g 0 (b)+η(f (x))] [f (x) f (a)] = [g 0 (b)+η(f (x))] [f 0 (a)+ (x)] (x a), y, a fortiori, del cociente incremental g f (x) g f (a) x a =[g 0 (b)+η (f (x))] [f 0 (a)+ (x)]. (c) Para terminar, sólo habrá que dejar que x a, observando que, por diferenciable, f es continua y lim x a f (x) =b. 39. Comprobar que las funciones u (t) = cosωt u (t) = sinωt son soluciones de la ecuación diferencial (ED) d 2 dt u + 2 ω2 u =0 (4) Comprobar que cualquier combinación lineal es también solución de (4) u (t) =A cos ωt + B sin ωt 40. Encontrar una solución del PVI d 2 u + ω 2 u =0 dt du 2 = A dt t=0 u (0) = B 4. Un resorte (ideal) suspendido del techo se estira cm cuando se le cuelga una pesa de din. Lo descolgamos y trabaja ahora horizontalmente y sin rozamiento, con una masa de gr en su extremo libre. En el instante t =0está comprimido cm ysesigue comprimiendo a razón de 0. cm. Suponiendo que el origen de coordenadas (lineales) seg está puesto en el punto de equilibrio del resorte, el cual se comprime hacia la izquierda y se estira hacia la derecha, calcular la función posición x = x(t). Recordar que dina es la fuerza que provoca a una masa de gramo una aceleración de cm/seg 2 y que la aceleración de la gravedad es aproximadamente 000cm/seg 2. 7
42. Consideramos el polinomio de () y sus n primeras derivadas en el origen: p 0 (0),p 00 (0),..., p (n) (0). Encontrar relaciones entre p (j) (0) y a j, j =0,,..., n (p (0) (x) :=p (x)). Deducir que un polinomio de grado no mayor que n queda determinado por los valores de sus derivadas de orden 0 hasta n en el origen (n + números). Esto es, dados n + números c 0,..., c n existe un único polinomio P con grp n tal que P (k) (0) = c k,k =0,,..., n. 8