CAPITULO 6. CIRCULACIÓN Y VORTICIDAD.

CAPITULO 6. CIRCULACIÓN Y VORTICIDAD. En mecánica de cuepo ígido, los puntos que constituyen el cuepo son tatados como un todo. Un enfoque simila se puede hace en fluidos. Se puede considea un gupo de pacelas de fluidos sobe una cuva ceada, e investiga lo que sucede con el gupo como un todo. Tomando una poción de una cuva, y consideando en pincipio la velocidad de una pacela, que se puede descompone en sus componentes nomal y tangencial sobe la cuva. Del esquema se ve que: (va figua) v t = v tˆ = vcosα Se puede considea la cuva fomada po pacelas de fluidos. El gupo de pacelas que foman la cuva se mueven a lo lago de con una apidez pomedio, y si S es la longitud de, entonces la apidez pomedio de v t po definición es: v t = 1 S v ds t Se define la ciculación C de la velocidad po la expesión: C v t = ds = vcosαds (va fig6-) 1

C es positiva cuando más pacelas se mueven en la diección de la integación a lo lago de en pomedio. Ciculación: es la integal de línea de la componente tangencial de la velocidad alededo de una cuva ceada. Es una medida del movimiento de la pacela alededo de una cuva. La cuva odea un áea, que cuando se hace infinitesimal, la ciculación indica una otación del fluido alededo de un eje nomal a esa pequeña áea, es deci de la voticidad. Es un concepto útil aunque nunca se ha demostado que los movimientos atmosféicos (u oceánicos) tengan luga a lo lago de tayectoias ceadas. Si ds es infinitesimal, entonces ds = d, con d = t ds. Y como v t = v t, entonces o bien: C = v d v = = tds v tˆds C = ( udx + vdy + wdz ) La unidad de medida de C es m /s. Po ejemplo, paa la tiea en otación con Ω, en este caso ciculación es: C = v d = π ο Ω R d v = Ω R y la C = π ο ( ΩR )dλ = πωr (fig.) 6.3a

Se puede demosta que la ciculación C es igual a la suma de las ciculaciones individuales cuando se subdivide en pequeños subdominios, como en el esquema, así (fig.) 6.3b C = C 1 + C + C 3 + La subdivisión del dominio se puede hace en áeas tan pequeñas como se quiea, y la ciculación alededo de cada una indica la otación del fluido alededo de un eje nomal a cada áea, esto indica que la ciculación alededo de de alguna foma está elacionada con la voticidad. En el ejemplo anteio se puede ve que C/π R = Ω, es deci la ciculación dividida po el áea que enciea es el doble de su velocidad angula. Como ejemplo calculemos C en un pequeño cicuito en el plano x, y, donde la velocidad cambia en v cuando cambia en, como se ve en el esquema. Fig6.4 3

C = x u y x0 + x y0 + y x0 y0 u0dx + ( v0 + x )dy + ( u + + x y x + x 0 y )dx y + 0 0 0 0 y v 0 dy C = x u x y y Recodemos que la componente vetical de la voticidad ζ es ζ = x u y kˆ H v H Como A = x y, se tiene que: C = ζ A Cuando 0, la suma de todas las contibuciones de C da la ciculación en tono a, que es: C = ζda kˆ A A H vda que dice que la ciculación es igual a la integal de áea de la voticidad, cuando se considea un áea que enciea la cuva. En foma más geneal, la elación ente la ciculación y la voticidad, se puede obtene aplicando el teoema de Stokes al campo de velocidad: C = v d = v nˆ da A Paa un áea finita, la ciculación dividida po el áea da el pomedio de la componente nomal de la voticidad en esa egión. La voticidad se puede considea como una medida de la velocidad angula local del fluido, es el doble de su velocidad angula. 4

En foma análoga a las líneas de coiente se pueden dibuja líneas de vótice, que son tangentes al vecto voticidad. Una cuva ceada que en todas pates del fluido enciee líneas de vótice foma un tubo de vótice. La integal v nˆ da epesenta el flujo de voticidad nomal a la supeficie A, A que se llama flujo de vótice. Fig6.6 Ejemplo: paa el caso de un flujo con velocidad v = br t, b > 0 y R la distancia adial desde el cento de la ciculación, que epesenta un flujo cicula estacionaio, calcula la ciculación y la voticidad. Solución: C = vh d = π 0 br( Rdθ ) = πr b C πr b = ζ = ζ A πr ζ = b Ota foma es haciendo el siguiente cálculo: ζ = v R = n br R + R = b + b ζ = b 5

VORTICIDAD ABSOLUTA. Si bien la velocidad absoluta v a no es de inteés en la mecánica de fluidos, la voticidad de la v a si lo es. Recodemos que: v a = v + Ω El oto de v a se llama voticidad absoluta q a, y su expesión es: q a = v a = ( v + Ω ) Desaollando el último témino, se tiene: ( Ω ) = Ω y eemplazando en la voticidad absoluta, q a = v + Ω La voticidad absoluta es igual a la voticidad elativa más la voticidad de la Tiea Ω. La componente vetical de la voticidad teeste se calcula de la expesión: Ω = Ωcosφĵ + Ω senφkˆ k Ω = Ω senφ = f 6

Se ve que el paámeto de Coiolis f es la componente vetical de la voticidad teeste o planetaia Ω. Entonces la componente vetical de la voticidad absoluta η, o simplemente voticidad absoluta η, es: η = ζ + f La voticidad absoluta es un concepto impotante, po ejemplo, paa flujo de gan escala ζ ± 10-5 s -1 y f 10-4 s -1, (-10-4 s -1 en el HS) ζ < f η > 0 ciclónica casi siempe (HN) (η < 0 ciclónica HS) Valoes negativos de η se dan en egiones aisladas del globo, po ejemplo, en cuñas inestables o ceca de fentes, y son de gan significado dinámico, ya que indican la inestabilidad del fluido. TEOREMAS DE CIRCULACIÓN. Los vótices no son fenómenos estacionaios, cambian su tamaño e intensidad y se mueven en el fluido. Po lo tanto se deben espea cambios en la ciculación y voticidad en el tiempo. La cuva elegida abitaiamente, fomada po pacelas de fluidos, po lo que se llama cuva mateial o física, también cambia su foma en el tiempo, peo siempe está compuesta po el mismo conjunto oiginal de pacelas (liga de goma po ejemplo). Paa una cuva mateial, la tasa de cambio de la ciculación dc/, que se llama "aceleación de la ciculación" es: dc d = v d 7

(fig.) La cuva cambia su foma en el tiempo, peo siempe es la misma, así d/ no afecta a la integal. dc = d ( v d ) = dv d + d( d ) v Se puede demosta (taea) que el segundo témino de la integal se anula po se la integal de una difeencial exacta, así queda: dc dv = d Que es el enunciado del teoema de Kelvin y dice que la "aceleación de la ciculación es igual a la ciculación de la aceleación". Se puede combina el teoema de Kelvin (que es cinemático) con la ecuación de movimiento y se obtiene una vesión dinámica: dc 1 = p Ω v φ + F d ρ 8

Se obseva que p d = dp, φ d = dφ φ d = dφ = 0 Como dp ρ = αdp = d( pα ) pdα p d = ρ dp ρ = αdp = d( pα ) + pdα integal que epesenta el tabajo de expansión. Se puede demosta (taea) que el témino de Coiolis se puede escibi de la siguiente foma: y Ω v d = Ω v d 1 v d = d ecodando que el vecto áea A 1 asociado con la cuva es A = d, así queda da v d = da Ω v d = Ω d 9

Reemplazando todos los téminos modificados en la expesión de dc/, se obtiene el teoema de Bjeknes de la ciculación, que descibe como cambia en el tiempo la ciculación elativa: dc da = pdα Ω + F d El último es un témino disipativo y epesenta el tabajo po las tensiones viscosas. Geométicamente se obtiene que Ω A = ΩAe, con A e poyección de A sobe el plano ecuatoial y Ω ( da / ) = ΩdAe /. Fig6.11 CIRCULACIÓN ABSOLUTA. C a Se define como: = v d, con = v + Ω, que al eemplaza queda: a v a C a = v d + Ω d 10

C a = C + Ω d C a = C + ΩA e La ciculación absoluta es la suma de la ciculación elativa y un témino que depende de la poyección sobe el ecuado del áea máxima enceada po. La aceleación de la ciculación absoluta es dc a dc dae = + Ω, eemplazando en ésta la expesión de dc/ queda dc a = pdα + F d que es el teoema de Bjeknes de la ciculación absoluta. Si el áea A está diigida diectamente sobe la vetical local, entonces A e = senφ y ΩA e = ΩAsenφ = fa C a = C + fa Se dijo que el témino F d epesenta los efectos disipativos po viscosidad, que poduce una educción de la ciculación. Veamos nuevamente el témino pd α, si se epesenta el estado físico de cada punto sobe la cuva mateial en el diagama (α, p), esta integal da el áea enceada po la cuva. Consideando isolíneas p, p+1,..., y α, α + 1,..., en el diagama (α, p), se define una ed de cuadados unitaios, po lo que el áea de cada cuadado es uno. 11

(Ve esquema).6.13 Cada uno de estos cuadados se llama solenoide (α, p) y se puede considea el áea total enceada po la cuva en el diagama (α, p) como la suma de los cuadados unitaios. Po lo tanto, se puede deci que la pd α es igual al númeo de solenoides enceado po la cuva en el gáfico (α, p) y se define el númeo de solenoides N p,α po: pd α = N p, α Con esto se puede escibi el teoema de la ciculación absoluta en la foma: dc a = N + F d p, α El númeo de solenoides p,α puede se positivo, negativo o ceo, según el valo de la integal. El sentido de la aceleación de la ciculación puede se deteminado en foma muy simple de un mapa de tiempo o de un cote vetical. Como dα es difeencial exacta, dα = α d, así: 1

pdα = p α d = A ( p α ) nˆ da como ( p α ) = p α + p α = α p = α ( p ) se obtiene que: 6.14 N p, α = pdα A α ( p ) nˆ da El vecto solenoidal N p,α se define como = α ( p ). N p, α Cuando en la atmósfea los vectoes α y - p son colineales, se llama atmósfea baotópica, aquí N p,α = 0; en caso contaio se llama baoclínica. Atmósfea baotópica: una atmósfea en la cual las supeficies de pesión constante son también supeficies de densidad constante. Atmósfea baoclínica: aquella en la cual las supeficies isobáicas intesectan las supeficies de densidad constante. 13

LA ECUACIÓN DE VORTICIDAD. Paa flujo cuasihoizontal en gan escala, estudiaemos las vaiaciones tempoales de la voticidad elativa ζ y absoluta η. Tomando la deivada tempoal de la voticidad elativa: ζ = kˆ H v H ζ = ( kˆ t H v H ) = kˆ H H Tomando la ecuación de movimiento elativo hoizontal: + v v + w + α p + fkˆ v F RH = 0 El témino de la advección hoizontal se puede escibi como: (taea) v v = ζkˆ v + ( v / ) combinando con el témino de Coiolis: v v + fkˆ v = ηkˆ v + ( v / ) y la ecuación de movimiento se puede escibi en la foma: + ηkˆ v + w + α p + ( v 14 / ) F RH = 0

Tomando el oto de esta ecuación, opeando con el témino kˆ, se obtiene la ecuación de voticidad. Luego de aplica ese opeado (taea hace cálculos), se analiza cada témino: kˆ kˆ ζ = ( ηkˆ v ) = v η + η v kˆ w = kˆ w ζ + w kˆ ( α p ) = kˆ kˆ ( v / ) = 0 F RH α kˆ no cambia p Reagupando todos los téminos en la ecuación: ζ ζ + v η+ w = kˆ α p η v kˆ w + kˆ F RH Como f depende sólo de la latitud, se puede escibi f = f(y), lo que pemite tansfoma los siguientes téminos: ζ = ( ζ + f η ) = ζ = ( ζ + f η ) = 15

De esta foma se obtiene la ecuación de la voticidad absoluta: dη = kˆ α p η v kˆ w + kˆ F RH La voticidad de la pacela de fluido puede cambia po vaios efectos: kˆ α p : la voticidad cambia po la pesencia de solenoides en una atmósfea baoclínica η v, en gan escala η > 0. La convegencia v < 0, (divegencia v > 0) hoizontal poduce un aumento (disminución) de la voticidad absoluta. kˆ w : se llama témino de defomación o inclinación. Su efecto es conveti voticidad hoizontal en voticidad vetical po efecto de las vaiaciones hoizontales del movimiento vetical. kˆ F RH : es el témino de ficción; tiene un efecto etadado sobe la voticidad. Con la hipótesis de Navie-Stokes, paa ν constante se escibe ν ζ. En egiones donde ζ tiene un máximo positivo (negativo), ζ < 0 ( ζ > 0), el efecto de este témino es educi extemos de voticidad po difusión a tavés del fluido. Además de los cuato efectos mencionados, se pueden poduci vaiaciones locales de voticidad absoluta y elativa ( η / ζ / ) po advección de voticidad hoizontal y vetical. La fueza de Coiolis puede poduci cambios de voticidad aún si la voticidad elativa es inicialmente ceo. La advección de la voticidad de la Tiea contibuye a cambios locales, en la foma: v η = v ( ζ + f ) 16

Si inicialmente ζ = 0, se educe a f v η = u x f v y = βv f donde β = se llama paámeto de Rossby, coesponde a la vaiación y latitudinal de f. ( Ω senφ ) ( Ω senφ ) Ω β = = = cosφ y R φ R T T β epesenta la magnitud del gadiente de voticidad planetaia f. Si el aie se mueve hacia el note, v > 0, (su, v < 0) se advecta voticidad planetaia negativa (positiva) sobe un punto y η / ζ / 0 aún si todos los otos téminos son nulos. Paa el témino de la divegencia, si inicialmente ζ = 0, se educe a: η v = f v y el témino de Coiolis genea voticidad. Paa un fluido incompesible, baotópico y sin ficción, de pofundidad H, la ecuación de voticidad se educe a: dη = η v kˆ w Como el fluido es incompesible, dρ w = 0 v = 0 v + = 0 17

Sabemos que se puede asocia la divegencia vetical con la tasa de cambio faccional de la altua H, w / = dh / H. Si se despecia el témino de inclinación, que paa el caso de viento geostófico este témino si se anula, la ecuación de voticidad educida se simplifica a: dη = η H dh que se puede escibi en la foma: 1 dη η 1 H dh = 0 d η H = d ζ + H La cantidad (ζ + f)/h se llama voticidad potencial y la última ecuación es la ecuación de voticidad potencial. Indica que paa un fluido incompesible, baotópico, sin ficción la voticidad potencial se conseva, es deci (ζ + f)/h es constante. Si el flujo es hoizontal, w = 0, el témino de divegencia vetical se anula, se obtiene la ecuación de voticidad baotópica: d ( f ζ + f ) = 0 que indica que la voticidad absoluta η = ζ + f se conseva en este caso. = 0 18