CUADERNO DE TRABAJO 3

1 COLEGIO UNIVERSITARIO DE CARTAGO ELECTRÓNICA MATEMÁTICA ELEMENTAL EL-103 CUADERNO DE TRABAJO 3 Elaborado por: Msc. Adriana Rivera Meneses II Cuatrimestre 2014

2 ESTIMADO ESTUDIANTE: Hemos llegado al último de los temas de nuestro curso, iniciamos con el Cálculo Diferencial, en el apartado de límites. Un estudio más amplio de las funciones que nos permitirá llegar a analizarlas de una manera más enriquecedora en este y muchos de sus próximos cursos. Usted necesitará buenas bases en razonamiento así como en cálculos aritméticos y algebraicos, pero sobre todo mucho entusiasmo y positivismo para alcanzar el conocimiento que usted necesita. Adelante es este su último esfuerzo en el curso, su meta está cada vez más cerca. Que termine disfrutando el curso de Matemática Elemental!

3 Noción intuitiva de límite. Considere la siguiente gráfica. LÍMITES. 1. CONCEPTOS BÁSICOS. f(x) = x 0 f(x) = x 1 + f(x) = x 1 f(x) = Ejemplo 1: dibujemos una gráfica que cumpla con las siguientes condiciones f(x) = + f(x) = + x + f(x) = 1 x ]0,1[ D f : R {0}, f(2) = 2 f(3) = 1 f(x) = 0 x 0

4 Ejemplo 2: dibujemos una gráfica que cumpla con las siguientes condiciones f(x) = f(x) = + x + f(x) = + x 0 + f(x) = + x 0 D f : R {0}, f( 1) = 2 f(1) = 2 Ejemplo 3: dibujemos una gráfica que cumpla con las siguientes condiciones f(x) = 3 x + f(x) = x 1 + f(x) = x 0 f(x) = 3 D f : R ]0,1[, f(4) = 5 f(5) = 4

5 Ejemplo 4: considere la función f(x) = 2x 2 + 8x 4 con D f = R, consideremos un punto arbitrario como x = 3; completando las siguiente tabla x 4 3.5 3.3 3.1 3.001 3.0001 3.00001 y x 2 2.5 2.8 2.9 2.99 2.999 2.9999 y Entonces, x 3 2x2 + 8x 4 =

6 2. Teoremas básicos sobre límites. 1. k = k, si kε R 2. x = a 3. x n = a n, si nε Z + n n 4. x = a n, si x esta bien definida. 5. x m n = a m n, si x m n esta bien definida. 6. Suponga que el f(x) = L y que el g(x) = M donde L y M son números reales, y a, b, m, n son constantes se cumple: a. [bf(x)] = b f(x) b. [f(x) + g(x)] = f(x) + g(x) c. [f(x) g(x)] = f(x) g(x) d. [ f(x) ] = f(x) g(x) g(x) e. [f(x)] n = L n n n f. f(x) = L g. [f(x)] m n = L m n 7. Sean P(x)y Q(x) polinomios cualesquiera entonces: a. P(x) = P(a) P(x) b. = P(a) Q(x) Q(a) si Q(a) 0

7 Ejemplos 5: Calcule cada uno de los siguientes límites. 4 = x 4 6 = x 5 x 2 = x 2 e 3 = x 9 4x2 (1 x 2 3x + 1 ) = 1 10x 2x2 ( x 3 x 2 9 ) =

8 x 2 + 5x 6 = x 2 (x + 3x2 7 x 1 x 3 7x + 2 ) = x 2 4 7 5x x 2 = 10x 9 + x2 ( ) = x 4 x

9 3. Técnicas para el cálculo de límites. Calcularemos límites de dos tipos de funciones: a. Límites de funciones elementales o combinaciones de estas. b. Límites de funciones definidas a trozos ó con valor absoluto. Para el primer tipo de funciones tenemos: 1. Si f(a) esta definida entonces: f(x) = f(a) 2. Si f(a) es igual a una constante entre cero; f(x) = k ; k 0 entonces: 0 f(x) = ± 3. Si f(a) = 0 que es una forma indeterminada (FI) entonces se deben aplicar 0 técnicas de factorización, racionalización, cambio de variable, límites básicos y propiedades de límites para einar esta forma indeterminada. Teorema: Sea I un intervalo abierto y sea a un número que pertenezca a ese intervalo, y además se cumple que f(x) = g(x); x I, excepto tal vez en x = a entonces f(x) = L g(x) = L Ejemplos 6: Calcule cada uno de los siguientes límites. x 2 + x 6 x 2 1 = x 3 x + 3 x 1 x 2 + 3x + 2 =

10 x + 1 1 x + 3 = 5 x 0 x x 3 9x 5 + 2 = 3 2 8 x x 0 x 1 + 8x 3 = = x 1 4x 2

11 x 2 9 x + 9 3 = = x 3 x x 0 x x + 4 2 x 0 x + 25 5 = x 0 3 8 + x x 2 =

12 x 1 x 2 + x x 2 + 4x + 3 = f(x) si f(x) = { x 4 si x > 4 x 4 8 2x si x < 4 2 x si x > 3 f(x) si f(x) = { x 3 8 x 2 si x < 3 f(x) si f(x) = { x2 + 1 si x > 4 3 x 2 x 2 + 4 si x < 4

13 Práctica. a. Estime a partir de cada gráfico lo que se le solicita. f(x) = x 1 f(x) = x 0 f(x) = x 1 + f(x) = x 1 g(t) = x 3 + g(t) = x 1 g(t) = x 1 + g(t) = x 1 g(t) = x 1 + g(t) = x 2 g(t) = x 2 + g(t) = x 3

14 f(v) = f(v) = x f(v) = x 2 f(v) = x 2 + f(v) = x 1 + f(v) = x 1 g(x) = g(x) = x 2 g(x) = x 2 + g(x) = x 1 g(x) = x 1 + g(x) = x 2 g(x) = x 2 + g(x) = x b. Dibuje una gráfica de una función que cumpla las características dadas. 1. D(f) = R { 3}, f( 2) = 0, f(x) = 1, f(x) =, x 3 + 2. D(g) = R {0}, g(x) =, 3. D(h) = ], 0] ]5, [, h(x) = 1, h(x) =, x 5 + f(x) = 1 x g(x) =, x 0 h(x) = 1 x f(x) = x 3 g(x) = x h(x) = h(0) = 0 x 0

15 c. Calcule cada uno de los siguientes límites. 1. x 2 x2 + 3x 3. x 3 1 + x 3 2x 3 si x < 3 5. f(x), donde f(x) = { x 3 4 x si x 3 7. x 2 9. x 3 11. x 4 13. x 5 2 2x+x 2 2+x 2x2 5x 3 x 3 +5x 3x 2 15 x 4 x 2 4 2x+11 2x 5 15. x3 +x2 2 x 1 2 x+3 2. x 5 2x 2x 3 + 6 4. x 4 6. x 1 x2 x 2 9 2x 2 x 3 x+1 8. x2 +3x 4 x 1 x 1 10. 3x2 5x x 0 4x 12. x 3 14. x 2 16. x 2 3x x2 1+ 1+x x+6+x x+2 x 2 3 4x 2 4. Límites trigonométricos. Considere el límite tanx x 0 x + 3 = Como se puede observar el cálculo de este límite es sencillo pues coincide con la imagen de la función, sin embargo no siempre es así.

16 Por ejemplo para sen 2 x x 0 1 cosx = Como se puede observar en el ejemplo anterior algunas veces es indispensable usar las identidades trigonométricas. Existen límites que serán de utilidad para el cálculo de otros que surgen de una composición de ellos, como los siguientes: x sen 1 x 0 x = 0 senx senkx = 1 x 0 = 1 x x 0 kx Ejemplos 7: Calcule cada uno de los siguientes límites. sen 3x x 0 sen 5x = tanx = x 0 x

17 1 cosx sen(senx) = = x 0 x x 0 senx sen2x sen5x sen3x = = x 0 x x 0 x

18 1 cosx tanx senx x 0 x 2 = x 0 x 3 = 3x sen2x x 0 2x + sen3x = x 2 tan πx x + 2

19 x 0 2x tan 3x = x 2 x + senx = x 0 2x 5. Límites infinitos Anteriormente, se definió que si a evaluar un límite f(a) es igual a una constante entre cero; f(x) = k ; k 0 entonces: f(x) = ±, donde el signo 0 estará dado por signo del denominador (combinado en algunos casos con el del denominador), sin embargo para la aplicación de esta ley se debe tener los siguientes cuidados: 1. El límite del numerador no es nulo. 2. El límite del denominador es nulo. 3. La función esta en forma irreductible.

20 Ejemplos 8: Calcule cada uno de los siguientes límites. x 1 2x x 1 = x + 2 x 1 + 1 x = [1 + 1 x 1 + x 1 ] = x 3 + x 2 2x x 2 x 3 3x 2 + 4 = Teoremas importantes. 1. Sea n un entero positivo, entonces x + xn = + + si n es par xn = { si n es impar 2. Sea n un entero positivo, y 0 < x < 1entonces x + xn = 0 xn = +

21 3. Si k es constante y r Q + entonces: x + k x r = 0 4. Si k es constante y r Q y x r esta bien definida entonces: k x r = 0 Algunas formas indeterminadas. En estos casos el límite debe ser trabajado. 0 0 0 ± + ± ± 0 Algunas operaciones con infinitos. + = + + = + si k > 0 k + = { si k < 0 si k > 0 k = { + si k < 0 ± 0 = ± =

22 Ejemplo 9: Calcule cada uno de los siguientes límites. 4x 3 + 2x 2 + 1 x + 6x 2 + x 3 + 1 = 500 x + x 3 = 5x 2 x + 3 = ( 4x5 + 5x 3 10) = x + 3 x + 4 x 5 x = + 8x 7x + 2 9x 2 + 25 =

23 ( x 2 + x x) = x + (2x 4x 2 + 9) = x + x + 2x + 1 x 2 + x = 1 x 0 + 3 + 2 1 x = x 2 + 1 x 2 = ( x 4 + x 2 x 2 + 1) =

24 (4 x 0 + x 1 x 3) = x 5 x + 3 x 2 25 = Práctica. a. Calcule cada uno de los siguientes límites si existen. 1 cosx tanx senx 1. 2. x 0 x 2 x 0 x 3 sen (7x) 3. x 0 sen (9x) 3x sen(2x) 4. x 0 2x+sen(3x) 5. x 2 cosx 1 3 6. x 0 x 2 tan(πx) x+2 7. x 1 9. x 1 x2 1 x 2 x x+1 11. x2 +x 2 x 0 x 2 +3x 13. x 2 15. x 2 (5 x) (x+2) 4 (x+1) 2 x 2 +1 17. ( 16x2 + 9 4x) 19. ( x2 + 1 x) 8. x 3 10. x 2 12. x 3 x+3 (x 3) 2 x+5 x 2 x 2 2 x (x 3) 4 14. x + x sen 1 x 16. x + (x x2 1) 18. x 3 2x 2 1 x2 2x+1 20. x + (6x4 3x 2 + x 8)

25 Bibliografía. Acuña, L., (2012). Cálculo Diferencial e Integral. Cartago, Costa Rica, Editorial Tecnológica de Costa Rica. González, F., (2011). Introducción al Cálculo. San José, Costa Rica, EUNED. Rodríguez, P., Poltronieri, J., (2006). Ejercicios de Cálculo I. Cálculo Diferencial e Integral. San José, Costa Rica, Editorial de la Universidad de Costa Rica.