Unidad 4 Espacios vectoriales. Aplicaciones lineales PÁGINA 8 SOLUCIONES. La solución queda: Operando los vectores e igualando los vectores resultantes, obtenemos:. La solución queda: Sean los polinomios A( x) = ax + b, B( x) = ax + b y C ( x) = ax + b. Propiedad asociativa. Se verifica al cumplirse: A( x) + [ B( x) + C ( x)] = a x + b + [ a x + b + a x + b ] = a x + b + ( a + a ) x + ( b + b ) = = ( a + a + a ) x + ( b + b + b ) [ A( x) + B( x)] + C ( x) = [ a x + b + a x + b ] + a x + b = ( a + a ) x + ( b + b ) + a x + b = = ( a + a + a ) x + ( b + b + b )
Propiedad conmutativa. Se verifica ya que: A( x) + B( x) = a x + b + a x + b = ( a + a ) x + ( b + b ) B( x) + A( x) = a x + b + a x + b = ( a + a ) x + ( b + b ) Elemento neutro. Es el polinomio 0x + 0, ya que cumple: ( ax + b) + (0x + 0) = ( a + 0) x + ( b + 0) = ax + b Elemento simétrico. Para un polinomio cualquiera ax + b su simétrico es el polinomio ax b ya que: ( ax + b) + ( ax b) = ( a a) x + ( b b) = 0x + 0 Son ciertas estas propiedades al ser a, a, a, a, b, b, b, b números reales.. Al sumar dos madtrices de este tipo se obtiene otra del mismo tipo. x a x b x + x a + b + = a y b y a + b y + y Al multiplicar un número real por una matriz de este tipo se obtiene otra de mismo tipo. x a tx ta t = a y ta ty 0 0 El elemento neutro de este conjunto de matrices es la matriz. El elemento simétrico de 0 0 x a x a la matriz respecto de la suma de matrices es la matriz. a y a y
PÁGINA 97 SOLUCIONES. Sumando los kilos de todos los sacos, obtenemos 9 kg. Como un cliente se lleva cierta cantidad y otro se lleva el doble de esa cantidad quedando sólo el caso de lentejas, entonces al quitar a 9 kg, el saco de lentejas debe quedar un número que es múltiplo de, esto se cumple con: 9 0 = 99. Un cliente lleva kg en los sacos de 8 kg y 5 kg y el otro cliente se lleva 66 kg en los sacos de 9 kg, kg, 6 kg. El saco de lentejas es el que pesa 0 kg.. El caballo y las sotas las señalamos con C S S. Para que verifiquen las condiciones han de ser: Por tanto, las cartas son: Caballo de copas. Sota de oros. Sota de copas. Cc So S c
. Descomponiendo 450 en factores, obtenemos: 450 = 5 7 Las posibles edades de las tres primas son: Una vez hecha la tabla con todas las posibilidades, observamos que hay un resultado suma repetido, por tanto ahí está la razón de que Luisa le dijera a Pedro que con esos datos no podía saber las edades. La edad de Luisa es de años. Luisa sabe la edad de Pedro. Si Pedro hubiera tenido 48 años o menos, no quedaría claro, por tanto Pedro ha de tener 49 años y las primas 7, 7 y 50 años. 4
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6 SOLUCIONES. Las propiedades asociativa y conmutativa se verifican ya que la suma de números reales que se establecen en los elementos de las matrices cumple las propiedades asociativa y conmutativa. El elemento neutro para la suma es la matriz nula 0 0 0 0. El elemento simétrico de la matriz d c b a para la suma es d c b a. Veamos que se cumplen las propiedades para el producto.. a) ( ) ( ) ( ) ( ), y. t s v t s v t v s v t v s v t v s v t s v V = + = + = + = R b) Sean, t y v V R, se cumple: ( ) ( ) [ ]. ) ( ) ( ( t tv t v t t v t v t v t = + = + = + = c) Sean V v u,, se cumple:. 0 0 ) ( ) ( v u v u v u v u v u = + = + + = + + = + + + + d) Veamos la demostración de la condición necesaria. Sea 0 = v t y 0 t, entonces existe t t = y se cumple: Veamos la demostración de la condición suficiente. Si 0 = t, puede verse en el libro de texto la demostración de 0 0 = t. Si 0 = v, también puede verse que 0 0 = t.
. La solución en cada caso es: a) A es un subespacio vectorial al cumplirse: b) B también es un subespacio vectorial ya que: t( x, y, x y) + s( x, y, x y) = ( tx + sx, ty + sy, tx sx ty sy) B c) C es un subespacio vectorial al ser: t ( x,x, x) + s( x,x, x) = ( tx + sx,( tx + sx),( tx + sx )) C. d) D no es subespacio vectorial al cumplirse que: El vector (,, 5) pertenece a D, lo mismo que (,, 7); pero la suma de ambos (,, 5) + (,, 7) = (,, ) no pertenece al cumplirse x + y = + = 6. a b 4. Las matrices que conmutan con la matriz c d con c, d R. c + d 0 Sea el conjunto M = ; c, d R. c d Forma un subespacio vectorial al cumplirse: 0 c + d 0 A = son de la forma c d 5. El conjunto del enunciado es un subespacio vectorial ya que las reglas de derivación permiten afirmar que: 7
6. a) el vector u puede ser cualquier combinación lineal de v y, por ejemplo, v +, es decir: u = v + = (,,0) + (,, ) = (,, ). b) en este caso habrá que tomar un vector u que no sea combinación lineal de v y, es decir, que el determinante formado por los tres sea distinto de cero. Por ejemplo u =(,,) ya que: 0 = 0. 7. Tiene que cumplirse para que sean linealmente independientes: 6 0 a 0 4a + 0 0 a 5. Para que sean linealmente dependientes: 8. Se debe cumplir que el valor del determinante x x 0 Sin embargo, x x 5 = 0x 0x + 0 no se anula para ningún valor real de x. 5 Por tanto, no existe ningún valor de x que haga que los vectores sean linealmente dependientes. 8
9. Si forman una base al ser linealmente independientes ya que: Sean a, b y c las coordenadas del vector (,, ) respecto de la base dada. Se cumplirá: Operando y resolviendo el sistema resultante: Las coordenadas son (, ½, 0) 9
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SOLUCIONES 0. Consideramos a los polinomios x, x y como la base canónica del espacio vectorial dado. Los polinomios del enunciado tienen por coordenadas respecto a la base canónica: A( x) = x + = (,0,); B( x) = x + x = (,,0) y C ( x) = x + = (0,, ). Los vectores anteriores forman una base al cumplirse 0 = 0. Sean a, b y c las coordenadas de M(x) respecto a la base {A(x), B(x), C(x)}. Se cumple: (,,) = a (,0,) + b(,,0) + c(0,, ). Operando y resolviendo: 0 0 Observa que se cumple: x x + = ( x + ) ( x + x) + 0 ( x + ).. Los vectores de S pueden ponerse en la forma: ( z, y, z) = y(0,,0) + z(,0,) Los vectores ( 0,,0 ) y (,0,) forman una base de S y su dimensión es. Al ser ( x,0, x) = x(,0, ) para los vectores de T podemos considerar el vector (,0, ) como una base de T su dimensión será. En el caso del subespacio E podemos escribir: El vector (,, ) constituye una base de E y su dimensión es.
. Veamos que la aplicación f es lineal. Consideremos los vectores v = x, x ) y = z, z ) de ( ( R. Se cumple: f ( x, x) + f ( z, z) = ( x + x, x x) + ( z + z, z z). Además se cumple: Las ecuaciones de esta aplicación son: Su matriz asociada es.. Las ecuaciones de la aplicación lineal son de la forma: Teniendo en cuenta las condiciones del enunciado:
Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos: Las ecuaciones buscadas son: La expresión de la aplicación es: f ( x, x, x) = ( x + x, x) 4. Las ecuaciones de la aplicación lineal son: Hallamos f (,5, 7) : Por tanto, f (,5, 7) = (9, 6). Calculamos f (, ) : Resolviendo el sistema obtenemos: Por tanto,
5. Expresamos el vector e =(,0,0 ) en combinación lineal de e (,0,0), (0,,0 = e = ) y e =(,,) al formar estos una base y obtenemos: Calculamos f e ) teniendo en cuenta que f es una aplicación lineal: ( La matriz asociada de la aplicación f es: El nucleo de la aplicación lineal es: Resolvemos el sistema y obtenemos: Por tanto Ker f = {( x, x, x) x R} = { t, t, t} t R Una base del nucleo es el vector (,, ) y la dimensión de Ker f es. La imagen de la aplicación f es: A partir de las ecuaciones de la aplicación Y eliminando x, x, x obtenemos la ecuación 5y y y = 0 Por tanto : Una base del subespacio Imf {(,5,0)} = (t,5t s,s) t, s R} y su dimensión es. 4
6. las ecuaciones de la aplicación, en forma matricial son: Las condiciones del enunciado nos conducen a: Por tanto las ecuaciones de la aplicación son: El nucleo de esta aplicación contiene a los vectores f x, x ) (0,0,0), es decir, los que cumplen: ( = x x R que cumplan (, ) El nucleo de la aplicación es Ker f = {(0,0)}. La imagen de esta aplicacion contiene a los vectores ( y, y, y ) R que cumplen: 5
7. El nucleo de esta apicacion esta formado por los vectores x x x R tales que: (,, ) Una base del nucleo esta formada por el vector ( 0,, ) y su dimensión es. La imagen de f está formada por los vectores y y y R que cumplen: (,, ) 8. La aplicación compuesta gf tiene por expresión: ( g f )( x, x) = g[ f ( x, x)] = g(x, x x) = (x x, x) Puede comprobarse sin dificultad que la aplicación anterior es lineal. Las matrices asociadas a las aplicaciones f y g son, respectivamente: La matriz asociada a la aplicación compuesta Es fácil comprobar que: gf es. 0 6
9. La expresión de la aplicación es f x, x ) = x. La aplicación es lineal al cumplir: ( x 7
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SOLUCIONES 0. La solución en cada caso es: a) La matriz de la aplicación lineal es: b) El núcleo de f esta formado por los vectores x x x R que cumplen: (,, ) Resolviendo el sistema, obtenemos: x = x x = x El vector (,, ) constituye una base del nucleo y su dimensión es. c) La imagen de f esta formada por los vectores ( y, y, y ) R que cumplen: Eliminando x x,, obtenemos: y y + y 0., x = La imagen es Im f = {( y y, y, y )} = {( t s, t, s) t, s R } Los vectores {(,,0),(,0, )} forman una base de la imagen de f y su dimensión es. d) La imagen del vector v =(,,4) es el vector: 9
. Veamos que T es un subespacio vectorial de y un numero real t cualquiera, es decir, R. Consideramos dos vectores cualesquiera de T. Determinamos la ecuación matricial de la aplicación f que es de la forma: Imponiendo las condiciones del enunciado, obtenemos: 0
Las ecuaciones de la aplicación f en forma matricial son: Calculamos f (,7, 7) y para ello resolvemos el sistema: El último sistema carece de solución, por tanto no existe ningún vector en mediante la aplicación f sea (,7, 7). R cuya imagen. Consideramos la combinación lineal nula: au + b( u + v ) + c( u + v + ) = 0 Operando obtenemos: ( a + b + c) u + ( b + c) v c = 0 Al ser los vectores u, v y linealmente independientes: Como los escalares a, b y c son nulos, los vectores, independientes. u, u + v y u + v + son linealmente 4. Calculamos el determinante: Para a los vectores del enunciado forman una base de R.
5. Es fácil ver que el subconjunto dado es un subespacio vectorial de El subespacio puede expresarse en la forma: R (véase la actividad 7). Cualquier vector puede escribirse como combinación lineal de los vectores (,, 0) y (,0,) : Una base del subespacio la forman los vectores (,, 0) y (,0, ), la dimensión es. 6. Veamos que los polinomios P x), P ( x), P ( ) y P ( ) son linealmente independientes. ( x Formamos la combinación lineal nula: 4 x Operamos: Por el principio de identidad de polinomios: Luego estos polinomios son linealmente independientes. Veamos que forman sistema generador, es decir que cualquier polinomio de V de la forma ax + bx + cx + d puede escribirse en combinación lineal de los polinomios dados: Luego efectivamente los polinomios dados son base. El polinomio P(x) respecto a esta base es: x + x + x + = ( x) + ( x + x) + 0( x ) + ( x + x ) Es decir las coordenadas (,, 0, ) respecto a la base P, P, P, } { P4
7. La aplicación lineal f esta definida por f ( ax + bx + c) = ax + b. veamos que es lineal. El núcleo de f estará formado por los polinomios ( ax + bx + c) cuya derivada sea nula, es decir: f ( ax a = 0 + bx + c) = 0 ax + b = 0 b = 0 Los polinomios del nucleo son los polinomios de grado cero.
8. Calculamos la imagen por g del vector e =(0,0, ). este vector puede expresarse: ( 0,0,) = (,0,0) + (0,,0) (,, ). La imagen del vector ( 0,0,) por la aplicación lineal g es: g ( 0,0,) = g(,0,0) + g(0,,0) g(,, ) = (,,) + (,0, ) (0,0,0) = (8,, ) La ecuación de la aplicación lineal g en forma matricial es: Por tanto el único vector que coincide con su imagen en esta aplicación es el vector nulo 0 =(0,0,0) 4