1.- Sean A i B dos matrices cuadradas invertibles. Es verdad que: (B -1 A -1 - (A B) -1 + A) B = A B? Justifica tu respuesta. De hecho el problema consiste en demostrar que: B A (A B) = Expresión que es equivalente a: B A = (A B) Y que recogen todos los libros de Álgebra. Para demostrarla? partimos de la definición de matriz inversa aplicada al producto de A por B. Id = (A B) (A B) Primero, por la propiedad asociativa tenemos que: Id = A B (A B) Ahora premultiplicamos por la inversa de A. A Id = A A B (A B) Ahora por la propiedad de la identidad y por la propiedad asociativa tenemos que: A = (A A) B (A B) Y por definición de matriz inversa y de matriz identidad tenemos que: A = Id B (A B) A = B (A B) Ahora premultiplicamos por la inversa de B y obtenemos: B A = B B (A B) Aplicamos de nuevo la propiedad asociativa y la definición de inversa y la definición de matriz identidad y nos queda que: B A = (B B) (A B) B A = Id (A B) B A = (A B) Por lo tanto, queda demostrado.
2.- Los ordenadores pueden representar los colores mediante un sistema conocido como RGB. En el sistema RGB los colores se representan como una terna (r, g, b) donde cada número representa la cantidad de tres colore básicos: Red, Green y Blue. Supongamos que este sistema RGB tiene estructura de espacio vectorial, es decir, podemos generar colores mediante sumas y restas de otros colores o multiplicando colores por constantes. Ahora supongamos que tenemos dos colores: c 1 =(2,,) y c 2 =(3,3,), que generan el subespacio vectorial de colores A. i) Qué dimensión tiene el espacio vectorial de colores A? Podemos generar el color v=(1,2,1) con los colores c 1 i c 2? Si es que sí, con qué cantidad de cada uno? Pertenece w=(5,3,) a A? Si es que sí, cuáles son las coordenadas en la base {c 1, c 2 }? Pues si tenemos dos vectores para generarlo, como máximo tendrá dimensión 2, siempre y cuando los dos vectores sean linealmente independientes. Comprobamos que lo son. Los ponemos en forma de matriz y buscamos un menor de orden 2 cuyo determinante sea distinto de cero: 2 3 3 Si tomamos el primer menos de orden 2 ya tenemos un determinante distinto de cero. Por lo tanto, tiene dimensión 2. 2 = 2 3 3 = 6 = 6 3 3 Para poder generar v, lo expresamos como combinación lineal de los vectores de la base e intentamos resolver: Que es equivalente a: 1 2 3 2 = α + β 3 1 1 = 2 α + 3 β 2 = α + 3 β 1 = α + β Ya vemos que la tercera ecuación nos genera una incongruencia (1=) y por lo tanto, NO se puede expresar v como combinación de la base.
Hacemos lo mismo con w: 5 2 3 3 = α + β 3 Que equivale a: 5 = 2 α + 3 β 3 = α + 3 β = α + β La tercera ecuación no aporta nada (=) y podemos prescindir de ella. La segunda ecuación nos indica que: 3 = 3 β β = 3 3 = 1 Y sustituyendo en la primera, tenemos que: Así que podemos decir que: 5 = 2 α + 3 1 2 = 2 α α = 1 w = 1 c + 1 c O lo que es lo mismo, que las coordenadas de w en la base {c, c } son w = (1, 1). ii) Si B=<(1,,),(,1,)> es el subespacio vectorial de colores formado por los dos primeros vectores de la base canónica, son A y B el mismo subespacio vectorial de colores? De entrada, se trata de un subespacio de dimensión 2, por lo que es posible. Para saberlo, vamos a poner los vectores de A como combinación lineal de los de B. Empezamos con c 1 : Que es equivalente a: 2 1 = α + β 1 2 = α = β = Por lo que sí se puede poner como combinación lineal. Veamos c 2 : Que es equivalente a: 3 1 3 = α + β 1
3 = α 3 = β = Que también puede ponerse como combinación lineal. Por lo tanto, los dos subespacios son iguales. iii) Encuentra la matriz de cambio de base de la de B a la de A. Tal y como hemos desarrollado el problema, es muy fácil escribir la matriz de cambio de base de A a B, ya que simplemente hemos de escribir las coordenadas obtenidas en forma de columna, de manera que: M = Id = 2 3 3 Para encontrar la de B a A, hay que calcular la inversa, es decir, primero la transpuesta: Luego la adjunta de la transpuesta: M = 2 3 3 (M ) = 3 3 2 Y ahora dividimos por el determinante de la original (que es 2 3 = 6) M = 1 1 3 3 6 2 = 1 2 2 1 3 Para comprobar, podemos hacer el producto de las dos matrices y ver si da la identidad: 1 2 3 1 3 1 2 2 2 1 = 2 3 = 1 1 1 + 3 2 2 + 3 1 3 1 2 + 3 1 2 + 3 1 3 = 1 + 1 + 1 + + 1 También podemos tomar un vector expresado en coordenadas de B y multiplicarlo por la matriz y ver si nos da el vector en coordenadas de A. Por ejemplo, tenemos el vector w=(5, 3, ) que en coordenadas de A era (1, 1) y que, evidentemente, en coordenadas de B será (5, 3) y comprobemos: Por lo tanto, es correcta. 1 1 1 2 2 5 = 2 5 1 2 3 2 1 3 3 5 + 1 = 2 = 1 3 3 3 1 3
3.- Sea F el subespacio vectorial de R 6 generado por el conjunto de vectores siguiente: F=<(ab-b, -b, -2bc, -3b, -4b, -5b), (, a-1, 2, 2c, 2, 2), (,, a-1, 3, 3c, 3), (,,, a-1, 4, 4c), (,,,, a-1, 5), (,,,,, a-1), a, b y c R> Sea v=(,-1,,2,5,9) i) Calcula la dimensión de F en función de a, b i c. Para calcular la dimensión, nos ponemos los vectores como una matriz y calculamos su determinante y vamos mirando cuándo se iguala a cero. ab-b -b -2bc -3b -4b -5b a-1 2 2c 2 2 a-1 3 3c 3 a-1 4 4c a-1 5 a-1 Al tratarse de una matriz triangular, su determinante es el producto de los elementos de la diagonal, por lo tanto, el determinante valdrá: det M = b (a 1) Y ese determinante valdrá cero si a=1 o si b=. Para cualquieras otros valores el determinante será distinto de cero y el rango será 6. Vamos a estudiar ahora esos dos casos: CASO a=1: La matriz se transforma en: -b -2bc -3b -4b -5b 2 2c 2 2 3 3c 3 4 4c 5
De la que podemos eliminar la primera columna y la última fila al ser todo ceros, con lo que nos queda una matriz como: -b -2bc -3b -4b -5b 2 2c 2 2 3 3c 3 4 4c 5 El determinante de esta matriz será: det M = b 2 3 4 5 = 12b Que será cero si b=. Para cualquier otro valor de b nos quedará de dimensión 5. Para el caso de b= nos queda: 2 2c 2 2 3 3c 3 4 4c 5 De la que podemos eliminar la primera columna y la primera fila al ser todo ceros, con lo que nos queda una matriz como: 2 2c 2 2 3 3c 3 4 4c 5 Cuyo determinante es 12, por lo que nos queda de dimensión 4. Veamos ahora el caso b=. CASO b=: La matriz nos queda como:
a-1 2 2c 2 2 a-1 3 3c 3 a-1 4 4c a-1 5 a-1 De la que podemos eliminar la primera columna y la primera fila al ser todo ceros, con lo que nos queda una matriz como: a-1 2 2c 2 2 a-1 3 3c 3 a-1 4 4c a-1 5 a-1 Cuyo determinante vale: det M = (a 1) Que si a es distinto de 1 nos generará una matriz de dimensión 5, mientras que si a=1 nos generará una matriz como: 2 2c 2 2 3 3c 3 4 4c 5 De la que podemos eliminar la primera columna y la última fila al ser todo ceros, con lo que nos queda una matriz como:
2 2c 2 2 3 3c 3 4 4c 5 Cuyo determinante vale 12 y nos genera una matriz de dimensión 4. Por lo tanto resumiendo tenemos que: Si a=1 y b= entonces tiene dimensión 4. Si a=1 ó b= entonces tiene dimensión 5. Si a 1 y b entonces tiene dimensión 6. El valor de c no influye. ii) Para al caso a=1, b=1 y c=1 encuentra una base del espacio vectorial. Pertenece v a F en este caso? En caso afirmativo encuentra sus coordenadas en la base anterior. En ese caso nuestra matriz será: -1-2 -3-4 -5 2 2 2 2 3 3 3 4 4 5 Por lo tanto, podemos eliminar el último vector ya que es todo ceros y en la matriz 5 x 6 que nos queda, podemos encontrar un menor de orden 5 diferente de cero (el de la derecha, marcado en amarillo, cuyo determinante vale -12). Por lo tanto, los cinco primeros vectores forman una base del subespacio. Para saber de manera rápida si v pertenece al subespacio, ponemos los cinco vectores de la base más v como una matriz y calculamos su determinante, si da cero, es que SÍ es combinación lineal, lo que es muy fácil de ver, ya que la matriz toma la forma:
-1-2 -3-4 -5 2 2 2 2 3 3 3 4 4 5-1 2 5 9 Y su determinante es cero porque la primera columna está formada por ceros. Para encontrar las coordenadas en la base formada por los cinco primeros vectores, lo que hacemos es expresar v como combinación lineal de los vectores de la base: 1 1 2 = α 2 3 + β 2 2 + γ 3 + δ + ε 5 4 2 3 4 9 5 2 3 4 5 Que es equivalente a (no escribo la primera ecuación porque es =): 1 = α = 2α + 2β 2 = 3α + 2β + 3γ 5 = 4α + 2β + 3γ + 4δ 9 = 5α + 2β + 3γ + 4δ + 5ε De la primera sacamos α = 1, que al sustituir en la segunda nos da: = 2 + 2β β = 2 2 = 1 Al sustituir estos dos valores en la tercera ecuación tenemos: 2 = 3 + 2 + 3γ γ = 3 3 = 1 Si metemos estos valores en la cuarta ecuación tenemos: 5 = 4 + 2 + 3 + 4δ δ = 4 4 = 1 Por último, al sustituir en la última tenemos: 9 = 5 + 2 + 3 + 4 + 5ε ε = 5 5 = 1
Por lo tanto, las coordenadas de v en la base del subespacio son (1, 1, 1, 1, 1).