Guía del docente Descripción curricular: - Nivel: 3.º Medio - Sector: Matemática - Unidad temática: - Palabras clave: triángulo rectángulo, cateto, hipotenusa, potenciación, potencia, base, exponente, potencia al cuadrado, potencia n-ésima, radicación, índice, cantidad subradical, raíz cuadrada, raíz cúbica, raíz n-ésima. - Contenidos curriculares: Conocer y utilizar conceptos matemáticos asociados al estudio de los sistemas de inecuaciones, de la función cuadrática, de nociones de trigonometría en el triángulo rectángulo y de variable aleatoria, mejorando en rigor y precisión la capacidad de análisis, de formulación, verificación o refutación de conjeturas. Analizar información cuantitativa presente en los medios de comunicación y establecer relaciones entre estadística y probabilidades. Aplicar y ajustar modelos matemáticos para la resolución de problemas y el análisis de situaciones concretas. Resolver desafíos con grado de dificultad creciente, valorando sus propias capacidades. Percibir la matemática como una disciplina que recoge y busca respuestas a desafíos propios o que provienen de otros ámbitos. - Contenidos relacionados: - 1.º Medio: Resolución de problemas. Gráficos, tablas de valores y expresión algebraica. Potencias de base un entero, un decimal o una fracción positiva y exponente un entero. Multiplicación de potencias. 1
-.º Medio: - 3.º Medio: Guía para el docente Planteo y resolución de problemas que involucren ecuaciones de primer grado con una incógnita. Operatoria algebraica. Generalización de la operatoria aritmética a través del uso de símbolos. Convención de uso de los paréntesis. Reducción de términos semejantes. Sintaxis del lenguaje algebraico. Análisis de fórmulas de perímetros, áreas y volúmenes en relación con la incidencia de la variación de los elementos lineales y viceversa. Resolución de desafíos y problemas no rutinarios que involucren sustitución de variables por dígitos o números. Potencias con exponente entero. Multiplicación y división de potencias. Uso e interpretación de paréntesis. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Gráfico de las rectas correspondientes. cuadradas y cúbicas. Raíz de un producto y de un cuociente. Estimación y comparación de fracciones que tengan raíces en el denominador. Función raíz cuadrada. Gráfico de: y = x enfatizando que los valores de x deben ser siempre mayores o iguales a cero. Identificación de x = x. - 4.º Medio: Función potencia: y = a x n, a > 0, para n =, 3, y 4, su gráfico. Análisis del gráfico de la función potencia y su comportamiento para distintos valores de a. Funciones logarítmica y exponencial, sus gráficos correspondientes. Modelación de fenómenos naturales o sociales a través de esas funciones. Análisis de las expresiones algebraicas y gráficas de las funciones logarítmica y exponencial. Historia de los logaritmos; de las tablas a las calculadoras.
- Aprendizajes esperados: Guía para el docente - cuadradas y cúbicas. Raíz de un producto y de un cuociente. Estimación y comparación de fracciones que tengan raíces en el denominador. - Función cuadrática. Gráfico de las siguientes funciones: y = ax y = x ± a, a > 0, y = (x ± a) a > 0 y = ax + bx + c Discusión de los casos de intersección de la parábola con el eje x. Resolución de ecuaciones de segundo grado por compleción de cuadrados y su aplicación en la resolución de problemas. - Función raíz cuadrada. Gráfico de: y = x, enfatizando que los valores de x deben ser siempre mayores o iguales a cero. Identificación de x = x Aprendizajes esperados de esta actividad: - Deducen que conociendo el área de un cuadrado, calcularán la medida del lado usando raíz cuadrada. - Deducen que teniendo un triángulo rectángulo y conociendo la medida de dos de sus lados, calcularán la medida del otro lado usando el teorema de Pitágoras y la raíz cuadrada de ese resultado. - Calculan raíz cuadrada de un número. - Utilizan la definición de raíz n-ésima para calcular el valor de una expresión. - Evalúan expresiones que contienen raíces cuadradas o cúbicas. - Aplican las propiedades de raíces para reducir expresiones. - Resuelven sistema de dos ecuaciones en que los términos de cada ecuación incluyen dos raíces cuadradas. - Resuelven ecuación irracional. - Desarrollan habilidades relativas a la investigación, mediante las actividades de organización de datos, y las de resolución de problemas y de pensamiento lógico, mediante contenidos y actividades orientadas al aprendizaje de algoritmos o procedimientos. También a la aplicación de leyes y principios, por un lado, y de generalización a partir de relaciones observadas, por otro. 3
- Desarrollan actitudes orientadas al interés y la capacidad de conocer la realidad y utilizar el conocimiento y la información. Recursos digitales asociados de www.educarchile.cl: - Ficha temática:. - Diapositivas digitales (ppt): Matemáticas NM3. Actividades propuestas para este tema: Proponemos la actividad Cuánto debo caminar?, referente al uso del concepto de radicación, evaluación de expresiones que incluyen raíces, uso de raíces para resolver ejercicios y problemas de aplicación, aplicación de las propiedades de raíces. ACTIVIDAD: Cuánto debo caminar? Duración: horas pedagógicas 1. Mapa de contenidos tratados 4
. Desarrollo de la actividad: Cuánto debo caminar? Paso 1 Como actividad de motivación e introducción pregunte a los estudiantes: - Cómo saber las distancias que caminamos? Deje que los estudiantes piensen algunos minutos y luego pídales que lean el texto inicial de la guía para el estudiante (disponible en el portal educarchile.cl). El texto se encuentra a continuación: La comuna de La Reina se encuentra ubicada en el Sector Oriente de la Región Metropolitana, en la precordillera, y se desarrolla en terrenos con pendientes crecientes hacia la zona alta. La Reina inicia su poblamiento de poniente a oriente, a través de los ejes de penetración hacia la cordillera, formados por las vías de acceso a las parcelas que allí existían tiempo atrás. Este perfil semirrural se ha mantenido hasta ahora, lo que le da a la comuna un carácter urbano con una identidad propia, que sus habitantes no desean transformar. El territorio de la comuna (3,4 km ) se encuentra ubicado sobre terrenos con pendientes crecientes hacia la zona alta, desde 608 m sobre el nivel del mar en su extremo más bajo, hasta 000 m aproximadamente, en su entorno más alto. La superficie comunal es cruzada por los canales San Carlos, De Ramón, Las Perdices y El Bollo, que son cauces de riego, recepción y transporte de aguas lluvias. El clima es el de la ciudad de Santiago: templado mediterráneo, con una estación lluviosa en invierno y un verano seco y prolongado. Las precipitaciones varían entre los 00 mm y 479 mm de aguas lluvias anuales. 5
La temperatura media alcanza a los 14,4 C. Por su ubicación dentro de la ciudad de Santiago y su cercanía a la cordillera de Los Andes, la comuna de La Reina se beneficia respecto de los problemas de polución atmosférica. Según el censo del 00, La Reina cuenta con una población de 96 76 habitantes y tiene un total de 5 768 viviendas. De sus 96 76 habitantes, 44 93 son hombres y 5 469 son mujeres. Paso Una vez leído este texto, comiencen a responder las preguntas. I. Preguntas 1) Por qué crees que la comuna de La Reina se desarrolló en terrenos con pendientes hacia la zona alta de la ciudad de Santiago? Respuestas posibles: Porque en otros lugares de Santiago ya no había terrenos aptos y autorizados para construir; porque las nuevas familias que se formaban en la comuna no querían salir de ella, etc. ) Imagina que eres un turista y quieres conocer algo de este barrio. Comienzas tu recorrido en la esquina de Echeñique con Avenida Ossa y luego darás una vuelta a la manzana por las calles Echeñique; Rosita Renard; San Vicente de Paul, volviendo a Avenida Ossa hasta el punto de partida. Observa el mapa que aparece más abajo. Fíjate en que corresponde a una manzana cuadrada que tiene un área de 39 04 m. Según esta figura: a) Cómo calculas la longitud de cada cuadra de ese cuadrilátero? Calculando la raíz cuadrada del área de esa superficie. Es decir, la raíz cuadrada de 39 04. b) Cuánto debes caminar en cada cuadra? 198 metros c) Cuánto debes caminar para dar una vuelta a la manzana? 4 198 m = 79 m 6
3) Si ahora quieres recorrer las avenidas Echeñique, Ossa y Tobalaba, qué forma tiene ese sector? 4) Es un triángulo rectángulo 5) Una acera de la avenida Tobalaba limita con un hermoso y frondoso parque que sirve de ribera del canal San Carlos cuyas aguas fluyen por ese costado de la avenida. Qué procedimiento matemático utilizas para calcular la distancia que existe por la avenida Tobalaba desde la estación de metro Príncipe de Gales hasta la esquina de Echeñique con Tobalaba? El teorema de Pitágoras. 6) Qué distancia existe entre las estaciones de metro Príncipe de Gales y Simón Bolívar? 810 metros 7) Cuánto mide cada cateto de la figura del mapa? 810 m y 486 m 7
8) Cuánto mide el cuadrado de cada cateto de la figura del mapa? 656 100 m y 36 196 m 9) Cuál es la suma de los cuadrados de cada cateto de la figura del mapa? 89 96 m 10) Cuánto debes caminar por la avenida Tobalaba desde la estación de metro Príncipe de Gales hasta la esquina de Echeñique con Tobalaba? Redondea el resultado a la unidad más cercana. 945 metros 11) En un párrafo anterior se indica que la comuna de La Reina tiene un territorio de 3,4 km de superficie. Si imaginamos que todo el territorio de la comuna se reparte en un cuadrado de 3,4 km de superficie, cuánto mediría cada lado de ese cuadrado? Redondea a la unidad más próxima. 5 kilómetros 8
Paso 3 Una vez terminada esta primera parte, revísenla y suscite una discusión con los estudiantes en la que ellos expongan sus respuestas. Luego pueden continuar con la segunda parte de la actividad destinada a la ejercitación del tema de raíces, con ejercicios de selección múltiple. II. Ejercicios de selección múltiple 1) La mitad del 100% de 16 es: A) 400 B) 16 C) 8 D) 4 E) ) Cuál(es) de las expresiones siguientes es(son) igual(es) a? I) 3 8 II) 1 III) 4 A) Sólo III B) Sólo II C) Sólo I D) Todas E) Ninguna 3) Cuál es el número que corresponde a la suma de los 5 pares siguientes de 144? A) 114 B) 9 C) 90 D) 88 E) 86 9
4) Si al doble del cuadrado de un número positivo le quito 0, resulta igual que si al cuadrado del número le agrego 16. Cuál es el número? A) 6 B) 36 C) 6 D) 6 3 E) 3 5) P = ( 1 ) y Q = 4 1 A) 3 1 ; entonces 4 Q =? P B) 8 1 C) D) 8 E) 3 6) Se define x y = x y ; entonces 4 9 =? A) 0 B) 1 C) 13 D) 19 E) Ninguna de las anteriores 7) S = x + x, T = x y U = x. Si x = ; cuál de las relaciones siguientes es correcta? A) S > T > U B) S > U > T C) T > U > S D) U > S > T E) S = T = U 10
8) x + y = 1. Si x = 16, entonces y =? A) 10 1 B) 10 C) 3 D) E) 4 3 9) Si al cuadrado de x se suma y se obtiene: A) x + y B) x + y C) x + y D) x + y E) Ninguna de las anteriores 10) Si x = y y = 3, entonces x + y =? A) 5 B) 10 C) 13 D) 5 E) 13 11) El 100 % de la raíz cuadrada de a es: A) a B) a C) 100a D) 100a E) a 11
1) p : q = 1 : 4 ; entonces p =? A) q q B) 4 C) q D) 4q E) q 13) Qué valor debe tener m para que m = 8? A) 4 B) 8 C) 16 D) 3 E) 64 14) Si c = y d = 1 4, entonces c + d =? A) 3 B) 4 9 3 C) D) E) 1 + 1
15) Sea c + d = 5 y c d = 3, entonces cuál(es) de las relaciones siguientes es(son) verdadera(s)? I) c + d = 17 II) d c = 15 III) d c = 3 A) Sólo I B) I y II C) I y III D) II y III E) Todas 16) Cuál debe ser el valor de a para que 4 a =? A) ½ B) 4 C) D) 1 E) 0 Paso 4 Concluya la actividad volviendo a la pregunta número 1 de la primera parte de la guía para el estudiante. Cuánto debo caminar? Es decir: 1) Imagina que eres un turista y quieres conocer algo de este barrio. Comienzas tu recorrido en la esquina de Echeñique con Avenida Ossa y luego darás una vuelta a la manzana por las calles Echeñique; Rosita Renard; San Vicente de Paul, volviendo a Avenida Ossa hasta el punto de partida. 13
Observa la figura más abajo. Fíjate que corresponde a una manzana cuadrada que tiene un área de 39 04 m. Según esta figura: a) Cómo calculas la longitud de cada cuadra de ese cuadrilátero? b) Cuánto debes caminar en cada cuadra? Construyan un resumen de los conceptos más importantes y de las aplicaciones de las raíces. Puede recordarles que: Índice de la raíz n a n n a = b b = a Cantidad subradical Analice los resultados aritméticos y algebraicos obtenidos y refuerce los aprendizajes que presentan más problemas. 14