1750 1800 mm 1 El puente continuo de dos vanos iguales y de planta recta, representado en la fig. 1, se construye totalmente apeado con losa de hormigón armado HA-30, barras de acero corrugado soldable B500S y acero estructural S355. El armado de la losa consiste en dos capas de redondos Ø16 cada 0 cm, con recubrimientos mecánicos de 50 mm. La conexión entre la losa y cada ala metálica se realiza mediante dos filas de conectadores separadas 350 mm (no representados en la fig. 1). La sección de tablero situada sobre la pila central se representa en la fig. y se sabe además que existe rigidización transversal cada 3500 mm. Se pide: a) Determinar la resistencia a flexión negativa del tablero sobre la pila central, en ausencia de esfuerzos cortantes. b) Sabiendo que se pueden disponer rigidizadores longitudinales con ½ IPE 450 para la chapa inferior del tablero, determinar cuántos serían necesarios para evitar la reducción de dicha chapa por abolladura local y obtener la resistencia a flexión negativa de la misma sección, en ausencia de esfuerzos cortantes. 50,33 m 50,33 m Fig. 1 00 3000 00 esp. 50 550 30 esp. 1 rig. cada 3500 mm 3000 0 Fig. Observaciones: acero estructural de E a = 10 GPa y γ M0 = 1,05; acero corrugado soldable de E s = 00 GPa y γ s = 1,15. 1 de abril de 011
0 0 RESOLUCIÓN DEL APARTADO a) 1. Clasificación del ala comprimida y reducción por abolladura local, si procede. Esbeltez geométrica de la chapa: c 3000 mm ; t = 0 mm ; c/t = 150 Puesto que se trata de un panel interior comprimido uniformemente (ψ = 1), la esbeltez máxima de Clase 3 es 4 ε, siendo ε = 0,81 por tratarse de acero S355 (ver tabla 0.3.a de la EAE o la tabla 1 del Tema 6). No cumple la condición de esbeltez y la chapa inferior debe reducirse por abolladura local (es de Clase 4). Parámetros de la reducción: b = 3000 mm ; a = 3500 mm ; α > 1 ; k σ = 4 (ver tabla 0.7.a de la EAE o la tabla 6 del Tema 6) p 0,0553 k b/ t p 3,6 0,673 0,86 8,4 p Ancho reducido del panel: b r = ρ b = 858,1 mm ; b r,1 = b r, = 49,0 mm (ver apartado 0.7 de la EAE o apartado 3 del tema 6). Arrastre por rasante en el ala comprimida. Parámetros del estudio: b = ½ 3000 mm = 1500 mm ; L (-) = ¼ (50,33 + 50,33) = 5,16 m ; β = 0,0596 Corrección del parámetro β (ver apartado 1.5 de la EAE o apartado 5 del tema 6): 0,0319 0,0 0,895 El factor ψ ult se aplica los anchos reducidos b r,1 y b r, (ver fig. 3): b tr,i = b r,i ψ ult = 383,9 mm ult el, Sección reducida Sección transformada 49 1500 383,9 1500 Fig. 3 Área transformada del ala comprimida del tablero: 0 (383,9 + 383,9) = 15354 mm. 3. Arrastre por rasante en el alas traccionadas. Parámetros del estudio: b = b 1 = ½ 550 mm = 75 mm ; L (-) = ¼ (50,33 + 50,33) = 5,16 m ; β = 0,0109 Como el parámetro β es inferior a 0,0 no procede ninguna reducción del ancho por arrastre por rasante. Área eficaz de las alas traccionadas metálicas: 30 (550 + 550) = 33000 mm. 1 de abril de 011
3 4. Arrastre por rasante en la losa de hormigón. En la mitad de la losa a la izquierda del eje de simetría del tablero, el ancho eficaz se determina como: b 350 mm b b e e, izdo e, dcho b b e, izdo e, dcho L 8 L 8 05mm 135mm Como L (-) /8 es 3145 mm, todo el ancho real de la losa es eficaz (de acuerdo con el EC4, a la hora de determinar el ancho eficaz de la losa de hormigón no se distingue entre ELS y ELU). 05 350 135 b e,izdo b e,dcho Fig. 4 Cada capa de armado longitudinal de la losa consiste en Ø16 cada 0 cm, lo que equivale a 5Ø16 por cada metro de losa, es decir, 1005,3 mm /m de B500S. Como el ancho eficaz de la losa es 7,40 m cada capa de armaduras tiene 7439 mm de acero corrugado soldable. 5. Discusión sobre la posición de la fibra neutra y el plano de agotamiento. Fijándose únicamente en la sección metálica de acero estructural, como el área de cálculo del ala inferior es 15354 mm y el área de cálculo del ala superior es 33000 mm, la fibra neutra se situará en la mitad superior de la sección metálica. Aunque la contribución del hormigón en tracción no se tiene en cuenta, la tracción que absorben las dos capas de armado se suma a la resultante de tracciones en el ala superior de la sección metálica, con lo que la fibra neutra se desplazará aún más hacia arriba. Por todo ello, las elongaciones en la sección (deformaciones de tracción) serán inferiores al acortamiento del ala inferior, el cual está limitado a ε y,a por tratarse de un ala de clase 4. Conclusión: parece claro que la sección metálica trabaja en régimen elástico, pero no hay datos suficientes para saber si las armaduras superan su límite elástico ε y,s. Hipótesis de partida: se va a suponer que las armaduras de la losa no superan su límite elástico, por lo que la sección completa trabajaría en régimen elástico y, en ausencia de esfuerzos axiles, la fibra neutra se situaría en el baricentro de la sección homogeneizada. Observación: al tratarse de una sección que no es compacta (Clases 1 ó ), la discusión anterior y los cálculos siguientes sólo son válidos si la construcción es totalmente apeada hasta el endurecimiento del hormigón. 1 de abril de 011
1185,6 614,4 864,4 814,4 4 Coeficiente de homogeneización del acero B500S: n = E a /E s = 10/00 = 1,05 Alargamiento de límite elástico del acero S75: ε y,a = (f y /γ M0 )/E a = 1,61 Alargamiento de límite elástico del acero B500S: ε y,s = (f yk /γ s )/E s =,17 Área de las almas: A w = hw, i tw, i = 1750 1 + 1750 1 = 4000 mm Área homogeneizada Profundidad del baricentro (medida desde la cara superior de la losa) Capa superior de armado longitudinal 7439/1,05 mm 50 mm Capa inferior de armado longitudinal 7439/1,05 mm 00 mm Ala superior eficaz 33000 mm 65 mm Almas 4000 mm 1155 mm Ala inferior transformada 15354 mm 040 mm Profundidad de la fibra neutra: z F.N. = z G = 864,4 mm (medida desde la cara superior de la losa). Se puede comprobar en la fig. 5 que ningún material supera su deformación de límite elástico, por lo que la hipótesis de partida es correcta. -1,106-0,834 ε ε 1 1,61 Fig. 5 6. Clasificación del alma y reducción por abolladura local, si procede. Parámetros: c = 1750 mm ; t = 1 mm ; c/t = 145,8 Se trata de un panel interior flexo-comprimido: 1 614,4 30 0,501 1 1185,6 0 1 de abril de 011
1185,6 0 48 37 178,0 614,4 864,4 77,0 5 Dado que el ala comprimida de la sección metálica es de clase 4, no tiene sentido plantear si el alma es de Clase 1 ó. La esbeltez máxima para Clase 3 es (ver tabla 0.3.a de la EAE o tabla 1 del Tema 6): c 4 67,4 t 0,67 0,33 Por lo tanto, el alma es también de Clase 4 y es necesario obtener su sección reducida (de acuerdo con el apartado 0.7 de la EAE o el apartado 3 del tema 6). Parámetros de la reducción: b = 1750 mm ; b c = 1185,6 0 = 1165,6 mm k 7,81 6,9 9,78 13,4 p 0,0553 k b/ t p 1,73 0,673 0,53 8,4 p Ancho reducido del panel: b r = ρ b c = 60,0 mm ; b r,1 = 0,4 b r = 48,0 mm ; b r, = 0,6 b r = 37,0 mm Al reducirse el área de la zona comprimida del tablero (y, obviamente, la resultante) la fibra neutra se desplaza más hacia arriba y, por lo tanto, las elongaciones se reducen respecto de la fig. 5. Como consecuencia, sigue siendo válida la hipótesis de que ningún material llega a plastificar y la fibra neutra tras la reducción del alma se situará en el baricentro de la sección de cálculo. ε 11477 mm 758, mm ε 1 976 mm 1906 mm 1,61 Fig. 6 1,61 El área de los dos paneles en los que, a efectos de cálculo, queda reducida cada alma se indica en la fig. 6 (11477 mm y 976 mm ), así como la posición de los respectivos baricentros respecto de la cara superior de la losa del tablero (758, mm y 1906 mm). La posición de la fibra neutra se calcula como: z G, red 7439 50 00 33000 65 11477 758, 976 1906 15354 040 1,05 77,0 mm 7439 33000 11477 976 15354 1,05 De acuerdo con la EAE no es necesario proceder de forma iterativa volviendo a clasificar el alma. Como no hay plastificaciones, la resistencia a flexión negativa se puede obtener aplicando la ley de Navier. El momento de inercia de la sección transformada es 4,86 10 10 mm 4 y M u resulta en 186 mkn. 1 de abril de 011
0 6 RESOLUCIÓN DEL APARTADO b) 1. Clasificación del ala comprimida y reducción por abolladura local, si procede. De acuerdo con el apartado 0.4 de la EAE, si se disponen rigidizadores longitudinales, la chapa metálica inferior se clasifica automáticamente en clase 4. Los rigidizadores dividen la chapa en varios sub-paneles interiores de anchura b i. Para evitar la reducción de éstos, su esbeltez relativadebe cumplir: bi p, i t 0,673 bi 19,11 k t 8,4 k Como se trata de paneles interiores, k σ = 4. El espesor de la chapa es 0 mm, por lo que b i 619, mm. Además, la RPM-95 indica que la separación entre rigidizadores longitudinales debe ser inferior a 60 t, que en este caso, equivale a 100 mm. La primera anterior era más restrictiva y conduce a disponer 4 rigidizadores longitudinales que dividen la chapa en 5 sub-paneles de 600 mm (ver fig. 7). 600 = = = 600 Los rigidizadores consisten en medio perfil IPE 450. Las dimensiones de un perfil IPE 450 son las siguientes: h = 450 mm b = 190 mm t f = 14,6 mm t w = 9,4 mm r = 1 mm A = 9880 mm W pl,y = 1,70 10 6 mm 3 I y = 3,374 10 8 mm 4 Además de estudiar la abolladura local en la chapa, también debe estudiarse en los rigidizadores longitudinales, determinando la sección reducida de éstos. Obviamente, lo habitual es dimensionarlos para que no haya que reducirlos por abolladura local. En este caso, cada rigidizador se descompone en un panel interior (la mitad del alma de la IPE 450) y dos paneles volados (el ala): - Panel interior (media alma): Fig. 7 b = c = ½ 450 14,6 1 = 189,4 t = 9,4 mm ; k σ = 4 ; - Paneles con borde libre: p = 0,438 (< 0,673) ; ρ = 1 b = c = (190 9,4 1)/ = 69,3 t = 14,6 mm ; k σ = 0,43 ; p = 0,315 (< 0,748) ; ρ = 1. Propiedades brutas del conjunto chapa + rigidizador. La posición del centro de gravedad de media IPE 450 (coordenada z sl de la fig. 8) se obtiene como sigue: z W pl, y s A 17,3mm El área del rigidizador es A sl = ½ A = 4940 mm y su momento de inercia respecto del eje horizontal que pasa por su baricentro se obtiene como: 1 de abril de 011
5 7 I 1 I A z,04 10 mm 7 4 sl y sl sl G s z sl e 1 G s+p e 0 La posición del centro de gravedad del conjunto chapa + rigidizador (coordenada e de la fig. 8) se obtiene como sigue: 4940 17,3 10 6000 0 e 53,mm 4940 6000 Y la coordenada e 1 de la fig. 8 es: e 1 = z sl + ½ t e = 17,3 + ½ 0 53, = 19,1 mm El área del conjunto chapa + rigidizador es: A sl,1 = A sl + A p = 4940 + 600 0 = 16940 mm El momento de inercia del conjunto, respecto del eje horizontal que pasa por G s+p es: 600 0 1 3 7 8 4 sl,1 sl sl 1 p p,04 10 4940 19,1 1000 53, 1,387 10 mm I I A e I A e Por último, el radio de giro del conjunto es: i = (I sl,1 /A sl,1 ) 0,5 = 90,5 mm 600 Fig. 8 La longitud de pandeo del rigidizador es a = 3500 mm, que es la distancia entre rigidizadores transversales de la chapa (los rigidizadores transversales constituyen apoyos fijos de los longitudinales y de la chapa y deben diseñarse rígidos y no flexibles; su dimensionamiento debe hacerse acorde con el apartado 35.9 de la EAE; además, la RPM-95 indica que la longitud L s del rigidizador no debe ser superior a 5 h s ). 3. Reducción por abolladura global. Para obtener el factor de reducción por abolladura global χ c se procede de la siguiente manera: EI f sl,1 A, c y cr, sl 1385 MPa 0,506 c Asl,1 a cr, sl En la ecuación anterior el parámetro β A,c es el cociente entre el área reducida por abolladura local del conjunto chapa + rigidizador y el área bruta del mismo. Como en este caso no ha habido reducciones previas por este motivo, β A,c = 1. Una vez calculada la esbeltez adimensional relativa c de la columna (conjunto chapa + rigidizador), debe calcularse su coeficiente de imperfección equivalente α e : e max e ; e 19,1 e i i 90,5 1 0,09 0,09 0,49 0,09 0,618 El coeficiente α toma el valor 0,49 porque el rigidizador es de sección abierta (ver anejo 6 de la EAE). Por último: 1 0,51 e c 0, c 0,76 c 0,8075 c 1 de abril de 011
8 4. Arrastre por rasante en el ala comprimida. Puesto que se trata de un ala de clase 4 y que contiene 4 rigidizadores longitudinales (que se han tenido en cuenta a los efectos de evitar la reducción por abolladura local), el valor del factor corregido β es: A b bt A b A bt L bt L bt red c sl sl c Se recuerda que cuando se trata de paneles interiores, las expresiones de cálculo del factor de ancho eficaz se aplican a la mitad del panel (que tiene rigidizadores). Así pues: 1500 4940 0,8075 1 0,0618 0,0 ult el, 0,7475 5160 1500 0 Los factores de reducción por arrastre por rasante ψ ult, por abolladura global χ c y por abolladura local ρ (o bien ρ i si hubiera sub-paneles de diferentes anchuras) se multiplican para calcular el área transformada de la chapa metálica inferior: A tr = 0,7475 0,8075 1 (3000 0 mm ) = 3616 mm 5. Arrastre por rasante en el alas traccionadas. Ver el apartado a). 6. Arrastre por rasante en la losa de hormigón alas traccionadas. Ver el apartado a). 7. Discusión sobre la posición de la fibra neutra y el plano de agotamiento. En esta ocasión las áreas de cálculo las alas de la sección metálica están bastante compensadas, pero debe tenerse en cuenta que a la resultante del ala de tracción se le añadirán las de las armaduras de la losa. Hipótesis de partida: se va a suponer que la contribución de las armaduras desplaza la fibra neutra hacia la mitad superior de la sección metálica; también se va a suponer que las armaduras no plastifican; en estas condiciones la sección sigue trabajando en régimen elástico y la fibra neutra coincide con el baricentro. Observación: para no complicar los cálculos y del lado de la seguridad, se va a despreciar el área de los rigidizadores longitudinales en el establecimiento del equilibrio interno de esfuerzos. Área homogeneizada Profundidad del baricentro (medida desde la cara superior de la losa) Capa superior de armado longitudinal 7439/1,05 mm 50 mm Capa inferior de armado longitudinal 7439/1,05 mm 00 mm Ala superior eficaz 33000 mm 65 mm Almas 4000 mm 1155 mm Ala inferior transformada 3616 mm 040 mm 1 de abril de 011
990 810 1060 1010 9 Profundidad de la fibra neutra: z F.N. = z G = 1060 mm (medida desde la cara superior de la losa). Se puede comprobar en la fig. 9 que la sección metálica trabaja en régimen elástico y que las armaduras no superan su límite elástico de cálculo (ε y,s =,17 ), por lo que la hipótesis de partida es correcta. -1,643-1,317 ε Fig. 9 1,61 ε 1 8. Clasificación del alma y reducción por abolladura local, si procede. Parámetros: c = 1750 mm ; t = 1 mm ; c/t = 145,8 Se trata de un panel interior flexo-comprimido: 1 810 30 0,804 1 990 0 Puesto que el ala comprimida de la sección metálica es de clase 4, no tiene sentido plantear si el alma es de Clase 1 ó. La esbeltez máxima para Clase 3 es: c 4 84,1 t 0,67 0,33 Por lo tanto, el alma es también de Clase 4 y es necesario obtener su sección reducida. Parámetros de la reducción: b = 1750 mm ; b c = 990 0 = 970 mm k 7,81 6,9 9,78 19,19 p 0,0553 k b/ t p 1,45 0,673 0,633 8,4 p Ancho reducido del panel: b r = ρ b c = 614,5 mm ; b r,1 = 0,4 b r = 45,8 mm ; b r, = 0,6 b r = 368,7 mm (ver fig. 10). El área de la zona comprimida del tablero se reduce y la fibra neutra se desplaza hacia arriba. Por lo tanto, las elongaciones se reducen respecto de las indicadas en la fig. 9. Como consecuencia, sigue 1 de abril de 011
0 45,8 990 109,9 368,7 810 1060 100,1 10 siendo válida la hipótesis de que ningún material llega a plastificar y la fibra neutra tras la reducción del alma se situará en el baricentro de la sección. ε 13784 mm 854,4 mm ε 1 950 mm 1907 mm Fig. 10 1,61 Al igual que en el apartado anterior, el área de los dos paneles en los que queda reducida cada alma se indica en la fig. 10 (13784 mm y 950 mm ), así como la posición de los respectivos baricentros respecto de la cara superior de la losa del tablero (854,4 mm y 1907 mm). La posición de la fibra neutra se calcula como: z G, red 7439 50 00 33000 65 13784 854,4 950 1907 3616 040 1,05 100,1mm 7439 33000 13784 950 3616 1,05 De acuerdo con la EAE no es necesario seguir iterando y este plano de agotamiento y la reducción del alma se dan por válidos. Como no hay plastificaciones, la resistencia a flexión negativa se obtiene aplicando la ley de Navier. El momento de inercia de la sección transformada es 7,638 10 10 mm 4 y M u resulta en 5074 mkn. Este resultado es prácticamente el doble que el del apartado a), lo cual demuestra la gran eficiencia de los rigidizadores longitudinales, a pesar de no haber tenido en cuenta su contribución al equilibrio de fuerzas y momentos en la sección. 1 de abril de 011