Cálculo Diferencial
FUNCIÓN INVERSA La función inversa deshace lo hecho por la función
FUNCIÓN INVERSA Qué representa la función inversa? Función de demanda. La cantidad vendida de un articulo de se llama demanda del articulo. La demanda D para cierto articulo es una función del precio dada por D p = 3p + 150 Que representa D 1? Flujo de sangre. Cuando la sangre se mueve por una vena o arteria, su velocidad v es mayor a lo largo del eje central y disminuye a medida que se incrementa la distancia r desde el eje central. Para una arteria de radio 0.5 cm, v esta dada como función de r por v r = 18 500 0.25 r 2 Que representa v 1?
FUNCIÓN INVERSA Qué representa la función inversa? Ley de Torrichelli. Un recipiente contiene 100 galones de agua, que salen de una fuga en el fondo, lo que causa que el recipiente se vacié en 40 minutos. La ley de Torrichelli proporciona el volumen de agua que permanece en el recipiente después de t minutos como V t = 100 1 t 40 Que representa V 1? 2 Escalas de temperatura. La relación entre las escalas Fahrenheit (F) y Celsius (C) esta dada por F C = 9 C + 32 5 Que representa F 1?
Logro de la sesión Calcular la función Inversa Reconocer la existencia de la función inversa Logros Resolver problemas aplicando la función inversa
FUNCIÓN INYECTIVA Una función es INYECTIVA (o uno a uno) si para cada valor del rango le corresponde un único valor en el dominio. Son funciones inyectivas? Si es una función inyectiva No es una función inyectiva
FUNCIÓN INYECTIVA Definición ( Función Inyectiva) Una función f es INYECTIVA si para x 1, x 2 Dom f se cumple O su equivalente f(x 1 ) = f x 2 x 1 = x 2 x 1 x 2 f(x 1 ) f x 2
FUNCIÓN INYECTIVA PROPIEDAD GEOMÉTRICA FUNCIÓN INYECTIVA Toda recta vertical y toda recta horizontal del plano intersecta a la gráfica de una Función Inyectiva A LO MÁS EN 1 PUNTO. Función No Inyectiva Si! Es función Inyectiva
FUNCIÓN INYECTIVA Ejemplo 1 Probar que la función es f x Resolución = 2 x 7 es inyectiva Tomamos f(x 1 ) = f x 2 Probaremos que x 1 = x 2 2 x 1 7 = 2 x 2 7 x 1 7 = x 2 7 x 1 = x 2 Por lo tanto f x = 2 x 7 es inyectiva
FUNCIÓN FUNCIONES SOBREYECTIVA La función f a, b c, d es sobreyectiva si el ran f = c, d Ejemplo 2 Probar que la función f 1,3 0,5; 2 es f x = 2 x 2 es sobreyectiva
FUNCIÓN INVERSA Si una función f es inyectiva y sobreyectiva entonces existe la función inversa de f, y se le denota f 1. Los elementos de esta función inversa f 1 se hallan intercambiando las dos componentes de todos los pares ordenados de la función f Ejemplo 3 f = 1, 8, 3, 6, 5, 4, 7, 2, 0, 9 Entonces tenemos que f 1 = 8, 1, 6, 3, 4, 5, 2, 7, 9, 0 Dom (f 1 ) = 8, 6, 4, 2, 9 = Rang ( f ) Ran (f 1 ) = 1, 3, 5, 7, 0 = Domg ( f )
FUNCIÓN INVERSA PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN INVERSA 1. Si f tiene Función inversa se tiene: a. x, y f y, x f 1 b. y = f x x = f 1 y para x Dom f, y Rang f 2. La función inversa también es inyectiva 3. La función inversa de la función f 1 es la función inicial f ( f 1 ) 1 = f 4 Propiedad fundamental a) f 1 f x = x, x Dom f. b) f f 1 y = y, y Rang f.
Ejemplo 4 FUNCIÓN INVERSA Sea la función f = 1,3 ; 2; 5 ; 3; 7 ; 4; 9 ; 5; 8 a. Existe la función inversa? b. por qué? c. Si existen, halle las funciones f 1 ; fof 1 ; f 1 of
FUNCIÓN INVERSA Ejemplo 5 Calcule la funcion inversa de f x = x 2 1, x [ 0, 2
FUNCIÓN INVERSA PROPIEDAD GEOMÉTRICA FUNCIÓN INVERSA La gráfica de la función Inversa f 1 se consigue como la IMAGEN de la gráfica de la función f sobre la recta y = x, la cual hace el papel de un espejo.
FUNCIÓN INVERSA Ejemplo 6 Halle la función inversa de Compruebe que f f 1 a 3 f x = 2 + x 4; x 3; 12 = a
FUNCIÓN INVERSA Ejemplo 7 Sea una función inyectiva que satisface f f a = f 8 y f 1 8 = 3 N = 4f a + f 1 f 5 Halle los valores de a y de N
Ejercicio reto Ejemplo 8 Ley de Torrichelli. Un recipiente contiene 100 galones de agua, que salen de una fuga en el fondo, lo que causa que el recipiente se vacié en 40 minutos. La ley de Torrichelli proporciona el volumen de agua que permanece en el recipiente después de t minutos como V t = 100 1 t 40 a. Que representa V 1? b. Calcule V 1 15 ; Qué significa el valor encontrado? 2
Ejemplo CONCLUSIONES 1: Conclusiones Aprendimos cuando existe la función inversa Comprendimos el significado de la función inversa Aprendimos a calcular la función inversa
Muchas gracias! El genio se hace con 1% de talento y un 99% de trabajo. Albert Einstein