y = mx + b donde: m: es la pendiente o coeficiente angular de la recta ( es el ángulo que forma la recta r con el semieje positivo de las abscisas)

Transcripción

1 Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Introducción a la Matemática Ingreso 09 F U N C I Ó N L I N E A L Definición: Una función f : IR IR tal que f(x) mx b es una función lineal, donde m y b son números reales constantes. Su representación gráfica es una recta Ecuación explícita de la recta y = mx + b donde: m: es la pendiente o coeficiente angular de la recta m tg ( es el ángulo que forma la recta r con el semieje positivo de las abscisas) b: es la ordenada al origen (valor de y cuando x = 0) Observación: P 0 y 0 pertenece a una recta entonces sus coordenadas satisfacen su ecuación. Si un punto x ; Pendiente de la recta que pasa por dos puntos dados y Q y dos puntos pertenecientes a la recta r, entonces la pendiente m de r está dada por: y y m, si x x x x Sean P x ; y x ; Si x x entonces la pendiente no existe, por lo tanto la recta es vertical.

2 Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Introducción a la Matemática Ingreso 09 Otras formas de la ecuación de la recta Ecuación segmentaria de la recta x a y b donde: a: se corresponde a la abscisa del punto de corte con el eje x (raíz o cero) b: se corresponde a la ordenada del punto de corte con el eje y (ordenada al origen) Ecuación implícita de la recta donde a, b y c son números reales. ax + by + c = 0 ) Dada la función f : IR IR / f(x) x 3 a) Halla f(3), f(0) y f(-) b) Para qué valor de x se cumple que f(x) 5? 8 ) Sea f : IR IR tal que f(x) x 3 a) Grafica la función f(x) en un sistema de coordenadas. b) Indica dominio e imagen. c) Halla analíticamente C 0. d) Determina C y C e) Analiza biyectividad. 3) Escribe las ecuaciones de las rectas cuyas gráficas son: a) b) c)

3 Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Introducción a la Matemática Ingreso 09 ) Indica V (verdadero) o F (falso) y justifica la respuesta: a) El punto P (0 ; 3) pertenece a la recta cuya ecuación es y x 3 0 b) El punto Q( ; ) no pertenece a la recta de ecuación y x c) El punto ; 3 M verifica la ecuación 3x y 6 d) Si el punto ;0 pertenece a la recta de ecuación 5y kx 0, entonces k 5) Determina el valor de k IR en la ecuación kx y 3, para que la recta que representa pase por el punto P( ; ). Posiciones entre rectas en el plano Sean r y r dos rectas cuyas ecuaciones explícitas son r : y mx b y r : y mx b Secantes (con m y m no nulos), entonces r y r son: r r Perpendiculares Oblicuas r r se cor tan m m m m se cor tan formando ángulos rectos (pendientes inversas y opuestas) sin formar ángulos rectos pero m m Paralelas r // r Coincidentes r r No coincidentes se sup erponen m m tienen la misma m m y y b b dirección b b perpendiculares oblicuas paralelas no coincidentes paralelas coincidentes 3

4 Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Introducción a la Matemática Ingreso 09 6) Determina la ecuación de la recta que satisface las siguientes condiciones: a) pendiente 5 y ordenada al origen b) pendiente 3 y pasa por el punto (-3 ; 7) c) tiene coeficiente angular 3 y f(0) d) forma un ángulo de 0º con el eje positivo de las abscisas y pasa por el punto (3 ; ) e) corta al eje de abscisas en x y al eje de ordenadas en y f) pasa por los puntos (- ; ) y (-3 ; -) g) es paralela a la recta x 3y 0 y pasa por A(- ; ) h) es perpendicular a la recta y x 6 0 y pasa por B( ; 3) Punto medio de un segmento de recta Las coordenadas del punto medio del segmento de extremos P x ; y Q x ; son: M x x y ; Distancia entre dos puntos en el plano y La distancia entre dos puntos P x ; y x ; y Q en el plano es: y y y d P; Q x x y y 7) Indica, para cada una de las siguientes afirmaciones, si es verdadera o falsa. Justifica todas las respuestas. a) El punto (- ; -) pertenece a la recta de ecuación 5x y 7 0 b) Los puntos P( ;), Q( ;0) y R(; ) están alineados. c) El triángulo ABC cuyos vértices son A( 3;0), B(3; ) y C( ;5) es escaleno. 8) Completa las siguientes proposiciones para que resulten verdaderas. Justifica la respuesta con el desarrollo de cada inciso. a) La ecuación explícita de la mediatriz correspondiente al segmento de recta determinado por los puntos P( ; 0) y Q(- ; 6) es...

5 Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Introducción a la Matemática Ingreso 09 b) El valor de k IR para que la recta de ecuación y kx 3 0 resulte paralela a la recta x y 0 es k... c) La ecuación de la recta que pasa por el punto P(- ; ) y forma un ángulo de 5º con el eje positivo de las abscisas es... 9) Una represa, cuya capacidad es de 056 millones de litros de agua, tiene una filtración. Desde el primer día pierde agua de manera uniforme, a razón de millones de litros diarios, aproximadamente. a) Halla la fórmula de la función que describe la cantidad de agua que permanece en la represa (en millones de litros) cada día. b) En cuánto tiempo se podría vaciar la represa, en el caso de que no se solucione el problema de la pérdida de agua? c) En cuánto tiempo la represa tendría millones de litros de agua? 0) Sea f : IR IR tal que f ( x ) x 3 x 3 si si si 0 x 0 x x a) Grafica la función f(x) en un sistema de coordenadas. b) Indica dominio e imagen. c) Halla analíticamente C 0 d) Determina C y C e) Analiza biyectividad. 5

6 Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Introducción a la Matemática Ingreso 09 Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es de la forma: ax by c ax by c con a,a',b,b',c,c' IR. Un punto P x 0; y 0 es solución del sistema si sus coordenadas satisfacen simultáneamente ambas ecuaciones. Cada ecuación del sistema ax by c ax by c r r representa una recta Cada solución del sistema es un punto en común a ambas rectas. Cuando el sistema de ecuaciones tiene solución decimos que es compatible Si la solución es única, el sistema es compatible determinado. Gráficamente, las rectas son secantes. Si tiene infinitas soluciones, el sistema es compatible indeterminado. Gráficamente, las rectas son paralelas coincidentes. Cuando el sistema de ecuaciones no tiene solución decimos que es incompatible. Gráficamente, las rectas son paralelas no coincidentes. ) Resuelve analíticamente los siguientes sistemas de ecuaciones: a ) y 3x 3 0 3x y 6x 3 3y b) 3 x 3(y ) 3y y x c) y x ) Halla, si existe, k IR para que los siguientes sistemas de ecuaciones resulten compatibles determinados, compatibles indeterminados o incompatibles. a ) y kx y x kx y 7 b) (k )x ky 6

7 Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Introducción a la Matemática Ingreso 09 3) Plantea y resuelve las siguientes situaciones: a) Un estudiante de Agronomía debe preparar una mezcla de avena y maíz para alimentar el ganado. Cada onza de avena contiene g de proteínas y 8 g de carbohidratos. Una onza de maíz contiene 3 g de proteínas y g de carbohidratos. Indica cuántas onzas de cada cereal debe incluir en la mezcla para cumplir con los requisitos nutricionales de 00 g de proteínas y 30 g de carbohidratos por comida. b) Un micro sale de Buenos Aires con dirección a Miramar a las 0 de la mañana, con una velocidad constante de 90 km/h. Una hora más tarde, sale un auto en la misma dirección a 0 km/h. A qué distancia de Buenos Aires alcanza al micro y a qué hora? Realiza una representación gráfica. c) Si a un rectángulo cuyo perímetro es de 3 cm, se le quita,5 cm a dos de sus lados paralelos, pero se le agrega cm a los otros dos, se obtiene un nuevo rectángulo de 0 cm de perímetro. Cuáles eran las dimensiones del rectángulo original? d) Hace cuatro años la edad de Felipe era el doble de la de su hermana Victoria. Dentro de seis años, la edad de Felipe será de la que entonces tenga Victoria. Calcula la edad 3 actual de cada uno. e) Marcos ha ahorrado $ 0 en monedas de 5 y 50 centavos. Si en total tiene monedas, cuántas monedas de cada valor posee? f) En una liquidación, Juli pagó $ 650 por una remera y un pantalón que costaban $ 00 entre los dos artículos. En la remera le hicieron un 0% de descuento, y en el pantalón un 30%. Cuál era el precio sin descuento de cada artículo? 7

8 Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Introducción a la Matemática Ingreso 09 ) Dada la siguiente representación gráfica: a) Escribe el sistema de ecuaciones lineales correspondiente. b) Resuelve analíticamente el sistema obtenido en el inciso anterior. 5) Escribe el sistema de ecuaciones lineales que se corresponde con la siguiente representación gráfica, sabiendo que las rectas son perpendiculares. 6) Un grupo de 7 amigos se reúne a cenar. En el restaurant Costa Bonita les ofrecen el menú que puede observarse a la derecha. Los varones deciden comer filet con papas fritas o milanesa con papas fritas pero las mujeres, como conforman un número par, eligen compartir de a dos, lisa a la parrilla. Por una promoción, la bebida es invitación de la casa. Si en total gastan $835, cuántas mujeres y cuántos varones hay en el grupo? 8

9 Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Introducción a la Matemática Ingreso 09 7) En un paralelogramo, la suma entre la mitad de uno de sus ángulos interiores y el 5% de otro, no opuesto con el primero, es igual a 7º. Cuál es la amplitud de los ángulos interiores del paralelogramo? 8) En la heladería está la siguiente oferta: Si compra dos helados iguales, por el segundo paga la mitad Ceci y Nacho aprovechan la oferta. Ceci compra dos vasitos y seis cucuruchos; paga en total $375. Nacho compra dos vasitos y dos cucuruchos; paga en total $65. Cuál es el precio de un cucurucho y cuál es el precio de un vasito? 9) Se mezcla aceite de oliva, que cuesta $ 6 el litro, con aceite de girasol, que cuesta $ 8 el litro. Si tenemos 0 litros de mezcla a un precio de $ 90 el litro, cuántos litros de aceite de cada clase se han mezclado? 0) En una tienda, María compra un pantalón con un descuento del 5%. Juana compra un saco $ 00 más costoso que el pantalón, pero con una rebaja del 0%, con lo que solo paga $ 3 más que María. Cuál es el precio de cada prenda sin descuento? ) Completa las siguientes proposiciones para que resulten verdaderas. Justifica la respuesta con el desarrollo analítico de cada inciso. a) La distancia exacta del punto ; P a la recta r de ecuación y x es... b) La ecuación de la función lineal que satisface f(6) y C es f (x)... x y c) La ecuación explícita de la recta r que es paralela a la recta s : y corta la eje 7 de abscisas en x es y... d) El valor de IR k para que la recta r : 3k y kx 7 0 semieje positivo de las abscisas es k... e) Si g(x) 9 0 forme un ángulo de 35º con el y es una función lineal cuya gráfica pasa por los puntos ; 0 y ; 5 entonces g( )... f) El conjunto solución del sistema 8 3x y 6 9 x y es S..., g) Sean las rectas r : y 5x 0 y r : 3x ky 7 0. Para que r r, debe ser k...

10 Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Introducción a la Matemática Ingreso 09 h) El valor de a IR para que el sistema indeterminado es a... a y x y a x 0 resulte compatible i) El agua se congela a una temperatura de 0 ºC y hierve a 00 ºC. Si se mide en grados Farenheit, se congela a 3 ºF y hierve a ºF. Sabiendo que se pueden convertir los grados Celsius a Farenheit a través de un modelo lineal, entonces la fórmula es... 0

11 Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Introducción a la Matemática Ingreso 09 RESPUESTAS ) a) f(3) = b) x = 3 9, f(0) = -3 y f(-) = 3 ) a) Gráfica: b) Dom f IR; Im f IR c) 3 C 0 d) 3 3 C ; y C ; e) Es biyectiva. 3 3) a) y x b) y x 3 c) y 3x ) a) V b) V c) F d) V 5) k 6 6) a) y 5x 3 37 b) y x c) y 3x d) y 3x 3 3 e) y x f) y 3x 7 8 g) y x h) y x 3 3 7) a) F. b) F. c) F. 8) a) y x 3 b) k = c) y x 3 9) a) y 056 x b) 88 días c) 76 días

12 Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Introducción a la Matemática Ingreso 09 0) a) Gráfica: b) Dom f IR; Im f ; c) C 0 C ; 0; d) C ; 0 e) No es inyectiva ni suryectiva entonces no es biyectiva ) a) incompatible b) 6; S c) compatible indeterminado ) a) C.D. : k C.I:. k IR I. : k b) C.D. : k ; k C.I. : k I. : k 3) a) 0 onzas de avena y 0 onzas de maíz. b) A 360 km, a las hs. c) No es posible construir el rectángulo. d) Felipe tiene años y Victoria 9 años. e) Marcos tiene 8 monedas de 5 centavos y 38 monedas de 50 centavos. f) El precio de la remera era de $ 900 y el del pantalón $ 00. ) a) y x y x 3 b) 8 S ; 5 5 5) y x y x 0 6) En el grupo hay 9 varones y 8 mujeres. 7) Los ángulos interiores miden 6º y 6º 8) El precio del cucurucho es $ 70 y el del vasito $ 0 9) 5 litros de aceite de oliva y 5 litros de aceite de girasol 0) El precio del pantalón es $ 960 y el precio del saco es $ 060

13 Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Introducción a la Matemática Ingreso 09 ) a) 5 b) f(x) c) f) S ; e) g( ) 5 g) 7 7 y x d) k 5 k h) a i) y,8 x 3 (" x": en º C ; " y": en ºF) 3