Sistemas de comunicación Páctico Intefeencia Intesimbólica y Pulsos de Nyqvist Cada ejecicio comienza con un símbolo el cuál indica su dificultad de acuedo a la siguiente escala: básica, media, avanzada, y difícil. Además puede tene un númeo, como 3.1-4 que indica el númeo de ejecicio del libo del cuso, Communication Systems, 4th. edition. Buce A. Calson. Ejecicio 1 Al muestea una señal x(t) de banda limitada W se genean muestas a una tasa de muestas/s, las cuales se quieen tasmiti po un canal de ancho de banda B T. Paa esto las muestas se confoman con pulsos a(t) antes de intoducilas al canal. CONFORMADOR CANAL LPF p(t) Indica ente qué valoes puede vaia paa que se pueda tansmiti y posteiomente econstui la señal analógica oiginal. Expesa la foma de la señal a la salida del canal, en función de x(t) y, sabiendo que la espuesta impulsiva del canal y el pulso confomado es p(t). Cuál es la foma que tienen que tene los pulsos a la salida paa que no exista intefeencia intesimbólica (isi)? Explica cómo ealizaía el diseño del confomado en el supuesto de que conociea la tansfeencia del canal. Ejecicio 2 Una señal disceta con tiempo ente muestas T s, es intoducida en un confomado de espuesta H(f). H(f) h(0)=1 f 0 Halla la mínima f o paa que la señal confomada no posea intefeencia intesimbólica. Justifica. 1
Ejecicio 3 Una señal x(t) se muestea a fecuencia. Paa tansmiti los impulsos se los debe confoma mediante un filto confomado. L(f) H(f) f 0 /2 f 0 f 0 Si se tata de un pasabajos ideal, da la fecuencia de cote f 0 mínima. Da la expesión analítica de los pulsos confomados. Hay intefeencia intesimbólica? Un pasabajos ideal es difícilmente apoximable. Nomalmente se usan filtos de tansición gadual. Qué condiciones debe cumpli tal filto paa que la intefeencia intesimbólica sea nula? Sea L(f) el pasabajos ideal de la pate y sea C(f) = π ( ) ( ) πf f 4β cos Π 2β 2β con 2β < f 0 (d) Halla la tansfeencia H(f) = L(f) C(f) y mosta que cumple las condiciones de la pate. Halla el pulso confomado h(t). Hay intefeencia intesimbólica? Qué ventajas se tiene sobe un pasabajos ideal? En paticula, supone que se puede comete un leve eo de sinconismo en la ecepción. Ejecicio 4 (11.3-8) Una foma más geneal del teoema de señalización de Nyquist establece que un pulso p(t) con tansfomada de Fouie P (f) no pesenta isi al se muesteado con fecuencia = 1 T si y sólo si P (f n) = 1 < f <. Demosta este teoema aplicando la tansfomada de Fouie en ambos lados de p(t) δ(t nt ) = p(nt )δ(t nt ) y utilizando la fomula de Poisson. Demosta el teoema de simetía vestigial de Nyquist aplicando el teoema anteio a pulsos p(t) eales y con ancho de banda meno o igual a (esto es, P (f) = 0 paa f > ). 2
Ejecicio 1 Solución Po el Teoema del Muesteo, se tiene que se debe cumpli que 2W paa pode econstui la señal a pati de sus muestas. Po oto lado, paa que no se defomen los pulsos, aplicando el citeio de toma hasta la mitad del pime cuce po ceo, se tiene que B T 2, po lo que B T 2. En conclusión, debe cumplise que: 2B T 2W Si asumimos que los pulsos confomadoes son pulsos de Nyquist, entonces el ancho de banda a tansmiti, B, seá igual a 2 + β, y entonces B T 2 + β, con lo cual: B T 2W A la salida del canal, se tiene la señal: x R (t) = + = x ( ) ( p t ) Paa que no haya isi, se debe cumpli que: { p(0) = 1 p ( ) = 0, Z Además, como el ancho de banda de tansmisión es limitado, se tiene que P (f) = 0 f B = 2 + β, po lo que p(t) debe se un pulso de Nyquist: con p β (0) = 1 y P β (f) = 0 f β. Luego, se tiene que: p(t) = p β (t).sinc(t) p(t) = a(t) h c (t) P (f) = A(f)H c (f) A(f) = P (f) H c (f) + P (f) a(t) = H c (f) ej2πf df ( ) donde P (f) = P β (f) 1 Π f (p(t) pulso de Nyquist). 3
Ejecicio 2 Obsevando que H(f) es la tansfeencia de un pulso de Nyquist, ya que tiene simetía vestigial especto a 3fo 2, se pueden identifica paa este pulso los valoes de β = fo 2 y 2 = 3fo 2. En consecuencia, dado que = 1 T s, se tiene que 1 T s = 3f o y entonces f o = 1. En ealidad, también son válidas las fecuencias de la foma f o =, con N 1, po lo que el valo es el que coesponde a la fecuencia f o mínima. Oto camino paa esolve el ejecicio consiste en sabe cómo es h(t), paa luego foza el cumplimiento de h(0) = 1 y h(t s ) = 0 con N. Siguiendo esta idea, se tiene que: ( ) ( ) f f H(f) = AΠ Π f o 3f o Entonces: h(t) = Af o sinc(f o t)3f o sinc(3f o t) = 3f 2 o Asinc(f o t)sinc(3f o t) h(0) = 3f 2 o A = 1 A = 1 3f 2 o 3f o h(t) = sinc(f o t)sinc(3f o t) Esta función vale ceo en t = con Z. Como se quiee que esto ocua en t = T s, entonces se llega a que f o =, y po lo tanto el valo mínimo que 1 podá toma f o es. Ejecicio 3 L(f) = f ( ) 0 f 2 Π l(t) = f 0 2 sinc(t) = f0 2 sinc(2f o t) Se puede ve que l(t) = 0 t =, con Z. Como se quiee que haya ceos cada 1, entonces: 1 = No hay isi ya que: f 0 = 2 f 0,mín = 2 l(0) = f 2 0 0 l(/) = 0 Z L(f) = 0 f f 0 A la salida del confomado, los pulsos son de la foma: x c (t) = + = x ( ) ( l t ) = + = x ( ) ( f0 2 sinc [ t )] 4
H(f) debe pesenta simetía vestigial especto a f 0 = 2 (o, en geneal, f 0 = 2 con N ), dado que h(t) debe se un pulso ( ) de Nyquist, i.e. h(t) = p β (t)sinc(t), y po lo tanto H(f) = P β (f) 1 Π f. Siempe que p β (t) sea eal, se tendá la simetía vestigial especto a 2. ( ) ( ) ( ) H(f) = f0π 8β Π f cos πf 2β Π f 2β f 02 [ ] f < f 0 β f = 02 cos 2 π 4β ( f f 0 + β) f 0 β f f 0 + β 0 f > f 0 + β Po lo tanto: y entonces se cumplen las condiciones: h(t) = cos(2πβt) 1 (4βt) 2 sinc(t) h(0) = 1 h(t ) = cos(2πβt ) 1 (4βT ) sinc(2f 2 0 T ) = cos(2πβt ) 1 (4βT ) sinc ( 2 2 2 ) 1 H(f) = 0 f > f 0 + β (d) h(t) es de la foma: h(t) = cos(2πβt) 1 (4βt) 2 sinc(t) Como se mostó en la pate anteio, el pulso vale 1 en t = 0, y es nulo en múltiplos no nulos de T, po lo que no poduce isi. En cuanto a la ventaja que tiene este pulso fente al coespondiente al pasabajos ideal, ésta consiste en que si se poduce un eo de sinconismo ε en el destino, usando el pasabajos ideal se obtiene: y(t ) = a sinc(ε) + a sinc(t T + ε/t ) La isi en el segundo témino de esta suma puede se gande. Sin embago, usando el segundo tipo de pulso confomado, se tiene un olloff mayo, que hace que los pulsos decaigan más ápido que los del sinc que da el lpf ideal, lo cual disminuye la isi que puede poducise al dase un eo de este tipo. Ejecicio 4 Aplicando la tansfomada de Fouie y la fomula de Poisson obtenemos: P (f) 1 T δ(f n T ) = p(nt )e j2πfnt 5
que es lo mismo que P (f n) = 1 p(nt )e j2πfnt No hay isi al muestea con fecuencia si p(nt ) = δ[n], con lo que obtenemos el teoema: p(nt ) = δ[n] si y sólo si P (f n) = 1 Po la foma de la suma es fácil ve que es peiódica de peíodo, po lo tanto alcanza con poba que f P (f n) = 1 0 f Como P (f) = 0 paa f >, lo que debemos mosta es que P (f) + P (f ) = 1 0 f. Como p(t) es eal, sabemos que P (f) es eal y simético, po lo tanto la condición que buscamos se tansfoma en p(nt ) = δ[n] si y sólo si P ( f) = T P (f) lo que implica que P (f) tiene simetía vestigial con especto a f = 2 toma el valo P ( ) 2 = T 2. donde 6