UNIVERSIDAD REY JUAN CARLOS Dpto. Economía Financiera y Contabilidad II DIPLOMATURA DE CIENCIAS EMPRESARIALES CURSO SEGUNDO CUADERNILLO DE EJERCICIOS DE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Tema 2: Análisis de una variable estadística Tema 3: Números índices Curso 2009/10
2 TEMA 2: ANÁLISIS DE UNA VARIABLE ESTADÍSTICA EJERCICIO 1. Se ha preguntado a 50 familias el número de personas activas. Los resultados primarios son los siguientes: 2 1 2 2 1 2 4 2 1 1 2 3 2 1 1 1 3 4 2 2 2 2 1 2 1 1 1 3 2 2 3 2 3 1 2 4 2 1 4 1 1 3 4 3 2 2 2 1 3 3 a) Construir su tabla de frecuencias como variable discreta. b) Representarla gráficamente (para frecuencias absolutas y acumuladas). EJERCICIO 2. En el departamento de personal de una fábrica se ha realizado una investigación estadística en relación a los salarios que percibe diariamente su personal por todos los conceptos. Los resultados fueron los siguientes en euros: 19 30 20 23 24 21 20 25 26 20 21 29 28 30 19 27 29 22 25 28 20 27 26 21 30 28 27 26 19 27 25 23 22 29 21 26 24 28 30 25 25 24 26 23 29 27 28 26 27 26 22 26 27 29 28 23 22 24 26 23 Se pide obtener: a) La distribución de salarios con los datos iniciales y su representación gráfica, a través de un diagrama de barras y otro escalonado. b) La distribución de salarios, agrupando los datos en intervalos de igual amplitud, y su representación gráfica, mediante un histograma y un polígono de frecuencias acumuladas. EJERCICIO 3. Teniendo en cuenta los datos el EJERCICIO 2, calcular: a) La mediana, la moda, el primer cuartil y el segundo decil de la distribución sin agrupar. b) El salario medio: 1) Utilizando los datos originales. 2) Con los datos agrupados. 3) Comentar los resultados obtenidos.
3 EJERCICIO 4. Dada la siguiente distribución de frecuencias: Intervalos ni 2-6 2 6-12 3 12-14 5 14-18 4 a) Obtener Media, Mediana y Moda. b) Suponiendo que el primer intervalo fuera de 0-6 y el último de 14-20 comentar de qué forma influiría a los anteriores promedios. c) Calcular la media, la varianza, la desviación típica y el coeficiente de variación de Pearson. EJERCICIO 5 La tabla siguiente muestra el coeficiente de inteligencia de 480 alumnos de cierta escuela elemental. C.I. 70 74 78 82 86 90 94 98 102 106 110 114 118 122 126 Nº 4 9 16 28 45 66 85 72 54 38 27 18 11 5 2 Calcúlese: a) La media, mediana y moda b) El primer y tercer cuartil y el segundo y octavo deciles c) La desviación típica y el coeficiente de asimetría. EJERCICIO 6 Un fabricante de tubos de televisión tiene dos tipos de tubos A y B. Los tubos tienen unas duraciones medias respectivas de 1.495 h. y 1.875 h.; las desviaciones típicas son: para el tubo A de 280 h. y para el tubo B de 310 h. Determinar: a) Qué tubo tiene mayor dispersión absoluta? b) Qué tubo tiene mayor dispersión relativa?
4 EJERCICIO 7 Un estudiante obtuvo en el examen de Matemáticas la calificación de 11 y en el examen de Geografía, 23. Conociendo el resultado de la totalidad de las calificaciones obtenidas por los estudiantes examinados en ambas disciplinas. Matemáticas Geografía Puntuación ni Puntuación ni 0-4 47 0-7 0 4-10 32 7-12 23 10-14 17 12-17 24 14-30 4 17-22 20 22-27 18 27-32 15 Calcular en qué asignatura obtuvo el estudiante mejor calificación. EJERCICIO 8. Para la siguiente distribución de la variable: Número de llamadas recibidas en una centralita en periodos de un minuto X i n i ------------------------------ 0 40 1 26 2 14 3 6 4 3 5 0 6 1 --------------------------------- a) Hallar media, mediana y moda; así como el tercer cuartil y el segundo decil b) Hallar el rango y el rango intercuartílico c) Hallar la varianza y la desviación típica d) Presenta asimetrías el conjunto de estos datos? e) Calcular el coeficiente de apuntamiento. EJERCICIO 9. Los siguientes datos corresponden al número de ventas en distintos períodos de una hora en una tienda de helados: 35 47 22 15 13 28 39 41 43 36 24 23 17 19 21 31 35 37 41 43 47 5 12 19 a) Hallar media, mediana y moda. b) Hallar la varianza y la desviación típica c) Presenta asimetría el conjunto de estos datos?
5 EJERCICIO 10. Una cadena de supermercados tiene 10 tiendas en una ciudad. Los datos siguientes representan el número de paquetes de detergente de una determinada marca vendidos en una semana: 34 23 18 12 16 31 22 11 9 33 a) Calcular la media, mediana, varianza y desviación típica. b) Si se cambia el dato X = 34 por un dato arbitrariamente grande (por ejemplo X = 100), indica sin hacer ningún cálculo adicional, qué ocurrirá: (a) La media crece y la varianza se mantiene constante (b) La mediana no varía y la varianza crece. (c) La media permanece constante y la varianza crece. (d) Si sólo se consideran las 3 tiendas que menos venden, cuál es el número de paquetes vendidos por la tienda que más vende? EJERCICIO 11. Sea una variable estadística, cuya media aritmética es 36 y su desviación típica 6 unidades. Si multiplicamos a cada uno de los valores de esta variable por 2, es decir realizamos un cambio de escala cuáles son los nuevos valores de la media y la varianza? Y si, además aplicando un cambio de origen, restamos a todos los valores de la variable 3 unidades cómo quedan finalmente los valores de la media y la desviación típica? EJERCICIO 12. Los precios de los artículos en una tienda minorista se presentan con el reclamo de todo a un euro. Analizados los distintos precios de los diferentes artículos que se venden en el local se muestran en la siguiente tabla: Precio (en euros) 1 2 3 4 5 Número 30 30 10 10 20 Se pide: a) Hallar media, mediana y moda, indicando su significado. Se podría justificar, de alguna forma, la frase todo a un euro? b) Obtener una medida de dispersión absoluta y una medida de dispersión relativa. EJERCICIO 13. Un estudiante obtiene una calificación de 7 puntos en Estadística Empresarial, siendo la nota media 6,4 y la varianza 16 en esta asignatura, para el conjunto de los alumnos. En Contabilidad, donde para el conjunto de alumnos la nota media es de 8 puntos y la varianza 25, obtiene 8,25 puntos. Se pide: a) En qué asignatura ocupa una mejor posición?. Por qué? b) En cuál de las dos asignaturas existe menos dispersión respecto a las calificaciones?
6 EJERCICIO 14. Un estudiante, muy interesado en libros de texto sobre inferencia estadística, recoge los precios de mercado (en decenas de euros) de veinte libros distintos. Estos precios son: 4,4,4,4,3,3,5,2,6,7,4,3,5,4,5,7,4,4,3,5. Se pide: a) Cuál es el precio más frecuente según estos datos? Si sólo se compran los diez libros más baratos, cuál es el precio tope que se pagaría por un libro? b) Obtener la dispersión absoluta y relativa que critique el precio medio. EJERCICIO 15 Dada una distribución (x i ; n i ) con las siguientes características: media igual a tres, moda igual a cuatro, varianza igual a nueve y frecuencia total igual a sesenta. Se pide determinar dichas medidas para la distribución (2x i +5; n i ). Razónese la respuesta. EJERCICIO 16 Dada la serie numérica siguiente: 9,3,2,6,1,8,191 Calcule la medida de posición central que le parezca que mejor representará la distribución, justificando la elección efectuada. EJERCICIO 17 Sea X una variable estadística, cuya distribución de frecuencias es simétrica y campaniforme. Sabiendo que: N N 2 ( xi c) = 10000 i= 1 ; i= 1 ( x c) = 0 i N = 100 ; ; c = 4 Se pide obtener, de forma razonada, lo siguiente: a) La media, la mediana y la moda de la distribución. b) La varianza, la desviación típica y el momento de orden 2, con respecto al origen. c) Sea la variable Y definida por Y = 2X + 5; cuál de las dos tiene mayor coeficiente de variación?. EJERCICIO 18 Para la variable estadística Intención de voto, medida a través del partido político al que se piensa votar, qué medida de posición reflejaría el resumen idóneo de su distribución y por qué?. EJERCICIO 19 Es posible obtener para una variable estadística una media aritmética de 100 y una mediana de 30? Por qué?, Es bueno, malo o indiferente? EJERCICIO 20 Con la tipificación podemos determinar qué distribución, dentro de un conjunto de ellas, tiene la característica de mayor dispersión? EJERCICIO 21 Qué información podemos extraer para un valor 100 de varianza en una variable estadística? Es suficientemente grande para tomar decisiones?
7 TEMA 3: NÚMEROS ÍNDICES 1) Qué matiz aporta el uso de índices complejos ponderados frente a los no ponderados?, Es posible que un índice complejo no ponderado tome valor 95% y uno ponderado tome valor 105%, ambos calculados a partir de los mismos datos? 2) Los deflactores resuelven el problema de la comparación de las valoraciones de los bienes producidos. Si en el año 2002 la inflación ha crecido un 4% y las producciones de tres empresas, en millones de unidades monetarias, han sido 2, 3 y 4, habría que deflactar para poder comparar entre las producciones? (justificar) 3 ) En una empresa se fabrican tres tipos de artículos: A, B y C. La estadística de producción y precios de venta es la siguiente: AÑO 2000 2001 Artículo P Q P Q A 10 1.000 15 1.100 B 20 500 25 600 C 50 400 40 500 a) Calcule los índices de precios y de producción de Laspeyres, Paasche y Fisher, tomando como base el año 2000. b) Calcule los índices simples de precios para los artículos A y B. 4) Las cantidades pagadas por una empresa de seguros en concepto de indemnizaciones por incendios en el período 1999-2003, así como los correspondientes índices de precios al consumo para dicho período vienen dadas en el siguiente cuadro: Año IPC (base 1996) Indemnizaciones 1999 204,3 5430 2000 275,7 9680 2001 384,3 13940 2002 424,5 15100 2003 479,8 17590 Obtener el valor de las indemnizaciones pagadas en todos los años, en pesetas constantes de 2003. 5) Con esta información sobre los ingresos por operaciones de bolsa (en miles de euros): AÑO INGRESOS IPC 2000 1000 120 2001 1150 130 2002 1270 140 2003 1480 145 2004 1690 160 Calcular: a) Índice de ingresos con respecto a 2000 b) Volumen de ingresos en euros constantes de 2000
8 6) En 2001 la producción de una determinada fábrica aumentó un 25% respecto a la de 2000. En 2002 la producción bajó un 10% con respecto a la de 2001, pero superó en un 20% a la de 2003. Calcule los números índices simples de la producción de esta fábrica para el periodo 2001-2003: a) tomando como base el año 2000. b) tomando como base el año 2003. 7) En cierto país el I.P.C. ha tenido la siguiente evolución en los últimos años: Año : 2003 2004 2005 IPC (base 1998): 200 234 269,1 a) En qué año se produjo un mayor aumento en los precios?. b) Cuál fue el aumento de los precios en el año 2005?. 8) Una empresa dispone de dos secciones A y B. A lo largo de los últimos 5 años la cantidad producida, en miles de unidades, y los precios unitarios, en cientos de, se recogen en la siguiente tabla: SECCIÓN A. SECCIÓN B. Precios Cantidades Precios Cantidades 2001 50 10 60 11 2002 60 10 70 12 2003 70 15 80 12 2004 60 14 100 15 2005 70 20 120 10 a) Calcule los Índices de precios de Laspeyres, tomando como base el año 2001. b) Calcule los Índices de precios de Paasche, tomando como base el año 2001. c) Calcule los Índices de cantidades de Laspeyres, tomando como base el año 2001. d) Calcule los Índices de cantidades de Paasche, tomando como base el año 2001. e) Calcule los Índices de valor, tomando como base 2001. f) Compruebe que se cumplen las correspondientes relaciones entre los cinco tipos de índices calculados. 9) El aumento del I.P.C. (Índice de Precios al Consumo), en cierta región, en porcentaje respecto a la media del año anterior ha sido en el periodo 1991-2000: año: 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 % : 14,6 14,4 12,1 11,3 8,8 8,8 5,2 4,8 6,8 6,7 a) Obtenga las cifras anuales del I.P.C. durante dicho periodo con base en 1990. b) Calcule, a partir de los datos obtenidos en el apartado anterior, las cifras anuales del I.P.C. con base en el año 1996.
9 10) Las siguientes series corresponden a los beneficios distribuidos por una sociedad y al Índice de Precios al Consumo (con base en 1993) durante el periodo 1996-2000. Determine: Año Beneficios (en 10 6.) I.P.C. (base 1993) 1996 2,6 131,8 1997 3 138,7 1998 3,3 145,4 1999 3,8 155,3 2000 4,2 165,7 a) La variación relativa del beneficio distribuido por la sociedad en 2000 respecto de 1996. b) La variación relativa, en términos reales, del beneficio distribuido por la sociedad entre 1996 y 2000. c) El beneficio distribuido por la sociedad en 2000, en precios constantes de 1996. 11) La cantidad media en euros gastados por hogar en cierta región española, en bienes de consumo, semanalmente, y el I.P.C. durante el periodo 2000-2004 han sido: Determine: Años Gasto en. I.P.C. (base 1993) I.P.C. (base 2002) 2000 355 165,7 2001 380 175,5 2002 405 186 100 2003 423 105 2004 442 110 a) La serie de números índices que expresen la variación en euros corrientes, respecto del 2000, del citado gasto durante el periodo 2000-2004. b) La variación real experimentada por el gasto en bienes de consumo de un hogar de dicha región española para el periodo 2000-2004. 12) En un determinado país, el Índice de Precios al Consumo ha evolucionado de la siguiente forma: Año: 2003 2004 2005 IPC : 100 110 125 Respecto a una determinada categoría profesional se sabe que el salario mensual en la Empresa A fue para el año 2003 de 650 y el comité de empresa pactó un aumento del 10% para cada año. El salario mensual en la Empresa B fue, para el año 2003, de 700 y el comité de empresa acordó un aumento lineal de 70 cada año. a) Determine los salarios nominales, en euros corrientes, en cada una de las empresas para 2004 y 2005. b) Determine la evolución del poder adquisitivo, para esa categoría profesional en cada una de las empresas, durante dichos años. c) En cuál de las dos empresas hubo mayor pérdida del poder adquisitivo en términos relativos?
10 13) Si el valor monetario V t (V t = p it q it ) de una determinada magnitud económica es deflactado con la cifra correspondiente del índice de precios de Laspeyres, se obtiene exactamente la valoración monetaria de dicha magnitud a precios constantes del periodo base elegido? Comente el significado de la expresión a la cual se llega. Si los valores monetarios, en miles de euros, de las ventas anuales de una empresa han sido los que a continuación se expresan acompañados de las cifras de su índice de precios de Laspeyres: Año (t) : 2002 2003 2004 2005 2006 Ventas(10 6 ): 1275 1300 1391 1526 1595 L t p02 : 100 104 107 109 110 a) Obtenga los valores de la serie deflactada, en euros constantes de 2002. b) A partir del resultado teórico deducido en el primer párrafo de esta pregunta, calcule las cifras del índice de cantidad de Paasche para los distintos años con base en 2002. 14) Si sobre una determinada magnitud económica se sabe que: V = p q =500 10. L =132 P =118 L =120 6 07 07 07 00 i00 i00 P00 Q00 Q00 i a) Obtenga el índice de precios de Fisher de 2007 con base en 2000. b) Determine el valor monetario de dicha magnitud en 2007, primero en euros constantes de 2000 y segundo en euros corrientes, justificando los cálculos realizados. 15) A partir de la información estadística disponible de una empresa, se han obtenido los siguientes índices, con base 2000: Lp(01/00)= 104 Lp(02/00)= 110 Lp(03/00)= 120 Pq(01/00)= 106 Pq(02/00)= 112 Pq(03/00)= 125 Lq(01/00)= 105 Lq(02/00)= 113 Lq(03/00)= 126 Se sabe también que el valor de la producción en 2000, es decir, V 00 = p i00 *q i00, fue de 15 millones de euros. Calcular para los años 2001, 2002 y 2003: a) Los índices de precios de Paasche con base 2000. b) El valor de la producción, expresada en millones de euros corrientes. c) El valor de la producción, expresada en millones de euros constantes de 2000. 16) Describa la situación en la que es apropiado deflactar un conjunto de bienes y/o servicios y explique las razones para hacerlo. 17) En cierto país, un ciudadano con un sueldo anual de 1000 unidades monetarias pasó, en un año concreto, a ganar un 50% más. Si en ese mismo periodo el IPC se duplicó, calcule la evolución que experimentó su poder adquisitivo.