Curso 7/8 Grado en Ingeniería Química Industrial Matemáticas I - Problemas Tema 5 Aplicaciones Lineales Núcleo e Imagen. Para las siguientes aplicaciones lineales : calcula tanto el núcleo como la imagen e indica las propiedades de la aplicación (ver si es inyectiva y suprayectiva). a) R ( ) ( + ). b) R ( ) ( + +). c) R R 4 ( ) ( + ). d) R 4 R ( ) ( +8 ). e) R R ( ) ( + + ). f ) R ( ) ( + + + ). Solución: (a) ker () h( )i, Im () h( ) ( )i, noinyectiva,nosuprayectiva.(b) ker () hi, Im () R,biyectiva.(c)ker () hi, Im () h( ) ( ) ( )i, inyectiva, no suprayectiva. (d) ker () h( 8 ) ( )i, Im () R,noinyetiva,suprayectiva.(e) ker () h( ) ( )i, Im () h( )i, no inyetiva, no suprayectiva. (f) ker () h( )i, Im () h( ) ( )i, no inyetiva, no suprayectiva.. Sea un endomorfismo de R cuya matriz asociada respecto de la base canónica es Halla la matriz asociada a respecto de la base {( ) ( ) ( )} Solución: () () (). Se considera la aplicación lineal que cumple que DadasbasesrespectivasdeR y R se pide obtener las matrices asociadas siguientes : R R ( ) ( ) ( ) ( ) {( ) ( )} {( ) ( ) ( 4)} () () () siendo la base canónica de R y la base canónica de R. Solución: () () 6 7 9 7 () 9 4 5
4. Supongamos que tenemos una aplicación lineal : R R y que consideramos en el primer espacio vectorial la base canónica y en el segundo una base. Supongamos que µ () Dado el vector ( ) R halla (). Halla los posibles R tales que () (4). Solución: () () () {( +) R} 5. Consideremos en R la base y el endomorfismo tal que siendo R tales que ( + ) +. { ( ) ( ) ( 4)} () a) Justifica que y. b) Calculalamatrizde respecto de la base canónica y su expresión analítica. c) Calcula Ker eim. Es inyectiva? Es suprayectiva? Solución: a) + ( ), + ( ) ( + ) + (( ) )( ) b) + () () () 4 4 6 6 4 4 8 8 c) ker ( ) Im ( 4) ( ) No inyectiva, no suprayectiva. 6. Determina la matriz asociada en las bases canónicas para cada una de las siguientes aplicaciones lineales: a) En R la proyección ortogonal de base ( ) ( ) b) En R la simetría ortogonal de base ( ) ( )
Solución: a) Calcularemos la proyección para cualquier vector R,tenemos +, con, (). Como ( ) + ( ). h( )i h + ( )i h ( )i + h ( )i h ( )i h ( ) + ( ) ( )i h( ) ( )i + h( ) ( )i + h ( )i h + ( )i h ( )i + h ( )i h ( )i h ( ) + ( ) ( )i h( ) ( )i + h( ) ( )i Hay que resolver el sistema + + h ( )i para encontrar los valores de y + h ( )i por tanto h ( )i h ( )i h ( )i h ( )i () h ( )i h ( )i ( ) + h ( )i h( )i ( ) La matriz de proyección respecto a las bases canónicas se obtiene tomando igual a ( ), ( ) y ( ) respectivamente ( ) h ( )i h ( )i ( ) + h ( )i h ( )i ( ) ( ) µ ( ) ( ) h ( )i h ( )i ( ) + h ( )i h ( )i ( ) ( ) + µ ( )
( ) h ( )i h ( )i ( ) + h ( )i h ( )i ( ) ( ) µ ( ) ylamatrizserá b) Como el espacio es el mismo que para el apartado ylamatriz es la proyección ortogonal tenemos ( )+ siendo,esdecir ( ) La simetría se obtiene cambiando por,portanto ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) o en forma matricial 7. Aplicaciones Lineales (Matrices) para la derivada y la integral. Consideremos los espacios vectoriales P (R) y P (R) de los polinomios de grado menor o igual que y, respectivamente. En el primero de ellos tomamos la base ª y en el segundo la base ª.Sepide: a) Matriz de la derivada. Consideremos la aplicación lineal que asocia a cada polinomio su derivada, es decir, : P (R) P (R) () 7 ()() : () Comprueba que la matriz asociada a en las bases y es B B () Matriz de la integral. Consideremos ahora la aplicación lineal que asocia a cada polinomio su integral, es decir, : P (R) P (R) () 7 ()() : R () Comprueba que la matriz asociada a en las bases y es B B () b) Calcula Ker yker. c) Comprueba que B B () B B (),con la matriz identidad. Nótese que esta identidad matricial es una epecie de versión matricial del Teorema Fundamental del Cálculo: Derivada de la integral de una función () (), es decir, derivación e integración son operaciones inversas. Solución: 4
a) Derivando cada polinomio de ª Integrando cada polinoimio de ª b) Para el operador Derivada ker El núcleo está formado por los polinomios constantes. Para el operador integral ker c) Sólo hay que multiplicar las matrices B B () B B () ( ) ( ) 8. Aplicaciones Lineales (Matrices) para los gráficos por ordenador. Los gráficos por ordenador tratan con imágenes. Estas imágenes se mueven (transladan), cambian de escala, se giran y se proyectan (imágenes D sobre planos e imágenes D sobre rectas).estas tres últimas transformaciones en el espacio tridimenasional se representan matemáticamente por medio de las siguientes aplicaciones lineales: Cambio de escala (Scaling o Rescaling en inglés): : R R ( ) 7 () :( ) con,. Calcula la matriz asociada a en la base canónica de R. Solución: Hay que calcular ( ) para () ( ( ) ( ) ( )) Rotación: una rotación de ángulo en el plano se puede realizar por medio de la matriz µ cos sin sin cos Cómo es la matriz que permite rotar vectores en el plano? Solución: Si el vector gira en el plano YZ, lo hará manteniendo la coordenada correspondiente fija cos sin sin cos Proyección: en los cursos de Álgebra Lineal casi todos los planos pasan por el origen. En la vida real, casi ninguno. Dado un vector unitario ( ) y otro vector fijo ( ), la proyección de cualquier vector tridimensional ( ) sobre el plano de ecuación + + + 5
+ se calcula multiplicando el vector de coordenadas ( ) por la matriz 4 4 (llamada de proyección) µ µ µ Comprueba que la proyección del vector ( ) sobre el plano se puede calcular mediante el procedimiento anterior. Solución: En primer lugar calculamos la proyección del vector sobre el plano en la forma usual. El plano es el espacio vectorial definido mediante la ecuación implícita y una base de ese espacio vectorial sería h ( ) ; ( )i Como esta base es ortonormal; entonces si +,con la proyección del vector sobre este espacio, entonces h i + h i ( ) Veamos ahora el segundo procedimiento. En este caso, como el plano es el vector unitario es ( ), dedonde de donde ylamatriz sería ( ) µ µ µ En este caso el vector es el vector nulo, luego la matriz de proyección es y la proyección de ( ) sería cuyas primeras coordenadas coinciden con las obtenidas en el apartado anterior. 6
Aunque en principio, una translación es más fácil, sin embargo las translaciones no son aplicaciones lineales. En efecto, comprueba que si ( ) es un vector fijo, entonces la aplicación : R R ( ) 7 () :( + + + ) no es lineal. Por ello, una traslación en el espacio tridimensional no se puede representar por medio de una matriz. Estadificultad se soluciona aumentando en uno el tamaño de la matriz de modo que la translación de vector ( ) se calcula por medio de la matriz es decir, comprueba que () + Las 4 coordenadas ( ) del vector tridimensional ( ) se llaman coordenadas homogéneas de. Solución: No lineal puesto que (), que sólo es cero si es el vector nulo, luego en general no es lineal. Simplemente hay que multiplicar la matriz por el vector. c Silvestre Paredes Hernández R 7