EXAMEN DE FISICA I (GTI)

1 EXAMEN DE FISICA I (GTI) 3-1-18 1) Un cuepo pate del eposo, aumenta su velocidad con una aceleación de 1m/s duante 5 m, ecoe otos 1 m con velocidad constante, y decelea unifomemente duante m hasta alcanza el eposo. Repesenta a(x), v(x), x(t), v(t), a(t) (1). Un cuepo pate del eposo, aumenta su velocidad con una aceleación de 1m / s duante 5 m, ecoe otos 1 m con velocidad constante, y decelea unifomemente duante m hasta alcanza el eposo. Repesenta a(x), v(x), x(t), v(t), a(t). SOLUCIÓN Los datos son los siguientes: t x v t A? x A 5 m v A? t B? x B 6 m v B v A t C? x C 8 m v C a A 1 m/s a AB a BC? Tamo AB, movimiento unifomemente aceleado: (v A ) - (v ) a A (x A - x ) v A 1 m/s Po ota pate v A v + a A (t A - t ) t A 1 s Tamo BC, movimiento unifome: (x B - x A ) v A (t B - t A ) t B 11 s Tamo CD, movimiento unifomemente deceleado: (v C ) - (v B ) a BC (x C - x B ) a BC -,5 m/s Además v C v B + a BC (t C - t B ) t C 15 s 1 1 a(t) a(x) a(m/s ) -1 a(m/s ) -1 - - -3 5 1 15 t (s) -3 1 3 5 6 7 8 x (m)

1 8 v(t) 1 8 v(x) v(m/s) 6 v(m/s) 6 5 1 15 t (s) 1 3 5 6 7 8 x (m) 1 8 x(t) 6 x(m) 5 1 15 t (s) ) MUELLE VERTICAL: Colgamos un muelle de longitud inicial Lo y masa despeciable de un techo. Si en la pate infeio del muelle situamos una masa m de modo que el conjunto queda en eposo, a) Cuánto se estia el muelle? Si desplazamos la masa una distancia b de esta nueva posición de equilibio y soltamos b) Explica el tipo de movimiento que ealiza. c) Encuenta la ecuación del movimiento. a) El muelle estaá en equilibio estático paa una posición y que cumpla: mg - y (3.1) y mg

3 b) La masa ealizaa un movimiento amónico simple (MAS) entono a la nueva posición de equilibio, po lo que la amplitud seá b. Además, la fecuencia angula es como la de una mas unida a un muelle hoizontal: w m c) Paa enconta la ecuación del movimiento aplicamos la segunda ley de Newton cuando la masa esta oscilando en una posición cualquiea y y + y mg - y m a mg - (y + y ) m a mg - y - y m a Teniendo en cuenta la ecuación (3.1) - y m d y dt m d (y +y") dt m d y" dt d y" dt + m y" Nos queda una ecuación difeencial de º oden cuya solución es y" A cos $ & % m t + # ' ) ( El efecto de la gavedad es desplaza la posición de equilibio. El muelle ealizaa un MAS entono a esta nueva posición de equilibio (y ) con el mismo T que el de un muelle hoizontal. En este caso, si especto a esta posición hemos estiado el muelle una longitud b, la amplitud seá A b y po lo tanto: y " b cos $ & % m t + # ' ) (

3) Detemina la posición del cento de gavedad de la placa homogénea de la figua: Recodando la definición de cento de masas de una supeficie homogénea x ds x CM y teniendo en cuenta que ds dy, donde este difeencial ds de áea se intega en la supeficie delimitada po la cuva y y el eje x, llegamos a la ecuación de patida: x CM xdy dy x dy dy x[ y] [ y] x... donde pimeo hemos integado dy ente el eje x y la cuva ( ) y posteiomente integaemos la vaiable x ente y.... x " $ # x5 5 % X " $ max x # % X 5 max 5 5 Pocediendo de foma análoga paa la coodenada y: y CM y ds ds ydy dy y dy dy " y # $ % [ y] x 6 x 6 x 3 " # x 7 7 $ % X " $ max x # % 7 7 X 7 max 1 1 3 7 Y max

5 ) Una pesona sostiene el eje de una ueda de bicicleta que está giando mientas se encuenta en una platafoma giatoia. Si inicialmente se encuenta en eposo mientas que la ueda gia en un plano hoizontal tal con un momento angula inicial L apuntando hacia aiba explica que ocue si la ueda se inviete 18º alededo de su cento. Supone que el momento de inecia del conjunto platafoma-pesona-ueda especto al eje de gio de la platafoma es I. (.8). Qué pincipio físico has aplicado?(.). El momento angula de la ueda apunta hacia aiba, eso significa que la ueda esta giando en sentido antihoaio, paa inveti el momento angula, la pesona tiene que aplica un pa de fuezas sobe el eje la ueda, po lo que (po el pincipio de acción y eacción) el eje aplica un pa de fuezas sobe la pesona, que hace que la pesona comience a gia. Como sobe el conjunto platafoma-pesona-ueda no actúa ninguna fueza extena, el momento angula del conjunto se conseva: L i L f L i pesona + L i ueda L f pesona + L f ueda + L L f pesona + - L L f pesona L L L Además, como el momento angula es igual al momento de inecia po la velocidad angula ( L I w ), aplicándolo a la pesona: L I w pesona w pesona L I Es deci la pesona adquiee un momento angula L y se pone a gia en sentido antihoaio El pincipio físico que hemos aplicado es el de consevación del momento angula. PROBLEMAS 1) De un sopote penden dos esfeas iguales de masa m mediante unas cuedas ligeas y flexibles de longitud L. La pimea de las esfeas se desplaza hasta que la cueda está extendida hoizontalmente como se muesta en el diagama, y se suelta desde el eposo. a) Calcula la velocidad que alcanza la esfea cuando esta diectamente debajo del punto de suspensión en la pate infeio de su oscilación (.). b) Detemina la tensión de la cueda en ese punto (.).

6 La esfea colisiona de foma elástica (e 1) con la segunda esfea que quedo suspendida ( ecoda que e - v B - v A v B - v A ). c) Detemina la velocidad de las dos esfeas después de la colisión (.). Una espiga hoizontal colocada a L/3 debajo del punto de suspensión, como muesta la figua, intecepta el movimiento de la cueda de la segunda esfea, lo que hace que la esfea se mueva en una tayectoia cicula alededo de aquella, d) Cuál es la velocidad de la esfea cuando alcanza el punto diectamente encima de la espiga? (.). e) Cuál es la tensión de la cueda en ese punto? (.). f) A que distancia de po debajo del sopote tendía que colocase la espiga paa que la cueda se consevase tensa en todos los puntos de la tayectoia de la cueda? (.) a) Aplicando el pincipio de consevación de la enegía ente los puntos inicial y final: Eci +Epi Ecf + Epf + mgl ½mv + v gl Donde hemos tomado h en la posición en que la bola esta debajo del punto de suspensión. b) Aplicando la segunda ley de Newton, la tensión menos el peso es igual a la masa po la aceleación nomal: T P ma N T P + m v R gl mg + m L mg + mg 3mg c) Aplicando las ecuaciones del consevación del momento lineal y del coeficiente de estitución: mv 1 + mv 1+ mv v 1 v 1 + v 1 - v - v 1 - v 1 v 1 - v 1+ v Sumando las dos ecuaciones v 1 v Po lo que v v 1 v 1 Es deci, la pimea bola se queda paada y toda la enegía cinética se tansmite a la segunda bola. d) Como no hay pedida de enegía en la colisión, aplicamos el pincipio de consevación de la enegía ente los puntos inicial, antes de solta la bola y el final, con la bola encima de la espiga:

7 Eci +Epi Ecf + Epf + mg(l/3) ½mv + v 3 gl Donde hemos tomado h en la posición de la bola encima de la espiga (que se encuentaa a L/3 po debajo del punto de suspensión). e) Aplicando la segunda ley de Newton, la tensión mas el peso es igual a la masa po la aceleación nomal: T + P ma N T m v R - mg m 3 gl - mg mg - mg mg 1 3 L f) Si la espiga la situamos a una distancia h po debajo del punto de suspensión, el adio de gio de la bola entono a la espiga seá L-x, y cuando la bola este encima de la espiga, estaá a una distancia L (L-x) del punto de suspensión. Aplicando ota vez el pincipio de consevación de la enegía ente la posición de la bola a al altua del punto de suspensión y la bola justamente encima de la espiga (en esta posición tomamos h ): Eci +Epi Ecf + Epf + mg [L (L-x)] ½mv + v g(x-l) Una vez conocida la velocidad, aplicamos la segunda ley de Newton: la tensión mas el peso es igual a la masa po la aceleación nomal: T + P ma N T m Si la cueda esta tensa T v R - mg v v R g " gr g(x-l) g (L-x)] x - L L - x 5x 3L x 3 5 L ) Tenemos un conjunto de cuato poleas unidas ente si que pueden gia entono a un eje, tal como muesta la figua: a) Detemina: el momento de inecia del conjunto. Considea las poleas como discos unifomes (.). Si de cada polea enollamos cuedas de las que penden masas, tal como muesta la figua b) Calcula el valo de la masa m paa que el sistema esté en equilibio estático (.),

c) Si cotamos la cueda que sujeta a la masa m, detemina las ecuaciones de la aceleación angula de las poleas α y de las tensiones de las cuedas T i (en función de las masas, los adios, g y el momento de inecia del conjunto de poleas). Posteiomente, usando dichas ecuaciones detemina los valoes 1 3 numéicos de α y de T i. (1), d) Si todas las masas estaban inicialmente a m del suelo antes de cota la cueda, al cota la cueda, que dos masas (de ente las cuato) llegan pimeo al suelo, y con que difeencia de tiempos lo hacen. (.), Datos: 1 1 cm, m P1 g, m 1 1 g m m m 1 m 3 cm, m P 5 g, m 5 g 3 3 cm, m P3 1 g, m 3 g cm, m P g, m????? SOLUCION a) El momento de inecia de un cilindo es I (1/)m. En este caso tenemos cilindos unidos y el momento de inecia del conjunto es la suma de los momentos de inecia: I Ii (1/) (.1) + (1/)5 (.) + (1/)1 (.3) + (1/) (.).16 g m b) Si el conjunto esta en estado estático, las masas no se mueven, po lo que las tensiones de las cuedas seán iguales a los pesos de las masas que cuelgan de ellas. F T 1 m 1 g, T m g, T 3 m 3 g y T m g, m 1 T 1 m 1 g Estas tensiones, a su vez, actúan sobe las poleas oiginando momentos. La suma de todos los momentos tiene que se ceo, ya que las poleas no gian: 3 M m 1 g 1 + m 3 g 3 m g m g 1 m (1.1 +.3 5.)/.3 3 g Hemos consideado positivos los momentos que tatan de gia las poleas en sentido hoaio y negativos los que tatan de gialas en sentido antihoaio. T T T 3 T 1 c) Al cota la cueda unida a la masa m los momentos no se cancelan y el sistema empezaa a gia con una aceleación angula α., mientas que las masas empezaan a desplazase con una aceleación lineal a i α i Tenemos cuato incógnitas: las tes tensiones y la aceleación angula α.. Po lo tanto tenemos que plantea cuato ecuaciones, tes paa las taslaciones de las masas y una paa la otación de la polea: 8

9 m 1 g - T 1 m 1 a 1 T 1 m 1 g - m 1 a 1 T 1 m 1 (g - α 1 ) m 3 g - T 3 m 3 a 3 T 3 m 3 g - m 3 a 3 T 3 m 3 (g - α 3 ) T m g m a T m g + m a T m (g + α ) T 1 T 3 a T m 1 m3 m m 1 g m g a 1 a 3 m 3 g T 1 1 + T 3 3 T Iα Substituyendo las tensiones en esta ecuación 3 1 m 1 (g - α 1 ) 1 + m 3 (g - α 3 ) 3 - m (g + α ) Iα m 1 g 1 + m 3 g 3 - m g Iα + m 1 1 α + m α + m3 3 α " (m 1 1 + m 3 3 - m )g I + m 1 1 + m + m 3 3 T T 3 T 1 sustituyendo los valoes de I, las masas y los adios: " (1.1 +.3-5.) 9.81.16 + 1.1 + 5. 13. ad/s +.3 Sustituyendo este valo en las ecuaciones de las tensiones: T 1 1 (9.81-13..1) T 1 86.6 N T 3 (9.81-13..3) T 3 31.1 N T 5 (9.81 + 13..) T 6.9 N d) Las aceleaciones de las masas seán: a 1 α 1 13..1 1.3 ms - a α 13...688 ms - (ascendente) a 3 α 3 13..3.3 ms - a g 9.81 ms - (caída libe) Las masas que pimeo llegan al suelo son m y después m 3. El movimiento es unifomemente aceleado po lo que e v t + (1/)at ; además como todas las masas paten del eposo, v y el espacio a ecoe es e metos t e a

1 aplicándolo a m y m 3 : t t 3 9.81.639 s.3.996 s y la difeencia de tiempos es t 3 t.996.639.357 s 3) Una compueta unifome ectangula de masa M, altua y anchua b está sujeta po goznes en A. Si el líquido de densidad ρ alcanza una altua, detemina: a) La fueza que el líquido ejece sobe la compueta (en función de ρ, g, b, y θ) (.). b) El punto de aplicación de la fueza esultante (en función de ) (.). c) el ángulo que alcanza la compueta especto de la vetical θ (en función de ρ, b, y M (.). Si el líquido es agua, m, b.5 m y M 1 g, calcula numéicamente: d) La pesión debida al agua en el fondo del ecipiente (.). e) La fueza que ejece el agua sobe la compueta y el ángulo θ utilizando las ecuaciones encontadas en los apatados a) y c) espectivamente (.). A a) Consideamos una fanja de la compueta de goso dy y longitud b situada a una distancia y del gozne y po lo tanto a una pofundidad ycosθ, la fueza que actúa sobe la misma seá la pesión ejecida po el agua (P ρgycosθ) multiplicada po la supeficie: y dy df Pds Pbdy ρgycosθ bdy Paa calcula la fueza total sobe la pesa debemos intega df ente la supeficie del agua y el extemo infeio de la compueta: df b F df "gycos# bdy "gbcos# ydy "gbcos# y [ ] 1 "gbcos# b) El punto de aplicación de la fueza F sobe la pesa seá aquél en el que el momento de la fueza sea igual a la suma de los momentos que actúan sobe cada fanja (el momento de la esultante esultante de los momentos)

11 El momento especto al punto A de un df actuando sobe una fanja de anchua dy a una distancia y seá: A y dm df y ρgycosθ bdy y dy df donde hemos tomado el valo de df calculado en el apatado anteio. Paa calcula el momento total integamos ente el bode supeio e infeio de la pesa: [ ] M dm "gycos# bdy y "gbcos# y y 3 dy "gbcos# 3 M (1/3) ρgbcosθ 3 Si el punto de aplicación esta a una distancia d especto al gozne A de la pesa, tiene que veificase que Fd M d M F (1/3) g bcos" 3 (1/) g bcos" d (/3) d) La compueta es unifome, po lo que el punto de aplicación del peso esta situado en el cento de la misma, a una distancia / del gozne. En el equilibio, la compueta no ota, po lo que M A Mg (/) senθ - F (/3) sen 9 Mg (/) senθ (1/) ρgbcosθ (/3) M (senθ/cosθ) ρb (/3) /3 A / F Mg tg "b 3M d) La pesión debida al agua a una pofundidad H es ρgh, en nuesto caso H : P ρg 1 3 9.81 19.6 1 3 Pascales.1937 atm e) F (1/) ρgbcosθ (1/) 1 3 9.81.5 cosθ 981 cosθ N tg "b 3M 1.5 3 1 3 θ actg (/3) θ 53.13