VÍCTOR HERNÁNDEZ R Y EDUARDO RAMOS ILDEFONSO YÁÑEZ PROBABILIDAD Y SUS APLICACIONES EN INGENIERÍA INFORMÁTICA Segunda edición EDICIONES ACADÉMICAS
Primera edición: noviembre de 2005 Segunda edición: octubre de 2007 Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de este libro puede reproducirse o transmitirse por ningún procedimiento electrónico o mecánico, incluyendo fotocopia, grabación magnética, o cualquier almacenamiento de información y sistema de recuperación, sin permiso escrito de Ediciones Académicas, S. A. Víctor Hernández, Eduardo Ramos e Ildefonso Yáñez EDICIONES ACADÉMICAS, S. A. Bascuñuelos, 13 - P - 28021 Madrid ISBN: 978-84-96062-99-3 Depósito legal: M. 42.174-2007 Impreso por Fernández Ciudad, S. L. Coto de Doñana, 10-28320 Pinto (Madrid) Impreso en España / Printed in Spain
Índice general Prólogo xi 1. Experimentos aleatorios 1 1.1. Qué significa aleatorio?..... 1 1.2. Cálculo de probabilidades y ciencia de los computadores. 2 1.3. Nuestra experiencia del azar.... 3 1.4. Evidencia empírica del azar..... 4 1.5. Modelo matemático.... 5 1.5.1. Espacio muestral...... 6 1.5.2. Álgebra de sucesos..... 7 1.5.3. Probabilidad... 10 1.6. Propiedades de la probabilidad... 12 1.7. Asignación de probabilidades.... 15 1.8. Tres técnicas combinatorias..... 17 1.8.1. Contar con los dedos.... 17 1.8.2. Contar palabras... 18 1.8.3. Contar subconjuntos con k elementos.... 21 1.9. Los instrumentos del probabilista...... 24 1.9.1. Monedas..... 25 1.9.2. Dados... 26 1.9.3. Bolas y urnas... 26 1.9.4. Ruletas...... 27 1.10. Plantear y resolver problemas.... 27 1.11. Método de cálculo por el complementario...... 30 Ejercicios... 35 Pequeño curso de combinatoria en forma de ejercicios... 36 Soluciones... 39 2. Modelos aleatorios dinámicos 49 2.1. Modelos estáticos y modelos dinámicos... 49 2.2. Probabilidades condicionadas.... 51 2.2.1. Propiedades de la probabilidad condicionada... 54 2.3. Cálculo dinámico de la probabilidad de la intersección. 54
VIII ÍNDICE GENERAL 2.4. Diagramas de árbol.... 56 2.5. Fórmula de la probabilidad total...... 57 2.6. Fórmula de Bayes..... 59 2.6.1. Análisis de imágenes.... 60 2.7. Independencia de dos sucesos... 63 2.8. Independencia de varios sucesos...... 64 2.8.1. Propiedades.... 66 2.8.2. Cálculo con sucesos independientes..... 66 2.9. Experimentos independientes.... 70 2.10. Pruebas independientes e ilimitadas.... 73 2.11. Métodos recursivos para calcular probabilidades... 76 2.11.1. Formalismo del método recursivo...... 80 2.12. Diagramas de estados... 83 2.13. Método para resolver ecuaciones en diferencias... 85 Ejercicios del capitulo 2..... 87 Soluciones... 91 3. Variables aleatorias discretas 105 3.1. Concepto de variable aleatoria... 105 3.2. Distribución de una variable aleatoria discreta.... 108 3.2.1. Distribución de Y = g(x)... 111 3.3. Distribución de una variable condicionada por un suceso. 112 3.4. Esperanza matemática de una variable aleatoria discreta.. 113 3.5. Esperanza de una función de una variable aleatoria... 115 3.5.1. Esperanza de la función lineal... 116 3.6. Entropía de una variable aleatoria..... 116 3.7. Momentos y varianza de una variable aleatoria.... 118 3.8. Funciones generatrices... 118 3.9. Modelos de distribuciones discretas.... 121 3.9.1. Distribución de Bernoulli...... 121 3.9.2. Distribución binomial... 123 3.9.3. Cálculo de las probabilidades binomiales... 125 3.9.4. Distribución geométrica...... 125 3.9.5. Distribución de Poisson...... 127 3.9.6. Cálculo de las probabilidades de Poisson... 128 3.9.7. La distribución de Poisson es límite de pruebas independientes... 129 Ejercicios del capitulo 3..... 133 Soluciones... 137 4. Vectores aleatorios discretos 155 4.1. Paradigmas... 155 4.2. Distribución conjunta de un par de variables aleatorias.. 156 4.3. Cálculo con la función de probabilidad conjunta... 157
ÍNDICE GENERAL IX 4.4. Distribuciones marginales...... 157 4.5. Valor esperado de una función f (X,Y )... 159 4.6. Esperanza de la suma de dos variables... 160 4.7. Covarianza de dos variables..... 161 4.8. Propiedades de la esperanza matemática... 161 4.9. Distribuciones condicionadas.... 162 4.10. Variables independientes...... 163 4.11. Conjuntos y sucesiones de variables independientes... 166 4.12. Esperanza del producto de variables independientes... 167 4.13. Varianza de la suma de variables independientes... 168 4.14. Desigualdad de Chebyshev..... 168 4.15. Ley de los grandes números.... 170 4.16. Cálculo de esperanzas por condicionamiento..... 171 4.17. Cálculo de probabilidades por condicionamiento... 174 Ejercicios del capitulo 4..... 177 Soluciones... 181 5. Variables aleatorias continuas 197 5.1. Modelos continuos.... 197 5.2. Puntos al azar en el continuo.... 198 5.3. Probabilidades geométricas..... 200 5.4. Variables aleatorias continuas.... 202 5.5. Interpretación gráfica del cálculo con funciones de densidad 206 5.6. Esperanza matemática de una variable continua... 208 5.7. Esperanza matemática de una función... 209 5.8. Distribución uniforme en un intervalo... 210 5.9. Distribución exponencial...... 211 5.10. Distribución normal.... 212 5.10.1. Cálculo con distribuciones normales..... 213 5.11. La distribución natural de los números... 215 5.12. Variables mixtas...... 217 5.13. Funciones de distribución... 218 5.14. Tres modelos de funciones de distribución... 221 5.14.1. Variables discretas..... 221 5.14.2. Variables continuas..... 222 5.14.3. Variables mixtas...... 223 5.15. Función de distribución de Y = g(x)... 225 5.16. Distribución de una variable condicionada por un suceso. 229 Ejercicios del capitulo 5..... 233 Soluciones... 237
X ÍNDICE GENERAL 6. Vectores aleatorios continuos 263 6.1. Vectores aleatorios continuos y densidades conjuntas... 263 6.2. Función de distribución conjunta...... 265 6.3. Distribuciones marginales...... 268 6.4. Variables independientes...... 272 6.5. Funciones de densidad condicionadas... 273 6.6. Modelos dinámicos.... 275 6.7. Densidad de la suma de variables independientes... 278 6.8. Densidad de una función g(x,y )... 280 6.9. Esperanza matemática de una función g(x,y )... 284 6.10. Covarianza entre X e Y... 287 6.11. Cálculo de la densidad de un vector función de otro... 290 Ejercicios del capitulo 6..... 295 Soluciones... 301 7. Simulación estocástica 327 7.1. Introducción... 327 7.2. Generadores de números aleatorios y pseudoaleatorios.. 329 7.3. Generadores de congruencias lineales (GCL).... 330 7.4. Transformaciones generales.... 333 7.5. Simulación de variables normales..... 337 7.6. Simulación de variables discretas...... 339 7.7. Simulación de permutaciones al azar.... 342 Índice alfabético 345
Prólogo Este libro está pensado para servir de texto en un curso de introducción a la Probabilidad de un cuatrimestre de duración, para estudiantes de Ingeniería informática. Contiene los conceptos más elementales que un ingeniero debe poseer acerca de los modelos discreto y continuo de la Probabilidad, con un nivel suficiente para comprender sus aplicaciones. Una de nuestras pretensiones es mostrar al lector que la Probabilidad no sólo interesa al ingeniero informático como herramienta necesaria para la Estadística, sino que los métodos probabilísticos tienen otras aplicaciones alaciencia de la computación que son propias y no requieren ideas estadísticas. Por ello, hemos incluido ejemplos que introducen el análisis de imágenes o el de algoritmos, y hemos dedicado el capítulo 7 a introducir la simulación estocástica, cuyos métodos teóricos son una consecuencia de los aprendidos en el capítulo 6. Desde el punto de vista metodológico, en ocasiones, hemos alterado la presentación de algunos conceptos y herramientas respecto de la que es más habitual en los libros de texto elementales, con el fin de adaptarnos a nuestros lectores y aprovechar ideas bien conocidas por los programadores e informáticos. Así, hemos hecho especial hincapié en los métodos recursivos para calcular probabilidades, frente a los de enumeración directa, y en el uso de diagramas de estado. El manuscrito original y todos sus gráficos ha sido preparado con LATEX.