La luz es una onda (electromagnética)

XXVII OLIMPIADA NACIONAL DE FÍSICA León, Guanajuato. 20-24 de noviembre del 2016 Prueba experimental La luz es una onda (electromagnética) (20 puntos) En 1800 Thomas Young demostró experimentalmente que la luz era una onda. Años después, en1865, James Clerck Maxwell mostró que la luz es realmente una onda electromagnética, como lo son también las ondas de radio, las microondas, los rayos ultravioleta, los rayos X y los rayos gamma. La manera más sencilla de demostrar que cierto fenómeno es una onda, es haciendo evidente que puede mostrar las propiedades de interferencia y difracción. Veamos. En su forma más simple, una onda es una perturbación que se repite en el tiempo y en el espacio. Es decir, si pasa una onda por un punto del espacio, el tiempo que tarda en repetirse se le llama el periodo (τ), y a su inverso la frecuencia (ν = 1/τ). Por otro lado, si pudiéramos tomarle una foto a la onda, veríamos que es un patrón espacial que se repite cada distancia λ, llamada la longitud de onda de la onda: El fenómeno de interferencia aparece cuando dos ondas se superponen: (a) si las crestas coinciden, se suman y se llama interferencia constructiva; (b) si las crestas coinciden con los valles, se cancelan y se llama interferencia destructiva: Si una onda de luz incide sobre una pantalla con dos finas rendijas, entonces aparece un patrón de interferencia con zonas brillantes y zonas oscuras: las brillantes son las regiones de interferencia constructiva y las oscuras de interferencia destructiva, de las ondas que pasaron por las rendijas: 1

El fenómeno de difracción es cuando se tiene interferencia, no de dos fuentes sólamente, sino de un número muy grande de ellas. Por ejemplo, si en vez de dos rendijas separadas finamente, se tienen muchas rendijas separadas todas entre ellas por la misma distancia, entonces se observa lo siguiente: Este es el problema que estudiarás en este examen experimental. La fuente de luz es un láser rojo y dicha luz es una onda electromagnética de longitud de onda λ. El propósito principal será encontrar el valor de dicha longitud de onda. Al dispositivo con muchas rendijas se le llama rejilla de difracción. Para ser más precisos, cuando luz de longitud de onda λ incide sobre una rejilla, la interferencia múltiple o difracción debida al gran número de rendijas, provoca que la luz interfiera constructivamente sólo en unos cuantos puntos en una pantalla, llamados órdenes de difracción: 2

Sea d la separación entre las líneas o rendijas de la rejilla de difracción. Sea λ la longitud de onda de la luz. Para este problema se pueden observar 5 puntos de órdenes de difracción en la pantalla, uno en la misma dirección de incidencia del láser (orden n = 0), dos cercanos e intensos (orden n = 1) a un ángulo θ1, medido desde la dirección incidente; y dos más alejados (orden n = 2) y muy tenues a un ángulo θ2. Se puede demostrar que se obedece la siguiente ecuación (relación de Bragg): d sen θn = nλ con n = 1 y n = 2 en nuestro caso. Por sencillez y por razones experimentales, concentrémonos en el orden n = 1, es decir en los primeros dos puntos cercanos al punto central. Llamemos θ al ángulo que hacen los haces difractados con el haz incidente. Se obedece, d sen θ = λ El propósito del problema es, dado d, y obteniendo el ángulo θ de un análisis experimental y estadístico, obtener la longitud de onda λ. Con este resultado, al final lo usarás para una aplicación práctica. Material: Un láser rojo de longitud de onda λ a determinar. Nota: De manera al azar te puede tocar un láser en una caja gris. El láser se enciende con el interruptor. Sin embargo, también te puede tocar un láser con un cable para conectarse a una caja negra, que también tiene un interruptor. Asegúrate de que tu láser funciona. Avisa inmediatamente si no lo puedes hacer funcionar. Recuerda nunca mirar de frente al haz láser. Una rejilla de difracción montada en un marco de cartoncillo. Nota que tiene las leyendas 500 lines/mm y linear diffraction grating. Lo último quiere decir rejilla de difracción lineal y lo primero 500 líneas/mm. Es decir, aunque a simple vista no se percibe, la rejilla es un conjunto de finísimas rendijas o líneas paralelas, con 500 líneas por milímetro. Un pedazo de tela amarilla montada en un marco de cartoncillo. Dos sujetadores o clips negros de tamaño mediano. Estos son para asegurar la rejilla o la tela en sus marcos. Observa la fotografía correspondiente. Una pantalla de 30 12 cm, y dos sujetadores o clips de tamaño grande para sujetar la pantalla de manera vertical. Observa la fotografía correspondiente. Una cartulina grande que la usarás para realizar el experimento encima de ella. 4 hojas de papel milimétrico. Tijeras, cinta adhesiva, regla, escuadras, lápiz, sacapuntas, goma y hojas para responder el problema. 3

Pregunta 1 Observación del fenómeno y diseño del experimento (5 puntos) Monta la rejilla de difracción con los clips, ponla de forma vertical y has incidir el haz láser de forma perpendicular a la rejilla. Observa que se logran claramente tres órdenes de difracción, el n = 0 y los dos de n = 1. Si tienes suerte podrás observar también los órdenes n = 2. Estos últimos no son importantes para el problema. Monta la pantalla como se muestra en la fotografía. Aleja y acerca la pantalla a la rejilla y observa. Familiarízate con el fenómeno. Trata de entender como lo que observas está relacionado con la explicación de la introducción y con la fórmula de Bragg. Recuerda que la meta es medir el ángulo θ y que una sóla medición no basta. Tienes que realizar varias mediciones diferentes que te permitan hacer un análisis gráfico y estadístico de los datos y de ahi extraer el ángulo. Diseña un experimento y una estrategia y explícalos brevemente. Incluye un bosquejo de tu arreglo experimental. Explica cómo usarás la fórmula de Bragg para lograr tu meta. Trata de formular tus mediciones tal que al graficarlas obtengas una recta, cuya pendiente y ordenada al origen te den las incógnitas del problema. Si te tocó el láser con caja negra, sujeta el láser encima de la caja negra usando cinta adhesiva. Para realizar tus mediciones, es importante que trates de que el haz: (1) incida perpendicular a la rejilla; (2) que viaje lo más paralelo posible a la mesa de trabajo (que es la hoja grande de cartulina); y (3) que la pantalla esté lo más perpendicular posible con respecto al orden n = 0 de los haces difractados. Una vez que hayas fijado el láser y la rejilla de difracción, trata de no moverlos más durante el conjunto de mediciones que vayas a hacer. Sugerencia: Recuerda que tu referencia es el punto central, n = 0, para que siempre puedas alinear la pantalla para tus diferentes mediciones. Cuando termines tus mediciones, por favor, apaga el láser. Pregunta 1 Solución El propósito del problema es hallar la longitud de onda λ. Para esto, suponemos conocida la fórmula de Bragg, d sen θ = λ La separación d entre las rendijas de la rejilla se sabe porque la rejilla tiene 500 líneas por mm, es decir, d = 1 mm = 0.002 mm 500 Lo que no se conoce es el ángulo θ, o si se quiere, el sen θ, entre el orden n = 0 y los órdenes n = 1, de los haces difractados. El problema experimental es, pues, determinar dicho ángulo, o su seno. (1 puntos) Si escriben la fórmula de Bragg y explican que conocen d y que si miden θ, entonces obtienen λ Como no se provee un transportador, la medición del ángulo tiene que hacerse midiendo su 4

tangente, tan θ. Se espera que hagan un bosquejo como el siguiente: y que concluyan que el ángulo se obtiene de tan θ = y x. (2 puntos) Si hacen un bosquejo claro que muestre que el ángulo se obtiene de la medición de y y x Deberán especificar que moviendo la pantalla podrán obtener diferentes datos de y y x, y que si se grafica y vs x la pendiente es tan θ y que la ordenada debe ser cero, es decir, que es una ecuación de una recta y = x tan θ y = mx + b con m = tan θ y b = 0. De tan θ, se calcula sen θ y se obtiene λ. (2 puntos) Si explican que tan θ = y/x, si dicen que eso da una ecuación de una recta y si explican que debe tomar varias mediciones de y y x. Restar 1 punto si no relacionan al ángulo con mediciones de de x y y, 0.5 puntos si no especifican que es una recta a hallar y 0.5 si no queda claro que tomarán varias mediciones de x y y. CUIDADO! Alguien puede usar que sen θ = y/r y que medirá y y la distancia R = x 2 + y 2 directamente. Esto es tan válido como medir tan θ. 5

Pregunta 2 Reporte de mediciones (4 puntos) En la tabla que se te provee, captura los datos experimentales que realizaste. No tienes por que usar todas las columnas ni todos los renglones, sin embargo, se muy cuidadoso de etiquetar las columnas que uses. Pregunta 2 Solución Se espera que hagan, al menos 8 mediciones de x y y, y quizás unas 15 máximo. Tabla x/mm y/mm 1 123 44 2 153 55 3 183 65 4 213 76 5 243 87 6 273 97 7 303 108 8 333 119 9 353 125 (4 puntos) Si hacen 8 mediciones o más; si especifican las unidades de las medidas; y si su máxima precisión son milímetros. Se asignan 0.25 puntos por medición, máximo 2 puntos (8 mediciones o más). 0.5 puntos por unidades de x y 0.5 puntos por unidades de y. 1 punto si la precisión de las medidas son hasta los milímetros. Si usan fracciones de milímetro, descontar 0.5 puntos Pregunta 3 Análisis gráfico (8 puntos) Usa una de las hojas de papel milimétrico para realizar tu análisis gráfico. Si realizas una recta, no olvides reportar la pendiente y la ordenada al origen que obtengas. Si no realizaste una recta, explica tu análisis. Dependiendo de la calidad de tus datos y tu análisis, decide si es necesario o no que reportes incertidumbres de tu análisis gráfico. Si sí, reportálas. 6

m = 0.357 b = - 1 mm EJE X + 93 mm Pregunta 3 Solución Esta es una parte muy importante porque, además de ser esencial para hallar el resultado, se podrá evaluar la calidad del experimento realizado. De la gráfica se calificará: (1 puntos) Uso del papel. La gráfica debe ocupar entre 70 y 100 % del papel. Si usa menos, se dará la mitad de puntos, 0.5 (2 puntos) Ejes. Los ejes deben estar bien rotulados, con un mínimo de 4 marcas por eje. Descontar 0.25 puntos por eje si se ponen menos marcas. Los ejes deben estar rotulados con unidades correctas. Si no están rotulados, descontar 1.5 puntos. Si no se tienen unidades, descontar 0.5 puntos por eje. (2 puntos) Puntos bien graficados. Deben estar acordes con la Tabla. Descontar 0.2 puntos por cada punto mal graficado. (2 puntos) Obtención de pendiente y ordenada al origen. La pendiente, en teoría, debe ser m = 0.356 y la ordenada b = 0. Descontar 1 punto si la pendiente está mal evaluada. Descontar 1 punto si no hallan la ordenada al origen o si está mal 7

calculada. (1 puntos) Calidad de gráfica. Si se hizo con cuidado el experimento, la recta debe ser muy buena, tal que no necesite incertidumbres. Si la medición fue hecha sin cuidado, se verá que los puntos están muy dispersos y que la pendiente y la ordenada se alejan mucho de los valores nominales. En ese caso, se pierde este punto, a menos que calcule incertidumbres en la pendiente y ordenada. Pregunta 4 La longitud de onda λ del láser rojo (3 puntos) Reporta la separación d entre las rendijas o líneas de tu rejilla de difracción. Reporta el valor que obtuviste de la longitud de onda λ de tu láser en nanómetros. Pregunta 4 Solución Para la separación d, esta se obtiene de saber que la rejilla tiene 500 líneas por mm. Por lo tanto, d = 1 mm = 0.002 mm 500 (1 puntos) Si no se da exactamente este valor, se descuenta 1 punto. Para hallar el valor de λ, se usa la fórmula, λ = d sen θ Del análisis gráfico, de forma casi perfecta, deben hallar θ = 0.342, o tan θ = 0.356, o sen θ = 0.335. Esto da el valor nominal de la longitud de onda, λ = 671 nm (2 puntos) Dar los 2 puntos si 630 λ 710. Dar 1 punto si está entre 600 λ < 630, o si 710 λ < 740. No dar ningún punto si está fuera de estos intervalos. Descontar 0.5 puntos si no se expresa la longitud de onda en nanómetros. NOTA: Estos intervalos podrán ser ajustados dependiendo de los valores que obtengan los estudiantes. Pregunta 5 Una aplicación sencilla (5 puntos) Como habrás notado, como parte del material se te entregó una tela amarilla en un marco de cartoncillo. Dicha tela tiene un cuadriculado de hilos muy fino (es una tela costosa para usarse en serigrafía!). En tu dispositivo experimental coloca la tela en lugar de la rejilla. Observa el patrón de difracción que se obtiene. El problema es hallar el tamaño del cuadriculado, es decir, la distancia entre dos hilos verticales consecutivos y entre dos hilos horizontales consecutivos (que deben ser la misma distancia) Considera lo siguiente: La fórmula de Bragg es válida para este caso también. Explica cómo usarla. 8

Realiza tu análisis a una sóla distancia fija entre la tela y la pantalla. Asegúrate que puedes observar claramente el patrón de difracción. No realices ningún análisis gráfico, cuando mucho haz un promedio de las mediciones obtenidas. Explica. Te puede ser útil recordar que para ángulos pequeños θ 1 (en radianes!), tan θ sen θ. Reporta el tamaño del cuadriculado de la tela, en milímetros. Pregunta 5 Solución Este problema se les dejará a cierto criterio de los calificadores, dependiendo del valor de λ que hayan obtenido. Se espera que digan que vieron un patrón cuadriculado en la pantalla, a una distancia lejana. Deberán observar que el cuadriculado tiene una distancia casi igual entre los puntos del cuadriculado. Sea y esa distancia. Esta separación la pueden obtener de medir varias separaciones y promediar o sólo tomando unas pocas y ver que no cambia mucho. Sea y la distancia de la rejilla al centro del patrón cuadriculado. El ángulo entre el centro del patrón y uno de los cuadros adyacentes es muy pequeño si alejan la pantalla lo suficiente para ver bien el patrón. La tangente es casi igual al seno y al ángulo mismo. Se puede usar la ley de Bragg, d = λ sen θ Si su longitud de onda está en los límites correctos y el procedimiento estuvo bien, se darán los 5 puntos. Si la longitud del láser estuvo mal pero el procedimiento está bien y su cálculo también, dar un máximo de 3 puntos. Se espera que la separación esté alrededor de d 0.050 mm (50 micrones). Se sugiere que si observaron lo correcto pero no supieron como proceder y no llegan a un resultado razonable, dar 1 punto. 9