Tema 7 Recta y plano en el epacio- Matemática II º Bachilleato ÁNGULOS ANGULO ENTRE DOS RECTAS Co (, ) co (, ).. ANGULO ENTRE DOS PLANOS Co (Π, Π ) co( n, n ) n n.n. n ÁNGULO ENTRE RECTA Y PLANO Sen (, Π) co (, n Π ).n. n Ejemplo 40 : Halla el ángulo que foman la iguiente ecta: x y + z : : x + y 5z 4 5 x y + 5 0 (5,, ) i j k co (,) co (, ) co(, ) 5 ( 0, 5, 7) (0,5,7) 0. 50 + 5 7 58 0,74 α 4º 59 5,79. 5 + 9 +. 00 + 5 + 49 5. 74 Ejemplo 4 : Halla el ángulo que foman lo iguiente plano: : x + 8y 4z 0 : x y + 0 n.n 8 6 co (, ) co (n, n ) 0, n. n + 64 + 6. 4 + + 0 8. 5 α 7º 9 4,6 Ejemplo 4 : Halla el ángulo que foman la ecta y el plano: : (x,y,z) (,-,) + t.(,5,-) : x 5y +7z 0.n 4 5 7 8 en (,) en (, n ) 0, 57. n 4 + 5 +. 4 + 5 + 49 0. 78 α 5º 5,54 Ejecicio 4 : Halla el alo de m paa que y fomen un ángulo de 90º: 5t + t : y t : y t z t z mt. 0 (-5,,-).(,,m) 0-5 + m 0 m -
Tema 7 Recta y plano en el epacio- Matemática II º Bachilleato Ejecicio 44 : Halla, en cada cao, el ángulo que foman la ecta y el plano: x + y + z a) : : x y z + 0 4.n 8 en (,) en (, n ) α 90º. n 4 + 6 + 4. + 4 + 4. 6 b) : x t; y + t; z - : x y + z 0.n + 0 en (,) en (, n ) 0 α 0º. n + 4 + 0. 4 + + x y z c) : : x + z 7.n + en (,) en (, n ) 0, 87 α 60º. n 4 + +. + 0 + 6. Ejecicio 45 : Calcula el ángulo que foman lo do plano iguiente: α: z : x y + z + 4 0 n α.n 0 + 0 + co (α,) co (n α, n ) 0, 8 α 5º 5 5,8 n. n 0 + 0 +. + + 4. 6 α Ejecicio 46 : Halla lo te ángulo de un tiángulo cuyo étice on: A(0,0,0), B(,,), C(,,) AB (,,), AC (,,), BC (,-,0) Co (AB,AC) + + 6 0, 74 α 4º,6 + 4 +. 9 + + 6. Co (AB,BC) + 0 0 0 α 90º + 4 +. 4 + + 0 6. 5 α 80º - 90º - 4º,6 47º 6 8,64 Ejecicio 47 : Halla el ángulo que foma el plano : x y + z 0 con cada uno de lo eje coodenado. OX.n en (OX,) en ((,0,0), n ) 0, 4 α 4º 5 4,4. n. + 4 + 6 OX OY.n en (OY,) en ((0,,0), n ) 0, 8 α 54º 44 8,. n. + 4 + 6 OY OZ.n en (OZ,) en ((0,0,), n ) 0, 4 α 4º 5 4,4. n. + 4 + 6 OZ
Tema 7 Recta y plano en el epacio- Matemática II º Bachilleato DISTANCIA ENTRE PUNTOS, RECTAS Y PLANOS DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS: A(x,y,z ), B(x,y,z ) d(a,b) AB ( ) ( ) ( ) x x + y y + z z DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UNA RECTA d(p,) PP x DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UN PLANO: P(x 0,y 0,z 0 ), Π: Ax + By + Cz + D 0 Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D d(p, Π) A + B + C DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS,, P P [ ] d(,) x DISTANCIA ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO d(, Π) d(p, Π) DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS d(π, Π ) d(p, Π ) : Ax + By + Cz + D 0 Si d(, ) : Ax + By + Cz + D' 0 A D D' + B + C Ejemplo 48 : Halla la ditancia ente lo punto P(,,0) y Q(,-,) d(p,q) ( ) + ( ) + ( 0) + 5 + 7. Ejemplo 49 : Halla la ditancia del punto P(5,-,6) y la ecta : i j k :P(,0,5), (-,-,) PP x 4 (0,6,6) PP (-4,, -) u 5,u t y t z 5 + t d(p,) PP x 0 + 6 + 6. u,46u 4 + + Ejemplo 50 : Halla la ditancia del punto P(,,) al plano : x + y z -7.+. + 7 d(p, Π),u 4 + 9 + 4
Tema 7 Recta y plano en el epacio- Matemática II º Bachilleato 4 Ejemplo 5 : Halla la ditancia ente la ecta : : P (5,,8), (,0,) P P (,4, ) : P (4,,5), (,,4) i V x V 0 (,, ) j k 4 5 + t y z 8 + t 0 : 4 + t y t z 5 + 4t [,, P P ] 4 [( + 0 + 4) ( + 6 + 0)] 9 [ ],, P P d(,) Ejemplo 5: Halla la ditancia ente la ecta :. ( ) + 6 d(, Π) d(p, Π) + 9 + 8 x x 5,4u 4 9 u 4 + 4 + y z + y el plano : x y z + 60 Ejemplo 5 : Halla la ditancia ente do plano: : x 5y + z 9 0, : x 0y + 4z 0 D D' 8 0 8 : x 0y + 4z 8 0 d(, ), 47 u A + B + C 4 + 00 + 6 0 Ejecicio 54 : Halla la ditancia que hay ente lo punto A(,5,-), B(-,,-) d(a,b) ( ) + ( 5) + ( + ) Ejecicio 55 : Conidea la ecta : x y x + z 9 + 6 + 0 5 5u y el plano : x + y z a) Halla la coodenada del punto S donde e cotan y Paamo la ecta a paamética y eolemo el itema: x α, y α +, z - α α + (α + ) -( - α) 4α 0 α 0 S(0,,) b) Calcula la ditancia del punto P(4,0,) al punto S del apatado anteio. d(p,s) (0 4) + ( 0) + ( ) 6 + 9 + 0 5 Ejecicio 56 : Calcula la ditancia ente el punto P(,-,) y el plano : x 4z. 4. d(p, Π) 0,u 9 + 0 + 6 5 Ejecicio 57 : Calcula la ditancia ente el punto Q(,-,0) y el plano que contiene a P(,0,4) y a : t y + t z 4 Punto : P(,0,4) x y z 4 Plano: PP (,,4) (,0,4) (,,0) 0 0 7(z 4) 0 z-40 Vectoe : (,,0) 0 0 4 d(q, Π) 4u 0 + 0 + 5u
Tema 7 Recta y plano en el epacio- Matemática II º Bachilleato 5 Ejecicio 58: Halla la ditancia ente lo iguiente pae de plano: a) : x y + 0 : x 4y + 0 D D' 6 5 : x 4y + 6 0 d(, ),u A + B + C 4 + 6 0 b) x y + z 0 : x y + z -5 No on paalelo, e cotan (, ) 0 d + 4λ Ejecicio 59 : Halla la ditancia ente la ecta : y λ y el plano : x 4y 0 z + 7λ. 4.0 d(, Π) d(p, Π) d((,0,-),x-4y-0) 0,6u 9 + 6 + 0 5 Ejecicio 60 : Calcula la ditancia que hay ente el punto P(,,6) y la ecta : x 4 + 4α; y + α; z - - α i j k :P(4,,-), (4,,-) PP x 7 (4, 5, ) PP (,,-7) 4 d(p,) PP x 6 + 65 + 9 650 5 5u 6 + + 9 6 Ejecicio 6 : Halla la ditancia ente la ecta : : P (0, 0,9), (4,,5) P P (,, 5) : P (,,4), (,9,) i V x V 4 5 ( 48. 64,0) j 9 k 4 4λ y 0 λ z 9 + 5λ : t y + 9t z 4 + t [,, P P ] 9 [( 80 6 660) (90 + 44 80)] 800 5 5 [ ],, P P d(,) x 800 800 0u 04 + 4096 80
Tema 7 Recta y plano en el epacio- Matemática II º Bachilleato 6 EJERCICIOS IMPORTANTES Cota o e apoya Ejecicio 6 : Halla la ecuacione de la ecta que paa po el punto P(,0,-) y cota a la x y z + ecta : : x + y + 4 0 y z + 0 P (α+,-α+,α-), P (zβ,y-+β,x--β)(--β,-+β,β) α α + α PP paalelo a PP β + β β + 9α 6β αβ 6 6α + 6αβ α 6 + αβ 6β α 0 αβ + α α αβ 5α + 5αβ 0 5α( + β) 0 β 0 0 Si α 0-6β6 β - cieto 0 6 0 Punto : P(,0, ) x y x + : Vecto : PP (0,,0) 0 0 Ejecicio 6 : Halla la ecuación de la ecta que paa po A(,,), e paalela al plano : x y + z 0 y cota a la ecta : x y AP (0,, α ) AP e pependicula a n (Poducto ecala ceo): P (,,α) n (,, ) AP.n (0,,α-).(,-,) 0 - + α - 0 α Punto : A(,,) x : y z Vecto : AP (0,,) (0,,) 0 Ejecicio 64 : Halla la ecuación de la ecta que paa po el punto P(,-,) y cota x y + z pependiculamente a la ecta : PP ( α +,α,α ) (,,) ( α +,α,α ) PP pependicula a (Poducto ecala nulo) (,,) PP. 0 α + + 4α + 9α - 0 4α - 0 α /7 Punto : P(,,) x y + z Recta: Vecto : PP (8/ 7, / 7, 4 / 7) (4,, ) 4 Ejecicio 65 : Halla la ecta pependicula común a la ecta: x y z + x y + z : : 0 Recta : P (0,α+,α-) (0,,) Recta : P (β+,- β-,β) (,-,)
Tema 7 Recta y plano en el epacio- Matemática II º Bachilleato 7 i V x 0 (5,, ) j k P.P paalelo a : β + β α β α + β + 5 5α 0 7β + 5α β 4 / 5 β + α + 6 4α + 6 5β 5α 4 Punto : P ( /,/, 4) x + / y / z + 4 Recta: Vecto : (5,, ) 5 Ejecicio 66 : Encuenta la ecta que paa po el punto P(,0,-) y cota a la ecta l y l de ecuacione: l : + t x + y z l : y t x y + z 4 0 z + t α z + x + y Paamo l a paamética: y 5 5α 4 0 5 5x + y 5 z 7α 9 α 5 5α 7α 8 PP l paalelo a PP l α 7α 8 α 7 / 8 + t t + t Punto : P(,0, ) x y `z + Recta: Vecto : PPl ( 5 / 8, 5/ 8, 5/ 8) (,,) Ejecicio 67 : Compueba que la ecta: : y 5 + t z t ecuación de la ecta pependicula a amba. : 7 + t y 5 + t z 7 e cuzan. Halla la Compoba que e cuzan: (0,,), (,,0) no on paalelo, e cotan o e cuzan. Reolemo el 7 + itema: 5 + t 5 + t Sitema incompatible, no tiene olución. Se cuzan. t 7 t 7 Recta pependicula común: P P pependicula a, P P (6+, -0+-t, 7-t) Vecto pependicula a y a x 0 (,, ) P P paalelo a 6 + 0 + t i 7 t Punto : P (,, ) x y z + Recta: Vecto : (,, ) j k 0 8 9 7 + t t + 9 0 + t t 6t 9 t
Tema 7 Recta y plano en el epacio- Matemática II º Bachilleato Poyección otogonal λ Ejecicio 68 : Calcula la poyección otogonal de la ecta : y λ obe el plano : x- y + z λ z + 0 [] P : (--λ) (-λ) + λ + 0 λ λ / P(-4/, -/, /) [] Q un punto cualquiea de (ditinto de P): Q(-,0,0) + t Punto : Q(,0,0) [] ': y t Vecto : ' n (,,) z t [4] Q : (-+t) (-t) + t + 0 4t t /4 Q (-/4,-/4,/4) Punto : P( 4 /, /, / ) [5] e la ecta que paa po P y Q : Vecto : PQ' (0 /4,5/ 4, 5 / 4) (4,, 5) 4 x + 4α S: y + α α R z 5α Simético Ejecicio 69 : Halla el punto imético de P(,0,) epecto del plano : x y + z + t Punto : P(,0,) [] Calcula la ecta : : y t Vecto : n (,,) z + t [] Calcula el punto C : +t (-t) + + t t - t -/ C(/,/,/) x + y z + [] C e el punto medio de P y P :,,,, P,, Ejecicio 70 : Detemina el punto imético de A(-,,-7) epecto de la ecta : x + y z + Punto : A(,, 7) [] Calcula el plano : x + y + z + D - + 4 + D 0 Vecto : n (,, ) D 5 x + y + z + 5 0 [] Calcula el punto C : (t-) + (t+) + (t-) + 5 0 9t -8 t - C(-,-,-5) x y z 5 [] C e el punto medio de A y A : (,, 5),, A (-,-,-) 8