1. FUNCIONS PRINCIPALS REPRESENTACIÓ DE FUNCIONS 1.1 Rectes Forma: 4 5 1.2 Paràboles Forma: 1.3 Funcions amb radicals Forma: 1.4 Funcions de proporcionalitat inversa Forma: 1.5 Exponencials Forma: 2
1.6 Funcions definides a troços Forma: 2. FUNCIONS RACIONALS (DELS 7 PUNTS) Són funciones més complicades que les altres, i per representar-les s han de seguir 7 punts: 1- Domini 2- Talls amb els eixos: OX i OY 3- Asímptota vertical (AV) 4- Asímptota horitzontal o obliqua (AH o AO) 5- Estudi del creixement (Primera derivada) 6- Estudi de la curvatura (Segona derivada) 7- Representació Aquestes funcions solen ser del tipus: A continuació hi ha 2 exemples.
EXEMPLE 1. 1- Domini Per calcular el domini d aquestes funcions, igualam el denominador a 0. 1 0; 1 & 'é )*+,-ó Com que no té solució, el domini és: /0 1 R 2- Talls amb els eixos: OX i OY Per trobar els talls amb cada un dels eixos s ha de fer el següent: OX: Per trobar els punts, és necessari igualar f(x)=0 (fer y=0) 0 0 0 Per tant, el punt de tall amb OX és (0,0) OY: Substituir totes les x per zeros (0) 0 3 3 0 Per tant, el punt de tall amb OY és (0,0) 3 (*) Que OX i OY coincideixin és casualitat. 3- Asímptota vertical (AV) Per trobar l asímptota vertical, hem de mirar quin és el domini. ELS PUNTS QUE NO SÓN DEL DOMINI SÓN ASÍMPTOTES VERTICALS. En aquest cas, no hi ha cap punt, i per tant, no hi ha AV. 4- Asímptota horitzontal o obliqua(ah o AO) Es poden donar tres casos: AH, AO o sense asímptotes. Si el numerador és un grau major que el denominador, HI HA ASÍMPTOTA OBLIQUA. Si no, podem cercar si n hi ha de horitzontal o si no n hi ha. En aquest cas, el grau del denominador es major, per tant NO HI POT HAVER AO. AH. Per trobar l AH s han de fer dos límits: cap a + i cap a - lim lim 1 lim 1 lim 1 0 1 0
En els dos casos, el límit tendeix a 0. Per tant, tenim AH en x=0. A L EXEMPLE 2 s explicarà l AO. 5- Estudi del creixement (Primera derivada) Per fer un estudi de creixement (si la funció està inclinada en un sentit o l altra, si puja o baixa, / o \). Les pases són les següents: feim la derivada, igualam a zero, i a continuació miram els intervals si són positius o negatius. Amb l exemple següent queda més clar. Primer de tot feim la derivada: 9 11 2 1 1 1 Igualam a zero: 1 1 0; 1 0 1 :1 Situam els punts damunt una recta, i elegim valors entre els intervals (menor que -1, entre -1 i 1, major que 1). Substituïm a la derivada i miram si són + o -. Provam el -2, 0 i 2 9 2 ; 9 0 3 3 9 2 ; -1 1 DÓNA NEGATIU ÉS DECREIXENT DÓNA POSITIU ÉS CREIXENT DÓNA NEGATIU ÉS DECREIXENT Amb això ja sabem la forma que tendrà la funció. Si miram el dibuix, baixa fins a -1 i comença a pujar. Per tant, A X=-1 HI HA UN MÍNIM. A X=1 HI HA UN MÀXIM Per saber el punt exacte, HEM DE SUBSTITUIR A LA FUNCIÓ INICIAL. 1 MÍNIM (1, 1 MÀXIM (1, )
6- Estudi de la curvatura (Segona derivada) La curvatura ens indicarà si la funció té forma còncava o convexa (U o ). El que hem de fer és fer la segona derivada (La derivada de la derivada). 9 1 1 99 21 1 21 2 1 ATENCIÓ: normalment, no és necessari desenvolupar el denominador. És millor deixar-lo sense operar. Alerta quan operam al numerador, per procurar no deixar-nos ni signes ni exponents. 99 2 6 1 0 2 6 0 0 3 3 Repetim el que hem fet al pas 5 amb la primera derivada. Si dóna negatiu té forma, i si dóna positiu 3 0 3 Tornam provar punts que es trobin enmig dels intervals. Per exemple: -4, -1, 1, +4 99 4 99 1 99 1 99 4 Ara només falta trobar les coordenades per aquests punts: Els punts finals són
0 3,0.431 0,0 3,+0 43) 7- Representació
EXEMPLE 2. 2 1- Domini 2 = 0 = 2 / = R {2} 2- Talls amb els eixos: OX i OY OX: y=0 = = 0 = 0 = 0 TALL AL PUNT (0,0) OY: x=0 0 = 3 = 0 = 0 TALL AL PUNT (0,0) 3 3- Asímptota vertical (AV) Com que el domini s anul la a x=2, en x=2 hi ha una AV. És possible que una funció tengui més de una AV. Quan hi ha AV s han de calcular els límits per la dreta i per la esquerra del valor. lim B 2 = 1 9 2 1 9 = 3 999 0.1 = + lim E 2 = 2 1 2 2 1 = 4 0.1 = 4- Asímptota horitzontal o obliqua (AH o AO) En aquest cas, com que el numerador és un grau major que el denominador, podem assegurar que hi ha AO. La asímptota obliqua és una recta y=mx+n, on hem de trobar m i n. F = lim - = lim Per tant, el primer que hem de fer és trobar aquests valors. = lim = lim G 2 = 2 = lim = lim = lim 2 1 = 2 2 = 1
= 1 - = 2 1 2 5- Estudi del creixement (Primera derivada) 9 22 1 2 4 2 4 2 2 9 0 0 4 2 0 4 H*+,- ): = 0 - = 4 9 1 0 4 9 1 9 5 ; J ; ; ; ; J Anem a trobar els punts: 0 0 2 0 0 0,0 4 4 8 4,8 2 4 6- Estudi de la curvatura (Segona derivada) 99 4 2 2 4 22 1 2 8 2 99 0 8 2 0 8 = 0 & 'é )*+,-ó Com que no té solució, mirarem els intervals amb el domini. Provarem amb x=2.
2 99 0 99 3 8 2 0 8 2 3 No hi ha punts perquè el valor X=2 és una asímptota. 7- Representació