2. Teorema de auchy y aplicaciones. 2.1. Teorema de Goursat. Teorema 2.1.1 Sea Ω un abierto en y T Ω un triángulo cuyo interior está también contenido en Ω, entonces f(z)dz = 0 siempre que f sea holomorfa en Ω. T orolario 2.1.2 Sea f holomorfa en un abierto Ω que contiene un rectángulo R y su interior, entonces f(z)dz = 0. R 2.2. Existencia local de primitivas y el teorema de auchy en un disco. Teorema 2.2.1 Una función holomorfa en un disco abierto tiene una primitiva en el disco. Teorema 2.2.2 (Teorema de auchy para un disco) Si f es holomorfa en un disco, entonces f(z)dz = 0 para cualquier curva cerrada en ese disco. γ orolario 2.2.3 Supongamos que f es holomorfa en un abierto que contiene la circunferencia y su interior, entonces f(z)dz = 0. Definición de curva de juguete. 1
2.3. álculo de algunas integrales. e πξ2 = 0 e πx2 e 2πixξ dx. 1 cosx x 2 dx = π 2. 2.4. Fórmula integral de auchy. Teorema 2.4.1 Supongamos que f es holomorfa en un conjunto abierto que contiene el cierre de un disco D. Si denota la circunferencia frontera de ese disco con la orientación positiva, entonces f(z) = 1 2πi f(ζ) dζ para cualquier punto z D. ζ z orolario 2.4.2 Si f es holomorfa en un conjunto abierto Ω, entonces existen las derivadas complejas de f de cualquier orden en Ω. Además, si Ω es una circunferencia cuyo interior está también contenido en Ω, entonces para todo z en el interior de. f (n) (z) = n! 2πi f(ζ) dζ (ζ z) n+1 Las fórmulas en el Teorema 2.4.1 y el orolario 2.4.2, reciben el nombre de fórmulas integrales de auchy. orolario 2.4.3 (Desigualdades de auchy) Si f es holomorfa en un conjunto abierto que contiene el cierre de un disco D centrado en z 0 y de radio R, entonces f (n) (z 0 ) n! f R n, donde f = sup z f(z) denota el supremo de f en la circunferencia frontera del disco D. Teorema 2.4.4 Sea f holomorfa en un abierto Ω. Si D es un disco centrado en z 0 y cuyo cierre está contenido en Ω, entonces f admite un desarrollo en serie de potencias en z 0 f(z) = a n (z z 0 ) n n=0 2
para todo z D, y los coeficientes están dados por a n = f(n) (z 0 ), para todo n 0. n! orolario 2.4.5 (Teorema de Liouville) Si f es entera y acotada, entonces f es constante. orolario 2.4.6 (Teorema fundamental del álgebra) ada polinomio no constante P(z) = a n z n + +a 0 con coeficientes complejos tiene una raíz en. orolario 2.4.7 ada polinomio P(z) = a n z n + + a 0 de grado n 1 tiene precisamente n raíces en. Si denotamos estas raíces por w 1,..., w n, entonces P puede ser factorizado en la forma P(z) = a n (z w 1 )(z w 2 ) (z w n ). Teorema 2.4.8 Supongamos que f es una función holomorfa en una región Ω, que se anula en una sucesión de puntos distintos de Ω con un punto límite en Ω. Entonces f es idénticamente nula. orolario 2.4.9 Supongamos que f y g son holomorfas en una región Ω y que f(z) = g(z) para todos los z en un subconjunto abierto no vacío de Ω (o, con mas generalidad, para los z de una sucesión de puntos distintos de Ω con un punto límite en Ω). Entonces f(z) = g(z) en todo Ω. 2.5. Otras aplicaciones 2.5.1. Teorema de Morera. Teorema 2.5.1 (Morera) Supongamos que f es una función continua en el disco abierto D y que para cualquier triángulo T contenido en D se tiene f(z)dz = 0, entonces f es holomorfa en D. T 3
2.5.2. Sucesiones de funciones holomorfas. Teorema 2.5.2 Si {f n } n=1 es una sucesión de funciones holomorfas que converge uniformemente a una función f en cada subconjunto compacto de Ω, entonces f es función holomorfa en Ω. Teorema 2.5.3 Bajo las condiciones del teorema anterior, la sucesión de las derivadas {f n } converge uniformemente en compactos de Ω hacia la derivada f. 2.5.3. Funciones holomorfas definidas por medio de integrales. Teorema 2.5.4 Sea F(z,s) una función definida para (z,s) Ω [0,1] donde Ω es un abierto de. Supongamos que F satisface las propiedades: (i) z F(z,s) es holomorfa en z para cada s. (ii) F es continua en Ω [0,1]. Entonces la función f definida en Ω por es holomorfa. f(z) = 1 0 F(z,s)ds 2.5.4. Principio de Reflexión de Schwarz Teorema 2.5.5 (Principio de simetría) Sea Ω un abierto simétrico respecto del eje real, sea Ω + = {z Ω: Rez > 0}, Ω = {z Ω: Rez < 0} e I = Ω R. Si f + es holomorfa en Ω + y f holomorfa en Ω se extienden a funciones continuas en I de manera que f + (x) = f (x) for all x I entonces la función f(z) definida en Ω por ser igual a f + (z) en Ω +, igual a f (z) en Ω e igual a f + (x) = f (x) para x I, es holomorfa en todo Ω. Teorema 2.5.6 (Principio de reflexión de Schwarz) Sea f una función holomorfa en Ω + que se extiende a una función continua en Ω I, de manera que f(x) es real para x I. Entonces existe una función F holomorfa en todo Ω y tal que F(z) = f(z) para z Ω +. 4
2.5.5. Teorema de aproximación de Runge. Teorema 2.5.7 (Runge) ualquier función holomorfa en un entorno de un compacto K puede aproximarse uniformemente en K por funciones racionales con singularidades en K. Si K es conexo, cualquier función holomorfa en un entorno de K puede aproximarse uniformemente en K por polinomios. Lema 2.5.8 Sea f holomorfa en el abierto y K Ω un compacto. Existen un número finito de segmentos γ 1,..., γ N en Ω K tal que f(z) = N n=1 1 f(ζ) dζ for all z K. 2πi γ n ζ z Lema 2.5.9 Si γ es un segmento contenido en Ω K, existe una sucesión de funciones racionales con singularidades en γ que aproximan la integral f(ζ)/(ζ z)dζ γ uniformemente en K. Lema 2.5.10 Si K es conexo y z 0 / K la función 1/(z z 0 ) puede aproximarse uniformemente en K por polinomios. 5