UNIDD 5 Transformaciones geométricas ÍNDIE DE NTENIDS 1. NEPTS ÁSIS SRE TRNSFRMINES GEMÉTRIS...................... 102 2. MVIMIENTS...................................................................... 104 2.1. Traslación....................................................................... 104 2.2. Transformada de una figura por traslación. Propiedades................................... 105 2.3. Giro........................................................................... 107 2.4. Giro de una figura. Propiedades...................................................... 108 2.5. Giro entre figuras................................................................. 109 2.6. Simetría central................................................................... 110 2.7. Simetría central de una figura. Propiedades............................................. 111 2.8. Simetría axial.................................................................... 113 2.9. Simetría axial de una figura. Propiedades.............................................. 114 3. HMTEI........................................................................ 115 3.1. Definición. Homotéticos de los elementos básicos........................................ 115 3.2. Homotecia de una figura. Propiedades................................................. 116 3.3. Homotecia entre figuras............................................................ 117 Las transformaciones son operaciones que producen cambios en las figuras planas. Tienen numerosas aplicaciones en el campo del diseño por su capacidad de generar y organizar formas. demás de las construcciones encaminadas a la obtención de cambios formales o de posición de las figuras, las transformaciones proporcionan un nuevo método para la realización de otras construcciones geométricas. sí, algunas veces, es más fácil realizar una construcción aplicando un movimiento, homotecia, etc. a los datos de la figura que se desea construir, por ser más sencillo dibujarla en su nueva situación o tamaño y efectuar después la transformación inversa. El estudio de cada transformación debe iniciarse por los conceptos básicos (definición, elementos dobles, procedimientos para transformar elementos y figuras, propiedades) y completarse con las aplicaciones de esa transformación a la realización de construcciones. 100
Estos son los contenidos esenciales de la Unidad: U U U Definición, clasificación y propiedades de las transformaciones geométricas. Definición, elementos dobles y propiedades de la traslación, giro, simetrías y homotecia. onstrucción de la transformada de una figura. plicaciones. Transformaciones geométricas Forma Forma y tamaño Movimientos Traslación Giro Simetría central Transformados de los elementos básicos Propiedades de las rectas homólogas Simetría axial Transformadas de figuras Isomórficas Homotecia Transformación entre figuras 101
UNIDD 5 TRNSFRMINES GEMÉTRIS 1. onceptos básicos sobre transformaciones geométricas Transformación es la correspondencia biunívoca entre los puntos del plano, que al aplicarse a las figuras contenidas en él, ocasiona modificaciones en su forma, tamaño o posición. los puntos trasladados, girados,... se les llama transformados u homólogos de los originales. Elementos dobles de la transformación son aquellos puntos, rectas, circunferencias,... que coinciden con sus transformados. Traslación Simetría central Homotecia Giro Simetría axial Semejanza Transformaciones isométricas o movimientos Transformaciones isomórficas Homología Inversión Transformaciones anamórficas Ilustración 1 102
uando la transformación se aplica a los puntos de una figura, su forma, posición o tamaño se modificará de acuerdo con el tipo de operación efectuada (Ilust. 1). tendiendo a los cambios de forma producidos, las transformaciones se clasifican en: Isométricas o movimientos, cuando se mantiene la forma y el tamaño. La traslación, el giro y la simetría central son movimientos directos por que mantienen el sentido del orden de sus puntos. La simetría axial es un movimiento inverso porque invierte dicho sentido. Isomórficas, cuando se mantiene la forma pero no el tamaño. De este tipo son la homotecia y la semejanza. namórficas, cuando varía tanto la forma como el tamaño. De este tipo son la inversión y la homología. Transformación identidad es aquella que transforma una figura en sí misma. Transformación inversa es aquella que devuelve a su estado original a una figura a la que se le había aplicado una determinada transformación. Producto de transformaciones es la transformación resultante de aplicar varias transformaciones sucesivas a una figura. Si se trata de movimientos, la transformación producto es otro movimiento. En la Ilust. 2 se presentan dos ejemplos de producto de movimientos, más una semejanza obtenida como producto de giro y homotecia aplicados a una figura. e Traslación + Giro equivalente a giro de centro Simetría axial + giro equivalente a giro de centro Homotecia + Giro equivalente a semejanza Ilustración 2 103
UNIDD 5 TRNSFRMINES GEMÉTRIS 2. Movimientos 2.1. Traslación P q q n n p p v P Traslación de vector guía v m m v Elementos dobles Ilustración 3 Traslación es el movimiento que transforma cada punto P del plano en un punto P mediante el vector, que coincide en módulo, dirección y sentido con un vector libre ν r PP', llamado vector guía, característico de cada traslación. Los únicos elementos dobles son la rectas m, n, p, q,... paralelas al vector guía (Ilust. 3). M v N v v r c Traslación de un segmento r Traslación de una recta c Traslación de un arco Ilustración 4 En la Ilust. 4 se ha definido la traslación mediante el vector guía, para obtener los transformados de los elementos básicos: 104
Para trasladar un punto, se dibuja un vector igual a ν r con origen en, obteniéndose en su extremo. Para ello se trazan dos arcos con centros en N y y radios M y MN, que se cortan en. Para trasladar un segmento se trasladan sus extremos. Para trasladar una recta r se traslada un punto de ella y se traza su paralela r por. Para trasladar un arco se traslada su centro y se traza la transformada c de su circunferencia c, con el mismo radio. rcos de centros, y radio ν r cortan a c en y. Si no se conoce el centro pueden trasladarse tres puntos y obtener este mediante las mediatrices de los arcos. 2.2. Transformada de una figura por traslación. Propiedades En la Ilust. 4 se observa cómo una vez obtenidos los transformados y de los puntos y, el paralelismo e igualdad de y permite asegurar los de y, de donde se extrae la propiedad: los segmentos trasladados son paralelos e iguales a los originales. En consecuencia, se mantiene la forma de la figura y para trasladarla es suficiente trasladar un solo segmento de ella, reproduciéndola en su nueva posición, por cualquier método. v Ilustración 5 En la Ilust. 5 se ha trasladado una figura formada por un triángulo equilátero y una semicircunferencia. En primer lugar se traslada, se obtiene mediante arcos de centros, y radio el lado y, por último, se obtiene mediante un arco de radio y centro en. 105
UNIDD 5 TRNSFRMINES GEMÉTRIS plicación La traslación se utiliza en aquellas construcciones que se resuelven, en parte o totalmente, situando un segmento de longitud y dirección conocida, entre dos líneas. Véase, como ejemplo, la construcción del triángulo conocidos Â, ˆ, a. Transportando  y ˆ sobre una recta y el lado a sobre ˆ, se reduce la construcción a situar a entre los lados de Â. Se resuelve trasladando a = ' ' mediante los vectores ' y ', donde es la intersección de la paralela a c por con el lado b. a  ˆ ˆ b a  ˆ c plicación onstruir un paralelogramo que tenga un vértice en cada lado del cuadrilátero PRS y dos lados iguales a MN en dirección y longitud. Se trasladan los vértices, P, S, obteniendo en la intersección de los arcos de centros N, y radios M, MN y análogamente P y S. N Los puntos de corte, de M S S 'P' con el lado R y P' S' con el lado SR, son dos vértices D P R del paralelogramo. P Los otros dos vértices, D son los originales de, y se obtienen mediante la traslación inversa. 106
2.3. Giro P c c a a b b α P Giro de centro y amplitud α Elementos dobles Ilustración 6 Giro es el movimiento que transforma cada punto P del plano en un punto P mediante un arco PP de sentido definido, tal que: Su centro es un punto fijo llamado centro de giro. La amplitud α del ángulo PP, llamado ángulo de giro, es constante. Los únicos elementos dobles son el centro de giro y las circunferencias a, b, c,... que tienen su centro en él (Ilust. 6). P P α r c c r Giro de un segmento Giro de una recta Giro de un arco Ilustración 7 En la Ilust. 7 se ha tomado el ángulo de giro 60º, a favor de las agujas del reloj, para girar los elementos básicos: 107
UNIDD 5 TRNSFRMINES GEMÉTRIS Para girar un punto se traza un arco de radio y centro, que corta en a la recta que pasa por y forma un ángulo igual al de giro con. Para girar un segmento se giran sus extremos. Para girar una recta r se traza su perpendicular P, se gira el punto P y se dibuja r perpendicular a P. Para girar un arco se gira su centro y se traza la transformada c de su circunferencia c, con el mismo radio. rcos de centro en y radios, cortan a c en y. 2.4. Giro de una figura. Propiedades partir de las figuras de la Ilust. 7 se pueden deducir las siguientes propiedades: El centro de giro está en la mediatriz del segmento definido por un par de puntos homólogos, ya que equidista de y. El ángulo formado por dos rectas homólogas r, r es igual al ángulo de giro α, ya que éstas son perpendiculares en P y P a los lados de α. El centro de giro está en la bisectriz de un par de rectas homólogas, ya que r y r son tangentes a la circunferencia de centro y radio P. 120º Ilustración 8 Se desea girar la figura 120º alrededor de (Ilust. 8). Se giran y construyendo dos veces consecutivas el ángulo de 60º. on centro en y radio se traza la semicircunferencia. Mediante arcos de centros, y radio se completa el triángulo. 108
2.5. Giro entre figuras Entre dos figuras iguales y orientadas en el mismo sentido, existe al menos un giro que transforma la una en la otra. sí, en la Ilust. 9 (izquierda) el triángulo EFG se transforma en E F G mediante el giro de centro y ángulo 80º. El centro de giro se obtiene en la intersección de las mediatrices de EE' y FF'. El ángulo de giro es el que forman los lados homólogos FG y F G. En la Ilust. 9 (derecha) entre los dos triángulos equiláteros existen tres giros posibles según se nombren los vértices del transformado. Si se considera se obtendrá como centro de giro, si será, si será. G E G 314º E F 194º F 73º 80º Ilustración 9 Se obtiene el centro de giro en la intersección de las mediatrices de ' y '. Se mide como ángulo de giro. nálogamente se determinan, y sus ángulos de giro. c M plicación N c M N b c onstruir un triángulo equilátero que tenga un vértice en el punto y los otros dos en las rectas b y c. l girar c un ángulo de 60º alrededor de, su homóloga c, corta a la recta b en el vértice del triángulo. Para ello se traza un arco de centro que corta a la recta c en M, N, cuyo giro dará M N = c. El giro inverso transforma el lado en el lado, ya que el ángulo de giro coincide con el ángulo del triángulo equilátero. Si se efectúa el giro en sentido contrario se obtiene otra solución. 109
UNIDD 5 TRNSFRMINES GEMÉTRIS plicación D c G onstruir un cuadrado que tenga un vértice en el punto y los dos contiguos y D en las circunferencias c y v. v E F Se gira la circunferencia c un ángulo de 90º alrededor de para situarla sobre v. Los puntos de intersección y E determinan los lados y E de los dos cuadrados posibles. l efectuar el giro inverso se obtienen los lados D y G como transformados de y E. El cuarto vértice se obtiene mediante arcos de radio igual al lado. 2.6. Simetría central p p P m m n n a a b b c c Simetría central de centro Elementos dobles P Ilustración 10 Simetría central es el movimiento que transforma cada punto P del plano en un punto P mediante un segmento PP', tal que su punto medio es un punto fijo del plano, llamado centro de simetría, que define la transformación. Los elementos dobles son el centro de simetría, las rectas m, n, p,..., que 110
pasan por él y las circunferencias a, b, c,... que tienen su centro en él (Ilust. 10). P r c r P c Simetría central de un segmento Simetría central de una recta Simetría central de un arco Ilustración 11 En la Ilust. 11 se obtienen los simétricos de los elementos básicos respecto del centro : Se obtiene el simétrico de un punto, en la intersección de la recta con el arco de centro y radio. Se obtiene el simétrico de un segmento hallando los simétricos y de sus extremos. Se obtiene la simétrica de una recta r trazando su perpendicular P, hallando el simétrico P de P, y dibujando r perpendicular a P. Se obtiene el simétrico de un arco hallando el simétrico de su centro, y trazando la transformada c de su circunferencia c, con el mismo radio. rcos de centro en y radios y, cortan a c en y. 2.7. Simetría central de una figura. Propiedades Las rectas simétricas son paralelas, como se deduce de la igualdad y posición de los triángulos y en la Ilust. 11. 111
UNIDD 5 TRNSFRMINES GEMÉTRIS Ilustración 12 Se desea obtener la simétrica de la figura respecto al centro (Ilust. 12). Se obtienen los simétricos de y. on centro en y radio se traza la semicircunferencia. Mediante arcos de centros, y radio se completa el triángulo. plicación R T D D P U S Dado el cuadrilátero D y el punto obtener un segmento P, cuyo punto medio sea y cuyos extremos sean puntos del cuadrilátero. Una simetría central de centro transforma el cuadrilátero D en D, cortándose ambos en tres pares de puntos simétricos (P, ), (R, S) y (T, U) que son extremos de las tres soluciones posibles. plicación r c c Trazar un segmento que tenga un extremo en la recta r, otro en la circunferencia c y cuyo punto medio sea. La simetría central de centro lleva la circunferencia c sobre la recta r. Los puntos de corte y de r con c se transforman mediante la simetría inversa en y. Los segmentos ' y ' son las dos soluciones posibles. 112
2.8. Simetría axial Simetría axial es el movimiento que transforma cada punto P del plano en un punto P mediante un segmento PP', cuya mediatriz es una recta fija e, llamada eje de simetría, que define la transformación. P e n n m m e e a a b b c c Simetría axial de eje e p p Elementos dobles P Ilustración 13 Son elementos dobles todos los puntos del eje de simetría,,,... el propio eje e, las rectas perpendiculares a él m, n, p,... y las circunferencias a, b, c,... que tienen su centro en él (Ilust. 13). M r e c e e r c Ilustración 14 En la Ilust. 14 se obtienen los simétricos de los elementos básicos respecto del eje e: Se obtiene el simétrico de un punto trazando la perpendicular por al eje de simetría y transportando sobre ella, a partir del punto M de corte con el eje, la distancia M. Se obtiene el simétrico de un segmento hallando los simétricos y de sus extremos. 113
UNIDD 5 TRNSFRMINES GEMÉTRIS Se obtiene la simétrica de una recta r hallando el simétrico de uno de sus puntos. La recta simétrica r pasa por y por el punto doble, en que r corta al eje e. Se obtiene el simétrico de un arco hallando el simétrico de su centro y trazando la transformada c de su circunferencia c, con el mismo radio. Trazando las simétricas de las rectas y, utilizando los puntos dobles de corte con el eje e, se hallan y. 2.9. Simetría axial de una figura. Propiedades Las rectas simétricas convergen en el eje de simetría o son paralelas. En la Ilust. 14 centro, r y r cortan al eje e en el punto doble y si r fuera paralela al eje e, también lo sería r. e Ilustración 15 Se desea obtener la simétrica de la figura respecto al eje e (Ilust. 15). Se obtiene el simétrico de y se traza la circunferencia de radio y centro. Trazando la recta, su simétrica pasa por, por el punto doble de corte con el eje y determina y en la intersección con la circunferencia. Mediante arcos de centros, y radio se completa el triángulo. plicación a b a P P c Trazar un triángulo equilátero que tenga un vértice en la circunferencia c y los otros dos en las cuerdas a y b. La simetría central de eje b lleva a sobre c. La intersección de a con c es el vértice del triángulo, y su simétrico se encuentra en la cuerda a. El tercer vértice está situado en la intersección del eje b, que es mediatriz del lado, con el ángulo de 60º construido en. 114
plicación El proyector de un cine emite su rayo luminoso en dirección horizontal hacia un espejo regulable e 1, que lo refleja hacia otro fijo e 2, que a su vez lo conduce a la pantalla. onsiderando que el rayo central del haz luminoso debe incidir en el punto en e 1 y en el centro de la pantalla, se precisa dibujar el espejo e 1 con la inclinación adecuada. e 2 e 1 El ángulo de incidencia y reflexión de un rayo luminoso en un espejo son iguales. Por tanto, la simetría axial de eje e 2, que transforma el punto en, reduce la construcción a la de situar el espejo e 1 en la bisectriz de los rayos y. 3. Homotecia 3.1. Definición. Homotéticos de los elementos básicos P n n p p P Homotecia de centro y razón k - m m P P Homotecia de centro y razón k + Elementos dobles Ilustración 16 La homotecia transforma cada punto P del plano en un punto P mediante un segmento P' alineado con P, donde es un punto fijo llamado centro de homotecia y la razón P' / P = k, siendo k un número real distinto de cero. La homotecia queda definida dando su centro y su razón k. Si k es positiva, P y P quedan del mismo lado de y si k es negativa, el centro estará situado entre ellos. Son elementos dobles el centro de homotecia y las rectas m, n, p,... que pasan por él (Ilust. 16). 115
UNIDD 5 TRNSFRMINES GEMÉTRIS r c r c r r Homotecia de un segmento Homotecia de una recta Homotecia de un arco Ilustración 17 En la Ilust. 17 se ha tomado la razón de homotecia k = 3 para obtener los transformados de los elementos básicos: El homotético de un punto se obtiene transportando sobre la recta, a partir de, el segmento k = 3. El homotético de un segmento se obtiene hallando los homólogos de sus extremos y. La homotética de una recta r se obtiene hallando el homólogo de un punto y trazando por él la paralela a r. El homotético del arco de una circunferencia c se obtiene hallando el homólogo del radio r en, trazando c y obteniendo donde la recta corte a c. 3.2. Homotecia de una figura. Propiedades En la transformación de (Ilust. 17) es posible establecer la proporción ' = ' = k y al ser el ángulo Ô común a los triángulos y estos serán semejantes. De ahí se deducen dos propiedades: Las rectas homólogas que no pasan por el centro son paralelas. Los segmentos homólogos son proporcionales. La consecuencia de estas propiedades y de otras derivadas de ellas, como la conservación de los ángulos y la proporción entre las partes, es que las figuras homotéticas mantienen su forma y aumentan de tamaño proporcionalmente a la razón de la homotecia. 116
k = 4/ 3 Ilustración 18 Se desea obtener la homotética de la figura respecto al centro, siendo k = 4 / 3 la razón (Ilust. 18). Se obtiene el homotético de dividiendo en tres partes iguales y tomando ' = 4 3. Se obtiene donde se corta la paralela a por y la recta. Mediante arcos de centros, y radio se halla. El centro de la semicircunferencia se obtiene donde corta a. 3.3. Homotecia entre figuras La homotecia produce figuras semejantes a las originales. Recíprocamente, dadas dos figuras semejantes, es posible definir entre ellas una homotecia si sus lados homólogos son paralelos. Esta homotecia será directa, es decir, su razón k será positiva, como ocurre con el triángulo equilátero, el cuadrado y la circunferencia de la Ilust. 19. demás, entre dos cuadrados o dos circunferencias puede establecerse una homotecia de razón negativa debido a que dichas figuras tienen centro de simetría. La homotecia puede definirse mediante dos pares de puntos homólogos y, por tanto, dando dos figuras homotéticas. Si se desea definir la homotecia mediante su centro y su razón habrá que obtenerlos. 117
UNIDD 5 TRNSFRMINES GEMÉTRIS + a - a a a a + a + a - a Ilustración 19 El centro está en la intersección de rectas que pasan por puntos homólogos. En la circunferencia utilizaremos sus centros y los extremos de dos radios paralelos, trazados en el mismo sentido para la homotecia de razón positiva y en sentidos contrarios para la de razón negativa ( + y - respectivamente). La razón de la homotecia es la que existe entre las medidas de dos lados o dos radios homotéticos. Se pueden considerar tanto las razones a / a, a / a, como a / a, a / a según se decida cuál es la figura original. plicación onstruir un triángulo semejante al cuya área sea cuatro veces mayor. h El área del triángulo es 1/2 (b h), si se le aplica una homotecia de razón k, su base b y su altura h aumentarán k veces su longitud, mientras que el área lo hará k 2 veces. b Se aplica una homotecia de razón k = 4 = 2 y se elige como centro, para mayor facilidad. 118
plicación dado. Inscribir un triángulo equilátero en un triángulo Se construye un triángulo equilátero D, sobre el D lado y se obtiene su homotético D, mediante la homotecia de centro, que transforma D en D situado sobre el lado. Los homólogos y se obtienen copiando los ángulos D y D. D plicación b c c P c P P Trazar las circunferencias tangentes a las rectas a y b que pasan por el punto P. Se traza la bisectriz de las rectas y con centro en ella una circunferencia c tangente a ambas. Por el punto de corte de a y b, se traza la recta P, que corta a la circunferencia en los puntos P y P. La homotecia de centro y par de homólogos P y P permite encontrar la solución c, que será homotética de c. btendremos la segunda solución tomando P y P como par de homólogos. a 119
UNIDD 5 TRNSFRMINES GEMÉTRIS Recuerda Se aplica un movimiento a una figura obteniendo los homólogos de dos de sus puntos y copiándola en la nueva posición. La traslación se utiliza para situar un segmento, de longitud y dirección conocida, entre dos líneas. El giro se utiliza para construir polígonos cuyos vértices estén en líneas conocidas. La simetría central se utiliza para construir segmentos cuyos extremos estén en líneas dadas, conocido su punto medio. La simetría axial se utiliza para construir la trayectoria poligonal de un rayo de luz que se refleja en varios espejos y similares. También para construir polígonos que tengan ejes de simetría. Para obtener la homotética de una figura se obtiene el homólogo de un punto aplicando la razón. Los demás puntos están en líneas paralelas a las de la figura original y alineados con el centro de homotecia. Entre dos circunferencias se pueden definir dos homotecias. lgunas construcciones de tangencia se resuelven aplicando esta propiedad. Para construir una figura semejante a otra cuya área sea k veces mayor se aplica una homotecia de razón k. 120
ctividades 1. Se desea encajar una placa de bronce de altura a, en posición vertical, entre dos molduras cóncavas cuya sección son dos arcos de circunferencia de centros y. Situar en el esquema los puntos M y N en que la placa entrará en contacto con las molduras. 2. Trazar un segmento cuyos extremos estén en las circunferencias a y b, de modo que sea su punto medio. a a b 3. onstruir un trapecio isósceles tal que la recta a sea mediatriz de sus bases y que sus lados sean cuerdas de las circunferencias b y c. 4. Dibujar la transformada de la figura por un giro de 105º y una homotecia de razón 5 / 3, siendo el centro de ambas. k = 5/ 3 α = 105º b a c 121