Mecánica II Tema 3 Punto sujeto a ligaduras

Mecánica II Tema 3 Punto sujeto a ligaduras Manuel Ruiz Delgado 7 de marzo de 2011 Movimiento del punto sometido a ligaduras......................................... 2 Punto sobre superficie....................................................... 3 Punto sobre superficie: Ecuación de la energía....................................... 5 Punto sobre superficie: otras consideraciones........................................ 6 Punto sobre curva: Planteamiento general.......................................... 7 Punto sobre curva: Proyección sobre la tangente..................................... 8 Punto sobre curva: ecuación de la energía.......................................... 9 Péndulo simple: ecuaciones del movimiento........................................ 10 Péndulo simple: análisis cualitativo.............................................. 11 Péndulo simple: reacción normal............................................... 14 Péndulo simple: desprendimiento............................................... 15 Ley Horaria del Péndulo Simple................................................ 18 Periodo del Péndulo Simple................................................... 19 Ejercicio: Péndulo simple con rotación........................................... 20 1

Movimiento del punto sometido a ligaduras Planteamiento del problema Punto libre: Punto sometido a 1 ligadura: Añadir fuerza y ecuaciones de la ligadura 3 GDL 3 Ecs 3 Incs x, y, z CM x(t), y(t), z(t) 2 GDL 4 Ecs 4 Incs x, y, z(x,y) CM+Lig x(t), y(t), z(t), (t) Buscar las direcciones de los GDL 2 GDL 2 Ecs 2 incs u, v CM u, CM v u(t), v(t) Manuel Ruiz - Mecánica II 2 / 23 Punto sobre superficie Planteamiento general F Superficie lisa: M f(x,y,z) f(x,y,z) = 0 = λ f } m r = F(r,ṙ,t)+λ f x(t),y(t),z(t) f(x,y,z) = 0 λ(t) 4 Ecs, 4 Incs Sistema cerrado Superficie rugosa: hay que ver qué versión del modelo de Coulomb se aplica. Si inicialmente está en reposo, se resuelve un problema de estática para ver si empieza a moverse ( R > µ ) o no ( R µ ) Si ṙ 0 0, se aplica directamente R = µ ṙ ṙ Manuel Ruiz - Mecánica II 3 / 23 2

Punto sobre superficie Proyección sobre el plano tangente F Ecuación paramétrica: r(u, v) M r u r v u y v coordenadas generalizadas: r(u,v, u, v,ü, v) u=cte. v=cte. F(u,v, u, v,t) r u y r v forman una base del plano tangente, a. (F+ m r) n = 0 (F+ m r) r u = f 1 (u,v, u, v,ü, v,t) = 0 (F+ m r) r v = f 2 (u,v, u, v,ü, v,t) = 0 } u(t) v(t) } r(t) Manuel Ruiz - Mecánica II 4 / 23 Punto sobre superficie: Ecuación de la energía Superficie lisa y fija: si las fuerzas son potenciales se conserva la energía. f(x,y,z) = 0 df = f dr = 0 F dr+ λ f dr = dt Si F = V T +V = E En ecuaciones paramétricas: F dr = F(u,v) (r u du+r v dv) = = P(u,v)du+Q(u,v)dv = dv(u,v) Superficie móvil: mejor por dinámica relativa o formulación lagrangiana. o se conserva la energía. f(x,y,z,t) = 0 df = f dr+f t dt = 0 dt = F dr+ λf tdt λ f dr Si F = V, de = d(t +V) = λf t dt 0 Superficie rugosa: el rozamiento disipa energía. R ṙ = µ ṙ ṙ = µ ṙ < 0 ṙ Manuel Ruiz - Mecánica II 5 / 23 3

Punto sobre superficie: otras consideraciones Superficie rugosa: Inicialmente en reposo: R µ { Estática > Desliza Inicialmente en movimiento: desliza, R = µ v v Método general: 4 Ecs + 1 Ec (Coul.); 5 Inc: x,y,z, R, Paramétricas: o se puede ignorar la proyectando sobre el plano tangente: aparece en la R. Habrá 3 Ecs + 1 Ec (Coul.) con 4 Incs: u,v,,r Ligadura unilateral f(xyz) 0: hay que vigilar el signo de. Si cambia de signo, deja de actuar: punto libre Manuel Ruiz - Mecánica II 6 / 23 Punto sobre curva: Planteamiento general g(xyz) f g F Curva en impĺıcitas M f(xyz) C :: { f(x,y,z) = 0 g(x,y,z) = 0 = λ f +µ g C Sistema matemáticamente cerrado 5 Ec (3 ED, 2 EcAlg) 5 Inc. x,y,z, λ, µ m r = F(r,ṙ,t)+λ f +µ g f(x,y,z) = 0 g(x,y,z) = 0 x(t),y(t),z(t) λ(t),µ(t) Si es rugosa, hay que ver antes qué versión del modelo de Coulomb se aplica. Manuel Ruiz - Mecánica II 7 / 23 4

Punto sobre curva: Proyección sobre la tangente g(xyz) F Curva en paramétricas M r u (u) C f(xyz) C :: r(u); ṙ(u, u); r(u, u,ü) Vector tangente a la curva: r u (u) Proyectamos sobre la tangente ( ) Sistema matemáticamente cerrado: 1 Ec (ED) 1 Inc. u [ F(u, u,t)+ m r(u, ] u,ü) r u (u) = f(u, u,ü,t) = 0 u(t) Reacción normal proyectando sobre el triedro intrínseco (o sobre dos direcciones independientes del plano normal): F t = m dv dt F n + n = m v2 R F b + b = 0 Manuel Ruiz - Mecánica II 8 / 23 Punto sobre curva: ecuación de la energía Curva lisa fija: f dr = 0, g dr = 0, dr = r u du t: F dr+ λ f dr+ µ g dr = m r dr = dt La ecuación de la energía equivale a la proyección de la de CMov según la tangente (1 GDL). Curva lisa fija, fuerza potencial: V(r) V(u) F[r(u)] r u du = ϕ(u)du = dv(u) T +V(u) = E Curva rugosa: R = µ v v = µ n 2 +b 2 dirección tangente de las normales. v v (Ojo: f g). o se pude desacoplar la Curva móvil: trabaja Ec. Energía poco útil. Como dr = r u du+r t dt, ya no es equivalente a la proyección de la de CMov según la tangente porque aparece, pero sigue siendo combinación de las tres de CMov. 1 GDL, solo puede haber una ec. del movimiento independiente; eliminando con dos de CMov, la Ec de la energía queda ya equivalente a la de CMov proyectada según t. Manuel Ruiz - Mecánica II 9 / 23 5

Péndulo simple: ecuaciones del movimiento z n t x Partícula pesada sobre circunferencia lisa vertical. Fuerza potencial, no hay rozamiento, y la curva es fija: integral de la energía 1 2 ml2 2 mglcos = E (1) mg Ec. CM según la tangente y la normal ml g = mgsin + sin = 0 (2) l ml 2 = mgcos = ml 2 +mgcos (3) 1 GDL 1 Ec Independiente: (2) es la derivada de (1) Manuel Ruiz - Mecánica II 10 / 23 Péndulo simple: análisis cualitativo Diagrama de energía potencial E V() 2 péndulo simple oscilador armónico 2 1 2 ml2 2 = E +mglcos = E V() Manuel Ruiz - Mecánica II 11 / 23 6

Péndulo simple: análisis cualitativo Mapa de fases 2 2 2E = ± ml 2 + 2g cos l Manuel Ruiz - Mecánica II 12 / 23 Péndulo simple: análisis cualitativo E V() mgl E < mgl, E corta a V Mov. acotado M = ±arccos E mgl. Periódico: libración. El origen es un centro estable. E = mgl, E tangente a V() Separatriz: movimiento asintótico t y puntos de silla E > mgl, E > V max rotación periodica con velocidad variable. 2 2 péndulo simple oscilador armónico 2 2 Manuel Ruiz - Mecánica II 13 / 23 7

Péndulo simple: reacción normal E = 1 2 mv2 0 mgl = 1 2 ml2 2 mglcos ml 2 = mv 2 0/l+2mg(cos 1) = ml 2 +mgcos ( ) = mg 3cos 2+ v2 0 gl Manuel Ruiz - Mecánica II 14 / 23 Péndulo simple: desprendimiento ( ) = mg 3cos 2+ v2 0 gl Ligadura unilateral: por dentro de un aro: r l; 0 Se desprende cuando pasa de + a -: = 0 3cos desp = 2 v2 0 gl Se alcanza? Para qué valores de v 0 se desprende? Velocidad máxima : (asintótico y rotación) desp = 3 = 2 v2 0 gl v0 2 max = 5gl Si llega a sin caerse, ya no se cae (movimiento simétrico para < 0) Manuel Ruiz - Mecánica II 15 / 23 8

Péndulo simple: desprendimiento 0 2 d M d M Velocidad mínima : Si v 0 0, desp cos 1 2 3 > M 0 o se llega a desp porque es > M Libración,v 2 0 < 4gl:Versi desp M.Sino,nosedesprende porque no se llega al ángulo de desprendimiento. Para verlo, expresamos desp en función de M : E = 1 2 ml2 2 mglcos = mglcos M ml 2 = 2mg(cos cos M ) = ml 2 +mgcos = mg(3cos 2cos M ) = 0 cos desp = 2 3 cos M Manuel Ruiz - Mecánica II 16 / 23 Péndulo simple: desprendimiento desp < M sólo a partir de 2 : 0 2 d M d M M = 2 0 = 1 2 mv2 0 mgl v0 2 min = 2gl > 5gl Velocidades ĺımite de desprendimiento: 2gl < v 2 0 < 5gl 2gl < v 2 0 < 5gl < 2gl Manuel Ruiz - Mecánica II 17 / 23 9

Ley Horaria del Péndulo Simple t ω Manuel Ruiz - Mecánica II 18 / 23 Periodo del Péndulo Simple T Libración Asintótico Rotación 2/ω 0 2 gl v 0 Manuel Ruiz - Mecánica II 19 / 23 10

Ejercicio: Péndulo simple con rotación z Ejes ligados a la circunferencia: O mg x F c Equilibrio: proyectar sobre la tangente Peso mgk Fuerza centrífuga mω 2 xi Reacción normal u r ( k) Proyectar en el triedro intrínseco ángulo mr = mω 2 Rcossin mgsin mr 2 = mω 2 Rcos 2 mgcos + ω 2 Rcossin gsin = sin ( ω 2 R/gcos 1 ) = 0 = { 0, arc cos g ω 2 R Manuel Ruiz - Mecánica II 20 / 23 Ejercicio: Péndulo simple con rotación Fuerzas conservativas, liso: puntos estacionarios del potencial: V(x,z) = mgz 1 2 mω2 x 2 El segundo solo existe si ω 2 g R. z= Rsin x=rcos V() = mgrcos 1 2 mω2 R 2 sin 2 dv d = mgrsin mω2 R 2 cossin = 0 = Estabilidad: son estables los mínimos del potencial. ( ) V = mgrsin 1 ω2 R g cos [ V ( = mgr cos ω2 R g cos 2 sin 2)] = ( ) = mgr cos ω2 R g cos 2 { 0, arc cos Manuel Ruiz - Mecánica II 21 / 23 g ω 2 R 11

Ejercicio: Péndulo simple con rotación ( ) V ( ) = mgr 1 ω2 R g < 0, siempre inestable. ( ) V ( 0 ) = mgr 1 ω2 R g, estable cuando ω < g R = ω c, inestable cuando ω > ω c. { [ V ( e ) = mgr g ω 2 R ω2 R ( g ) 2 ( g ω 2 R 1+ g ) ]} ) 2 = mgr( ω 2 R ω 2 R g g > 0. Si existe, ω 2 R ω 2 > g/r estable. V() V() V() ω < ω c ω = ω c ω > ω c Manuel Ruiz - Mecánica II 22 / 23 Ejercicio: Péndulo simple con rotación 2 0 ω c ω 2 Manuel Ruiz - Mecánica II 23 / 23 12