C O N T R O L D I S C R E T O

Transcripción

1 P E D R O J. M O R A L E S C O N T R O L D I S C R E T O E S C U E L A D E I N G E N I E R Í A I N D U S T R I A L, A L B A C E T E U C L M

2 Copyright 2013 Pedro J. Morales escuela de ingeniería industrial, albacete uclm Licencia: CC BY-NC-SA 3.0 ( Primera edición, Febrero 2013

3 Índice general 1. Introducción 7 2. Transformada Z Respuesta Diagramas de Bloques Análisis Diseño 51

4

5 Dedicado a las viñas de la Manchuela. 5

6

7 1. Introducción Sistemas de Control Estamos rodeados de sistemas. Cualquier dispositivo que ejecuta nuestra voluntad con un mínimo esfuerzo es un sistema de control. El interruptor de la luz o el volante de un coche son ejemplos de sistemas de control. También lo son los termostatos o los temporizadores del microondas. Los sistemas automáticos de control toman algún tipo de decisión. El usuario configura el sistema para ejecutar una tarea en un alto nivel de abstracción. El sistema automático toma las decisiones adecuadas para ejecutar las subtareas de forma que se alcance el objetivo propuesto. Los sistemas automáticos pueden ser muy sofisticados o muy simples. Son ejemplos de sistemas automáticos el termostato de una vivienda, una lavadora o el control de potencia de una red de distribución eléctrica. Estos sistemas ejecutan su tarea sin la intervención directa del operador. El termostato conecta o desconecta el calefactor con el fin de mantener la temperatura constante. La lavadora ejecuta la secuencia correcta de operaciones. La red eléctrica mantiene constante la tensión y la frecuencia con independencia de las variaciones de carga. Esta asignatura se centra en los sistemas de control de lazo cerrado. Los sistemas de control de lazo cerrado miden la salida del sistema y la aplica a sí mismo para determinar su comportamiento. Los sistemas de lazo cerrado tienen ventajas, pero también algunos inconvenientes que plantean dificultades al diseñador. Los sistemas de lazo cerrado son un procedimiento muy extendido para resolver problemas en ingeniería. Anatomía de un Sistema de Control Un sistema de control se compone de varias partes, que se muestran en la figura 1. El software genera valores numéricos que son trasladados al convertidor digital-analógico (DAC). Esta señal de baja potencia es

8 8 control discreto amplificada y aplicada a la planta. La planta contiene un actuador que convierte la señal eléctrica del amplificador en alguna acción útil para dirigir la planta. La salida de la planta está conectada a un sensor cuya salida se aplica a un convertidor analógico-digital (ADC). La salida del ADC es leída por el software de control, que utiliza esta información para determinar el próximo valor del DAC. Figura 1: Un sistema de control genérico. Planta La planta es el dispositivo a controlar. Tiene alguna magnitud que hay que controlar. Puede ser desde el nivel de datos en un buffer hasta la velocidad de un tren de varios miles de toneladas. Controlador Es la parte del sistema que controla a la planta. A través de la historia de los sistemas de control, los controladores se han construido utilizando las tecnologías disponibles. Los primeros controladores eran puramente mecánicos. En las instalaciones industriales se utilizaron mucho los controladores neumáticos ya que podían controlar fácilmente a los actuadores neumáticos. Después se empezaron a utilizar los sistemas electrónicos analógicos. Actualmente, los controladores digitales sustituyen a los analógicos. Actuador De manera estricta, un controlador es un algoritmo ejecutado por un procesador, que lee unos números en los puertos de entrada y escribe otros en los de salida. El controlador no puede hacer nada para cambiar el exterior. Para esa tarea necesita un actuador. El actuador es un transductor que toma un comando del controlador y lo convierte en un forma de energía útil para controlar la planta. Los actuadores pueden tomar muchas formas. Pueden ser simples, como una resistencia como elemento calefactor, o complicados, como motores paso a paso para el posicionamiento del brazo de un disco duro.

9 1. introducción 9 Sensor El sensor es un transductor que mide la salida de la planta y la convierte en un formato que pueda ser leído directa o indirectamente por el controlador. Los sensores son normalmente analógicos y convierten alguna magnitud física en una tensión que puede ser aplicada al ADC. Algunas veces, como ocurre con un codificador de giro, la salida es obtenida directamente por el sensor. Control de Lazo Cerrado Los sistemas de lazo cerrado tienen muchas ventajas, pero cada ventaja tiene como contrapartida un inconveniente. El primer inconveniente con el que debe contar el diseñador son las limitaciones de los propios elementos del sistema, es decir, las limitaciones físicas de la planta, sensores, actuadores y coltrolador. Si se puede medir con precisión la salida de la planta y se pueden inducir los cambios en la propia salida de forma fiable, entonces se puede diseñar un controlador que aproxime la precisión de la planta a la del sensor, incluso cuando la planta no tenga un comportamiento fiable. Mediante un sensor preciso y una planta que responda bien a los estímulos, se puede diseñar un controlador que responda a los errores de la planta, esto es, a las desviaciones originadas por perturbaciones externas. El mayor inconveniente de los sistemas en lazo cerrado es la inestabilidad. Es necesario tenerlo en cuenta en el diseño para que el sistema resulte estable. Otro problema son las limitaciones reales de los sistemas. Los sistemas de control no están por encima de la leyes de la Física. Los actuadores tienen una potencia limitada, lo que limita la velocidad de respuesta; la salida de los sensores no está libre de ruido... Pero los sistemas en lazo cerrado tienden a mejorar estas situaciones. Si un sistema en lazo cerrado puede llegar a ser inestable, la planta podría no funcionar en absoluto. La gran razón para utilizar sistemas de control en lazo cerrado es que, a pesar de su coste y complejidad, se puede ejecutar la tarea con mejor calidad que con el sistema en bucle abierto. Controladores Ejecutivos Un controlador ejecutivo es lo que normalmente entendemos por automatismo. Un automatismo toma las decisiones adecuadas en los

10 10 control discreto momentos adecuados. Normalmente, las variables que manejan son booleanas. Por ejemplo: el motor dos está roto, o la tarea cuatro está terminada. Este libro no trata sobre automatismos. Controladores en Lazo Abierto Simplemente ajustan el nivel de control de la entrada sin observar su efecto. Si no se conoce el estado de la planta, el control es de lazo abierto. Reguladores Un regulador es un controlador que monitoriza el estado de la salida y varía el comando de entrada para mantener la salida en un determinado nivel o referencia. En general, la referencia no cambia a menudo. La característica más importante del sistema es la rapidez con que alcanza el valor de referencia cuando arranca y cómo responde a las perturbaciones. Puesto que el regulador controla la planta con información de la salida, el sistema forma un bucle cerrado. Servosistemas Un servosistema es como un regulador. Monitoriza la salida y varía el comando de la planta. La diferencia es que el servo tiene que seguir la entrada fiel y rápidamente con tanta precisión como sea posible, no mantenerla simplemente en un valor de referencia. Acerca del este libro Se divide en dos partes. Los capítulos 1 a 5 están dedicados a la teoría. A partir del 6, el enfoque es más práctico. El capítulo 1 presenta material introductorio. Define los sistemas de control. El capítulo 2 está dedicado a la transformada z, que es el fundamento matemático de los sistemas de control discretos. Se introduce la transformada z y se muestra cómo se pueden resolver problemas básicos de teoría de control de sistemas lineales. El capítulo 3 presenta los criterios de funcionamiento (performance) de los sistemas de control. Se presentan los criterios más comunes y útiles para describir las prestaciones (performance) de los sistemas de control.

11 El capítulo 4 presenta la forma en que se representan los modelos matemáticos de los sistemas mediantes diagramas de bloques. El capítulo 5 está dedicado al análisis de los sistemas de control. Muestra cómo el diseñador puede predecir el funcionamiento de un determinado diseño y cómo le pueden afectar los cambios originados por el envejecimiento o las variaciones debidas a su fabricación. El capítulo 6 está dedicado al diseño de sistemas de control. El capítulo 7 trata del muestreo. Muestra cómo convertir los modelos continuos de las plantas en modelos discretos equivalentes. El capítulo 8 trata de sistemas no lineales. La mayor parte de los diseños se realizan asumiendo que la planta y el controlador son lineales, aunque el mundo real es en general no lineal. Este capítulo muestra cómo resolver el conflicto entre la facilidad de uso de las herramientas de diseño de sistemas lineales y la no linealidad del mundo real. El capítulo 9 trata de la caracterización del funcionamiento (performance de los sistemas). En general, se utiliza la respuesta en frecuencia. En el capítulo 10 se describen los métodos para trasladar los diseños de los sistemas de control en software. 1. introducción 11

12

13 2. Transformada Z En la mayor parte de este libro se utiliza la transformada Z para analizar y diseñar sistemas de control. Señales y Sistemas El término señal se refiere a un flujo de información (continua o discreta) que se desarrolla en el tiempo. La señales se presentan en forma de un registro en hardware, una variable en software, una tensión en un nudo, una presión, una temperatura o cualquier magnitud física. En este libro, las señales continuas se denotan x(t) y las discretas, x[n]. El término sistema tiene dos significados. Una es el conglomerado de varias partes que actúan juntas para conseguir algún objetivo. El otro significado es una construcción matemática que toma una o varias entradas y genera una o varias salidas. El valor de las señales de salida depende de la evolución de las señales de entrada en el tiempo. Una señal u aplicada a un sistema h produce una señal de salida: x(t) = h(u(t), t) Linealidad La transformada z sólo se aplica a sistemas lineales. Un sistema lineal es el que cumple las propiedades de superposición y linealidad. Dadas dos señales x e y, dos cosntantes a y b, un sistema h es lineal si y sólo si: h(ax(t) + by(t)) = ah(x(t)) + bh(y(y)) Por ejemplo el sistema h(x) = 25x es lineal y h(x) = x 2, no lo es. Otra manera de establecer si un sistema es linear consiste en considerar si su ecuación diferencial o en diferencias es lineal. Pero, en general, se prefiere esta porque se puede comprobar sobre cualquier sistema real.

14 14 control discreto La propiedad de superposición hace que los sitemas lineales sean más fáciles de analizar que los sistemas no lineales. La superposición permite separar los efectos de varios términos de la entrada, reducir la cantidad de cálculos y encontrar soluciones generales a los problemas. Invarianza temporal Además de la linealidad de los sistemas, la transformada Z requiere también que sean invariantes temporales. Un sistema es invariante temporal si su comportamiento no cambia con el tiempo. Si la señal x[k] se aplica a un sistema h, se genera la salida: y[k] = h(x[k]) El sistema h es invariante temporal si y sólo si: h(x[k κ]) = y[k κ] Ecuaciones en diferencias Los sistemas continuos se pueden aproximar mediante ecuaciones diferenciales. En los sistemas discretos la situación es diferente. El tiempo está discretizado, y las señales y sistemas se describen mediante ecuaciones en diferencias. En general, las ecuaciones en diferencias toman la forma: Resolución x[n] = K a K k x n k + 1 K 0 b K k u n k Igual que las ecuaciones diferenciales, las ecuaciones en diferencias se pueden resolver por métodos directos; sin embargo, la transformada z proporciona un método sistemático para resolver ecuaciones en diferencias lineales e invariantes temporales. La transformada Z Se puede utilizar la transformada de Laplace para resolver ecuaciones diferenciales lineales e invariantes temporales. Para sistemas discretos, la herramienta a utilizar es la transformada Z. Dada una señal x[k], se define la transformada Z{x}: X(z) = Z{x} = x[k]z k k=0

15 2. transformada z 15 La transformada Z inversa No hay una expresión sencilla para obtener la transformada Z inversa. Hay, sin embargo, un par de procedimientos que funcionan bien si la transformada Z está expresada en forma de cociente de polinomios de z. Uno de los procedimientos se basa en la inspección (uso de tablas), después de algún trabajo matemático. El segundo se basa en la fuerza bruta y consiste en la división de los polinomios. Por inspección El cociente de polinomios de z puede ser expandido en varios términos más simples mediante la expansión en fracciones parciales. Mediante una tabla se puede identificar la correspondencia entre cada uno de los términos y las señales temporales que les corresponden. Ejemplo: X(z) = 0,1z z 2 1,9z + 0,9 = z z 1 z z 0,9 En casos más complicados, la expansión puede calcularse mediante computador. Por división sintética X(z) = 0,1z 1 + 0,19z n 2 + 0,271z n Algunas propiedades de la transformada Z Retardo Un retardo de una muestra hace que la transformada Z de una señal quede multiplicada por z n 1 Linealidad Z{ax + by} = az{x} + bz{y} Esta propiedad es la que nos permite calcular la transformada inversa mediante la expansión en fracciones parciales. Si tenemos las transformadas Z de dos señales, podremos sumarlas sin necesidad de hacerlo en el dominio del tiempo. Esta propiedad permite manipular las señales y sistemas en el dominio z en lugar del dominio del tiempo.

16 16 control discreto Primera Diferencia Su transformada Z es: y[k] = x[k] x[k 1] Y(z) = X(z) z 1 X(z) = z 1 X(z) z Suma (Integración) Se define la operación: y[k] = Y(z) = k x k z z 1 X(z) Teorema del Valor Final En muchas ocasiones, en lugar de estar interesados por una representación exacta de la señal, sólo interesa si alcanza un valor final y cuál es este valor. El valor final es: Demostración: lím x[k] = lím [(z 1)X(z)] k z 1 (z 1)X(z) = (x[k + 1] x[k])z k k= Para una señal x causal, se puede empezar la suma desde k = 1: = lím z 1 ( lím [(z 1)X(z)] = z 1 [ ]) p lím (x[k + 1] x[k])z k p k= 1 ] [ p = lím p (x[k + 1] x[k]) k= 1 = lím p x[ p] El uso del valor final no está limitado a señales convergentes. Para señales rampa o paráboloa se puede calcular su velocidad o aceleraciø n si se les aplica los correspondientes operadores en diferencias.

17 2. transformada z 17 Teorema del Valor Inicial Para una señal causal: x[0] = lím z X(z) Es muy raro encontrar una transformada Z que no esté expresada en forma de cociente de polinomios. Por tanto, el valor inicial puede ser calculado fácilmente mediante la inspección de los coeficientes. Si los polinomios son del mismo grado, el valor inicial es el cociente de los términos independientes. Si el numerador es de menor grado, el valor inicial es nulo. Si es de mayor grado, no se puede aplicar el teorema. Funciones de Transferencia La transformada Z es una herramienta adecuada para el análisis de funcionamiento de los sistemas. Obtención de la Función de Transferencia Dado un sistema especificado por una ecuación en diferencias, se puede aplicar la ecuación en diferencias, que puede ser arreglada para presentarla en esta forma: X(z) U(z) = b N z N + b N 1 z N b 0 z N + a N 1 z N a 0 Ahora, si se aplica una señal u a un sistema especificado poe esta función de transferencia, se obtendrá una salida x cuya transformada Z es el producto de la función de transferencia por la transformada Z U(z) de la entrada. Esto significa que, desde la perspectiva de la transformada Z, no es necesario conocer nada más del sistema. La función de transferencia se suele denotar como: H(z) = X(z) U(z) = b N z N + b N 1 z N b 0 z N + a N 1 z N a 0 Es importante pensar en la función de transferencia como un operador que cambia la señal de entrada en una señal de salida. H(z) puede ser confundida con la transformada Z de una señal. La transformada Z de la respuesta del sistema a un impulso es, precisamente, H(z). Por eso, se suele denominar a la función de transferencia H(z), respuesta impulsional. En el dominio z, la señal de salida se calcula mediante el producto: X(z) = H(z)U(z)

18 18 control discreto Esto significa que, mediante el uso de la transformada Z, el proceso de resolver una ecuación en diferencias se reduce a una multiplicación de polinomios en z. Ejemplo: En la figura se muestra un sistema compuesto por un motor controlado por tensión. La posición del eje de salida se lee mediante un potenciómetro. Ignorando las no linealidades, la función del sistema se describe mediante la ecuación: Figura 2: Un motor controlado por tensión y un engranaje. x[k] = (a + 1)x[k 1] ax[k 2] + bu[k 1] 1. Obtenga la función de transferencia del sistema. 2. Use la función de transferencia para obtener la respuesta al escalón con a = 0,8 y b = 0,2 Después de unos cálculos, se obtiene: H(z) = X(z) U(z) = bz (z 1)(z a) Conociendo la transformada Z de la entrada, se puede calcular la transformada Z de la salida. z X ste p (z) = H(z) z 1 = bz 2 (z 1) 2 (z a) Finalmente: X ste p (z) = z (z 1) 2 4z z 1 + 4z z 0,8 x[k] = (k 1 + 0,8 k )u[k] Estabilidad en el Dominio Z Normalmente, al diseñar un sistema en lazo cerrado, se desea que la salida siga los comandos de la entrada. No se desea que el sistema siga su propia conducta. Cuando la señal de entrada tiene un valor finito (acotado), la señal de salida también debe ser acotada. Entonces se dice que el sistema es estable. El diseño de sistemas estables es uno de los principales objetivos de la ingeniería de los sistemas de control. Si un sistema es lineal e invariante temporal, sus propiedades de estabilidad pueden ser calculadas directamente a partir de la información en el dominio z. Polinomio Característico Al descomponer en fracciones parciales la función de transferencia del sistema se obtiene una suma de términos. Cada término

19 2. transformada z 19 se corresponde con una componente de la señal de salida. Esta es una propiedad importante porque las raíces del denominador de la función de transferencia manifiestan su presencia en la salida del sistema. La señal de salida no tendrá ninguna componente que no esté en la entrada o en la función de transferencia del sistema. Por tanto, si tenemos interés en conocer el comportamiento general del sistema, no el comportamiento para una entrada determinada, no será necesario analizar el funcionamiento para todas las entradas posibles. Bastará factorizar el denominador y mirar el valor de sus raíces. La utilidad del denominador de la función de transferencia para predecir el comportamiento de un sistema estan importante que en ingeniería se denomina polinomio característico. Toda la información acerca de la estabilidad del sistema y de la rapidez con que el sistema responde a las entradas está contenida en las raíces del polinomio característico, que se denominan polos del sistema. Cada polo del sistema genera una componente en la respuesta que crece o decrece según el valor absoluto del polo. Por ejemplo, si hay un polo en z = d, habrá una componente en la respuesta del tipo d k. La frontera entre los polos estables e inestables es la circunferencia de radio unidad, z = 1. Se puede hacer una predicción sobre la estabilidad y respuesta del sistema simplemente conociendo la localización de los polos. Un sistema con polos cerca de z = 0 responderá con rapidez. Un sistema con los polos cercanos al círculo unitario será más lento. Si los polos están sobre el círculo unitario tendrá una respuesta sostenida. Con una entrada acotada puede presentar una respuesta creciente. Los sistemas con polos fuera del círculo unitario tendrán respuestas con crecimiento exponencial. Es habitual representar gráficamente los polos y los ceros junto con la circunferencia de radio unidad, como referencia. Ejemplo: Un sistema tiene la función de transferencia: z H(z) = 3 (z 0,8)(z 0,9 j0,17)(z 0,9 + j0,17) Dibuje el diagrama de polos y ceros, obtenga las componentes de su respuesta, y realice una estimación del tiempo necesario para que la respuesta se mantenga en el rango de un 1 % del valor máximo. La respuesta del sistema tiene una componente por cada uno de los polos: y[k] = y T [k] + A(0,8) k + B(0,9 + j0,17) k + B (0,9 j0,17) k Aplicando la fórmula de Euler: Figura 3: Diagrama de polos y ceros. y[k] = y T [k] + A(0,8) k + C(0,916) k cos(φ + 0,17k)

20 20 control discreto El valor de k necesario para que la señal se mantenga en el rango de un 1 % del valor máximo es: lo que ocurre para x 53. (0,916) k = 0,01 Respuesta en Frecuencia Si un sistema con función de transferencia H(z) se excita con una señal senoidal x[k] = u[k] sin(θ k), entonces la respuesta tendrá dos partes: la respuesta homogénea y h [k] = A sin(θk + φ) y una parte no homogénea que depende de las características de H(z). El cálculo de la respuesta se puede realizar mediante la expansión en fracciones parciales, aunque puede ser simplificado si se aplica la identidad de Euler. x[k] = sin(θk) = 1 (e jθk e jθk) 2 De forma similar, la respuesta será: y[k] = A sin(θk + φ) = A 2 (e j(θk+φ) e j(θk+φ)) Un cálculo simple demuestra que: H(e jθ ) = Ae jφ En ingeniería de control, a la constante A se le llama ganancia y al argumento φ, fase. Usualmente, la ganancia se expresa en decibelios (db). Cuando se expresa la función de tranferencia en términos de la ganancia y la fase en función de la frecuencia, el resultado se denomina respuesta en frecuencia. De hecho, se puede especificar el funcionamiento de un sistema utilizando exclusivamente la respuesta en frecuencia. Por tanto, se puede utilizar la respuesta en frecuencia para diseñar un controlador sin necesidad de recurrir a la transformada Z. La respuesta en frecuencia puede ser medida directamente sobre el sistema y los resultados pueden ser utilizados para el diseño del controlador. esto es de gran ayuda puesto que la obtención de un modelo adecuado en el dominio z es a veces imposible. La representación gráfica de la respuesta en frecuencia en un diagrama logarítmico se denomina diagrama de Bode. Ejemplo: Represente el diagrama de Bode para una frecuencia de muestreo de 100 Hz. Gol(z) = (z 0,97)(z 0,98) (z 1) 2 (z 0,995) Conociendo la respuesta en frecuencia de una planta es posible realizar operaciones de análisis o diseño con un controlador. Figura 4: Diagrama de Bode.

21 2. transformada z 21 Conclusión En este capítulo se ha presentado información esencial sobre la transformada Z. Se ha definido la transformada y se ha mostrado cómo puede ser utilizada para resolver ecuaciones en diferencias, para representar sistemas y para obtener información de los mismos. Finalmente, se ha tratado la respuesta en frecuencia y cómo puede ser utilizada para el análisis y diseño de sistemas sin necesidad de recurrir a la transformada Z.

22

23 3. Respuesta No es suficiente describir cómo funciona un sistema. También es necesario diseñarlos de tal modo que realicen su tarea de forma adecuada. Para ello, hay que expresar los requerimientos del sistema de una manera consistente. Hay medidas de los sistemas de control que son habitualmente utilizadas en la industria y que se relacionan fácilmente con la descripción del sistema en el dominio z. Este capítulo introduce las medidas usadas corrientemente para describir la performance de los sistemas en el dominio del tiempo y de la frecuencia, y los relaciona con la descripción en el dominio z. Sistemas seguidores o de rastreo El objetivo de casi todos los sistemas de control es seguir la trayectoria de la señal de entrada. Un procedimiento obvio de medida de la performance del sistema es la rapidez con que alcanza su objetivo o el tiempo necesario para dejar de moverse una vez que está suficientemente cerca. Respuesta al Escalón Con la excepción de un setpoint constante, el comando más simple es el cambio brusco de un valor del setpoint a otro. Idealmente, el sistema debe seguir al comando de forma inmediata, pero en la realidad esto no ocurre así. En la figura 5 se muestran los principales parámetros de la respuesta a una entrada escalón. Hay cinco parámetros: el tiempo de establecimiento (t s ), el tiempo de subida (t r ), el tiempo de retardo (t d ), el sobreimpulso (a v ) y el error en estado estacionario (a ss ). El tiempo de establecimiento es el tiempo necesario para que la respuesta se mantenga dentro de un margen respecto al valor final. El sobreimpulso es el exceso de la respuesta respecto del valor final. El tiempo de subida es el necesario para alcanzar el 90 % del valor final. El tiempo de retardo es el necesario para alcanzar el 10 % del valor final. El error estacionario es la Figura 5: Respuesta al escalón.

24 24 control discreto diferencia entre el setpoint y el valor real de la respuesta. Estas definiciones pueden cambiar. Para evitar la ambigëdad, las especificaciones deben ser clarificadas. Si un sistema puede ser descrito mediante una función de transferencia de primer o segundo orden, entonces, los parámetros de la respuesta al escalón pueden ser calculados matemáticamente. Aunque los sistemas reales no sean tan simples, el análisis de su respuesta puede servir para hacerse una idea de su funcionamiento. Sistemas de primer orden Dado un sistema de primer orden pasabajos: Su respuesta al escalón es: R ste p (z) = T(z) = 1 d z d (1 d)z (z 1)(z d) r ste p[k] = 1 d k El tiempo de retardo puede ser calculado: 1 d t d = 0,1 cuyo resultado es un número real. Una aproximación más moderada es: ( ) ( ) td ln(0,9) k d = ceil = ceil ln(d) T s Si el sistema es muestreado con un periodo lento en relación con la respuesta y la precisión del cálculo es importante, podría ser necesario considerar la naturaleza continua de la planta para calcular el valor exacto del tiempo de retardo. El cálculo del tiempo de subida es similar: 1 d t r = 0,9 ( ) ln(0,1) k r = ceil(t r ) = ceil ln(d) El sistema es de primer orden, tiene una respuesta monótona creciente y alcanza el valor final de forma asintótica. El tiempo de establecimiento es el mismo que el tiempo de subida y no presenta sobreimpulso. Es útil el concepto de constante de tiempo para un sistema de primer orden. Se define expresando la respuesta en la base de los logaritmos naturales: R ste p = 1 d k = 1 e kln(d) La constante de tiempo es el tiempo necesario para que el exponente alcance el valor -1: τ = T s ln(d)

25 3. respuesta 25 Los parámetros dinámicos de la respuesta se pueden relacionar directamente con la constante de tiempo: El tiempo necesario para alcanzar el 37 % del valor final es una constante de tiempo. En cinco veces la constante de tiempo, la salida alcanza el valor final dentro de un margen del 1 % Los tiempos de retardo, subida y establecimiento se escalan con la constante de tiempo. Sistemas de segundo orden En los sistemas de segundo orden, el tiempo de retardo y el sobreimpulso son importantes para describir su funcionamiento. El funcionamiento de los sistemas de segundo orden depende principalmente de sus polos, que se presentan normalmente en pares complejos conjugados. En forma exponencial: que origina una respuesta del tipo: Aplicando la identidad de Euler: z = e a jθ y[k] = Ae a+jθ + A e a jθ +... y[k] = 2Ad k cos(θk + φ) donde d es e a y φ es el argumento de A. El comportamiento de los polos depende de a y de θ. El parámetro a indica la rapidez con que se desvanece la oscilación y θ determina la frecuencia de oscilación. Con estos dos parámetros se puede calcular el coeficiente de amortiguamiento (dumping ratio) y la frecuencia natural. La frecuencia natural de un polo es una medida aproximada de la rapidez de respuesta, y se define como el valor absoluto del exponente: ω n = a 2 + θ 2 El coeficiente de amortiguamiento de un par de polos conjugados tiene un valor entre 0 y 1 y determina la rapidez útil de la respuesta: ζ = a ω n = a a 2 + θ 2 Mediante la inspección de los polos se comprueba que un polo doble sobre el eje real no produce oscilación, mientras que un par de polos sobre el círculo unitario producirá una oscilación sin amortiguamiento.

26 26 control discreto Los parámetros a y θ se pueden expresar en términos de la frecuencia natural y del coeficiente de amortiguamiento: a = ζ ω n θ = ω n 1 ζ 2 Los sistemas de segundo orden se pueden clasificar según sus coeficientes de amortiguamiento. Si ζ = 1, el sistema es de amortiguamiento crítico. Si ζ < 1, el sistema es subamortiguado. Si ζ > 1, el sistema es sobreamortiguado. Los sistemas sobreamortiguados tienen un funcionamiento que se asemeja al de los sistemas de primer orden. Los sistemas que tienen interés en la ingeniería de control son aquellos en los que ζ toma un valor entre 0 y 1. Por ejemplo, para un sistema de paso bajo: La respuesta al escalón es: H(z) = (1 2d cos(θ) + d2 )z z 2 2d cos(θz) + d 2 y[k] = 1 e ζω n k (cos(ω n 1 ζ 2 k)+ + e ζω n cos(ω n 1 ζ) sin(ω n 1 ζ) sin(ω n 1 ζ 2 k)) En la figura 6 se muestran las respuestas para diferentes valores del coeficiente de amortiguamiento: Los valores bajos de ζ tienen una subida rápida y producen sobreimpulso. Un valor alto, como ζ = 1, corresponde a dos polos reales. Tiene una subida lenta y no produce sobreimpulso. Un valor intermedio tiene un comportamiento más moderado. Una oscilación excesiva alrededor del valor final indica una proximidad a la inestabilidad. La figura 7 muestra cómo afecta el coeficiente de amortiguamiento al tiempo de establecimiento y al tiempo de subida. La figura 8 muestra el sobreimpulso en función de ζ. Sistemas de Orden Superior Cuando un sistema tiene tres o más polos, no resulta práctico hacer generalizaciones. En ocasiones, al realizar la expansión en fracciones parciales, se observa que el sistema tiene un polo de primer orden o un par conjugado de segundo orden cuya respuesta domina la respuesta total del sistema. En este caso, el polo (o par de polos) es el polo dominante. Cuando esto sucede, se puede tratar al sistema como si fuera de primer o segundo orden para el trabajo preliminar. Esta técnica es muy práctica, pero no hay que olvidar que se trata de una aproximación. Figura 6: Respuesta al escalón. Figura 7: Tiempos de subida y de establecimiento en función de ζ. Figura 8: Sobreimpulso en función de ζ.

27 3. respuesta 27 En la figura 9 se muestra la respuesta de un sistema de tercer orden donde hay un polo dominante de primer orden. El par resonante está sobreamortiguado. La oscilación de la respuesta indica que el par resonante podría ser peligroso y que una frecuencia poco acertada en la entrada podría provocar inestabilidad en el sistema. Rampa y Respuestas de Orden Superior La respuesta al escalón es muy útil ya que da mucha información acerca del funcionamiento real del sistema. Si el sistema ha sido diseñado para seguir una entrada variable, la respuesta al escalón no cuenta la totalidad de la historia, y es útil entonces caracterizar la respuesta del sistema frente a entradas rampa, parábola u otras señales de orden superior. La figura 10 muestra la respuesta de un sistema a una rampa. El tiempo de subida no tiene aquí prácticamente ningún significado; sin embargo, el parámetro a u (undershoot) tiene aquí un papel importante. Una diferencia importante entre la respuesta al escalón y las respuestas de orden superior es que en el escalón la respuesta está acotada. Por tanto, en un sistema estable, el error final (a ss ) puede no ser finito. Figura 9: Respuesta de un sistema de tercer orden con un polo subamortiguado. Figura 10: Respuesta de un sistema a una rampa. Respuesta en Frecuencia Las respuestas temporales son siempre útiles, pero no informan acerca de cómo reacciona el sistema ante señales continuas e incluso aleatorias. Esta clase de señales se expresan fácilmente en el dominio de la frecuencia, de modo que resulta interesante describir el funcionamiento del sistema en el dominio de la frecuencia. Los sistemas diseñados específicamente para operar en el dominio de la frecuencia reciben el nombre de filtros. Los filtros típicos son los de pasobajo, pasoalto, paso de banda y rechazo de banda. Ganancia DC El aspecto más importante de un sistema en lazo cerrado es que sea estable. Una vez asegurada la estabilidad, la característica más importante es la relación entre la salida y la entrada para una señal de entrada constante, una vez que se haya alcanzado el estado estacionario. Este factor se denomina Ganancia DC. La ganancia DC es la ganancia del sistema para frecuencia nula, es decir, para z = 1.

28 28 control discreto Ancho de Banda En un sistema de paso bajo, el ancho de banda (bandwidth) significa ancho de banda a 3dB. Es la frecuencia a la que la amplitud de la salida es 3 db inferior a la amplitud en DC. En la figura 11 se muestra el ancho de banda de un filtro pasabajos. Los sistemas con mayor ancho de banda responden en general con mayor rapidez. Es interesante considerar también que para un sistema que no tenga muchos ceros ni polos altamente resonantes, es generalmente correcto asumir que la respuesta temporal será similar a la de un sistema de primer o segundo orden con un ancho de banda similar. Esta aproximación suele dar buenos resultados, pero siempre se debe comprobar la respuesta temporal. Figura 11: Ancho de banda de un filtro pasabajos. Desplazamiento de Fase El desplazamiento de fase de un sistema es importante por dos razones: primero porque el error de rastreo depende del desplazamiento de fase tanto como de las variaciones de amplitud, segundo porque la fase de la respuesta afecta directamente a la estabilidad del sistema. Ejemplo Un sistema tiene una frecuencia de muestreo de 1000Hz y una función de transferencia: H lp (z) = z 2 (z 0,9) 3 Dibuje las gráficas de ganancia y fase y la diferencia entre la unidad y la magnitud de la respuesta: 1 H lp (z) y la señal de error: 1 H lp (z) Observe que el error, aún siendo el mismo en altas frecuencias, empieza a subir mucho antes que el error aparente. esto es debido a que el desplazamiento de fase inducido por el filtro domina el error, salvo a frecuencias más elevadas. Rechazo a las Perturbaciones Figura 12: Fase y magnitud de un pasobajo de tercer orden. No todos los sitemas de control son diseñados como rastreadores. Hay muchos sistemas que se diseñan exclusivamente para mantener constante la salida frente a las perturbaciones que puedan afectar al sistema. Estos sistemas de control se denominan reguladores. Figura 13: Error real y aparente.

29 3. respuesta 29 La figura 14 muestra un sistema de control donde se produce una perturbación. Un sistema ideal eliminaría de la respuesta las entradas no deseadas. Desafortunadamente, esto no es posible. Un sistema de control puede afectar fuertemente a la respuesta del sistema, pero hay limitaciones para el tipo de perturbaciones que el sistema puede manejar. Por tanto, es necesario definir el rechazo que es aceptable para un tipo de perturbación determinado. El rechazo a las perturbaciones se puede expresar en el dominio del tiempo o en el dominio de la frecuencia. Figura 14: Sistema con perturbación. Dominio del Tiempo En la figura 15 se muestra la respuesta de un sistema a una perturbación. Después de la perturbación, la salida sube hasta un valor de pico y después, baja. Normalmente, conviene considerar el valor de pico, el tiempo que tarda en alcanzarlo y cualquier valor residual DC que quede. Otros parámetros de interés podrían ser el área total de la respuesta o la energía total originada por el error. Figura 15: Respuesta a la perturbación. Dominio de la Frecuencia La respuesta del sistema a las perturbaciones puede ser presentada como una respuesta en frecuencia. Normalmente, presentan la forma de un filtro de paso de banda, lo que significa que a bajas y a altas frecuencias el sistema controla la peturbación, y en frecuencias intermedias, parte de la perturbación se transmite a la salida. Conclusión En este capítulo se han cubierto los métodos corrientes para caracterizar el funcionamiento (performance) de un sistema de control. Se ha mostrado que la descripción del sistema en el dominio z puede ser usada para predecir el comportamiento. Esta información es útil en las primeras fases del diseño, cuando se trata de determinar qué es necesario para que el sistema se ajuste a determinados objetivos.

30

31 4. Diagramas de Bloques En la ingeniería de sistemas de control se utilizan frecuentemente los diagramas de bloques para representar los sistemas. El uso de los diagramas tiene dos ventajas. Por un lado representan claramente la estructura del sistema. Por otra parte, los diagramas de bloques se pueden considerar como un lenguaje que proporciona métodos formales de análisis. El Lenguaje de Bloques La figura 16 es un ejemplo de un diagrama de bloques de un sistema de control en lazo cerrado. Hay que tener en cuenta que no hay un acuerdo universal acerca de las reglas de los diagramas de bloques. Es responsabilidad del ingeniero añadir textos adicionales para aclarar aquellos aspectos del diagrama que presenten alguna confusión. Figura 16: Diagrama de bloques. Tipos de Elementos Señales Las señales se representan mediante líneas con forma de flecha. Bloques con Operadores Unarios Se representa mediante un bloque en el que se indica la función de transferencia. Un operador es unario si su salida depende únicamente de la señal de entrada. Estos bloques pueden tener memoria o no. Bloques con Operadores M-arios

32 32 control discreto La salida depende de varias entradas. Por ejemplo, un sumador. Bloques Jerárquicos Un bloque jerárquico es un bloque que contiene más bloque en su interior. Análisis de Sistemas mediante Diagramas de Bloques Los diagramas de bloques son también útiles para analizar sistemas. A partir de un diagrama representado totalmente en el dominio z o de Laplace, se puede obtener la función de transferencia global. Sin embargo, en algunos casos, se representa el sistema mediante una mezcla de bloques definidos en el dominio de Laplace y en el dominio z. Extracción Directa de las Ecuaciones La forma más obvia de analizar un diagrama de bloques es extraer las ecuaciones relevantes y resolverlas directamente. La planta es un elemento calefactor controlado por una tensión cuya potencia es proporcional al cuadrado de la tensión de control. La temperatura de la planta está modelada como un filtro pasobajo de la suma de la temperatura ambiente más el incremento de temperatura producido por el elemento calefactor. El controlador es un simple PI. El desarrollo de las ecuaciones del sistema es una tarea tediosa pero directa: Figura 17: Diagrama de bloques de un sistema calefactor. v i [n] = v i [n 1] + k i (T T [n] T p [n]) El incremento de temperatura producido por el calefactor es: T h [n] = [ v i [n] + k p (T t [n] T p [n]) ] 2

33 4. diagramas de bloques 33 Por tanto, la temperatura de la planta es: T p [n] = T p [n 1]+ (1 d) (T a [n 1]+ [ k h vi [n 1] + k p (T T [n 1] T p [n 1]) ] 2 T p [n 1]) Esta ecuación e no lineal y no puede reducirse. En la práctica hay que resolverla mediante simulación paso a paso o mediante linealización alrededor de algún punto de trabajo. Manipulación de los Diagramas de Bloques Dado el diseño inicial de un sistema, el diagrama puede ser reducido mediante la aplicación de algunas de estas cuatro reglas: agrupación en cascada, desplazamiento de sumadores, combinación de sumadores, y reducción de bucles. En general, estas operaciones dependen del principio de superposición y no pueden ser realizadas con bloques no lineales. La reducción de bucles se presenta en la figura 18 La agrupación en cascada se muestra en la figura 19 Figura 18: Simplificación de bucles. El desplazamiento de sumadores se basa en en una simple relación algebraica: (U 1 + U 2 )G = U 1 G + U 2 G Figura 19: Simplificación en cascada. Sistemas con Entrada Múltiple Los sistemas con una entrada y una salida se denominan sistemas SISO (Single Input Single Output). Los sistemas reales pueden tener entradas y salidas múltiples. A veces es útil modelar la perturbación como una entrada al sistema. Este es un ejemplo de multiple input, single output. Al analizar esta clase de sistemas podemos tener interés en considerar la capacidad del sistema para rechazar las perturbaciones, por lo que se

34 34 control discreto Figura 20: Desplazamiento de sumadores. debe obtener la función de transferencia del sistema tomando como entrada la perturbación. La función de transferencia es: T i (z) = G(z)H 1(z)H 2 (z) 1 + G(z)H 1 (z)h 2 (z) Figura 21: Diagrama de bloques con una perturbación como entrada. Y la función de transferencia desde la perturbación a la salida: T d (z) = H 2 (z) 1 + G(z)H 1 (z)h 2 (z) Se puede observar que los dos denominadores son iguales. Esta es una característica general de los sistemas realimentados. Independientemente de dónde se inserten las entradas y salidas del sistema, los polos siguen siendo los mismos. Ejemplo: Un Calentador con un Controlador PI La función de transferencia de la planta tiene un modelo simplista: Figura 22: Control de un calefactor afectado por la temperatura ambiente. H(z) = (1 d 1)(1 d 2 ) (z d 1 )(z d 2 ) El controlador PI tiene la función de transferencia: G(z) = k p + k i z 1

35 4. diagramas de bloques 35 Obtenga la respuesta del sistema frente a un cambio en la temperatura ambiente. La función de transferencia respecto a la perturbación es: T d (z) = H(z) 1 + G(z)k h H(z) Para calcular la respuesta a un cambio en la temperatura ambiente es necesario hacer un par de observaciones: Primero, el cambio estacionario en la temperatura ambiente tiene una serie de componentes que se anulan conforme el tiempo crece, más un escalón. En segundo lugar, el controlador PI ha de ser ajustado de tal forma que el sistema sea estable. Es decir, para todos los polos: z < 1. Aplicando el teorema del valor final se obtiene el error en estado estacionario: ( ) z e steadystate = lím(z 1) T z 1 z 1 d (z) ( ) z kpp (z 1) e steadystate = lím(z 1) = 0 z 1 z 1 k 0 Ejemplo: Sistemas de Salida Múltiple (SIMO). Requerimientos de un Sistema de Rastreador El sistema consta de un motor controlado por tensión con una constante de tiempo de 20ms. El sistema se muestrea a 100Hz, siendo la función de transferencia efectiva: H(z) = Y(z) 0,00426z + 0,00361 = U c (z) (z 0,607)(z 1) Figura 23: Sistema rastreador. por unidad de la señal de entrada y con la salida medida en radianes. El controlador tiene la función de transferencia: G(z) = 9,5z 5 z 0,4 Obtenga la función de transferencia del sistema desde la entrada al control del motor. Obtenga la mayor amplitud del escalón que se puede aplicar al sistema sin que la entrada al motor exceda el valor absoluto de 1. Encuentre el procedimiento para que el motor arranque desde la situación de reposo, alcance el 50 % de su rango y pare sin exceder la máxima entrada al motor. La función de transferencia desde la entrada hasta el control del motor es: U c U = 9,5z3 20,27z ,80z 3,035 z 3 1,9727z 2 + 1,2722z 0,2641 La respuesta al escalón es: U cstep = z 9,5z 3 20,27z ,80z 3,035 z 1 z 3 1,9727z 2 + 1,2722z 0,2641

36 36 control discreto U cstep = 9,5 + 7,40z 4,87 z 2 1,520z + 0, ,518 z 0,447 La respuesta se puede ver en la figura 24. El máximo se produce en el tiempo inicial. Por tanto, se puede calcular mediante el teorema del valor inicial, que da el valor de 9.5. Así, la máxima amplitud del escalón de entrada tal que no se excede una unidad en la entrada del motor es 1/9,5 = 0,105. La respuesta del motor a una rampa unitaria se puede obtener de la misma manera: Figura 24: Entrada al motor para entrada escalón. U cramp = z 9,5z 3 20,27z ,80z 3,035 (z 1) 2 z 3 1,9727z 2 + 1,2722z 0,2641 En la figura 25 puede verse claramente que el valor final es también el máximo. El valor final es: 1 9,5z U f inal = 3 20,27z ,80z 3,035 lím z 1 z 1 z 3 1,9727z 2 + 1,2722z 0,2641 = 49,9 El valor máximo de la pendiente de la rampa será 1/49,9, es decir, 2 % por muestra, o 200 % por segundo. Hay muchas maneras de dirigir el motor sin exceder la excitación máxima. Una posibilidad es la que se muestra en la figura??, donde la rampa está limitada a un 2 % por muestra. Conclusión Figura 25: Entrada al motor para entrada rampa. Figura 26: Excitación de un motor mediante una rampa. En este capítulo se ha presentado un método para describir sistemas mediante diagramas de bloques. Se ha presentado un procedimiento formal para analizar sistemas a partir del diagrama.

37 5. Análisis En los capítulos previos se ha mostrado cómo se modela un sistema y se describe su funcionamiento mediante la transformada z. Sin embargo, los modelos de las plantas no son siempre precisos. Algunas características pueden cambiar con el tiempo, la temperatura o por otras causas. La planta a la que se aplicará un sistema de control producido en serie puede ser distinta a la planta standard para la que fue diseñado. El diseñador debe ser capaz de predecir el comportamiento de un controlador frente a un sistema que puede estar sometido a variaciones. En este capítulo se presentan métodos para analizar sistemas cuyas características pueden cambiar. Estos métodos pueden ser presentados en el dominio de la transformada z y en el dominio de la frecuencia en el caso de no disponer de un modelo en el dominio z. En este capítulo se presenta el método del lugar de las raíces, que nos muestra lo que ocurre con los polos, y se muestran otros métos de diseños basados en la respuesta en frecuencia, y cómo se relacionan estos con el lugar de las raíces. Finalmente, se mostrará cómo utilizar estas herramientas en una variedad de controladores y técnicas para diseño de sistemas. Lugar de las Raíces El lugar de las raíces es una representación gráfica de todas las posibles ubicaciones de los polos de la ecuación característica. El lugar de las raíces muestra el efecto de incluir un controlador en el sistema según la variación de un parámetro. Mediante una adecuada elección del parámetro que varía, se puede averiguar si un determinado controlador se adapta o no a los requerimientos del diseño. Por otra parte, si el parámetro refleja cómo cambia el sistema en el tiempo o cómo le afecta el proceso de fabricación, se puede tener una idea acerca de cómo afectará a su funcionamiento.

38 38 control discreto El Lugar de la Raíces en General Sea el sistema parametrizado por la variable θ: H(z) = sin θ cos θz z 2 (2 cos θ sin θ cos θ)z + 1 cos θ La figura 27 muestra el lugar de las raíces cuando θ varía entre 0 y 2π. Se ha construido variando la variable θ, calculando las raíces de la ecuación caracteística y representándolas gráficamente. Se puede observar que la función de transferencia toma valores estables e inestables. Una posterior investigación revela que la función de transferencia es estable para valores de θ entre 0 y π/2. Figura 27: Lugar de las raíces. El Trazado del Lugar de las Raíces de Evans Cuando el sistema es parametrizado de tal manera que los coeficientes del polinomio varían como una función lineal del parámetro, entonces se puede trazar el lugar de las raíces de Evans. Este tipo de lugar de las raíces, restringe la clase de sistemas que pueden ser trazados, pero sus propiedades hacen posible trazarlo a mano. Si se considera el sistema de control con realimentación unitaria en el que se ha parametrizado la ganancia, la función de transferencia es: H(z) = Y(z) U(z) = Si G(z) es una función racional: G(z) = A(z) B(z) kg(z) 1 + kg(z) Entonces: ka(z) H(z) = ka(z) + B(z) El lugar de las raíces puede ser trazado mediante computador de una forma muy precisa. Puesto que cumple las condiciones de Evans, puede ser trazado a mano aproximadamente, siguiendo las reglas, lo que puede ser útil en muchas ocasiones. Sea, por ejemplo, en el sistema de la figura 28: G(z) = z 0,5 (z 1)(z 0,9) La figura 29 muestra el lugar de las raíces. Figura 28: Sistema de control con realimentación unitaria. Propiedades del Lugar de las Raíces Se enuncian sin demostración algunas propiedades del lugar de las raíces. Algunas son específicas del lugar de las raíces de Evans, pero otras son más generales. Figura 29: Lugar de las raíces.

39 5. análisis 39 El Lugar de las Raíces es Continuo Es una propiedad general. Si los coeficientes del polinomio varían de forma continua y el coeficiente de mayor grado no se anula, no habrá saltos de un punto a otro. Puntos del Trazado El método de Evans se basa en la observación de que si k es positivo real, entonces el punto z c pertenece al lugar de las raíces si y sólo si G(z c ) es real y estrictamente negativo. Se llega a esta observación mediante los siguientes razonamientos: z c pertenece al LR si el polinomio característico tiene un cero en z c para algún valor positivo de k. El polinomio característico tiene una raíz para algún z c y k si y sólo si el denominador de la función de transferencia es cero para z c y k. El denominador ka(z) + B(z) es cero si 1 + kg(z) es cero. El denominador 1 + kg(z) es cero si kg(z) = 1 kg(z) = 1 si G(z) es estrictamente negativo. Un gran número de reglas para el trazado a mano se derivan de esta única regla. Las Raíces van hacia los Ceros o hacia el Infinito Otra propiedad del lugar de las raíces de Evans es que si k varía desde cero a infinito, el lugar de las raíces parte de los polos en lazo abierto hacia los ceros. El exceso de raíces va hacia el infinito. Mirando el denominador de H(z), cuando k = 0 el denominador es B(z), y los polos del sistema coinciden con los polos de G(z). Cuando k, el denominador es dominado por A(z), por eso los polos tienden hacia las raíces de A(z) excepto para el exceso de polos que ocurre cuando el grado de B(z) es mayor que el de A(z). Puesto que cualquier sistema con polos cuya magnitud exceda 1 es inestable, esto significa que siempre habrá un máximo k que llevará el sistema hacia la inestabilidad. Los sistemas reales siempre tienen al menos un polo en exceso. En general, se puede pensar que un sistema será inestable con altos valores de k. Uso del Lugar de las Raíces El lugar de las raíces muestra las posibles ubicaciones de los polos de la función de transferencia del sistema cuando algún parámetro es variado. Esta propiedad es muy útil: permite encontrar los valores correctos del parámetro para un controlador, permite determinar si un sistema permanecerá estable si el parámetro cambia, y permite