DU]Q>!!3_]RY^Qd_bYQ 1. a) (x2 ) 3 x 5. = x11. = a3 b 3 a 5. = a8. = x6 x 5. = x 7 b) (ab)3 a 5

Transcripción

1 DU]Q>!!3_]RY^Qd_bYQ 1 z (VFULEHODFLIUDTXHIDOWDSDUDTXHORVVLJXLHQWHVQ~PHURVVHDQGLYLVLEOHVSRU\DODYH] ,QGLFDFXiOHVGHORVQ~PHURVDQWHULRUHVVRQWDPELpQGLYLVLEOHVSRU Un numero es divisible por 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3, luego son múltiplos de 3 : ( = 1 ) y 2 10 ( = 12 ) z (IHFW~D a) (x2 ) 3 x x = x6 x x = x11 x = x b) (ab)3 a = a3 b 3 a (a 2 ) 3 b 3 a 6 b 3 = a a 6 = a 2 n &DOFXODHOYDORUGHORVVLJXLHQWHVQ~PHURVIDFWRULDOHV3XHGHVD\XGDUWHGHODFDOFXODGRUD 2! = 2 1 = 2 6! = = 20. 9! = = ! = 10 9!= ! = 11 10! = ! = 12 11! = o 'HTXpQ~PHURHVIDFWRULDO" Descomponemos en factores : Es decir 00 = = =!

2 DU]Q>!!3_]RY^Qd_bYQ 2 p 6LPSOLILFD\FDOFXOD b) 1000! 999! = ! 999! = 1000 c) 12! 6!! 3! = ! 6!3232 = 11 3 =92 d) 3!10!!32! = !109!!32! = = q 6LPSOLILFD, FRPR HQHOPRGHORODVVLJXLHQWHVH[SUHVLRQHV : b) n! (n 1)! = n(n 1)! (n 1)! = n c) (n+1)! (n 2)! = (n+1)n(n 1)(n 2)! (n 2)! d) (n 3)! (n+1)! = r +DOODHOYDORUGH n. =(n+1)n(n 1)=n 3 n (n 3)! (n+1)n(n 1)(n 2)(n 3)! = 1 (n+1)n(n 1)(n 2) = 1 n 2n 3 n 2 2n a) n! = 11! H n! = 11109! =! b) (n+1)! n! = H (n + 1)! = n! H (n + 1) n! = n! H n + 1 = H n = s &DOFXODORVVLJXLHQWHVQ~PHURVFRPELQDWRULRV =! 2!3! = 3! 23! = 2 = 10 = 6 32 = = 20 = = 6 11 = = = 1

3 DU]Q>!!3_]RY^Qd_bYQ 3 t +DOODORVYDORUHVGH n y k. a) n 3 = 3 H n(n 1)(n 2) 32 = 3 H n (n 1) (n 2)=3 6 = 6 H n = b) n = 6; n(n 1)(n 2)(n 3)(n ) 32 = H n (n 1) (n 2) (n 3) (n ) =32 n(n 1)(n 2)(n 3)(n )=6Hn= c) k = 1 H k = 0 n + 1 d) = 1 H (n+1)n(n 1)(n 2) 32 = 3 H (n + 1) n (n 1) (n 2) =332 y reagrupando( 3 2 =6): (n+1) n (n-1) (n-2) = 6 3Ö n+1 = 6 Ö n = 6-1 = e) k 1 = 21 Como = = 21 H k 1 = H k = 6 f) n 1 = 126 H (n 1)(n 2)(n 3)(n )(n ) 321 = 9 2 H (n 1) (n 2) (n 3) (n ) (n ) =96Hn 1=9Hn=10 u 3DUDTXpYDORURYDORUHVGH[VHYHULILFD 1 x + 3 = 1 2x H Si son iguales H x + 3 = 2x Z x = 3 Por P3 H x + 3 = 1 2x Z x = v &RPSOHWDUD]RQDGDPHQWHODVVLJXLHQWHVLJXDOGDGHV a)... = Por la P = + b)... = Por la P 11 =

4 DU]Q>!!3_]RY^Qd_bYQ nm HGXFHDXQVyORQ~PHURFRPELQDWRULRODVH[SUHVLRQHVVLJXLHQWHV a) = = = = ya que por la propiedad P 3 se cumple : 1 9 = = 1 6 = = 1 nn &RQVWUX\HHOWULiQJXORGHDUWDJOLDKDVWDODGXRGpFLPDILOD\EXVFDHQpOORVYDORUHV 3,, y = 3 32 = 2 = 10 ; = = 21 = 6 32 = 2 = 0 12 = = 11 9 = 92

5 DU]Q>!!3_]RY^Qd_bYQ no WLOL]DHOWULiQJXORGHDUWDJOLDSDUDGHWHUPLQDUORVQ~PHURVFRPELQDWRULRVFX\RVYDORUHVVRQ \ 6 = 2 = 6 1 = 6 ;20 = 6 3 = 20 1 = ;3= 3 = = 3 1 = = 2 = 6 = 2 1 = 2 2 np WLOL]DQGRODIyUPXODGHOELQRPLRGH1HZWRQHVFULEHHOGHVDUUROORGH (a + b) 6 = 6 0 a a b a b a3 b a2 b + 6 ab b6 = = a 6 + 6a b + 1a b a 3 b 3 + 1a 2 b + 6ab + b 6 (a b) = 0 a + 1 a ( b)+ 2 a6 ( b) a ( b) 3 + a ( b) + a 3 ( b) + 6 a2 ( b) 6 + a( b) + ( b) = = a - a b + 2a 6 b 2-6a b 3 + 0a b - 6a 3 b + 2a 2 b 6 - ab + b nq &DOFXODODVVLJXLHQWHVSRWHQFLDV a)(2x + 1) = 0 (2x) + 1 (2x)3 + 2 (2x) x + (2x) 0 = = 16x + 32x 3 + 2x 2 + x + 1 b) (3x 2) 6 = 6 0 (3x) (3x) ( 2)+ 6 2 (3x) ( 2) (3x)3 ( 2) (3x)2 ( 2) + 6 (3x)( 2) ( 2)6 = = 29x x x x x x =

6 DU]Q>!!3_]RY^Qd_bYQ 6 = 29x x + 60 x x x 2-6x + 6 c) (x 2 + 2z) = 0 (x2 ) + 1 (x2 ) (2z)+ 2 (x2 ) 6 (2z) (x 2 ) (2z) (x2 ) (2z) + (x2 ) 3 (2z) + 6 (x2 ) 2 (2z) 6 + x2 (2z) + (2z) = = x 16 + x 1 2z + 2x 12 z 2 + 6x 10 z 3 + 0x 16z + 6x 6 32z + 2x 6z 6 + x 2 12z + 26z = x x 1 z + 112x 12 z 2 + x 10 z x z + 192x 6 z + 192x z x 2 z + 26z nr &DOFXODHOWpUPLQRVpSWLPRGH ( a+b) 16 \HOWpUPLQRGpFLPRGH ( a -b) 21. Se sabe que el término k-ésimo del desarrollo de ( a+b) n es : Luego : T k = n k 1 an k+1 b k 1 T = 16 6 a b 6 = a 10 b 6 = 00a 10 b 6 T 10 = 21 9 a ( b) 9 = a 12 ( b 9 )= a 12 b 9 ns +DOODHOWpUPLQR FHQWUDOGHOGHVDUUROORGH (2x - ) 1. Como la potencia es 1, el desarrollo tendrá 19 términos y el central será el número diez ( décimo ) : T10 = 1 9 (2x) ( ) 9 = x 9 ( 9 )= x 9 M x 9.

7 DU]Q>!!3_]RY^Qd_bYQ nt &DOFXODFXiQWRVQ~PHURVGHWUHVFLIUDVGLIHUHQWHVSXHGHQIRUPDUVHXVDQGRVyORORDGtJLWRV 2, 3,, 6, y Influye el orden pues Sin repetición ya que dice cifras diferentes. Son V 6,3 = 6 = 120 números de tres cifras distintas. nu &XiQWDVSDODEUDVGHVLHWHOHWUDVGLIHUHQWHVFRQVHQWLGRRQRSXHGHQIRUPDUVHFRQODVOHWUDV $%&'()*+H\" &XiQWDVDFDEDQHQ'" <HQ'$" Influye el orden pues ABC ACB Sin repetición ya que dice letras diferentes. Son V 9, = = 11 0 palabras. La que acaban en D son de la forma D, es decir tenemos 6 lugares que rellenar con letras en las condiciones citadas, luego : V,6 = 6 3 = palabras terminan en D, la novena parte. las que terminan en DA son de la forma _ D A, es decir tenemos cinco posiciones para llenar con letras : V, = 6 3 = 2 20 palabras termina en DA, la octava parte de las anteriores. nv (VFULEHODVYDULDFLRQHVFRQUHSHWLFLyQGHODVOHWUDVDEFG\HWRPDGDVGHHQ VR,3 = 3 = 12 variaciones Se forman las 2 primeras ramas del árbol y luego vamos sustituyendo la primera letra por las otras cuatro ( b, c, y e ). aaa, aab, aac, aad, aae, aba, abb, abc, abd, abe, aca, acb, acc, acd, ace, ada, adb, adc, add, ade, aea, aeb, aec, aed, aee, baa, bab, bac, bad, bae, bba, bbb, bbc, bbd, bbe, bca, bcb, bcc, bcd, bce, bda, bdb, bdc, bdd, bde, bea, beb, bec, bed, bee, caa, cab, cac, cad, cae, cba, cbb, cbc, cbd, cbe, cca, ccb, ccc, ccd, cce, cda, cdb, cdc, cdd, cde, cea, ceb, cec,

8 DU]Q>!!3_]RY^Qd_bYQ ced, cee, daa, dab, dac, dad, dae, dba, dbb, dbc, dbd, dbe, dca, dcb, dcc, dcd, dce, dda, ddb, ddc, ddd, dde, dea, deb, dec, ded, dee, eaa, eab, eac, ead, eae, eba, ebb, ebc, ebd, ebe, eca, ecb, ecc, ecd, ece, eda, edb, edc, edd, ede, eea, eeb, eec, eed, eee. " om &XiQWDVYHFHVGHEHPRVODQ]DUXQDPRQHGDSDUDTXHHOQ~PHURGHUHVXOWDGRVSRVLEOHVVHD Como se repiten y además influye el orden : VR 2,x = 2 x = 6 = 2 6 Ö x = 6 veces. on &XiQWRVQ~PHURVGHFXDWURFLIUDVSXHGHQIRUPDUVHXVDQGR~QLFDPHQWHODVFLIUDV \" En cada ordenación pueden repetirse las cifras e influye el orden luego son variaciones con repetición de 6 números tomados de cuatro en cuatro: VR 6, = 6 = números. oo &XiQWDVSDODEUDVGHVLHWHOHWUDVFRQVHQWLGRRVLQpOSXHGHQIRUPDUVHFRQODVOHWUDV$% &'()*+,-\." En cada ordenación pueden repetirse las letras e influye el orden luego son variaciones con repetición de 11 números tomados de en : VR 11, = 11 = palabras. op 6HODQ]D XQ GDGRFLQFR YHFHVFRQVHFXWLYDV &XiQWRVUHVXOWDGRV GLVWLQWRV SRGHPRVREWHQHU " &RQVWUX\HHOGLDJUDPDHQiUERO Influye el orden y se pueden repetir luego son variaciones con repetición de 6 elementos tomados de en : VR 6, = 6 = 6 resultados.

9 DU]Q>!!3_]RY^Qd_bYQ 9 Como hacer el árbol completo ocuparía bastante ( son 6 resultados ) vamos a esquematizar su construcción : oq &XiQWDVSRVLELOLGDGHVKD\GHUHVSRQGHUDXQWHVWFRQLWHPVGHOWLSRYHUGDGHURIDOVR" < VLKD\WUHVUHVSXHVWDVSRVLEOHVSDUDFDGDLWHP" Evidentemente influye el orden y además hay que repetir ( V o F ), luego : VR 2,10 = 2 10 = 102 y si son tres las respuestas VR 3,10 = 3 10 = 9 09 or (OVLVWHPDELQDULRGHQXPHUDFLyQVyORXWLOL]DODVFLIUDV\ &XiQWRVQ~PHURVGLVWLQWRVGH FXDWURFLIUDVSRGHPRVHVFULELU" Al total que son VR 2, = 2 = 16 hay que descontar los que comienzan por cero ( si consideramos que no tiene cuatro cifras ) es decir VR 2,3 = 2 3 =, es decir quedan 16 = números de cuatro cifras.