Matemáticas I Bachillerato Internacional. Jesús García de Jalón de la Fuente IES Ramiro de Maeztu Madrid

Transcripción

1 Matemáticas I Bachillerato Internacional Jesús García de Jalón de la Fuente IES Ramiro de Maeztu Madrid

2

3 Índice general 1. Raíces y logaritmos Potencias Raíces Las raíces como potencias de exponente fraccionario Operaciones con radicales Logaritmos Propiedades de las logaritmos Cambio de base Funciones exponenciales y logarítmicas Combinatoria Combinatoria Variaciones y permutaciones Combinaciones Números combinatorios. Binomio de Newton Variaciones y permutaciones con repetición Inducción matemática Polinomios y ecuaciones Polinomios. Valor numérico Raíces de un polinomio Teoremas del factor y del resto Descomposición factorial de un polinomio de segundo grado Regla de Ruffini Ecuaciones de primer grado Ecuaciones de segundo grado Ecuaciones irracionales

4 4 ÍNDICE GENERAL 3.9. Ecuaciones de grado superior al segundo Relaciones de Cardano Ecuaciones exponenciales y logarítmicas Inecuaciones Trigonometría Ángulos Razones trigonométricas de ángulos agudos La escuadra y el cartabón Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera Resolución de triángulos Área de un triángulo Reducción al primer cuadrante Suma de ángulos Ángulo doble y ángulo mitad Fórmulas de transformación en producto Funciones circulares La fórmula de Herón Números complejos Cuerpos Números complejos Operaciones con complejos en forma binómica Potencia y raíz cuadrada en forma binómica Forma polar y trigonométrica del número complejo Producto y cociente en forma trigonométrica Potencia y raíz en forma polar Forma exponencial de un número complejo Números complejos y transformaciones geométricas Geometría Ecuación punto-pendiente y expĺıcita de la recta Ecuación canónica o segmentaria Ecuación general o impĺıcita Posición relativa de dos rectas Ángulo de dos rectas

5 ÍNDICE GENERAL Distancias Mediatriz y bisectriz Vectores Otras formas de la ecuación de la recta Cónicas Circunferencia Elipse Hipérbola Parábola Estadistica Introducción Frecuencias Gráficos estadísticos Medidas de tendencia central Medidas de dispersión Ejemplo Estadística bidimensional Introducción Correlación lineal Recta de regresión Probabilidad Experimentos aleatorios. Probabilidad Cálculo de probabilidades Sucesos Operaciones con sucesos Probabilidad condicionada. Teorema de Bayes Variable aleatoria Distribuciones de probabilidad La distribución binomial Distribución de Poisson La distribución normal Distribuciones binomial y normal

6 6 ÍNDICE GENERAL 11.Sucesiones Sucesión Límite de una sucesión Cálculo de ĺımites El número e Progresiones aritméticas y geométricas Funciones Definiciones Funciones de primer y segundo grado Función de proporcionalidad inversa Funciones exponenciales y logarítmicas Funciones circulares Transformación de funciones Límites de funciones. Continuidad Límite cuando la variable tiende a infinito Límite cuando la variable tiende a un número finito Funciones continuas. Casos de discontinuidad Asíntotas Nueva definición de continuidad Reglas para el cálculo de ĺımites Límites cuando x Límites cuando x tiende a un número c Dos ĺımites importantes El ĺımite lím x 0 sen x x El ĺımite lím x 0 ln(1 + x) x Aplicaciones al cálculo de ĺımites Propiedades de las funciones continuas

7 Tema 1 Raíces y logaritmos 1.1. Potencias. Una potencia a n, en donde n es un entero positivo es un producto de factores iguales: a n = a a a... a }{{} n factores El factor que se repite a se llama base de la potencia y el número de veces que se repite, n, es el exponente. Así definidas, las potencias tienen las cinco propiedades siguientes: Producto de potencias de la misma base: a m a n = a m+n Para sumar potencias de la misma base, se suman los exponentes. Cociente de potencias de la misma base: a m a n = am n Para dividir potencias de la misma base, se restan los exponentes. Potencia de una potencia: (a m ) n = a mn Para elevar una potencia a otro exponente, se multiplican ambos exponentes. Potencia de un producto: (MN) n = M n N n La potencia de un producto es igual al producto de las potencias. Potencia de un cociente: ( ) n M = M n N N n La potencia de un cociente es igual al cociente de las potencias. 7

8 8 TEMA 1. RAÍCES Y LOGARITMOS Estas propiedades son sencillas de justificar a partir de la definición de potencia como un producto de factores iguales. Por ejemplo, la primera propiedad se demuestra de la siguiente manera: a m a n = a } a a {{... a } } a a a {{... a } m factores n factores = a a a... a }{{} m + n factores = a m+n El concepto de potencia puede extenderse a exponentes enteros no positivos de forma que se sigan cumpliendo las propiedades anteriores: Si dividimos dos números iguales sabemos que el resultado es 1. Dividamos dos potencias iguales: 1 = an a n = an n = a 0 = a 0 = 1 Así pues, sea cual sea la base, si el exponente es cero, la potencia vale 1. Sea ahora una potencia de exponente negativo. Para que se cumpla la primera propiedad debe ocurrir que: a n a n = a n+n = a 0 = 1 = a n = 1 a n El número a n es el inverso de a n. Así definidas, las potencias de exponente negativo o cero, cumplen las propiedades enumeradas anteriormente. Pero ya no se pueden definir como productos de factores iguales (un número no puede multiplicarse por sí mismo un número negativo de veces). 1.. Raíces. La raíz cuadrada de un número N es otro número que elevado al cuadrado es igual a N. Este número se representa por N. Es decir, este número cumple que: ( ) N = N Los números positivos tienen dos raíces cuadradas. Por ejemplo hay dos raíces cuadradas de 9 que son +3 y 3 pues cualquiera de estos números elevados al cuadrado dan 9. Cuando queramos distinguir entre la raíz cuadrada positiva y negativa de un número pondremos el signo delante. Así, la raíz positiva de 3 se indica mediante + 3 y la negativa mediante 3. No existe raíz cuadrada de los números negativos puesto que cualquier número al cuadrado es positivo. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 4 no puede ser ni + ni puesto que = ( ) = 4. De forma similar se definen las raíces cúbicas, cuartas, etc. La raíz cúbica de N es un número que elevado al cubo es igual a N. La raíz cuarta de N es un número que elevado a la cuarta es igual a N. Por ejemplo: 3 8 = porque 3 = = porque ( ) 3 = = 3 porque 3 4 = = 3 porque ( 3) 4 = 81 Todos los números, positivos y negativos, tienen una única raíz cúbica. Sin embargo, como en el caso de la raíz cuadrada, los números positivos tienen dos raíces cuartas y los números negativos no tienen ninguna.

9 1.3. LAS RAÍCES COMO POTENCIAS DE EXPONENTE FRACCIONARIO. 9 En general, la raíz enésima de un número N es un número n N que elevado al exponente n es igual a N: ( n N ) n = N Esta definición, la podemos expresar también de la siguiente forma: x n = N x = n N en donde se aprecia que la raíz permite despejar una incógnita que está elevada a un exponente. En la expresión n N, N es el radicando y n es el índice de la raíz. En general, existe una única raíz de índice impar para todos los números. Los números positivos tienen dos raíces de índice par y los números negativos no tienen ninguna. Las raíces tienen las propiedades siguientes: Raíz de un producto: n M N = n M n N La raíz de un producto es igual al producto de las raíces. Raíz de un cociente: n M n M N = n N La raíz de un cociente es igual al cociente de las raíces. Raíz de una potencia. Siempre que existan las raíces se verifica que: ( ) n N m n m = N La raíz de una potencia es igual a la potencia de la raíz. Raíz de una raíz: m n mn N = N La raíz de una raíz es una raíz cuyo índice es el producto de los índices. Propiedad de simplificación: np N mp = n N m El índice de la raíz y el exponente del radicando pueden multiplicarse o dividirse por el mismo número Las raíces como potencias de exponente fraccionario. Podemos pensar ahora qué sentido podemos darle a una potencia de exponente fraccionario como, por ejemplo 5 1. Como en el caso de los exponentes negativos no puede considerarse como un producto de factores iguales pues no tiene sentido multiplicar 5 por sí mismo media vez. Se trata entonces, de definir este número de tal forma que se cumplan las propiedades de las potencias que hemos visto. Elevando este número al cuadrado y aplicando la propiedad de la potencia de otra potencia resulta: ( ) = 5 = 5 1 = 5

10 10 TEMA 1. RAÍCES Y LOGARITMOS Vemos que 5 1 es un número que, elevado al cuadrado, es igual 5. Pero el número que elevado al cuadrado es 5 es 5. Por consiguiente: 5 1 = 5 En general: a 1 n = n a puesto que y si el numerador es distinto de 1: ( ) n a 1 1 n = a n n = a 1 = a a m n = n a m puesto que a m n = (a 1 n ) m = ( n a ) m = n a m Es decir, el denominador del exponente es el índice de la raíz y el numerador es el exponente del radicando Operaciones con radicales. Vamos a ver algunos ejemplos de las operaciones más usuales con radicales. Extraer factores de la raíz: 18 = 64 = = 8 3 = 3 3 7x5 = 9x 4 3x = 3x 3x Introducir factores en la raíz: 5 6 = 5 6 = = = 3 70 x 3 5x = 4x 6 5x = 0x 7 Multiplicar o dividir radicales. Si las raíces tienen el mismo índice, se multiplican o dividen los radicandos. Si tienen distinto índice, aprovechando la propiedad de simplificación, se reducen a índice común y después se multiplican o dividen los radicandos: 18 6 = 18 6 = = = = x 3 5x ; 4 3x 3 = 1 6 x x x 9 = x 3 Suma de radicales. Solamente puede encontrarse una expresión más sencilla en el caso de que los radicales sean semejantes, esto es, radicales en los que después de extraer factores queden raíces iguales. Si no sucede así, la suma se deja indicada = (5 + 3) 6 = = = = = 3 esta suma debe dejarse indicada Racionalizar denominadores. Se trata de obtener fracciones equivalentes sin raíces en el denominador. La técnica es diferente según aparezca o no en el denominador una suma o diferencia de raíces: 5 3 = = = = = = = ( 3 + 1) ( 3 1)( 3 + 1) = ( 3 + 1) 3 1 = ( 3 + 1)

11 1.5. LOGARITMOS Logaritmos. Sea a un número positivo distinto de 1. Se llama logaritmo en base a del número N y se representa mediante log a N a la solución de la ecuación a x = N: Ejemplos: a x = N = x = log a N 3 x = 81 = x = log 3 81 = 4 x = 8 = x = log 8 = 3 5 x = 1 5 = x = log = 1 3 x = 3 = x = log 3 3 = 1 También puede definirse de la siguiente forma. Sea a un número positivo distinto de 1, se llama logaritmo en base a del número N y se representa mediante log a N al exponente que hay que poner a a para obtener N. Ejemplos: log 7 49 = ya que 7 = 49 log 5 15 = 3 ya que 5 3 = 15 log 4 = 1 ya que 4 1 = Primeras propiedades: Puesto que para a > 0 las potencias de a son positivas, la ecuación a x = N no tiene solución en el caso de que N sea negativo o cero. En consecuencia, solamente existen los logaritmos de los números positivos. Puesto que a 0 = 1, el logaritmo de 1 es igual a 0 en cualquier base: a 0 = 1 log a 1 = 0 De la definición de logaritmo se deducen las siguientes propiedades de simplificación: log a a x = x ; a log a x = x 1.6. Propiedades de las logaritmos. Logaritmo de un producto. El logaritmo del producto de dos números es igual a la suma de los logaritmos de los factores: log a (MN) = log a M + log a N Demostración: log a M = x = a x = M log a N = y = a y = N } = log a (MN) = log a (a x a y ) = log a a x+y = x+y = log a M+log a N Logaritmo de un cociente. El logaritmo del cociente de dos números es igual a la diferencia de los logaritmos de los factores: log a M N = log a M log a N Demostración: } log a M = x = a x = M log a N = y = a y = N = log a M N = log a a x a y = log a a x y = x y = log a M log a N

12 1 TEMA 1. RAÍCES Y LOGARITMOS Logaritmo de una potencia. El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base: log a M n = n log a M Demostración: n factores {}}{ log a M n = log a (M M... M) = n sumandos {}}{ log a M + log a M log a M = n log a M Logaritmo de una raíz. El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido por el índice de la raíz: log a n M = 1 n log a M Demostración: log a n M = log a M 1 n = 1 n log a M 1.7. Cambio de base. Si conocemos los logaritmos en la base a, pueden calcularse los logaritmos en otra base b mediante: log b N = log a N log a b Demostración: Supongamos que queremos calcular log b N. Si llamamos x a este número: log b N = x = b x = N Aplicando el logaritmo base a en esta última igualdad: log a b x = log a N = x log a b = log a N = x = log b N = log a N log a b Veamos ahora algunas aplicaciones de la fórmula del cambio de base: Calcular con una aproximación a las milésimas log Puesto que la calculadora nos da los logaritmos neperianos: log 5 60 = ln 60 ln 5,544 Obtener sin calculadora log Puesto que los dos números son potencias de, pasando a esta base: log 3 16 = log 16 log 3 = 4 5

13 1.8. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS. 13 Demostrar que log 1 a N = log a N. Cambiando a la base a: log 1 a N = log a N log a 1 a = log a N 1 = log a N Ejercicio 1. Calcular los siguientes logaritmos: (a) log 3 7 (b) log (c) log (d) log Solución: 1 (a) log 3 7 = log 3 7 = 3 (b) log = log log 7 49 = 3 1 (c) log 9 3 = log 9 1 log = log log 3 9 = 3 = (d) log 5 5 = log 5 1 log 5 5 = 1 Ejercicio. Conocido log 5 = 0,6990, hallar log 1,5 y log 0,03. Solución: Conocido log 5 se conoce también log ya que: Entonces: log = log 10 5 log 1,5 = log 5 = log 10 log 5 = 1 0,6990 = 0,3010 = log 5 log = log 5 log = log 5 log = 0,6990 0,3010 = 1,0970 log 0,03 = log = log 3 log 1000 = log 5 3 = 5 log 3 = 5 0, = 1, Funciones exponenciales y logarítmicas. Las funciones definidas por y = a x donde a es un número positivo cualquiera se llaman funciones exponenciales. Sea cual sea el valor de a, la función puede escribirse en la base e, es decir como y = e kx con k = ln a positivo o negativo según que a sea mayor o menor que 1. Como características más importantes de estas funciones destaquemos las siguientes:

14 14 TEMA 1. RAÍCES Y LOGARITMOS Sea cual sea el valor de x, e kx es positivo. El eje de abscisas, esto es la recta y = 0 es una asíntota horizontal de y = e kx en o + según sea k positivo o negativo. La curva y = e kx no corta al eje de abscisas. Corta al eje de ordenadas en el punto (0, 1). Figura 1.1: Función exponencial Se llaman funciones logarítmicas las definidas por f(x) = log a x. Con ayuda de la fórmula del cambio de base de los logaritmos, cualquier función logarítmica puede expresarse como y = k ln x, donde ln x es el logaritmo neperiano o sea el logaritmo en la base e. Como propiedades fundamentales de estas funciones citaremos: Las funciones logarítmicas solo existen para x positivo. La recta x = 0 (el eje de ordenadas) es asíntota vertical de y = k ln x. La curva y = k ln x no corta al eje de ordenadas. Corta al eje de abscisas en (1, 0). Figura 1.: Función logarítmica

15 Tema Combinatoria.1. Combinatoria. La combinatoria es la parte de las Matemáticas que trata de las distintas agrupaciones que pueden formar colecciones finitas de objetos y, en particular, de obtener el número de las configuraciones posibles. Problemas típicos de combinatoria serían calcular el número de diagonales de un polígono de n lados, o de cuántas maneras diferentes se pueden repartir cinco cartas de una baraja, etc. Ejercicio 3. A una reunión asisten 0 personas. Antes de empezar la reunión se saludan todos dándose la mano. Cuántos saludos han intercambiado? Resolveremos este problema de dos formas diferentes. Modo 1. Un asistente podría pensar que como él ha tenido que saludar a 19 personas (a todos menos a sí mismo), y dado que hay 0 personas, el número saludos es 0 19 = 380. Sin embargo, este resultado no es correcto. La razón es que procediendo de esta manera, cada saludo se ha contado dos veces: el saludo que han intercambiado A y B se ha contado entre los que hizo A y entre los que hizo B. Por consiguiente, el número de saludos es exactamente la mitad: 0 19 = 190. Modo. Una forma de no contar los saludos repetidos sería la siguiente. Un asistente saluda a los 19 restantes y se retira. Se han completado así 19 saludos y quedan 19 personas. El siguiente asistente saluda a los 18 restantes y se retira. Ha efectuado 18 saludos y quedan 18 personas. Este proceso continúa hasta que solamente quede una persona, en ese momento se habrán saludado todas y el número de saludos ha sido: = 190. En general, si se reúnen n personas y se saludan todas entre sí, el número total de saludos está dado por: n(n 1) (n ) + (n 1) =. Esta fórmula, además de resolver el problema, proporciona un método para sumar determinada cantidad de números consecutivos. Para contar el número de agrupaciones en que se pueden disponer los elementos de una colección de objetos, se deben distinguir varias situaciones posibles: Que el orden en que aparecen los elementos sea relevante para decidir si las agrupaciones son iguales o no. Por ejemplo, el orden es importante para distinguir entre los posibles resultados de una carrera, sin embargo, en muchos juegos de cartas, no es importante el orden en que te van llegando las cartas al hacer el reparto. Que en una misma agrupación puedan aparecer elementos repetidos o no. Por ejemplo, si se van extrayendo cartas de una baraja con reemplazamiento (devolviendo la carta extraída al mazo después de la extracción), la misma carta puede aparecer varias veces. Si las extracciones sucesivas se hacen sin reemplazamiento, no pueden aparecer cartas repetidas. 15

16 16 TEMA. COMBINATORIA.. Variaciones y permutaciones. Vamos a considerar en primer lugar agrupaciones ordenadas de objetos en las que, además, los objetos no pueden aparecer repetidos. Lo que caracteriza a este tipo de agrupaciones es que aunque tengan los mismos elementos se consideran diferentes si los elementos están en distinto orden. Por ejemplo las palabras cesto y coste tienen las mismas letras, pero son diferentes. El principio básico que se aplica para contar disposiciones de este tipo es el siguiente. Regla del producto Supongamos que un objeto consta de dos partes diferentes, que la primera se puede elegir de p maneras y la segunda de q maneras distintas. Entonces, el número de objetos diferentes que pueden formarse es igual a pq. La regla del producto se extiende sin dificultad a objetos que constan de más de dos partes. Ejercicio 4. Cuántos menús diferentes se pueden hacer con 5 primeros platos, 6 segundos y 4 postres? El número de menús es = 10. La razón es que con 5 primeros y 6 segundos se pueden formar 30 menús. Ahora, combinando cada uno de estos 30 con cada uno de los 4 postres se obtienen un total de 10 menús. Ejercicio 5. Se lanza un dado 3 veces y se van anotando las puntuaciones del primer, del segundo y del tercer lanzamiento. Cuántos resultados diferente pueden obtenerse? En el primer lanzamiento pueden obtenerse 6 resultados diferentes. Para cada uno de los resultados del primer lanzamiento pueden obtenerse 6 resultados para el segundo. Así, los resultados de los dos primeros lanzamientos se pueden producir de 6 6 = 36 maneras diferentes. Para cada uno de ellas, el resultado del tercer lanzamiento puede darse de 6 maneras. Por consiguiente, para los tres lanzamientos se tienen 36 6 = 16 resultados posibles. Aunque en muchos problemas de disposiciones ordenadas de objetos puede aplicarse la regla del producto, hay casos en que no sucede así. Veamos un ejemplo. Ejercicio 6. En una urna hay cuatro bolas: una roja, una verde y dos azules. Se extraen las cuatro bolas sucesivamente. Cuántos resultados diferentes pueden obtenerse? Para la primera extracción se pueden obtener tres resultados diferentes, bola roja, verde o azul. Sin embargo, para la segunda extracción no se puede decir cuántos resultados diferentes se pueden dar. En efecto, si en la primera extracción ha salido bola roja, en la segunda puede darse verde o azul, es decir resultados. Pero si en la primera extracción ha salido azul, en la segunda pueden darse 3 resultados, roja, verde y azul. Así pues, en este caso no se puede aplicar la regla del producto. Más adelante se verá cómo puede tratarse este tipo de problemas. De momento, escribiremos las 1 disposiciones diferentes que pueden obtenerse: rvaa, rava, raav, vraa, vara, vaar, arva, avra, arav, avar, aarv, aavr. A continuación veremos algunos tipos de disposiciones de objetos que, por aparecer habitualmente en la resolución de muchos problemas, tienen una denominación especial. De llaman permutaciones de n elementos distintos, a las distintas maneras en que se pueden ordenar estos n elementos. El número de permutaciones de elementos distintos puede deducirse de la regla del producto: el primer elemento puede elegirse de n formas diferentes, para cada una de ellas el segundo se puede elegir de n 1 formas, etc. El número de permutaciones de n elementos se representa por P n y es igual a: P n = n (n 1) (n ) 1. Al producto de todos los enteros comprendidos entre 1 y n se le llama factorial de n y se representa con el símbolo n!. Así pues, el número de permutaciones de n elementos distintos es n!.

17 .3. COMBINACIONES. 17 Ejercicio 7. Calcular el número de maneras diferentes en que se puede ordenar un alfabeto de 6 letras. P 6 = 6! = = Si a partir de m elementos se forman disposiciones ordenadas de n elementos, se habla de variaciones. Si los elementos no pueden aparecer repetidos, las variaciones se llaman ordinarias; en caso contrario, es decir, si pueden repetirse, se llaman variaciones con repetición. Las variaciones con repetición se tratan en otro apartado. Ejercicio 8. Formar las variaciones ordinarias y con repetición de tres elementos que pueden formarse con las letras del conjunto A = {a, b, c, d}. Las variaciones ordinarias son: abc, abd, acb, acd, adb, adc, bac, bad, bca, bcd, bda, bdc, cab, cad, cba, cbd, cda, cdb, dab, dac, dba, dbc, dca, dcb. Las variaciones con repetición son: aaa, aab, aac, aad, aba, abb, abc, abd, aca, acb, acc, acd, ada, adb, adc, add, baa, bab, bac, bad, bba, bbb, bbc, bbd, bca, bcb, bcc, bcd, bda, bdb, bdc, bdd, caa, cab, cac, cad, cba, cbb, cbc, cbd, cca, ccb, ccc, ccd, cda, cdb, cdc, cdd, daa, dab, dac, dad, dba, dbb, dbc, dbd, dca, dcb, dcc, dcd, dda, ddb, ddc, ddd. El número de variaciones ordinarias puede obtenerse a partir de la regla del producto. El primer elemento se puede elegir de m modos distintos, para cada uno de ellos, el segundo de m 1 modos, el tercero de m, etc. Llamando V m,n al número de variaciones de m elementos tomados de n en n, este número es igual a: V m,n = m(m 1)(m ) (m n + 1), es decir, al producto de n factores enteros decrecientes a partir del número m. Si en la fórmula anterior se multiplica y divide por (m n)(m n 1) 1, resulta: V m,n = m(m 1)(m ) (m n + 1) = = m(m 1)(m ) (m n + 1)(m n)(m n 1) 1 (m n)(m n 1)... 1 m! (m n)!..3. Combinaciones. En muchos casos, el orden en que aparecen los distintos elementos no tiene importancia para la resolución de problema. Por ejemplo, cuando se mezclan 3 colores, el orden en que se haga la mezcla carece de relevancia para el resultado final. En el juego de la lotería primitiva, el orden en que se escogen los 6 números tampoco tiene importancia. Sean m objetos distintos. Se llaman combinaciones de estos m elementos tomados de n en n, a los distintos conjuntos de n elementos que pueden formarse con los m elementos de partida, de tal forma que los conjuntos se distingan por tener elementos distintos, siendo irrelevante el orden en que estén colocados. Por ejemplo con los 5 elementos del conjunto {a, b, c, d, e}, pueden formarse las siguientes combinaciones de 3 elementos: {a, b, c}, {a, b, d}, {a, b, e}, {a, c, d}, {a, c, e}, {a, d, e}, {b, c, d}, {b, c, e}, {b, d, e}, {c, d, e}.

18 18 TEMA. COMBINATORIA Para calcular el número de combinaciones, de nuevo es inaplicable la regla del producto. En este caso, por cada combinación de n elementos, pueden formarse n! variaciones permutando los n objetos. Por ejemplo, con la primera combinación {a, b, c} se pueden formar las siguientes 6 variaciones: abc, acb, bac, bca, cab, cba. Por consiguiente, el número de variaciones de m elementos tomados de n en n es n! veces mayor que el número de combinaciones. Llamando C m,n al número de combinaciones de los m elementos tomados de n en n, se tiene C m,n = V m,n n! = m! n!(m n)!. Ejercicio 9. De cuántas maneras diferentes se pueden repartir 5 cartas de una baraja de 40 cartas sin que importe el orden? En cuántas de ellas no está presente el as de oros? En cuántas está presente el as de oros? El número de maneras es el número de combinaciones de 40 elementos tomados de 5 en 5: C 40,5 = V 40,5 5! = = Si el as de oros no está presente hay que formar grupos de 5 cartas con las 39 que quedan. El número de modos de elegir 5 cartas de 39 es: C 39,5 = V 39,5 5! = = Si el as de oros ha de estar presente deben elegirse 4 cartas entre las 39 restantes para completar el grupo de 5. El número de modos de elegir 4 de 39 cartas es: C 39,4 = V 39,4 4! = = 851. Obsérvese que, como cabría esperar, la suma de los dos últimos resultados es igual al primero..4. Números combinatorios. Binomio de Newton. En ocasiones se utiliza otra notación para el número de combinaciones. Los números combinatorios ( ) m n (se lee m sobre n), se definen de la siguiente forma: ( ) m = n { Cm,n si n 0 1 si n = 0 Los números combinatorios tienen dos propiedades importantes: ( ) ( ) m m =. n m n Esta propiedad se entiende fácilmente con el siguiente ejemplo. Un examen consta de 10 preguntas de las que hay que contestar solamente 8. El número de maneras de escoger las preguntas es C 10,8 = ( ) Ahora bien, es evidente que es lo mismo escoger las 8 preguntas que se van a contestar, que las preguntas que no se van a contestar. Estas preguntas se pueden escoger de C 8, = ( 8 ) maneras. Entonces debe ocurrir que ( ) 10 8 = ( ) 10. Esta propiedad se puede interpretar como que el número de maneras de elegir los elementos que forman parte de una combinación es igual al número de manera de elegir los que quedan fuera de dicha combinación.

19 .5. VARIACIONES Y PERMUTACIONES CON REPETICIÓN. 19 ( ) m = n ( m 1 n ) + ( ) m 1. n 1 Esta propiedad permite obtener las combinaciones formadas con determinado número de elementos a partir de las combinaciones formadas con un elemento menos. El Ejemplo 9 puede ayudar a comprender esta propiedad. El número de combinaciones que se pueden formar con las 40 cartas de la baraja son ( ) ( Este número se puede considerar como suma de las 39 ) 5 en las que no está presente el as de oros y las ( ) 39 4 en las que sí está presente. Resulta entonces: ( ) ( ) ( ) = Aprovechando esta segunda propiedad, los números combinatorios pueden disponerse de la siguiente manera: que se conoce como triángulo de Tartaglia o de Pascal. En la primera fila aparecen los números combinatorios para m = 1, es decir ( ( 1 0) y 1 1), en la segunda fila están los números combinatorios para m =, ( ) ( 0, ) ( 1 y ), etc. Los números que aparecen en los extremos de cada fila son iguales a 1 y los demás se obtienen sumando los dos números que tiene encima (aquí es donde se aplica la segunda propiedad de los números combinatorios). Las fórmulas del cuadrado del binomio: y del cubo: (a + b) = a + ab + b (a + b) 3 = a 3 + 3a b + 3ab + b 3 se generalizan con ayuda de los números combinatorios a la fórmula de Newton: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (a + b) n n n n n n = a n + a n 1 b + a n b + + ab n n 1 n Si en lugar de una suma queremos hallar la potencia de una diferencia, basta cambiar en la fórmula de Newton el signo más por menos en los términos en los que el exponente de b es impar. b n.5. Variaciones y permutaciones con repetición. Vamos a considerar ahora agrupaciones ordenadas de objetos en las que estos pueden aparecer repetidos. El caso más sencillo es el de las variaciones con repetición. Éstas son iguales que las variaciones

20 0 TEMA. COMBINATORIA ordinarias salvo que los elementos pueden aparecer repetidos. De forma más precisa, supongamos que tenemos m objetos diferentes, se llaman variaciones con repetición de estos m elementos tomados de n en n a las distintas disposiciones de n elementos distintos o no, que pueden formarse a partir de los m elementos de partida, de forma que se diferencien por tener elementos distintos o por estar dispuestos en distinto orden. Por ejemplo, las variaciones de los elementos {a, b} tomados de 3 en 3, son: aaa, aab, aba, baa, abb, bab, bba, bbb Para calcular las variaciones con repetición puede aplicarse la regla del producto, el primer elemento puede elegirse de m formas distintas. Puesto que los elementos pueden repetirse, lo mismo ocurre con el segundo, el tercero, etc. Todos pueden elegirse de m formas. Por consiguiente: V R m,n = m m m... m = m n Ejercicio 10. A partir de los elementos del conjunto {1, x, }, cuántas variaciones de 14 elementos pueden formarse? Se trata de variaciones con repetición de 3 elementos tomados de 14 en 14. El número de estas variaciones es: V R 3,14 = 3 14 = Nos planteamos ahora el siguiente problema: con las letras de la palabra parada, cuántas ordenaciones distintas podemos formar?. Si en la palabra no apareciesen letras repetidas, se trataría de permutaciones ordinarias. Puesto que la a se repite 3 veces se trata de permutaciones con repetición. El número de permutaciones en este caso lo indicaremos como P 6,3. Esto quiere decir que tenemos 6 elementos y uno de ellos se repite 3 veces. En general, el número de permutaciones con repetición se expresa de la siguiente forma: P R n,r1,r,... y así indicamos que tenemos n elementos de los cuales uno se repite r 1 veces, otro r veces, etc. Podemos calcular el número de permutaciones con repetición de forma similar a como calculamos las combinaciones. Suponiendo que todos los elementos fuesen diferentes, el número de permutaciones sería n!. Si un elemento se repite r veces, por cada permutación con repetición hay r! permutaciones ordinarias. de aquí que: P R n,r1,r,... = n! r 1! r!... Por ejemplo, con las letras de la palabra parada pueden formarse las siguientes permutaciones: P R 6,3 = 6! 3! = 10 Ejercicio 11. Calcular el número de maneras de ordenar las 16 fichas del parchís. Se trata de permutaciones con repetición de 16 elementos entre los que se repiten 4 veces las fichas rojas, 4 veces las fichas verdes, 4 veces las fichas amarillas y 4 veces las fichas azules. Por tanto, el número de permutaciones es: P R 16,4,4,4,4 = 16! 4! 4! 4! 4! = Inducción matemática Consideremos la fórmula de Newton escrita en la siguiente forma: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1 + x) n n n n n n = + x + x + + x n 1 + x n 0 1 n 1 n

21 .6. INDUCCIÓN MATEMÁTICA 1 Para demostrar este tipo de teoremas en cuya formulación interviene un parámetro entero (n en este caso), se utiliza un razonamiento que se conoce como demostración por inducción. La demostración por inducción consiste en lo siguiente: Se demuestra el teorema para un valor inicial n 0 que generalmente es 1. Se demuestra que si el teorema es cierto para un valor cualquiera del parámetro h, también se cumple para el valor siguiente h + 1. Con elle queda demostrado el teorema para todos los valores del parámetro mayores que n 0. Veamos unos ejemplos: Ejercicio 1. Demostrar que para n mayor o igual que 1 se cumple que: n x = n n(n + 1)(n + 1) = 6 x=1 Para n = 1 se cumple ya que: 1 x 1 (1 + 1) ( 1 + 1) = 1 y = 1 6 x=1 Supongamos que el teorema se cumple para n = h: h x = h h(h + 1)(h + 1) = 6 x=1 Debemos demostrar que en este caso también se cumple para n = h + 1. Es decir: En efecto: h+1 x = h + (h + 1) (h + 1)(h + )(h + 3) = 6 x=1 h+1 x = x=1 = = h x + (h + 1) x=1 h(h + 1)(h + 1) 6 + (h + 1) h(h + 1)(h + 1) + 6(h + 1) 6 (h + 1)(h(h + 1) + 6(h + 1)) = 6 = (h + 1)(h + 7h + 6) 6 = (h + 1)(h + )(h + 3) 6 Como consecuencia de los dos apartados anteriores, el teorema está demostrado para n 1. Ejercicio 13. Demostrar por inducción que: r=n 1 > n r r=1 para n n Z. Se cumple para n = : r= r=1 1 = = r ( + 1) = = + + > =

22 TEMA. COMBINATORIA Supongamos que se cumple para n = h: r=h 1 > h r r=1 y veamos que, entonces, se cumple para r = h + 1: r=h+1 r=1 r=h 1 = r = 1 r + 1 h + 1 > h + r=1 h h h h + 1 > h + 1 h + 1 = h + 1 h + 1 = h h + 1 De los dos apartados anteriores se deduce que la fórmula se cumple para n. Ejercicio 14. Demostrar por inducción la fórmula de Newton para n 1: ( n ( n ( n ( n ) ( n (1 + x) n = + x + x 0) 1) ) + + x n 1 + x n 1 n) n Es evidente que se cumple para n = 1. Supongamos que se cumple para n = h: ( h ( h (1 + x) h = + x + 0) 1) ( h ) x + + ( h ) ( h x h 1 + x h 1 h) h Demostraremos que, en este caso, también se cumple para n = h + 1, es decir: ( h + 1 ) ( h + 1 ) ( h + 1 ) ( h + 1 ) ( h + 1 ) ( h + 1 ) (1 + x) h+1 = + x + x + + x h 1 + x h + x h h 1 h h + 1 En efecto, para n = h + 1: (1 + x) h+1 = (1 + x) h (1 + x) [ (h ) ( h ( h ( h ) ( ] h = + x + x 0 1) ) + + x h 1 + h 1 h)x h (1 + x) ( h ( h ( h ( h ) ( h = + x + x 0) 1) ) + + x h 1 + x h 1 h) h ( h ( h ( h ) ( h ) ( h x + x 0) 1) + + x h 1 + x h + x h h 1 h) h+1 ( h + 1 ) ( h + 1 ) ( h + 1 ) = + x + x ( h + 1 ) ( h + 1 ) ( h + 1 ) + x h 1 + x h + x h+1 h 1 h h + 1 De los dos apartados anteriores se deduce que la fórmula se cumple para n 1.

23 Tema 3 Polinomios y ecuaciones 3.1. Polinomios. Valor numérico. Un polinomio es una expresión en la que aparecen operaciones indicadas de sumas y productos entre números y una variable x (indeterminada): P (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 Los números a 0, a 1,..., se llaman coeficientes del polinomio y cada uno de los sumandos es un monomio. El exponente de x en cada sumando es el grado del monomio y el mayor de todos ellos es el grado del polinomio. El coeficiente del monomio de mayor grado es el coeficiente principal del polinomio. El coeficiente del término de grado cero, esto es, el número que no multiplica a x se llama término independiente del polinomio. Es decir: n: grado del polinomio a n : coeficiente principal a 0 : término independiente Por ejemplo x 3 4x + 7x 1 es un polinomio de grado 3, su coeficiente principal es y el término independiente es 1. El polinomio x x es de grado, su coeficiente principal es 1 y el término independiente es 0. El valor numérico (o simplemente valor) de un polinomio para x = a es el número que se obtiene sustituyendo en el polinomio la indeterminada x por a. El valor del polinomio P (x) para x = a se representa por P (a). Sea, por ejemplo, el polinomio: P (x) = x 4 5x + 4x Calculemos su valor numérico para x = 3: P ( 3) = ( 3) 4 5 ( 3) + 4 ( 3) = ( 3) = = 103 El valor numérico de un polinomio se calcula fácilmente mediante la Regla de Ruffini. Supongamos que queremos calcular el valor numérico para x = a. Escribimos los coeficientes del polinomio en orden descendente (completando con ceros cuando falte algún término). Multiplicamos el primer coeficiente por a y sumamos este producto al segundo coeficiente. El número así obtenido lo volvemos a multiplicar por 3

24 4 TEMA 3. POLINOMIOS Y ECUACIONES a y se lo sumamos al tercer coeficiente. Repitiendo el proceso, el último número que obtenemos es el valor numérico del polinomio. Veamos un ejemplo. Sea de nuevo el polinomio: P (x) = x 4 5x + 4x Calculemos su valor numérico para x = 3: Más adelante veremos otra forma de interpretar los números que se obtienen mediante la regla de Ruffini. 3.. Raíces de un polinomio. Un número r es raíz de un polinomio si el valor numérico del polinomio para x = r es cero. r raíz de P (x) P (r) = 0 Para calcular las raíces del polinomio P (x) se resuelve la ecuación P (x) = 0. De esta manera, resulta sencillo calcular las raíces de los polinomios de primer y segundo grado. Recordemos que para polinomios de segundo grado, la existencia y el número de las raíces depende del valor del discriminante. Sea el polinomio de segundo grado P (x) = ax + bx + c. Las raíces de este polinomios son: r 1 = b + b 4ac a y r = b b 4ac a El número = b 4ac se llama discriminante del polinomio. Según los valores del discriminante tenemos: > 0: el polinomio tiene dos raíces diferentes r 1 y r. = 0: las dos raíces coinciden. El polinomio tiene por consiguiente una sola raíz que podemos llamar r 1. < 0: el polinomio no tiene raíces. Para calcular las raíces de polinomios de grado superior, resulta útil la siguiente propiedad: las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros son divisores del término independiente: r raíz de a 0 + a 1 x + a x + a 3 x 3 + = a 0 + a 1 r + a r + a 3 r 3 + = 0 = a 0 = a 1 r a r a 3 r 3 = a 0 = r(a 1 + a r + a 3 r + ) = r es divisor de a 0 Por ejemplo, las raíces enteras del polinomio x 3 6x + x 4 han de ser divisores de 4. Por tanto sólo pueden ser 1, 1,,, 4 y Teoremas del factor y del resto. Teorema del factor. Si r es raíz de un polinomio, éste es divisible por x r r raíz de P (x) P (x) = (x r)q(x)

25 3.4. DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL DE UN POLINOMIO DE SEGUNDO GRADO. 5 Demostración: Sea r raíz del polinomio P (x), es decir, P (r) = 0. Si se divide P (x) por x r se obtiene un cociente Q(x) y un resto R que cumplen: Para x = r: P (x) = (x r)q(x) + R P (r) = (r r)q(r) + R = R = P (r) = 0 y por consiguiente P (x) = (x r)q(x). De acuerdo con el teorema del factor, si r es una raíz de un polinomio, en su descomposición factorial aparece un factor x r. Si este factor aparece repetido dos veces, esto es, si en la descomposición factorial aparece el factor (x r), entonces la raíz r se llama doble. Si apareciese el factor (x r) 3 la raíz sería triple, si apareciese (x r) 4 sería cuádruple, etc. Teorema del resto. El valor numérico del polinomio para x = a es igual al resto de dividir ese polinomio por x a. Demostración: Supongamos que al dividir P (x) por x a da un cociente C(x) y un resto R. Estos polinomios cumplen que: P (x) = (x a)q(x) + R y para x = a: P (a) = (a a)q(a) + R = R 3.4. Descomposición factorial de un polinomio de segundo grado. Según el valor del discriminante = b 4ac, el polinomio de ax + bx + c puede tener cero, una o dos raíces. Si aplicamos el teorema del factor, en cada uno de estos casos, el polinomio se descompone de la siguiente forma: > 0. En este caso, el polinomio tiene dos raíces r 1 y r. De acuerdo con el teorema del factor, en su descomposición factorial deben aparecer los factores x r 1 y x r. Puesto que el coeficiente de x es a la descomposición en factores debe ser: ax + bx + c = a(x r 1 )(x r ) = 0. El polinomio tiene una sola raíz r 1. Este caso es igual que el anterior suponiendo que las dos raíces son iguales. La descomposición es: ax + bx + c = a(x r 1 ) < 0. El polinomio no tiene raíces. No puede descomponerse en factores. Ejercicio 15. Descomponer en factores los polinomios (a) 18x 9x (b) 4x 4x + 1 (c) x + x + 1 (a) Calculamos las raíces del polinomio 18x 9x : x = 9 ± = 9 ± = { r 1 = 3 r = 1 6 La descomposición factorial es: ( 18x 9x = 18 x ) ( x + 1 ) = (3x ) (6x + 1) 3 6

26 6 TEMA 3. POLINOMIOS Y ECUACIONES (b) Como en el caso anterior: x = 4 ± = 1 Puesto que el discriminante es cero, el polinomio tiene una raíz doble. Su descomposición factorial es: ( 4x 4x + 1 = 4 x 1 ) = (x 1) (c) El discriminante de este polinomio es menor que cero. El polinomio no puede descomponerse en factores. Se llaman polinomios primos o irreducibles aquéllos que no pueden descomponerse en factores de grado inferior. Los polinomios de primer grado son primos puesto que multiplicando polinomios de grado inferior (polinomios de grado cero,es decir, números) no puede obtenerse un polinomio de primer grado. Acabamos de ver que los polinomios de segundo grado con discriminante menor que cero también son primos. Puede demostrarse que no existen polinomios primos distintos de estos. En consecuencia, todo polinomio puede descomponerse como producto de polinomios de primer grado y de polinomios primos de segundo grado Regla de Ruffini. La regla de Ruffini: puede interpretarse como una división en la que: Dividendo: x 4 5x + 4x Divisor: x + 3 Cociente: x 3 6x + 13x 35 Resto: 103 La regla de Ruffini facilita la búsqueda de las raíces enteras de un polinomio y su descomposición factorial. Veamos un ejemplo. Ejercicio 16. Descomponer en factores el polinomio 6x 4 17x 3 7x + 40x 1. Buscamos raíces enteras. Éstas deben ser divisores del término independiente 1. Las posibles raíces enteras son ±1, ±, ±3, ±4, ±6 y ±1. Probemos con 1 y +1: Vemos que ni 1 ni +1 son raíces del polinomio. Probemos con y +: El número es una raíz del polinomio, por consiguiente x es un factor y podemos escribir: 6x 4 17x 3 7x + 40x 1 = (x )(6x 3 5x 17x + 6)

27 3.6. ECUACIONES DE PRIMER GRADO. 7 Busquemos ahora factorizar 6x 3 5x 17x + 6. Ya hemos visto que 1, 1 y no son raíces. Probemos de nuevo con : Tenemos de nuevo la raíz. Podemos escribir que: 6x 4 17x 3 7x + 40x 1 = (x )(6x 3 5x 17x + 6) = (x )(x )(6x + 7x 3) = (x ) (6x + 7x 3) Las raíces del polinomio 6x + 7x 3 las obtenemos resolviendo la ecuación de segundo grado: 6x + 7x 3 = 0 = x = 7 ± { ± 11 r 1 = 1 = = r = 3 con lo que el polinomio factorizado queda finalmente: 6x 4 17x 3 7x + 40x 1 = (x ) (6x + 7x 3) ( = (x ) 6 x 1 ) ( x + 3 ) 3 = (x ) (3x 1) (x + 3) 3.6. Ecuaciones de primer grado. El procedimiento general para resolver una ecuación de primer grado es el siguiente: Quitar denominadores multiplicando todos los términos de la ecuación por el mínimo común múltiplo de todos ellos. Quitar paréntesis. Agrupar términos. Despejar la incógnita. Veámoslo con un ejemplo: Ejercicio 17. Resolver la ecuación: x 4 4( x + 1) 4x = (x 3) + 5x + 6 Multiplicamos ambos miembros por 10 y simplificamos: 10(x 4) 10( 4x + ) 10 4( x + 1) = 10 (x 3) (5x + 6) (x 4) 40( x + 1) ( 4x + ) = 0(x 3) + 5(5x + 6) Quitamos paréntesis: x x x = 0x x + 30 Reducimos y agrupamos términos: 86x 50 = 45x 30 86x 45x = x = 0 Finalmente despejamos y obtenemos la solución: x = 0 41 Si después de agrupar términos se encontrase una ecuación del tipo 0 x = b con b 0 querría decir que la ecuación no tiene solución, pues ningún número multiplicado por 0 da un producto distinto de cero. Si se encontrase una ecuación 0 x = 0 querría decir que todo número es solución, pues cualquier número multiplicado por cero da cero.

28 8 TEMA 3. POLINOMIOS Y ECUACIONES 3.7. Ecuaciones de segundo grado. En la ecuación de segundo grado ax + bx + c = 0 se despeja la incógnita x mediante la fórmula conocida: x = b ± b 4ac a El número de soluciones depende del signo del discriminante = b 4ac. Si éste es positivo, la suma de las dos soluciones vale: x 1 + x = b + b 4ac a y su producto: x 1 x = b + b 4ac a + b b 4ac a b b 4ac a = b a = b a = b (b 4ac) 4a = 4ac 4a = c a Si el coeficiente principal vale 1 la suma y el producto de las soluciones son: x 1 + x = b ; x 1 x = c (a = 1) Ejercicio 18. Obtener una ecuación de segundo grado cuyas soluciones sean x 1 = 3, y x = 7. Si a = 1 tenemos queda: x 1 + x = = 4 = b ; y la ecuación es: x 4x 1 = 0 x 1 x = 3 7 = 1 = c A la misma ecuación se llega escribiéndola en forma factorizada: (x + 3) (x 7) = 0 Ejercicio 19. Resolver la ecuación: 6x 1 + x(3 x) 3 = 5x 6 4x Empezamos quitando denominadores multiplicando todos los términos por 6: 6 6x x(3 x) 3 = 6 (5x ) 6 6 4x x 6 + 1x 4x = 5x 4x + 59 Quitamos paréntesis y agrupamos términos en el primer miembro: 3x + 1x 6 = 19x x + 1x 63 = 0 17x + 4x 1 = 0 x = 4 ± = x 1 = 1 ; x = 1 17 La fórmula de la ecuación de segundo grado permite calcular x en ecuaciones del tipo ax 4 + bx + c = 0 (ecuaciones bicuadradas). Llamando t = x estas ecuaciones se escriben: at + bt + c = 0 = t = x = b ± b 4ac b ± b = x = ± 4ac a a y de forma parecida se resuelven ecuaciones del tipo ax 6 + bx 3 + c = 0 y similares.

29 3.8. ECUACIONES IRRACIONALES. 9 Ejercicio 0. Resolver la ecuación x 4 13x + 36 = 0. Despejando: x = 13 ± que nos da las soluciones: { x x = 3 = 9 = x = 3 = 13 ± 5 x = 4 = { x = x = 3.8. Ecuaciones irracionales. Se llaman así las ecuaciones en que la incógnita aparece bajo el signo de raíz. Para resolver estas ecuaciones seguiremos los siguientes pasos: Despejar la raíz. Elevar ambos miembros de la igualdad al cuadrado. Resolver la ecuación resultante. Comprobar las soluciones. El último paso es necesario porque, al elevar al cuadrado, la ecuación que resulta es de grado superior y puede tener más soluciones que la ecuación original, aparte de que puede tener soluciones para las que la raíz cuadrada no tenga sentido. Por ejemplo, la ecuación x 1 = 3 tiene una sola solución x = 4, pero la ecuación (x 1) = 3 tiene dos soluciones x = 4 y x =. Ejercicio 1. Resolver la ecuación 40 x + 4 = x Despejamos la raíz: 40 x = x 4 Elevamos al cuadrado: ( ) 40 x = (x 4) = 40 x = x 8x + 16 Resolvemos 0 = x 8x 4 = x 4x 1 = 0 = { x = 6 x = Si comprobamos las soluciones vemos que x = 6 es válida pero x = no lo es, porque para este valor el primer miembro es igual a 10 y el segundo a Ecuaciones de grado superior al segundo. Estas ecuaciones deben resolverse factorizando el polinomio con los métodos aprendidos en el tema anterior.

30 30 TEMA 3. POLINOMIOS Y ECUACIONES Ejercicio. Resolver la ecuación x 3 6x + 3x + 10 = 0. Buscamos una raíz entera entre los divisores de 10: Vemos que 1 es una raíz del polinomio y que, por consiguiente, x+1 es un factor. Descomponemos el polinomio en factores y la ecuación queda: (x + 1)(x 7x + 10) = 0 No es preciso seguir descomponiendo el polinomio pues una vez que lo tenemos factorizado en polinomios de primer y segundo grado ya podemos resolver la ecuación. Igualando a cero cada uno de los factores resulta: x + 1 = 0 = x 1 = 1 x 7x + 10 = 0 = x = ; x 3 = Relaciones de Cardano. Hemos visto que, si α y β son las raíces del polinomio de segundo grado ax + bx + c se cumple α + β = b αβ = c a a Las fórmulas que relacionan las raíces con los coeficientes de un polinomio se llaman relaciones de Cardano. Sean α, β y γ las raíces del polinomio ax 3 + bx + cx + d. Por el teorema del factor tenemos que ax 3 + bx + cx + d = a(x α)(x β)(x γ) Desarrollando el segundo miembro: ax 3 + bx + cx + d = a(x α)(x β)(x γ) = a [ x 3 (α + β + γ)x + (αβ + αγ + βγ)x αβγ ] E igualando los coeficientes resulta α + β + γ = b a ; αβ + αγ + βγ = c a ; αβγ = d a Estas son las relaciones de Cardano para el polinomio de tercer grado. Por el mismo procedimiento se pueden obtener fórmulas similares para polinomios de grado superior Ecuaciones exponenciales y logarítmicas. Hay que tener en cuenta que de la definición de logaritmo log a N = x a x = N se desprende que en igualdades de este tipo, un exponente se despeja como logaritmo de la misma base, y que el argumento de la función logaritmo se despeja como una exponencial de la misma base. Para transformar las ecuaciones hasta obtener igualdades de este tipo deben aplicarse las propiedades de las potencias y logaritmos.

31 3.1. INECUACIONES. 31 Ejercicio 3. Resolver la ecuación ln x 3 ln x = ln(x + 15) Aplicando la propiedad del logaritmo del cociente: ln x3 = ln(x + 15) x ln x = ln(x + 15) x = x + 15 x x 15 = 0 Las soluciones de esta última ecuación son x = 5 y x = 3. Ésta última no puede ser solución de la ecuación original porque no existen logaritmos de números negativos. Ejercicio 4. Resolver la ecuación 5 x+3 5 x = 0 Aplicando las propiedades de las potencias de la misma base: x 5x = 0 Quitando denominadores y despejando: 65 5 x 5 x = 0 (65 1)5 x = x = = 5 y, por consiguiente, x = Inecuaciones. Una inecuación es una desigualdad que se satisface solamente para algunos valores de las incógnitas que son las soluciones de la inecuación. Ejemplos de inecuaciones son: 3x + 5 x ; 3x 5x + 6 < 0 ; x 4 x + 5 Una inecuación puede transformarse en otra equivalente casi con las mismas reglas que una ecuación. Es decir, pueden cambiarse sumandos de uno a otro miembro cambiándoles el signo y pueden multiplicarse ambos miembros de la desigualdad por el mismo número positivo. Únicamente hay que tener en cuenta que si se multiplican o dividen los dos miembros por el mismo número negativo, hay que cambiar el sentido de la desigualdad. Por ejemplo: 5x < 10 = x < x < 10 = x > 10 5 = x < sin embargo = x > Así, una inecuación de primer grado puede resolverse de forma prácticamente igual que una ecuación. Veamos un ejemplo. Ejercicio 5. Resolver la inecuación: (x 3) 5 x x + 3(x ) 10 Aplicamos el mismo procedimiento que para resolver una ecuación de primer grado. Si debemos multiplicar o dividir por

32 3 TEMA 3. POLINOMIOS Y ECUACIONES un número negativo, cambiaremos el sentido de la desigualdad: 10 (x 3) 5 10 x 10 x 4(x 3) 10x 5x + 3(x ) 4x 1 10x 5x + 3x 6 6x 1 8x 6 6x 8x x 6 x o bien x (x ) 10 La solución puede expresarse también como el intervalo [ 3 7, ). De forma general, para resolver una inecuación de cualquiera de las formas P (x) < 0 ; P (x) 0 ; P (x) > 0 ; P (x) 0 se procede de la forma siguiente: Se calculan las raíces del polinomio P (x). Las raíces obtenidas en el apartado anterior dividen la recta real en varios intervalos. Se calcula el signo del polinomio en cada uno de los intervalos. La solución está formada por los intervalos que cumplen la inecuación. Para ver si el polinomio toma valores positivos o negativos en un intervalo basta probar con un número del intervalo. Además debe tenerse en cuenta que en las raíces simples (o de multiplicidad impar) el polinomio cambia de signo y en las raíces dobles (o de multiplicidad par) el polinomio no cambia de signo. Veamos un ejemplo. Ejercicio 6. Resolver la inecuación x x 3 > 0 Las raíces del polinomio son x 1 = 3 y x = 1. Son raíces simples. Estudiamos el signo del polinomio. Tenemos el siguiente esquema de signos: Como buscamos los intervalos en los que la función es positiva, la solución es: (, 1) (3, ) Ejercicio 7. Resolver la inecuación x 3 x 8x Para calcular las raíces, descomponemos en factores el polinomio buscando sus raíces enteras: y tenemos una primera factorización x 3 x 8x + 1 = (x )(x + x 6). Las raíces de x + x 6 son y 3. Por consiguiente, tenemos que: x 3 x 8x + 1 = (x ) (x + 3) Las raíces del polinomio son x 1 = (doble) y x = 3.

33 3.1. INECUACIONES. 33 El signo del polinomio responde al siguiente esquema: Obsérvese que en x = que es una raíz doble, el polinomio no cambia de signo. La solución de la inecuación propuesta es el conjunto (, 3] {} Otro tipo de inecuaciones importantes son las de la forma: P (x) Q(x) < 0 ; P (x) Q(x) 0 ; P (x) Q(x) > 0 ; P (x) Q(x) 0 donde P (x) y Q(x) son polinomios. Este problema se reduce al caso anterior si tenemos en cuenta que el signo de P (x) Q(x) es igual que el de P (x)q(x). Únicamente hay que tener en cuenta que en las raíces del denominador no existe la fracción y, por consiguiente, no pueden ser soluciones. Veámoslo con un ejemplo. Ejercicio 8. Resolver la inecuación: 4 x x Las raíces del numerador son, ; para estos valores de x la fracción es igual a cero. La raíz del denominador es 1; para este valor de x la fracción no existe. Calculemos el signo del cociente de polinomios: Hemos indicado con el símbolo (no existe) la raíz del denominador x = 1. Del diagrama de signos se desprende que la solución de la inecuación es (, ] ( 1, ]. Ejercicio 9. Resolver la inecuación: x x + x Escribimos la inecuación como: x x + x 0 = x 3x + x 0 Las raíces del numerador son x = 1 y x =. La raíz del denominador es x = 0. El esquema de signos es: La solución es (, 0) [1, ].

34 34 TEMA 3. POLINOMIOS Y ECUACIONES

35 Tema 4 Trigonometría 4.1. Ángulos Hasta ahora se han considerado los ángulos como la porción del plano comprendida entre dos semirrectas con el origen común. De esta manera, la medida de un ángulo está comprendida entre 0 y 360 grados. En este capítulo, un ángulo va a ser también considerado como la medida de un giro. Así, los ángulos podrán ser mayores de una vuelta (360 o ) y podrán tener dos sentidos: contrario al movimiento del reloj al que asignaremos signo positivo, o según el movimiento del reloj al que asignaremos ángulos negativos. Figura 4.1: Medida de un ángulo en radianes Representaremos los ángulos sobre una circunferencia centrada en el origen de coordenadas tomando como origen de ángulos el eje OX. Además de los grados sexagesimales, utilizaremos como unidad para medir ángulos el radián. La medida de un ángulo en radianes es igual a la longitud del arco dividida por el radio: φ = longitud del arco radio = l r Como el arco de circunferencia correspondiente a una vuelta mide πr, el ángulo correspondiente (360 o ) mide πr/r = π radianes. El ángulo llano (180 o ) mide π radianes y el ángulo recto π/. Para pasar de grados a radianes se multiplica por π/180 y para pasar de radianes a grados por el inverso de este número 180/π. Un radián es aproximadamente 57,958 o. Algunos cálculos se simplifican utilizando el radián como medida de ángulos. Por ejemplo la longitud de un arco de circunferencia es l = rφ y el área de un sector circular es S = 1 r φ. 35

36 36 TEMA 4. TRIGONOMETRÍA Ángulos inscritos en una circunferencia. Se llaman así los ángulos que tienen su vértice sobre una circunferencia y sus lados son secantes de ella. Los ángulos inscritos tienen las siguientes propiedades: El ángulo inscrito es igual a la mitad del ángulo central que abarca el mismo arco. Todos los ángulos inscritos en el mismo arco son iguales. Los ángulos inscritos en una semicircunferencia son rectos. 4.. Razones trigonométricas de ángulos agudos En un triángulo rectángulo, llamemos a a la hipotenusa y b y c a los catetos; A será el ángulo recto y B y C los ángulos agudos tal como se representa en la figura: B es el ángulo opuesto al cateto b y C es el ángulo opuesto al cateto c. Figura 4.: Triángulo rectángulo Entre los elementos del triángulo se cumple una relación entre los lados, el teorema de Pitágoras: a = b + c y una relación entre los ángulos: B + C = 90 o (B y C complementarios) Vamos a definir unas funciones que relacionan los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo. Estas funciones son las siguientes: cateto opuesto sen B = = b hipotenusa a cos B = tg B = cateto contiguo hipotenusa = c a cateto opuesto cateto contiguo = b c Para el ángulo C, estas funciones serían: sen C = c a cos C = b a tg C = c b Las recíprocas de estas funciones se llaman cosecante, secante y cotangente: cosec B = 1 sen B sec B = 1 cos B cotg B = 1 tg B Cuando se utilizan para resolver triángulos rectángulos, las fórmulas anteriores pueden recordarse de esta manera: { seno del ángulo opuesto un cateto = hipotenusa coseno del ángulo comprendido

37 4.3. LA ESCUADRA Y EL CARTABÓN 37 un cateto = otro cateto { tangente del ángulo opuesto (al 1 o ) cotangente del ángulo comprendido (por el 1 o ) 4.3. La escuadra y el cartabón La escuadra es un triángulo rectángulo isósceles. Sus ángulos agudos son ambos iguales a 45. El cartabón es un triángulo rectángulo cuyos ángulos agudos son iguales a 30 y 60. La escuadra puede considerarse como el triángulo rectángulo que se forma cuando un cuadrado se divide en dos triángulos mediante la diagonal. El cartabón es el triángulo resultante de dividir un triángulo equilátero en dos partes iguales mediante una altura. Las proporciones entre las longitudes de los lados de estos triángulos aparecen reflejadas en la figura adjunta. Figura 4.3: La escuadra y el cartabón De la figura se deducen los siguientes valores para las razones trigonométricas de los ángulos de 30, 45 y seno coseno tangente Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera Representemos el ángulo φ sobre una circunferencia centrada en el origen y tomemos el eje de abscisas como origen de ángulos. A cada ángulo φ le corresponde un punto de la circunferencia de coordenadas E(x, y) (extremo del arco). Las razones trigonométricas de φ se definen a partir de las coordenadas de

38 38 TEMA 4. TRIGONOMETRÍA Figura 4.4: Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera este punto: sen φ = cos φ = tg φ = ordenada de E radio abscisa de E radio ordenada de E abscisa de E = x r = y r = y x Si el radio de la circunferencia es igual a 1, el seno es la ordenada y el coseno la abscisa del extremo del arco. Figura 4.5: Signo de las razones trigonométricas Puesto que el seno, coseno y tangente se han definido a partir de las coordenadas de un punto, pueden ser positivos o negativos dependiendo del cuadrante en que se encuentre el punto. En la figura 4.5 se han representado los signos de las tres funciones en cada cuadrante. Los puntos de corte de la circunferencia con los ejes de coordenadas se corresponden con los ángulos de 0 o (o 360 o ), 90 o, 180 o y 70 o. La abscisa y la ordenada de estos puntos cuando la circunferencia tiene radio 1 son, respectivamente el coseno y el seno de esos ángulos. Estos valores se han señalado también en la figura.

39 4.5. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS 39 Conocida una de las razones trigonométricas de un ángulo, pueden calcularse las demás (salvo el signo) por medio de las siguientes relaciones: tg x = sen x cos x sen x cos x = y r x r = y x = tg x sen x + cos x = 1 sen x + cos x = y r + x r = x + y r = r r = tg x = 1 cos x Se obtiene de la igualdad anterior dividiendo por cos x 1 + cotg x = 1 sen x Igual que la anterior pero dividiendo por sen x La primera de las fórmulas relaciona las tres funciones de modo que conocidas dos de ellas puede calcularse la tercera. Las siguientes relacionan seno con coseno, coseno con tangente y seno con cotangente Resolución de triángulos Figura 4.6: Teorema del seno Un triángulo tiene tres lados a, b y c, y tres ángulos A, B y C. Conocidos tres de estos elementos que no sean los ángulos, pueden calcularse los otros tres. Para ello son útiles los siguientes teoremas: Teorema 1 (Teorema del seno). En un triángulo las longitudes de los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos: a sen A = b sen B = c sen C La constante de proporcionalidad es el diámetro de la circunferencia circunscrita al triángulo. Demostración. En la figura anterior, la altura h a divide el triángulo ABC en dos triángulos rectángulos. De aquí que: h a = b sen C = c sen B = b sen B = c sen C

40 40 TEMA 4. TRIGONOMETRÍA Figura 4.7: Angulos inscritos y teorema del seno También puede demostrarse el teorema del seno a partir de la propiedad de los ángulos inscritos en una circunferencia: Sea el ángulo α inscrito en una circunferencia que abarca un arco con una cuerda c (ver figura 4.7). Construimos otro ángulo sobre el mismo arco en el que uno de sus lados es un diámetro de la circunferencia. Este ángulo también valdrá α puesto que está inscrito en el mismo arco que el anterior. Pero, dado que el ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto, el triángulo A BC es rectángulo y sen α = c R es decir, el seno de un ángulo inscrito en una circunferencia es igual al cociente de la cuerda y el diámetro. A partir del resultado anterior deducimos (figura 4.7 derecha): sen A = a R sen B = b = R = a R sen A = b sen B = c sen C sen C = c R es decir, los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos y la razón de proporcionalidad es el diámetro de la circunferencia circunscrita al triángulo. Teorema (Teorema del coseno). Un lado al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos el doble del producto de estos dos lados por el coseno del ángulo que forman: a = b + c bc cos A b = a + c ac cos B c = a + b ab cos C El teorema del coseno permite calcular también los ángulos cuando se conocen los lados: cos A = b + c a bc cos B = a + c b ac cos C = a + b c ab

41 4.6. ÁREA DE UN TRIÁNGULO 41 Figura 4.8: Teorema del coseno Demostración. De la figura 4.8 se deduce: a = m + h = (b n) + h = b + n bn + h (y puesto que n + h = c ) = b + c bn (y como n = c cos A) = b + c bc cos A 4.6. Área de un triángulo Como es sabido, el área de un triángulo es igual a la mitad de la base por la altura. Como base se puede tomar cualquiera de los lados de forma que, por ejemplo: S = 1 a h a En la figura 4.6, h a = b sen C de modo que: S = 1 a b sen C es decir, el área de un triángulo es igual a la mitad del producto de dos de sus lados por el seno del ángulo que forman. Si se conocen los tres lados, puede calcularse el área por la fórmula de Herón: S = p(p a)(p b)(p c) (p = semiperímetro) Esta fórmula puede demostrarse a partir del teorema del coseno como se verá más adelante. De la fórmula de Herón podemos calcular la longitud de las alturas del triángulo. En efecto, de: S = 1 a h a y S = p(p a)(p b)(p c) se deduce que: h a = p(p a)(p b)(p c) a e igualmente se obtendría: h b = p(p a)(p b)(p c) b h c = c p(p a)(p b)(p c)

42 4 TEMA 4. TRIGONOMETRÍA 4.7. Reducción al primer cuadrante Por la simetría de la circunferencia, basta conocer las razones trigonométricas de los ángulos del primer cuadrante para poder calcular las de todos los ángulos. Las fórmulas que relacionan las razones trigonométricas de cualquier ángulo con los del primer cuadrante son las siguientes: Ángulos que difieren en un número entero de vueltas. sen(360 o k + φ) = sen φ cos(360 o k + φ) = cos φ tg(360 o k + φ) = tg φ Ángulos negativos. sen( φ) = sen φ cos( φ) = cos φ tg( φ) = tg φ Ángulos suplementarios. sen(180 o φ) = sen φ cos(180 o φ) = cos φ tg(180 o φ) = tg φ

43 4.7. REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE 43 Ángulos que difieren en 180o. sen(180 o + φ) = sen φ cos(180 o + φ) = cos φ tg(180 o + φ) = tg φ Ángulos que suman 360o sen(360 o φ) = sen φ cos(360 o φ) = cos φ tg(360 o φ) = tg φ Ángulos complementarios. sen(90 o φ) = cos φ cos(90 o φ) = sen φ tg(90 o φ) = cotg φ

44 44 TEMA 4. TRIGONOMETRÍA 4.8. Suma de ángulos Figura 4.9: Suma de ángulos Las razones trigonométricas de la suma de dos ángulos α y β se relacionan con las razones trigonométricas de los sumandos por las siguientes fórmulas: sen(α + β) = sen α cos β + cos α sen β cos(α + β) = cos α cos β sen α sen β tg(α + β) = tg α + tg β 1 tg α tg β De la figura (ver figura 4.9) se deduce que: sen(α + β) = AE = AB + BE De la misma forma se obtiene: cos(α + β) = OA = sen α cos β + cos α sen β = OA AA = cos α cos β sen α sen β La fórmula de la tangente se obtiene el seno entre el coseno: tg(α + β) = = sen(α + β) cos(α + β) = sen α cos β cos α sen β + cos α cos β cos α cos β cos α cos β sen α sen β cos α cos β cos α cos β sen α cos β + cos α sen β cos α cos β sen α sen β = tg α + tg β 1 tg α tg β Las fórmulas para la diferencia de ángulos podemos obtenerlas sustituyendo en las fórmulas de la suma β por β: sen(α β) = sen [α + ( β)] = sen α cos( β) + cos α sen( β) = sen α cos β cos α sen β

45 4.9. ÁNGULO DOBLE Y ÁNGULO MITAD 45 y de forma similar: cos(α β) = cos α cos β + sen α sen β tg(α β) = tg α tg β 1 + tg α tg β 4.9. Ángulo doble y ángulo mitad Si en las fórmulas de la suma se hace β = α resulta para el ángulo doble: sen α = sen α cos α cos α = cos α sen α tg α = tg α 1 tg α A partir de estas fórmulas podemos deducir otras para el ángulo mitad.puesto que: cos α + sen α = 1 cos α sen α = cos α Sumado y restando estas dos ecuaciones resulta: cos α = 1 + cos α ; sen 1 cos α α = Estas fórmulas se utilizarán posteriormente en el tema de cálculo integral. Haciendo el cambio α = A (y por tanto α = A) obtenemos las siguientes fórmulas para el ángulo mitad: sen A = 1 cos A cos A 1 + cos A = tg A = 1 cos A 1 + cos A Las raíces deberán tomarse con signo más o menos dependiendo del cuadrante en que se encuentre el ángulo mitad Fórmulas de transformación en producto Sumando y restando las fórmulas de la suma y de la diferencia de ángulos se obtiene: } { sen(α + β) = sen α cos β + cos α sen β sen(α + β) + sen(α β) = sen α cos β = sen(α β) = sen α cos β cos α sen β sen(α + β) sen(α β) = cos α sen β Y de la misma forma: cos(α + β) = cos α cos β sen α sen β cos(α β) = cos α cos β + cos α cos β } = { cos(α + β) + cos(α β) = cos α cos β cos(α + β) cos(α β) = sen α sen β llamando α + β = A y α β = B (y, por tanto, α = A+B y β = A B ), estas fórmulas se pueden escribir: sen A + sen B = sen A + B cos A + cos B = cos A + B cos A B cos A B sen A sen B = cos A + B cos A cos B = sen A + B sen A B sen A B

46 46 TEMA 4. TRIGONOMETRÍA Funciones circulares. Las funciones y = sen x, y = cos x e y = tg x así como sus recíprocas cosecante, secante y cotangente, tienen la particularidad de que son periódicas de período π, es decir toman valores iguales cada π radianes. La función tangente tiene un período más pequeño de π radianes. Como se ve (figura 1.7), las gráficas de las funciones seno y coseno son iguales pero desfasadas en π. La función tangente tiene asíntotas x = ±(k + 1) π para k = 0, 1,,.... Figura 4.10: Funciones circulares Las inversas de estas funciones se llaman arcoseno, arcocoseno y arcotangente. Estas funciones se definen de la siguiente manera: arsen x es el ángulo (en radianes) comprendido entre π y π arcos x es el ángulo comprendido entre 0 y π cuyo coseno vale x. artg x es el ángulo comprendido entre π y π 4.1. La fórmula de Herón cuya tangente vale x. cuyo seno vale x. Anteriormente ya vimos la fórmula de Herón que da el área de un triángulo cuando se conocen los tres lados: S = p(p a)(p b)(p c); p = a + b + c Ahora demostraremos esta fórmula. Hemos visto que el área de un triángulo es igual a la mitad del producto de dos lados por el seno del ángulo comprendido: S = 1 bc sen A Por otra parte, por el teorema del coseno sabemos que: cos A = b + c a bc La demostración se basa en obtener el seno de A de la segunda de estas fórmulas para sustituirlo en la primera: Puesto que sen A = 1 cos A = (1 + cos A)(1 cos A) vamos a calcular los dos factores 1 + cos A y 1 cos A, a partir del teorema del coseno: 1 + cos A = 1 + b + c a bc = b + c + bc a bc = (b + c) a bc Como hemos llamado p al semiperímetro tenemos que b + c + a = p y además: b + c a = b + c + a a = p a = (p a) = (b + c + a)(b + c a) bc

47 4.1. LA FÓRMULA DE HERÓN 47 con lo que tenemos que 1 + cos A = (b + c + a)(b + c a) bc De la misma forma obtenemos para 1 cos A: 1 cos A = 1 b + c a bc = p (p a) bc = a b c + bc bc En función de semiperímetro esto se puede escribir como: 1 cos A = (a + b c)(a b + c) bc Ya podemos obtener el seno de A: con lo que: sen A = (1 + cos A)(1 cos A) = = = (p c) (p b) bc p(p a) bc p(p a) bc = a (b c) bc = (p b)(p c) bc = (p b)(p c) bc = (a + b c)(a b + c) bc 4p(p a)(p b)(p c) b c (4.1) (4.) sen A = bc p(p a)(p b)(p c) y sustituyendo en la fórmula del área: S = 1 bc sen A = 1 bc p(p a)(p b)(p c) = p(p a)(p b)(p c) bc De las fórmulas 4.1 y 4. y teniendo en cuenta que: tg A = 1 cos A 1 + cos A se obtienen las siguientes fórmulas para los ángulos de un triángulo cuando se conocen los lados: tg A = p(p a) (p b)(p c) ; tg B = p(p b) (p a)(p c) ; tg C = p(p c) (p a)(p b) que se conocen como fórmulas de Briggs.

48 48 TEMA 4. TRIGONOMETRÍA

49 Tema 5 Números complejos 5.1. Cuerpos Un cuerpo conmutativo es un conjunto de números que pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse. Los números racionales, esto es, los números que pueden escribirse en forma de fracción, forman un cuerpo conmutativo que se representa por la letra Q. Los números reales, formados por los racionales e irracionales, se representan por la letra R y también tienen estructura de cuerpo conmutativo. Sin embargo el conjunto de los números enteros Z no es un cuerpo pues, en general, los números enteros no se pueden dividir, por ejemplo, el cociente de 7 entre 3 no es un número entero. De forma más precisa, un cuerpo conmutativo F es un conjunto con cuyos elementos pueden hacerse dos operaciones, suma y producto y estas operaciones tienen las propiedades siguientes: Propiedades de la suma: 1. Asociativa. Para sumar tres elementos pueden asociarse como se quiera (a + b) + c = a + (b + c). Elemento neutro o cero. Existe un elemento que se le suele llamar cero con la propiedad: a + 0 = a 3. Elemento simétrico u opuesto. Para cada elemento a del cuerpo existe otro elemento (representado generalmente por a) con la propiedad de que al sumar ambos se obtiene el elemento neutro: a + ( a) = 0 4. Conmutativa. El resultado de la suma es independiente del orden de los sumandos: a + b = b + a La existencia de elemento opuesto hace que exista siempre la diferencia de los números. La diferencia es la suma de un elemento y el opuesto del otro: a b = a + ( b) Propiedades del producto: 1. Asociativa. Para multiplicar tres elementos pueden asociarse como se quiera (a b) c = a (b c) 49

50 50 TEMA 5. NÚMEROS COMPLEJOS. Elemento neutro o unidad. Existe un elemento que se le suele llamar uno con la propiedad: a 1 = a 3. Elemento simétrico o inverso. Para cada elemento a del cuerpo salvo para el cero, existe otro elemento (representado generalmente por a 1 ) con la propiedad de que al multiplicar ambos se obtiene el elemento unidad: a a 1 = 1 4. Conmutativa. El producto es independiente del orden de los factores: a b = b a La existencia de elemento inverso garantiza que se puedan dividir dos números salvo si el divisor es cero. El cociente es el producto del primer elemento por el inverso del segundo: a/b = a b 1 Propiedades de la suma y el producto Distributiva a (b + c) = a b + a c Dado un cuerpo F y un número a no perteneciente al cuerpo, siempre puede encontrarse un cuerpo que contenga a ambos, es decir, al cuerpo F y al número a. Por ejemplo, si consideramos el cuerpo Q de los números racionales y el número que no es racional, los números de la forma a + b con a y b racionales, forman un cuerpo que incluye a todos los racionales y a. 5.. Números complejos Tanto el conjunto Q de los números racionales como el conjunto R de los números reales son cuerpos. La necesidad de ampliar el cuerpo de los racionales, surge del hecho de que muchas funciones, como por ejemplo las raíces o el logaritmo, no tienen sentido dentro de este conjunto. Según hemos visto, en el conjunto de los números reales tampoco pueden definirse algunas funciones como la raíz cuadrada o el logaritmo para números negativos. La ampliación del concepto de número a los números complejos permite extender el dominio de estas funciones a todos los números. Para construir los números complejos vamos a añadir a los números reales un número i que llamaremos unidad imaginaria y que cumple que i = 1, es decir, el número i es una raíz de 1. Si queremos que el nuevo conjunto sea un cuerpo, para que esté definida la multiplicación, debemos añadir todos los números de la forma bi donde b es un número real. Estos números, producto de un número real por la unidad imaginaria, se llaman números imaginarios puros. Además, puesto que los números se pueden sumar, deben existir los números de la forma a + bi donde a y b son números reales. Estos números son suma de un número real y un número imaginario puro. Veremos que con números de la forma a + bi con a, b R pueden definirse la suma y la multiplicación con todas las propiedades de un cuerpo conmutativo. Estos números forman el cuerpo de los números complejos y esta representación de los complejos como suma de un número real y un número imaginario puro se llama forma binómica del número complejo. El cuerpo de los números se representa por C. Por consiguiente, un número complejo a + bi está formado por dos números reales a y b. El número a se llama parte real del complejo, y el número b (el que aparece multiplicando a la unidad imaginaria) se denomina parte imaginaria del complejo. Esto es similar a los números fraccionarios que estan compuestos por dos números enteros, el numerador y el denominador.

51 5.3. OPERACIONES CON COMPLEJOS EN FORMA BINÓMICA 51 De la misma forma que los números reales se representan sobre una recta, los números complejos se representan en un plano llamado Plano de Argand, tomando la parte real sobre el eje de abscisas (que llamaremos eje real) y la parte imaginaria sobre el eje de ordenadas (eje imaginario). El punto representativo de un número se llama afijo del complejo. Figura 5.1: Plano complejo o de Argand En esta representación, los afijos de los números reales están sobre el eje de abscisas y los números imaginarios puros sobre el eje de ordenadas. De ahí los nombres de eje real y eje imaginario con que designamos estos ejes. Los complejos que tienen la misma parte real y parte imaginaria del mismo valor y signo contrario, es decir, los complejos a+bi y a bi, se llaman conjugados. El conjugado de un complejo z se representa por z o también por z. Los afijos de estos complejos son puntos simétricos respecto al eje real. Los números reales son conjugados de sí mismos. En la figura siguiente pueden verse los afijos de algunos pares de complejos conjugados. Figura 5.: Números complejos conjugados 5.3. Operaciones con complejos en forma binómica Suma y diferencia. La suma de complejos en forma binómica se obtiene sumando las partes reales e imaginarias de los dos complejos: (a + bi) + (c + di) = a + c + (b + d)i

52 5 TEMA 5. NÚMEROS COMPLEJOS Por ejemplo: ( 5 + i) + (3 i) = + i ( 5 + i) (3 i) = 8 + 3i Producto. Los complejos se multiplican como si fuesen binomios y el polinomio resultante se reduce teniendo en cuenta que i = 1: Por ejemplo: (a + bi) (c + di) = ac + adi + bci + bdi = ac bd + (ad + bc)i (6 i) (1 + 5i) = i i 10i = 6 + 8i + 10 = i El producto de un complejo por su conjugado es un número real positivo. En efecto, sea z = a+bi: zz = (a + bi)(a bi) = a b i = a + b La raíz cuadrada positiva de este número se llama módulo del complejo y se representa por z : Por ejemplo: z = zz = a + b z = 7 5i = z = = 84 Cociente. La división de un complejo por un número real es muy sencilla, basta dividir por ese número tanto la parte real como la parte imaginaria: a + bi c = a c + b c i Si el divisor es un número complejo, puede reducirse al caso anterior multiplicando numerador y denominador por el conjugado del denominador: Por ejemplo: a + bi (a + bi)(c di) ac + bd + (bc ad)i = = c + di (c + di)(c di) c + d = ac + bd bc ad c + + d c + d i 1 + i (1 + i)( 3i) 3i 4i 6i = = + 3i ( + 3i)( 3i) + 3 = 4 7i = i Propiedades de los complejos conjugados. Definidas las operaciones de esta forma, el conjugado de un complejo tiene las siguientes propiedades: (z 1 + z ) = z 1 + z (z 1 z ) = z 1 + z ( z1 ) = z 1 z z 5.4. Potencia y raíz cuadrada en forma binómica La potencia de un número complejo puede calcularse mediante la fórmula del binomio de Newton: ( ) ( ) ( ) ( ) m m m m (a + b) m = a m + a m 1 b + a m b + + b m 0 1 m Para un complejo en forma binómica, la fórmula de Newton se escribe como: ( ) ( ) ( ) ( ) m m m m (a + bi) m = a m + a m 1 bi + a m b i + + b m i m 0 1 m Para calcular las potencias de la unidad imaginaria tenemos en cuenta lo siguiente:

53 5.5. FORMA POLAR Y TRIGONOMÉTRICA DEL NÚMERO COMPLEJO 53 i 0 = 1 i 1 = i i = 1 i 3 = i ( 1) = i i 4 = i ( i) = i = 1 i 5 = i 1 = i i 6 = i i = 1 i 7 = i ( 1) = i i 8 = i ( i) = i = 1 i 9 = i 1 = i i 10 = i i = 1 i 11 = i ( 1) = i Puede verse que las potencias de i se repiten en el orden i, 1, i, 1, y que cuando el exponente es múltiplo de 4 la potencia vale 1. En general, puede escribirse: i n = i n mod 4 donde n mod 4 significa el resto de dividir n entre 4 (se lee n módulo 4). Ejercicio 30. Calcular ( 5i) 3. Aplicando la fórmula del binomio y teniendo en cuenta que i = 1 e i 3 = i: ( 5i) 3 = 3 3 5i i 5 3 i 3 = 8 60i i = i Supongamos ahora que queremos calcular la raíz cuadrada del complejo a + bi, esto es, queremos calcular un número complejo x + yi que cumpla: (x + yi) = a + bi Desarrollando el cuadrado e igualando la parte real y la parte imaginaria de cada número resulta: { x y x y = a xyi = a + bi = xy = b resolviendo el sistema se obtienen las dos raíces cuadradas. Hay que recordar que x e y son números reales. Más adelante veremos un método mejor para calcular las potencias y raíces de números complejos. Ejercicio 31. Calcular la raíz cuadrada 1 0i = x + yi. Sea 1 0i = x + yi. Según hemos visto se cumple que x y = 1 xy = 0 Despejando y en la segunda ecuación y sustituyendo en la primera: y = 0 x = 10 x = x 100 x = 1 = x4 1x 100 = 0 Resolviendo la ecuación bicuadrada se obtiene x = 5 y x = 5. Los valores correspondientes de y son y. Por consiguiente, las dos raíces son 5 + i y 5 i. Comprobemos, por ejemplo, el primer resultado: ( 5 + i) = 5 0i + 4i = 5 0i 4 = 1 0i 5.5. Forma polar y trigonométrica del número complejo El afijo de un número complejo puede determinarse, en lugar de por sus coordenadas cartesianas, por sus coordenadas polares. Éstas son el módulo r y el argumento φ. El módulo es la distancia del afijo del

54 54 TEMA 5. NÚMEROS COMPLEJOS Figura 5.3: Módulo y argumento de un complejo complejo al origen de coordenadas. Si conocemos la parte real a y la parte imaginaria b del complejo, el módulo es: r = a + b El módulo de un complejo es un número real positivo. Se suele representar también escribiendo el complejo entre barras, por ejemplo z, o a + bi. El argumento de un complejo es el ángulo que forma el segmento que une el origen y el afijo del complejo con el semieje real positivo. En realidad, un complejo tiene infinitos argumentos que difieren en un múltiplo de π, pues si φ es un argumento también lo es φ + kπ donde k es un número entero. El argumento se relaciona con la parte real y la parte imaginaria del complejo por: tg φ = b a siempre determinando el ángulo teniendo en cuenta el cuadrante en el que se encuentra el afijo del complejo. Un complejo en forma polar se escribe como r φ. Por ejemplo π 3 argumento π 3. Ejercicio 3. Calcular el módulo y el argumento del número complejo 1 + 3i. es el complejo que tiene de módulo y El módulo del complejo es: r = = 4 = El afijo del número se encuentra en el segundo cuadrante de modo que el argumento es: 3 tg φ = 1 = 3 = φ = π π 3 + kπ = π + kπ (k Z) 3 Si se conocen el módulo y el argumento, la parte real y la parte imaginaria se obtienen mediante a = r cos φ b = r sen φ de forma que el complejo a + bi puede escribirse como a + bi = r cos φ + ir sen φ = r(cos φ + i sen φ) Esta manera de escribir el complejo, sustituyendo r y φ en la última expresión, se llama forma trigonométrica del número complejo. Por ejemplo, un complejo en forma trigonométrica sería 3(cos π 3 +i sen π 3 ). Este complejo tiene de módulo 3 y argumento π 3.

55 5.6. PRODUCTO Y COCIENTE EN FORMA TRIGONOMÉTRICA 55 Ejercicio 33. Calcular la expresión en forma binómica del complejo de módulo y argumento 5 o. El argumento 5 o es igual a 5π radianes. Pasando primero a la forma trigonométrica tenemos que: 4 ( 5π = cos 5π i sen 5π ) ( ) = 4 i = i 5.6. Producto y cociente en forma trigonométrica Sean los complejos: z 1 = r 1 (cos φ 1 + i sen φ 1 ) z = r (cos φ + i sen φ ) Multipliquemos los dos números: z 1 z = r 1 (cos φ 1 + i sen φ 1 ) r (cos φ + i sen φ ) = r 1 r [ cos φ1 cos φ + i cos φ 1 sen φ + i sen φ 1 cos φ + i sen φ 1 sen φ ] = r 1 r [cos φ 1 cos φ sen φ 1 sen φ + i(sen φ 1 cos φ + cos φ 1 sen φ )] = r 1 r [cos(φ 1 + φ ) + i sen(φ 1 + φ )] Ésta es la forma trigonométrica de un complejo de módulo r 1 r y de argumento φ 1 + φ. Llegamos por tanto a la siguiente conclusión: para multiplicar dos complejos en forma polar o trigonométrica, se multiplican sus módulos y se suman sus argumentos. No es difícil imaginar que para dividir complejos se dividirán sus módulos y se restarán sus argumentos. En efecto, dividamos en forma trigonométrica multiplicando numerador y denominador por el conjugado del denominador: z 1 = r 1(cos φ 1 + i sen φ 1 ) z r (cos φ + i sen φ ) = r 1(cos φ 1 + i sen φ 1 )(cos φ i sen φ ) r (cos φ + i sen φ )(cos φ i sen φ ) = r 1(cos φ 1 cos φ i cos φ 1 sen φ + i sen φ 1 cos φ i sen φ 1 sen φ ) r (cos φ + sen φ ) = r 1 [cos φ 1 cos φ + sen φ 1 sen φ + i(sen φ 1 cos φ cos φ 1 sen φ )] r = r 1 [cos(φ 1 φ ) + i(sen φ 1 φ )] r = r 1 r [cos(φ 1 φ ) + i(sen φ 1 φ )] Como habíamos previsto resulta que el complejo cociente de otros dos, tiene como módulo el cociente de sus módulos y como argumento la diferencia de sus argumentos, Ejercicio 34. Calcular en forma polar el cociente: (1 + i)3i i En primer lugar, calculamos los complejos en forma polar. Es fácil ver que: 1 + i = π 4 3i = 3 π 4 i = 7π 4

56 56 TEMA 5. NÚMEROS COMPLEJOS Entonces: (1 + i)3i i = π 3 ( 4 π = 7π 4 3 ) π 4 + π 7π 4 = ( 3 ) ( 3 ) = π π 5.7. Potencia y raíz en forma polar Puesto que la potencia de exponente natural no es sino un producto de factores iguales, podemos aplicar la regla de cálculo de productos para calcular las potencias: los módulos deberán multiplicarse y los argumantos sumarse. Puesto que al multiplicar n veces el módulo r por sí mismo se obtiene r n y al sumar el argumento φ consigo mismo n veces se obtiene nφ se tiene que: [r(cos φ + i sen φ)] n = r n (cos nφ + i sen nφ) Si r = 1, la expresión anterior se escribe como cos nφ + i sen nφ = (cos φ + i sen φ) n que se conoce como fórmula de Moivre. La fórmula de Moivre permite calcular el seno y el coseno de los ángulos doble, triple, cuádruple, etc, de un ángulo cualquiera φ a partir de sen φ y cos φ. Ejercicio 35. A partir de la fórmula de Moivre, obtener cos 3x y sen 3x. Desarrollando la fórmula de Moivre para n = 3 resulta: (cos 3φ + i sen 3φ) = (cos φ + i sen φ) 3 = cos 3 φ + 3 cos φ i sen φ + 3 cos φ i sen φ + i 3 sen 3 φ = cos 3 φ + 3i cos φ sen φ 3 cos φ sen φ i sen 3 φ donde se ha tenido en cuenta que i = 1 y i 3 = i. Igualando partes reales e imaginarias resulta: cos 3φ = cos 3 φ 3 cos φ sen φ sen 3φ = 3 cos φ sen φ sen 3 φ Dado que la raíz es la función inversa de la potencia, para calcular la raíz enésima de un complejo, habrá que extraer la raíz del módulo y dividir el argumento por el índice de la raíz. Pero aquí es preciso tener en cuenta que a un complejo le corresponden infinitos argumentos que difieren en un múltiplo entero de π de forma que ( n r(cos φ + i sen φ) = n r cos φ + kπ + i sen φ + kπ ) n n (k Z) Esto no quiere decir que un complejo tenga infinitas raíces, una para cada valor de k. Para k = 0 se obtiene la raíz ( n r cos φ n + i sen φ ) n Se obtienen raíces diferentes para k = 1,, 3,, n 1 pero para k = n resulta: n r (cos φ + nπ + i sen φ + nπ ) = n ( ( φ ) ( φ )) r cos n n n + π + i sen n + π que es igual que la raíz obtenida para k = 0. De aquí deducimos que todo número complejo tiene exactamente n raíces enésimas. Todas las raíces de un número complejo r φ tienen el mismo módulo n r. Puesto que el sentido gráfico del módulo es la distancia al origen del afijo del complejo, los afijos de todas las raíces enésimas se encuentran en la circunferencia de centro el origen y radio n r. Las raíces pueden obtenerse unas de otras sumando al argumento el ángulo π n. En general, las raíces enésimas de un número complejo cumplen:

57 5.8. FORMA EXPONENCIAL DE UN NÚMERO COMPLEJO 57 Todas las raíces tienen el mismo módulo. Las raíces están en progresión geométrica. La razón de la progresión es 1 π n de la raíz. La suma de todas las raíces es igual a cero. En la figura 5.4 pueden verse las raíces quintas del número complejo i. donde n es el índice Ejercicio 36. Calcular las raíces quintas de i. Figura 5.4: Raíces quintas de un número complejo El número i tiene de módulo 1 y argumento π. El módulo de todas las raíces será 5 1. La primera raíz tiene como argumento π : 5 = π 10. Las restantes raíces pueden obtenerse de ésta sumando π. Así obtenemos: 5 z 1 = cos π 10 + i sen π 10 ( π z = cos 10 + π 5 ( π z 3 = cos + π 5 ( 9π z 4 = cos 10 + π 5 ( 13π z 5 = cos 10 + π 5 ) + i sen ) + i sen ) + i sen ) + i sen ( π 10 + π ) = cos π 5 + i sen π ( π + π ) = cos 9π 9π + i sen ( 9π 10 + π ) = cos 13π 13π + i sen ( 13π 10 + π 5 ) = cos 17π 17π + i sen Forma exponencial de un número complejo La función exponencial para números imaginarios se define por la fórmula de Euler: e ix = cos x + i sen x Así, un número complejo z de módulo r y argumento φ, puede escribirse como: z = re iφ En particular, e iφ representa un complejo de módulo 1 y argumento φ. Las reglas que hemos obtenido para las operaciones con complejos en forma polar, se deducen de forma

58 58 TEMA 5. NÚMEROS COMPLEJOS inmediata de las propiedades de la función exponencial: z 1 z = r 1 e iφ1 r e iφ = (r 1 r ) e i(φ1+φ) z 1 z = r 1e iφ1 r e iφ = r 1 r e i(φ 1 φ ) z n = ( re iφ) n = r n e inφ ( 1 n z = z n = re i(φ+kπ)) 1 n = n r e i φ+kπ n 5.9. Números complejos y transformaciones geométricas Una correspondencia entre números complejos del tipo z = vz + w; v, w C asocia a cada complejo z otro número complejo z. También puede considerarse como una transformación de los puntos del plano, de tal forma que el afijo de z se desplaza al afijo de z. La transformación más simple tiene la forma z = z + w. Como puede verse en la figura 5.5, representa una traslación de vector w. Figura 5.5: Traslación de vector w Hemos visto que el producto de dos complejos tiene como módulo el producto de los módulos y como argumento la suma de los argumentos. Por ello, si se multiplica un complejo z por otro de módulo 1 y argumento φ, es decir, si se multiplica por e iφ, el módulo no cambia y el argumento aumenta en φ unidades (figura 5.6). Por consiguiente, la transformación z = e iφ z se puede interpretar geométricamente como un giro de ángulo φ alrededor del origen. Si la rotación se produce alrededor del afijo de un complejo c, el resultado z considerado como un vector, es la suma del vector c y del vector z c girado un ángulo φ. Esta transformación se expresa mediante: z = c + (z c)e iφ En general, la transformación z = e iφ z +w representa un giro de ángulo φ. Si queremos calcular el centro de giro, buscamos el punto que queda invariante en la transformación igualando z = z = c: c = e iφ c + w = c(1 e iφ ) = w = c = w 1 e iφ Una homotecia de centro c y razón k R es una transformación que hace corresponder a un punto z otro punto z que cumple (ver figura 5.7):

59 5.9. NÚMEROS COMPLEJOS Y TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS 59 Figura 5.6: Rotación alrededor del origen o de un punto cualquiera El punto z se encuentra en la recta cz. La razón de las distancias de los dos puntos a c es k: cz = k cz. Figura 5.7: Homotecia de centro c La homotecia de centro c y razón k R se puede representar por la ecuación: z c = k(z c) = z = c + k(z c) Podemos decir que una transformación del tipo z = kz + w; k R, k 1 representa una homotecia de razón k. El centro de la homotecia podemos encontrarlo calculando el punto invariante de la transformación, es decir, haciendo z = z = c: c = kc + w = c(1 k) = w = c = w 1 k En general, la transformación z = vz + w: Si v = 1 es una traslación de vector w. Si v = e iφ, es un giro de ángulo φ alrededor del punto c = w 1 e iφ. Si v = k es real y k 1 es una homotecia de razón k de centro c = w 1 k.

60 60 TEMA 5. NÚMEROS COMPLEJOS En los demás casos es el producto de un giro de ángulo φ = arg v y de una homotecia de razón k = v. El centro en ambos casos es c = w 1 v. Ejercicio 37. En una circunferencia de centro C(5, ) se inscribe un cuadrado. Si uno de sus vértices es el punto P 1 ( 1), calcular los restantes. Sea c = 5 + i el complejo que tiene como afijo el centro de la circunferencia y z 1 = i el que tiene como afijo el vértice conocido. Los demás vértices pueden obtenerse girando z 1 alrededor de c múltiplos de π : z = c + (z 1 c) e i π = 5 + i + ( 7 3i)(cos π + i sen π ) = 5 + i 7i + 3 = 8 5i y de forma similar: z 3 = c + (z 1 c) e i π z 4 = c + (z 1 c) e i 3π = 1 + 5i = + 9i Los vértices son P (8, 5), P 3 (1, 5) y P 4 (, 9).

61 Tema 6 Geometría 6.1. Ecuación punto-pendiente y expĺıcita de la recta. En Geometría Analítica las rectas se representan mediante ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. Los puntos de la recta son las soluciones de la ecuación. Por ejemplo, la ecuación 3x + 4y = 5 representa a una recta. Si queremos obtener puntos de esta recta, basta calcular soluciones de la ecuación. Dando un valor a una de las incógnitas y calculando el valor correspondiente de la otra obtenemos un punto. Por ejemplo, en la ecuación anterior, dando a x el valor 1 se obtiene para y: x = 1 = 3( 1) + 4y = 5 ; 4y = 8 ; y = de modo que el punto ( 1, ) es un punto de la recta dada. Una ecuación de primer grado puede escribirse de muchas formas diferentes, con paréntesis, sin paréntesis, con denominadores, sin denominadores, etc. Dependiendo cómo se escriba la ecuación, sus coeficientes tienen un significado u otro como características de la recta. Seguidamente, veremos las formas más convenientes de escribir la ecuación de una recta. Supongamos que una recta está definida por un punto P (x 0, y 0 ) y el ángulo que forma con la dirección positiva del eje de abscisas, es decir, por el ángulo α en la figura 6.1. La tangente de este ángulo se representa por la letra m y se llama pendiente de la recta. Figura 6.1: Ecuaciones de la recta punto-pendiente y explícita 61

62 6 TEMA 6. GEOMETRÍA Para que el punto X(x, y) se encuentre sobre la recta debe cumplir que: tg α = m = y y 0 x x 0 = y y 0 = m(x x 0 ) Esta forma de escribir la ecuación y y 0 = m(x x 0 ) se llama forma punto-pendiente de la ecuación de la recta. El significado de los coeficientes en este caso está claro: representan las coordenadas (x 0, y 0 ) de un punto de la recta y la pendiente m. Si se toma como punto para definir la recta, el punto de corte con el eje de ordenada B(0, b), la ecuación queda: o bien y b = m(x 0) y = mx + b que se llama ecuación explícita de la recta. En esta ecuación, el coeficiente de x es la pendiente, y el término independiente b representa la ordenada del punto de corte de la recta con el eje de ordenadas que recibe el nombre de ordenada en el origen. Ejercicio 38. Calcular en las formas punto-pendiente y explícita la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(, 5) y B(3, 1). Podemos calcular la pendiente de la recta como el cociente de las variaciones de y y de x entre los dos puntos conocidos de la recta (figura 6.): m = y x = y y 1 = 1 5 x x 1 3 ( ) = 4 5 Como punto para definir la recta podemos tomar cualquiera de los dos, por ejemplo el punto A. La ecuación punto-pendiente Figura 6.: Ecuación de la recta que pasa por dos puntos es: y 5 = 4 (x + ) 5 La ecuación explícita la obtenemos despejando y: y = x 8 5 = y = 4 5 x

63 6.. ECUACIÓN CANÓNICA O SEGMENTARIA. 63 Figura 6.3: Ecuación segmentaria de la recta 6.. Ecuación canónica o segmentaria. Vamos a suponer ahora que la recta está dada por los puntos A(a, 0) y B(0, b) en que la recta corta a los ejes de coordenadas (figura 6.3). La pendiente de la recta es: m = b 0 0 a = b a Puesto que la ordenada en el origen de la recta es b, su ecuación explícita es: y = b x + b = (quitando denominadores) bx + ay = ab a y dividiendo por ab los dos miembros resulta: x a + y b = 1 Esta es la ecuación segmentaria o canónica de la recta. Los coeficientes a y b de la ecuación son, respectivamente, la abscisa y la ordenada en el origen, es decir, la abscisa y la ordenada de los puntos de corte con los ejes. Ejercicio 39. Calcular la ecuación segmentaria de la recta 3x + 4y = 4. Resolveremos el problema por dos procedimientos: Calculamos las intersecciones e la recta con los ejes de coordenadas. Para calcular la intersección con el eje de abscisas hacemos y = 0 y para calcular la intersección con el eje de ordenadas hacemos x = 0: { { 3x + 4y = 4 3x + 4y = 4 = A(8, 0) = B(0, 6) y = 0 x = 0 Hemos hallado la abscisa en el origen (a = 8) y la ordenada en el origen (b = 6). La ecuación de la recta en forma segmentaria es: x 8 + y 6 = 1 Dividiendo los dos miembros de la ecuación por 4: 3x 4 + 4y 4 = 4 4 Pasando dividiendo al denominador los coeficientes que aparecen en el numerador multiplicando: x + y = 1 = x 8 + y 6 = 1

64 64 TEMA 6. GEOMETRÍA 6.3. Ecuación general o impĺıcita. No todas las rectas tienen una ecuación que se pueda escribir en una de las formas vistas hasta ahora. Por ejemplo, la pendiente es la tangente del ángulo que forma la recta con el eje de abscisas. Las rectas paralelas al eje de ordenadas forman un ángulo de 90 o con el eje de abscisas y, por consiguiente, no tienen pendiente, puesto que la tangente de 90 o no existe. A veces se dice que estas rectas tienen tangente infinita. Para que la ecuación de una recta pueda escribirse en forma segmentaria, es preciso que la recta corte a los dos ejes en puntos distintos del origen. Por tanto, no podrán escribirse en forma segmentaria ni las rectas paralelas a cualquiera de los dos ejes ni las rectas que pasan por el origen. Sin embargo, todas las rectas pueden expresarse mediante ecuaciones del tipo: Ax + By + C = 0 Esta forma de escribir la ecuación de primer grado se llama general o implícita y, como hemos dicho, todas las rectas tienen una ecuación que se puede escribir de esta manera. El problema es que es más difícil encontrar un significado par sus coeficientes A, B y C. Figura 6.4: Casos particulares de la ecuación de la recta Cuando alguno de los coeficientes de la ecuación es cero, nos encontramos con los siguientes casos particulares: Si A = 0 en la ecuación falta la incógnita x. La ecuación se suele escribir en la forma y = y 0 y se trata de rectas paralelas al eje de abscisas. En particular, la ecuación del eje X es y = 0. Si B = 0 en la ecuación falta la incógnita y. En este caso se trata de rectas paralelas al eje de ordenadas que se suelen escribir en la forma x = x 0. La ecuación del eje de ordenadas es x = 0. Si C = 0 la recta correspondiente pasa por el origen puesto que (0, 0) es una solución de la ecuación. En particular, la recta y = x se llama bisectriz del primer cuadrante y y = x bisectriz del segundo cuadrante. Ejercicio 40. Calcular las ecuaciones de las paralelas a los ejes por el punto P (1, 3) La paralela al eje OX tiene de ecuación y = 3. La paralela al eje OY tiene de ecuación x = 1. Ejercicio 41. Calcular el punto de intersección de la recta x + 5y 7 = 0 con la bisectriz del primer cuadrante. Para calcular la intersección de dos rectas hay que hallar la solución del sistema formado por sus ecuaciones. En este caso, el sistema es: { x + 5y 7 = 0 y = x

65 6.4. POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS. 65 sistema que tiene por solución el punto P (1, 1) Posición relativa de dos rectas. Dos rectas o bien se cortan o son paralelas. Cuando dos rectas son paralelas forman el mismo ángulo con el eje de abscisas y, por consiguiente, tienen la misma pendiente (ver figura 6.5). Figura 6.5: Rectas paralelas Si las ecuaciones de las dos rectas están escritas en forma explícita o punto-pendiente podemos saber si son paralelas, simplemente comprobando si tienen o no la misma pendiente. En el caso de que una recta esté escrita en forma implícita Ax + By + C = 0, podemos obtener su pendiente despejando la incógnita y: Ax + By + C = 0 = y = A B x C B = m = A B Por tanto, si las rectas A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 y A x + B y + C = 0 son paralelas, deben tener la misma pendiente y, por consiguiente: A 1 B 1 = A B = A 1 A = B 1 B Esta es la condición de paralelismo de dos rectas cuando sus ecuaciones están escritas en forma implícita. Si además sucede que: A 1 A = B 1 B = C 1 C las dos ecuaciones tienen las mismas soluciones (una de ellas es igual a la otra multiplicada por un número). Las dos rectas tienen los mismos puntos y son, por tanto, coincidentes. Ejercicio 4. Calcular la ecuación de la paralela a la recta y = x 5 que pasa por el punto P (3, 7). Si es paralela, debe tener la misma pendiente m =. Como además pasa por el punto P (3, 7), su ecuación es: y + 7 = (x 3) Ejercicio 43. Calcular la ecuación de la paralela a la recta 3x 5y + 8 = 0 por el punto A(1, 7). Si la ecuación está dada en forma implícita podemos utilizar otro procedimiento (aunque podríamos calcular la pendiente de la recta dada y proceder como en el problema anterior). Puesto que los coeficientes A y B de la recta y su paralela son

66 66 TEMA 6. GEOMETRÍA proporcionales, podemos suponer que son los mismos y las dos ecuaciones difieren simplemente en el coeficiente C. La recta que buscamos es: 3x 5y + C = 0 Como la recta pasa por A(1, 7) estos números son solución de la ecuación. Por tanto: C = 0 = C = 35 3 = 3 La ecuación de la paralela es 3x 5y + 3 = Ángulo de dos rectas Se llama ángulo de dos rectas el menor de los ángulos que forman. Figura 6.6: Angulo de dos rectas Sean dos rectas r 1 y r cuyas ecuaciones en forma explícita son y = m 1 x + b 1 y y = m x + b. En la figura 6.6 vemos que el ángulo α que forman las dos rectas es: α = α 1 α Por consiguiente: tg α = tg(α 1 α ) = tg α 1 tg α = m 1 m 1 + tg α 1 tg α 1 + m 1 m Si queremos obtener el ángulo agudo que forman las dos rectas, deberemos tomar el valor absoluto de esta expresión. Tenemos entonces para el ángulo de dos rectas la siguiente fórmula: tg α = m 1 m 1 + m 1 m Si las rectas son perpendiculares el denominador debe ser cero. La condición para que dos rectas sean perpendiculares es: r 1 r 1 + m 1 m = 0 m = 1 m 1 Haciendo α = 0 se obtiene la condición de paralelismo que ya conocemos: r 1 r m 1 = m Ejercicio 44. Calcular la ecuación de la recta perpendicular a r : 3x 5y + 1 = 0 que pasa por P (1, ). La pendiente de la recta r es m = 3 5. La pendiente de la perpendicular tiene que ser m = 5. Puesto que la recta debe 3 pasar por P (1, ) su ecuación es: y + = 5 (x 1) 3

67 6.6. DISTANCIAS Distancias Distancia entre dos puntos. De la figura 6.7 y del teorema de Pitágoras se desprende que: d = (x x 1 ) + (y y 1 ) Distancia desde el origen a una recta. Figura 6.7: Distancia entre dos puntos Figura 6.8: Distancia del origen a una recta Sea la recta r : origen es: Ax + By + C = 0 (ver figura 6.8). La ecuación de la perpendicular a r por el y = B A x La intersección de esta recta con r es el punto P (x, y ). Las coordenadas de este punto se obtienen resolviendo el sistema: Ax + By + C = 0 y = B A x = Ax + B A x + C = 0 = A x + B x + AC = 0

68 68 TEMA 6. GEOMETRÍA Despejando: (A + B )x + AC = 0 = x = AC A + B Las coordenadas del punto P son: x = AC A + B y = BC A + B La distancia del origen a P es: d = x + y A C + B C = (A + B ) = Distancia de un punto a una recta. C A + B = C A + B Figura 6.9: Distancia de un punto a una recta Sea el punto P (x 0, y 0 ) y la recta r : Ax + By + C = 0. Para calcular la distancia de P a r hacemos una traslación que lleve el punto P al origen: { x = x x 0 y = y y 0 La recta trasladada tiene como ecuación: A(x + x 0 ) + B(y + y 0 ) + C = 0 o Ax + By + Ax 0 + By 0 + C = 0 Aplicando ahora la fórmula obtenida para la distancia desde el origen a una recta se obtiene: d(p, r) = Ax 0 + By 0 + C A + B fórmula que es fácil de recordar pues el numerador es el primer miembro de la ecuación implícita de la recta r sustituyendo, en lugar de las incógnitas, las coordenadas de P. Distancia entre rectas paralelas. La distancia entre dos rectas paralelas puede calcularse tomando un punto cualquiera de una de ellas y calculando la distancia desde ese punto a la otra recta. También puede obtenerse como suma o diferencia de las distancias desde el origen (figura 6.10). Si las ecuaciones de las rectas son r 1 : Ax + By + C = 0 y r : Ax + By + C = 0, su distancia es: d(r 1, r ) = C C A + B

69 6.7. MEDIATRIZ Y BISECTRIZ Mediatriz y bisectriz Figura 6.10: Distancia entre dos rectas paralelas La mediatriz de un segmento es la perpendicular por el punto medio. También puede definirse como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos del segmento. Figura 6.11: Mediatriz de un segmento Sea el segmento determinado por los puntos A(x 1, y 1 ) y B(x, y ) (ver figura 6.11). Sea X(x, y) un punto cualquiera de la mediatriz de AB. Se cumple que: d(x, A) = d(x, B) (x x1 ) + (y y 1 ) = (x x ) + (y y ) (x x 1 ) + (y y 1 ) = (x x ) + (y y ) elevando al cuadrado Esta es la ecuación de la mediatriz de AB. Simplificando los términos de segundo grado queda: x(x x 1 ) + y(y y 1 ) + x 1 + y 1 x y = 0 La bisectriz de dos rectas que se cortan es el conjunto de puntos que equidistan de las dos rectas. Sean las rectas r 1 : A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 y r : A x + B y + C = 0 (ver figura 6.1). Si X(x, y) es un

70 70 TEMA 6. GEOMETRÍA Figura 6.1: Bisectriz de dos rectas punto de la bisectriz, se cumple que: d(x, r 1 ) = d(x, r ) A 1 x + B 1 y + C 1 A 1 + B 1 A 1 x + B 1 y + C 1 A 1 + B 1 = A x + B y + C A + B = ± A x + B y + C A + B Como vemos, hay dos bisectrices b 1 y b perpendiculares entre sí Vectores Un vector es un segmento orientado. En un vector podemos distinguir su módulo o longitud, su dirección (la de la recta que lo contiene) y su sentido (hay dos sentidos posibles para cada dirección). Cuando al unir los orígenes y los extremos de dos segmentos orientados, la figura que resulte sea un paralelogramo, consideraremos que los dos vectores son iguales, es decir, los dos segmentos son representaciones del mismo vector. Esto quiere decir que cualquier vector lo podemos representar con el origen en el punto que queramos. Figura 6.13: Vectores iguales y opuestos El opuesto de un vector es el vector que tiene el mismo módulo, la misma dirección y sentido contrario. Definimos dos operaciones con vectores (figura 6.14): La suma de dos vectores se obtiene representando uno a continuación del otro. El vector suma tiene como origen el origen del primer vector y como extremo, el extremo del segundo vector. La

71 6.8. VECTORES 71 Figura 6.14: Operaciones con vectores diferencia de dos vectores se obtiene sumando al primero el opuesto del segundo. Si se multiplica un vector por un número, el vector resultante tiene la misma dirección, el módulo queda multiplicado por el número (positivo) y el sentido es igual u opuesto según que se multiplique por un número positivo o negativo. Debemos destacar que cuando se multiplica un vector por un número no cambia la dirección del vector. También es cierto que si dos vectores tienen la misma dirección, uno de ellos es igual al otro multiplicado por un número: u v u = t v Una base del conjunto de vectores libres del plano está formada por dos vectores { i, j} no alineados. Todo vector puede descomponerse como suma de dos vectores en las direcciones de i y de j (ver figura 6.15): v = v x i + v y j Los números v x y v y se llaman coordenadas del vector v en la base { i, j}. En lo sucesivo, representaremos los vectores por sus dos coordenadas entre paréntesis: ) u = ( ux u y Cuando los vectores están dados por sus coordenadas, las operaciones resultan muy sencillas: ( ) ( ) ( ) ux vx ux + v x u + v = + = u y v y u y + v y t u = t ( ux u y ) = ( ) tux tu y En lo que sigue utilizaremos vectores para indicar la posición de los puntos y las direcciones de las rectas. Dado un punto P (x, y) se llama vector de posición del punto al vector OP que va del origen de coordenadas al punto. Las coordenadas de un punto coinciden con las de su vector de posición. Vector director de una recta es cualquier vector que tenga la dirección de la recta. Como al multiplicar un vector por un número no cambia la dirección, si u es un vector director de la recta r, también lo es α u, siendo α un número cualquiera. Si conocemos el origen y el extremo de un vector, podemos calcular sus coordenadas de la forma siguiente (figura 6.15): OA + AB = OB = AB = OB OA Como las coordenadas de OA y OB coinciden con las coordenadas de A y B, resulta que las coordenadas de un vector pueden obtenerse restando las coordenadas de su extremo menos las coordenadas de su origen.

72 7 TEMA 6. GEOMETRÍA Figura 6.15: Coordenadas de un vector. Vector dado por su origen y extremo. Ejercicio 45. Calcular las coordenadas del vector AB siendo A( 3, 4) y B(, 7). Según hemos visto. ( ) ( ) ( ) AB = 3 5 OB OA = = Ejercicio 46. Dados los puntos A( 4, 5) y B(5, 1) calcular los puntos que dividen el segmento AB en tres partes iguales. Calculamos en primer lugar el vector AB: ( ) ( ) ( ) AB = = Entonces: OP = OA + 1 AB = ( 4, 5) ( ) ( ) ( ) ( ) = + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) OQ = OA + 4 AB = = + = Los puntos son P ( 1, 3) y Q(, 1) Otras formas de la ecuación de la recta Supongamos que la recta está definida por un punto P dado por su vector de posición OP y un vector director v. Sea X un punto cualquiera de la recta con vector de posición OX. Evidentemente se cumple que: OX = OP + P X Pero si X está sobre la recta, los vectores v y P X tienen la misma dirección y, por consiguiente, P X es igual a un número t por v: OX = OP + t v Esta es la ecuación vectorial de la recta dada por el punto P y el vector v. Se le puede dar una interpretación física como la trayectoria de un móvil que se mueve con velocidad uniforme v y que en el momento inicial se encuentra en el punto P. En esta interpretación el parámetro t sería el tiempo y en cada instante t la ecuación nos daría la posición del móvil.

73 6.9. OTRAS FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA 73 Figura 6.16: Ecuación vectorial de la recta Si en la ecuación vectorial representamos los vectores por sus coordenadas resulta: ( ) ( ) ( ) { x x0 vx x = x 0 + tv x = + t = y y = y 0 + tv y y 0 v y Estas son las ecuaciones paramétricas de la recta. Los coeficientes del parámetro t son las coordenadas del vector director y los términos independientes son las coordenadas de un punto de la recta (el que se obtiene haciendo t = 0). En el caso de que v x y v y sean distintos de cero, puede despejarse t en las ecuaciones paramétricas. Igualando obtenemos la siguiente ecuación: x x 0 v x = y y 0 v y que se llama ecuación continua de la recta. A veces se escribe también la forma continua de la ecuación aunque alguna de las coordenadas del vector director sea cero. Por ejemplo: x 3 = y 1 0 Evidentemente no hay que entender que haya que dividir por cero sino que la segunda coordenada del vector director es cero. En este caso, el numerador debe ser también igual a cero, es decir, se trata de la recta y = 1, una recta paralela al eje de abscisas. Si quitamos denominadores y pasamos todos los términos al primer miembro obtendríamos la ecuación implícita: v y x v x y + v x y 0 v y x 0 = 0 Comparando con la expresión genera de la ecuación implícita Ax + By + C = 0, igualando coeficientes tenemos que A = v y B = v x = v = ( vx v y ) = ( ) B A y podemos dar la siguiente interpretación a los coeficientes A y B de la ecuación implícita: B ya son las coordenadas de un vector director de la recta. Ejercicio 47. Escribir en forma vectorial, paramétrica y continua, la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(, 3) y B(5, 1).

74 74 TEMA 6. GEOMETRÍA ( ) El vector 3 AB = es un vector director de la recta. 4 La ecuación vectorial es: ( ) ( ) 3 OX = + t 3 4 En forma paramétrica, esta ecuación se escribe: { x = + 3t y = 3 4t Finalmente, en forma continua: x 3 = y Cónicas Hasta ahora hemos visto que las soluciones de una ecuación de primer grado con dos incógnitas, consideradas éstas como coordenadas de puntos del plano, forman una línea recta. Las soluciones de las ecuaciones de segundo grado con dos incógnitas, es decir, de ecuaciones del tipo. Ax + By + Cxy + Dx + Ey + F = 0 no forman rectas sino un tipo de curvas que se denominan cónicas o secciones cónicas porque se obtienen de la intersección de una superficie cónica con un plano. En lo que sigue estudiaremos estas curvas definiéndolas como lugares geométricos, esto es, como conjunto de puntos que cumplen una determinada propiedad Circunferencia Figura 6.17: Circunferencia Se llama así al conjunto de puntos que se encuentran a la misma distancia (radio) de un punto dado (centro de la circunferencia). Sea la circunferencia de centro en el punto C(x 0, y 0 ) y radio r. Para que el punto X(x, y) se encuentre en la circunferencia debe cumplirse que: d(x, C) = r (x x 0 ) + (y y 0 ) = r y sustituyendo resulta

75 6.10. CÓNICAS 75 Esta es la ecuación de una circunferencia de centro C(x 0, y 0 ) y radio r. Desarrollando las potencias se obtiene: x + y x 0 x y 0 y + x 0 + y 0 r = 0 En general, una ecuación de la forma: x + y + Cx + Dy + F = 0 representa una circunferencia en la que las coordenadas del centro (x 0, y 0 ) y el radio están dados por el sistema: x 0 = C y 0 = D x 0 + y 0 r = F Elipse Se llama elipse al conjunto de puntos cuya suma de distancias a dos puntos (focos) es constante (ver figura 6.18). Figura 6.18: La elipse y la hipérbola Una elipse queda definida por los siguientes elementos: El semieje mayor a El semieje menor b La semidistancia focal c La excentricidad e Los tres primeros cumplen que a = b + c. La excentricidad se define por la fórmula: e = c a La excentricidad es un número comprendido entre 0 y 1. Si la excentricidad es cero la elipse es una circunferencia; si es igual a 1 es un segmento. A partir de la definición y de las relaciones que hemos visto entre sus elementos puede calcularse la ecuación de una elipse centrada en los ejes (ver figura 6.18). La ecuación es: x a + y b = 1

76 76 TEMA 6. GEOMETRÍA Hipérbola La hipérbola es una curva definida por la propiedad de que la diferencia de distancias de sus puntos a dos puntos (focos) es constante. Una hipérbola queda determinada por los siguientes elementos (ver figura 6.18): El semieje real a La semidistancia focal c El semieje imaginario b definido por c = a + b La excentricidad e = c a La excentricidad de una hipérbola es siempre mayor o igual a uno. La hipérbola de excentricidad 1 está formada por dos semirrectas. La ecuación de la hipérbola centrada en los ejes se deduce fácilmente a partir de la definición: x a y b = 1. La hipérbola es una curva con asíntotas. Éstas son rectas con la propiedad de que cuando x se hace muy grande (tiende a infinito) su distancia a la hipérbola se hace muy pequeña (tiende a cero). Lo mismo pasa cuando x se hace muy pequeño (tiende a menos infinito). La ecuación de las asíntotas es: y = ± b a x Parábola Figura 6.19: Parábola Una parábola está formada por el conjunto de puntos que equidistan de un punto (foco) y una recta (directriz). La parábola viene caracterizada por la distancia entre el foco y la directriz que se denomina parámetro de la parábola. Si el foco se encuentra sobre el eje de abscisas, la directriz es paralela al eje de ordenadas y ambos elementos se encuentran a la misma distancia del origen, la ecuación de la parábola es: y = px

77 6.10. CÓNICAS 77 Ejercicio 48. Calcular la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(0, 5), B(0, 1) y C(, 3) y determinar su centro y su radio. Primer método. El centro es equidistante de A y B. Por consiguiente, se encuentra en su mediatriz: y = 3 Por ser equidistante de B y C, también se encuentra en la mediatriz de estos dos puntos: x + (y 1) = (x ) + (y 3) x + y y + 1 = x 4x y 6y + 9 4x + 4y 1 = 0 x + y 3 = 0 Resolviendo el sistema formado por las ecuaciones de las dos mediatrices: { y = 3 x + y 3 = 0 se obtiene que el centro es el punto (0, 3). El radio es la distancia del centro a uno cualquiera de los puntos: r = Segundo método: sea x + y + Dx + Ey F = 0 la ecuación de la circunferencia que buscamos: Por pasar por A(0, 5): 5 + 5E + F = 0 Por pasar por B(0, 1): 1 + E + F = 0 Por pasar por C(, 3): D + 3E + F = 0 Resolviendo el sistema se obtiene D = 0, E = 6, F = 5, de modo que la ecuación de la circunferencia es: x + y 6y + 5 = 0 que se puede escribir como: x + (y 3) 4 = 0 y de aquí deducimos que el centro es el punto (0, 3) y que el radio es igual a. Ejercicio 49. Calcular las ecuaciones de las circunferencias que son tangentes a las rectas 3x 4y +1 = 0 y 4x+3y = 0, cuyo centro se encuentra sobre la recta x + y + 3 = 0 El centro de la circunferencia debe encontrarse sobre las bisectrices de las tangentes: 3x 4y + 1 4x + 3y = ± Simplificando, obtenemos para las bisectrices las siguientes ecuaciones: y = 7x + 1 y = 1 7 x Para calcular el centro de la circunferencia debemos resolver el sistema formado por cada una de las bisectrices con la recta dada. Tenemos dos soluciones: El centro { de la circunferencia es la solución del sistema: ( x + y + 3 = 0 = C 9 y = 7x + 1 5, 3 ) 5 El radio es la distancia desde este punto a cualquiera de las rectas tangentes: r = = La ecuación de la circunferencia es: ( x + 9 ) ( + y + 3 ) = Procediendo de la misma manera que en el caso anterior se obtiene la segunda solución. El centro es la solución del sistema: { x + y + 3 = 0 y = 1 7 x + 1 = C ( 9, 3) 7 Calculamos el radio: r 4 ( 9) = = y la ecuación de la segunda circunferencia es: (x + 9) + (y 3) = 79 5

78 78 TEMA 6. GEOMETRÍA Figura 6.0: Circunferencias tangentes a dos rectas

79 Tema 7 Estadistica 7.1. Introducción La Estadística trata de describir colectividades formadas por un gran número de objetos. El conjunto de los objetos que se estudian se denomina población. En ocasiones, el estudio se hace a partir de una muestra, esto es, cierto número de objetos tomados aleatoriamente de la población. El número de objetos de la población o de la muestra es su tamaño. Sobre la población o sobre una muestra se mide una magnitud. Los valores que toma esta magnitud forman la variable estadística. Si la variable estadística toma valores numéricos se dice que es cuantitativa. Si no es así (por ejemplo si se estudia la raza de una población de gatos) la variable es cualitativa. Una variable estadística cuantitativa puede tomar un número finito de valores o los infinitos valores comprendidos en un cierto intervalo. En el primer caso hablaremos de variable estadística discreta y en el segundo de variable continua. En realidad la variable nunca es estrictamente continua en el sentido explicado pues la precisión de los instrumentos de medida no permite apreciar infinitos valores. En la práctica, la variable será continua cuando pueda tomar un número muy elevado de valores; en este caso, los valores de la variable estadística se agrupan en intervalos. 7.. Frecuencias La frecuencia o frecuencia absoluta de un valor x de la variable estadística es el número de objetos de la población que presentan ese valor. Representaremos esta frecuencia por f. La frecuencia de un determinado valor dividido por el número de elementos de la población, esto es, la proporción de elementos de la población que presenta este valor es la frecuencia relativa que representaremos por h. Evidentemente se cumple que: h = f N donde N es el número de objetos de la población. La frecuencia acumulada F de un resultado x es el número de elementos de la población en los que la variable toma valores menores o iguales que x. Dividiendo por el número de elementos de la población se obtiene la frecuencia acumulada relativa H. Los valores de la variable estadística y las correspondientes frecuencias se representan en las llamadas tablas de frecuencias, que tienen siguiente forma (se presentan dos tablas, una para variable discreta y 79

80 80 TEMA 7. ESTADISTICA otra para variable continua): x f h F H x 1 f 1 h 1 F 1 H 1 x f h F H x 3 f 3 h 3 F 3 H 3 x n f n h n F n H n x f h F H [x 0, x 1 ) f 1 h 1 F 1 H 1 [x 1, x ) f h F H [x, x 3 ) f 3 h 3 F 3 H 3 [x n 1, x n ) f n h n F n H n De las definiciones se deducen algunas condiciones que deben cumplir estos valores: La suma de todas las frecuencias debe ser igual al tamaño de la población o de la muestra. La última frecuencia acumulada también debe ser igual al tamaño de la población o de la muestra. La suma de las frecuencias relativas debe ser 1 y también la última frecuencia relativa acumulada. También debe cumplirse que, por ejemplo: F 4 = f 1 + f + f 3 + f 4 es decir a la suma de las frecuencias absolutas anteriores. O también: F 4 = f 4 + F 3 o sea, la frecuencia correspondiente más la frecuencia acumulada anterior. Relaciones similares deben cumplirse para las frecuencias relativas Gráficos estadísticos Los valores de la variable estadística y sus frecuencias pueden representarse gráficamente de muchas maneras. Consideraremos solamente los más comunes. Para variable discreta se utilizan los diagramas de barras. Los valores de la variable se indican sobre el eje de abscisas y sobre ellos se dibuja una barra de altura proporcional a la frecuencia. Pueden representarse de esta forma tanto las frecuencias absolutas como las frecuencias relativas o las frecuencias acumuladas: Si la variable estadística es continua se utilizan los histogramas y los diagramas de frecuencias acumuladas. Un histograma consiste en representar los intervalos en que hemos dividido la variable sobre el eje de abscisas y, sobre él, se dibuja un rectángulo de área proporcional a la frecuencia correspondiente: Si todos los intervalos (clases) tienen la misma longitud, la altura de los rectángulos es proporcional a la frecuencia de cada clase. Si los intervalos no tienen todos la misma longitud, las alturas son entonces proporcionales a la densidad de frecuencia. La densidad de frecuencia de una clase es la frecuencia dividida por la longitud del intervalo. Dicho de otra manera, la frecuencia de una clase es igual a la longitud del intervalo por la densidad de frecuancia. Los diagramas de frecuencias acumuladas (absolutas o relativas) se obtienen tomando como ordenada sobre el extremo derecho del intervalo la frecuencia acumulada correspondiente y uniendo los puntos así obtenidos mediante segmentos: 7.4. Medidas de tendencia central La moda es el valor que ocurre con mas frecuentemente. En una tabla de frecuencias es el valor que se corresponde con la frecuencia más alta. Si la variable estadística es continua, la clase modal es la que tiene

81 7.4. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL 81 Figura 7.1: Diagrama de barras Figura 7.: Histograma Figura 7.3: Diagrama de frecuencias acumuladas

82 8 TEMA 7. ESTADISTICA la frecuencia mas alta o, en caso de que las clases tengan longitudes diferentes, la que tenga la densidad de frecuencia más alta. Supongamos que todos los valores obtenidos de la variable estadística se ordenan de menor a mayor. La mediana será entonces el valor central, esto es, el valor que deja el mismo número de términos a su izquierda y a su derecha. Si el número de términos es par entonces se tomará como mediana la media de los valores centrales. La mediana se puede obtener fácilmente a partir de la tabla de frecuencias relativas acumuladas. Si en la tabla aparece la frecuencia acumulada 0, 50 (o sea el 50 %) entonces la mediana es la media entre el valor de la variable correspondiente a ese 0, 50 y el siguiente. Si no aparece en la tabla el valor 0, 50, entonces es el valor de la variable correspondiente al primer valor de la frecuencia acumulada relativa superior a 0, 50. Si la variable es continua, esto es, si aparece dividida en intervalos, se puede localizar el intervalo mediano tal como se ha expuesto en el párrafo anterior. Una vez conocido este intervalo se tomará como mediana el valor de la variable correspondiente al 50 % en el polígono de frecuencias acumuladas relativas. Si el intervalo mediano es (x 1, x ) y a los extremos del intervalo les corresponden unas frecuencias acumuladas relativas H 1 y H, el valor de la mediana está dado por: Mediana = x 1 + x x 1 H H 1 (0, 50 H 1 ) De forma similar, se llaman primero, segundo y tercer cuartil, los valores de la variable correspondientes a frecuencias acumuladas de 0, 5, 0, 50 y 0, 75, es decir, aquellos que dividen al conjunto de valores obtenidos en cuatro partes con el mismo número de términos. Se representan por Q 1, Q y Q 3. El segundo cuartil coincide con la mediana. Pueden obtenerse por fórmulas similares a la mediana: Q 1 = x 1 + x x 1 H H 1 (0,5 H 1 ) Q = x 1 + x x 1 H H 1 (0,50 H 1 ) Q 3 = x 1 + x x 1 H H 1 (0,75 H 1 ) donde (x 1, x ) representa el intervalo en que se encuentra el cuartil y H 1 y H las frecuencias relativas acumuladas en los extremos del intervalo. La media o media aritmética de una variable estadística se define como la suma de todos los valores de la variable dividido por el número de elementos de la población: x = Σx N La suma de todos los valores de la variable estadística se puede expresar mediante la suma de cada uno de los valores que toma por sus correspondientes frecuencias. Así: x = Σf ix i N = Σh ix i donde se ha hecho uso de la relación f i N = h i. En caso de que los datos aparezcan agrupados en intervalos, tomaremos como valor de la variable la marca de clase, es decir, el punto medio del intervalo. La media es, como hemos visto, un número que cumple que Σx = N x, es decir, si todos los valores de la variable fuesen iguales a la media, su suma sería la misma Medidas de dispersión La media nos permite comparar dos poblaciones sobre las que se ha medido la misma magnitud pero no nos permite saber si los valores de la variable están próximos a la media o no. Por ejemplo, una media de cinco se puede obtener con dos cincos o con un diez y un cero.

83 7.6. EJEMPLO 83 Para saber cómo están distribuidos los valores en torno a la media son precisos otros parámetros. Estos son el rango, el rango intercuartílico, la varianza y la desviación típica. El rango es la diferencia entre el mayor y el menor valor de la variable estadística. El rango intercuartílico es la diferencia entre el tercer y el primer cuartil. La varianza se define por: σ = Σf i(x i x) N = Σh i (x i x) y su raíz cuadrada o desviación típica: Σfi (x i x) σ = = Σh i (x i x) N Desarrollando el cuadrado de la diferencia, podemos encontrar otra expresión para la varianza: σ = Σf i(x i x) N = Σf ix i + Σf i x Σf i x i x N = Σf ix i N = Σf ix i N + x Σf i N = Σf ix i N x = x x + x x x xσf ix i N Esta expresión puede recordarse diciendo que la varianza es igual a la media de los cuadrados menos el cuadrado de la media. La media y la desviación típica tienen las siguientes propiedades: Si se suma el mismo número a todos los valores de la variable, la media queda incrementada en esa cantidad pero la desviación típica no varía. Si todos los valores de la variable se multiplican por el mismo número, la media y la desviación típica quedan multiplicados por ese número. La multiplicación de todos los valores por un número puede interpretarse como un cambio de unidades. Esta propiedad dice que la media y la desviación típica se expresan en las nuevas unidades. El cociente de la desviación típica y la media se llama coeficiente de variación: CV = σ x Para comparar un valor de la variable estadística con el resto de los valores obtenidos en una determinada población se utilizan las puntuaciones típicas. En estas se toma como valor cero el de la media y como unidad la desviación típica. El paso de la variable x al valor típico z se hace mediante la fórmula: z = x x σ o, despejando x = x + zσ Ejemplo Ejercicio. En una encuesta sobre tráfico se ha preguntado a 1000 conductores sobre el número de multas recibidas. Se dispone de la siguiente información:

84 84 TEMA 7. ESTADISTICA N o de conductores N o de multas Hacer la tabla de frecuencias con los datos necesarios para calcular: La mediana. Los cuartiles y el rango intercuartílico. La moda. La media. La desviación típica. Solución: Construimos la tabla con las frecuencias, frecuencias acumuladas, productos de las frecuencias por los datos y productos de las frecuencias por los cuadrados de los datos. x i f i F i f i x i f i x i Total Con estos datos tenemos: La mediana sería el valor medio de los datos que, ordenados, ocupasen los lugares 500 y 501. A la vista de la tablas de frecuencias acumuladas, la mediana es Q =. De forma similar calculamos el primer cuartil (media entre los datos que ocupan el lugar 50 y 51) Q 1 = 1 y el tercer cuartil Q 3 = 3. El rango intercuartílico es Q 3 Q 1 =. La moda es el dato con mayor frecuencia. En este caso 1. La media es la suma de los f i x i dividido por el número de datos que es la suma de las f i : x = =,00 La varianza es la media de los cuadrados menos el cuadrado de la media: σ = x =, 3596 y la desviación típica es la raíz de la varianza: σ =, 3596 = 1, 5361

85 Tema 8 Estadística bidimensional 8.1. Introducción Supongamos que sobre una población se miden dos magnitudes x e y. Para cada elemento de la población se obtienen un par de valores (x, y). Considerando estos pares de números como coordenadas, podemos representar los puntos correspondientes en unos ejes de coordenadas. Se obtiene un diagrama que se llama nube de puntos. La cuestión que se va a plantear es decidir si las dos variables están correlacionadas, esto es, si se puede afirmar que al aumentar una aumenta la otra (correlación positiva) o que al aumentar la primera disminuye la segunda (correlación negativa). Lo que se diga sobre las variables, forzosamente tendrá un carácter probabilístico, es decir, si las dos variables están correlacionadas positivamente, quiere decir que si aumenta una, es probable que aumente la otra (pero no necesariamente) y veremos una manera de evaluar esa probabilidad. La situación es diferente cuando existe una dependencia funcional entre las variables. En este caso, si la función es creciente, cuando una de las variables aumenta, necesariamente aumenta la otra. El hecho de que dos variables estén correlacionadas no implica que exista una relación de causa-efecto entre ellas. Para que esto suceda es necesario que, además de variar conjuntamente, una de ellas sea anterior en el tiempo a la otra, debe existir una relación temporal entre ellas, aspecto éste que no estamos considerando. Como hemos dicho, si para cada elemento de la población se representa sobre unos ejes de coordenadas los valores de las dos variables, se obtiene un diagrama que se llama nube de puntos: Y Y ȳ ȳ O x X O x X Figura 8.1: Nubes de puntos con correlación positiva y negativa 85

86 86 TEMA 8. ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL Y ȳ O x X Figura 8.: Nube de puntos con correlación débil En las figuras aparecen diagramas de puntos correspondientes a variables con correlación positiva, con correlación negativa y variables con corrrelación muy débil. 8.. Correlación lineal Supongamos que sobre una población se han medido dos magnitudes x e y y se han obtenido para ellas medias x y ȳ, y desviaciones típicas σ x y σ y. El concepto clave para estudiar la correlación entre las variables es el de covarianza que se define de la siguiente forma: (x x)(y ȳ) σ xy = = xy xȳ N Como se ve, la covarianza puede calcularse (al igual que sucedía con la varianza) de dos formas diferentes, calculando la media de los productos de las diferencias con las medias de las dos variables, o como diferencia entre la media de los productos de las dos variables y el producto de las medias. Si las dos variables están correlacionadas positivamente, la covarianza será positiva y si están correlacionadas negativamente será negativa. Esto se entiende si representamos la nube de puntos y dibujamos unos ejes centrados en las medias (en el punto ( x, ȳ)). Si la correlación es positiva, la mayor parte de los puntos debe estar en el primer y tercer cuadrante respecto a estos ejes. En este caso los dos factores del producto tienen el mismo signo, los productos son positivos y también lo será la covarianza. Lo contrario sucede si la correlación es negativa. La covarianza permite saber si la correlación es positiva o negativa pero no permite saber si es fuerte o débil pues su valor depende de la unidades utilizadas. Por ello se utiliza el coeficiente de correlación: r = σ xy σ x σ y que toma valores comprendidos entre 1 y +1. La correlación es positiva y fuerte si el valor de r es próximo a +1; es negativa y fuerte si el valor de r es próximo a 1. Si r es práximo a cero, la correlación es debil Recta de regresión La recta de regresión es la recta que mejor se ajusta a la nube de puntos. Lo lógico sería tomar elegir la recta de tal forma que la suma de distancias desde los puntos a la recta fuese mínima. La obtención de esta recta es complicado matemáticamente por lo que se usan la recta de regresión de y sobre x y

87 8.3. RECTA DE REGRESIÓN 87 Y Y (x 1,y 1) (x,y ) (x 1,y 1) (x,y ) O X O X Figura 8.3: Rectas de regresión de y sobre x y de x sobre y de x sobre y en las que se minimiza la suma de las distancias de los puntos a la recta, tomadas según paralelas a los ejes. Las dos rectas de regresión de y sobre x y de x sobre y pasan por el punto ( x, ȳ) y se diferencian en la pendiente. Son estas: y = ȳ + σ xy σ x (x x) x = x + σ xy σy (y ȳ) Si la correlación es fuerte ambas rectas son casi coincidentes y son iguales si el coeficiente de correlación es +1 o 1. Si la correlación es débil, el ángulo que forman las dos rectas es grande. En el caso extremo de que el coeficiente de correlación sea 0 ambas rectas son perpendiculares, una paralela al eje de abscisas y otra paralela al eje de ordenadas.

88 88 TEMA 8. ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL

89 Tema 9 Probabilidad 9.1. Experimentos aleatorios. Probabilidad Imaginemos que lanzamos un dado. El resultado del lanzamiento puede ser cualquiera de los números comprendidos entre 1 y 6, y, en principio, no se puede hacer ninguna predicción sobre cuál de esos resultados va a obtenerse. Si se realizan n lanzamientos, el número de veces que se obtienen los diversos resultados, es decir, sus frecuencias absolutas son n 1, n, n 3, n 4, n 5 y n 6. Se llama frecuencia relativa de cada resultado a la relación entre su frecuencia absoluta y n. Por ejemplo, la frecuencia relativa del 3 es f 3 = n 3 /n. Además, se cumple que n 1 + n + n 3 + n 4 + n 5 + n 6 = n. Dividiendo por n la igualdad anterior, se deduce que la suma de las frecuencias relativas de todos los resultados es igual a 1: f 1 + f + f 3 + f 4 + f 5 + f 6 = 1. Cabe esperar que cuando el número de lanzamientos sea muy grande, las frecuencias relativas de todos los resultados sean aproximadamente iguales y, por consiguiente, tomen valores cercanos a 1/6. Si no sucede esto, si por ejemplo, en la mitad de los lanzamientos se obtiene 5, habría que pensar que el dado es defectuoso o está trucado. El lanzamiento de un dado, la extracción de una carta de una baraja, el lanzamiento de una moneda, etc., son ejemplos de lo que se conocen como experimentos aleatorios y se caracterizan por las siguientes propiedades: 1. Cuando se realiza el experimento una sola vez, no es posible hacer ninguna predicción sobre cuál de los posibles resultados se va a obtener.. Si el experimento se realiza un gran número de veces, es posible hacer predicciones sobre la proporción de veces que se va a obtener un determinado resultado, es decir, sobre su frecuencia relativa. Se llama probabilidad de un resultado en un experimento aleatorio a la frecuencia relativa de ese resultado cuando el experimento se repite un gran número de veces (cuando dicho número tiende a infinito). Puesto que las frecuencias relativas de los resultados de un experimento (sea aleatorio o no) suman 1, se deduce que la suma de las probabilidades de todos los resultados posibles debe ser igual a 1. 89

90 90 TEMA 9. PROBABILIDAD 9.. Cálculo de probabilidades Dado que las probabilidades son las frecuencias relativas de los distintos resultados cuando el experimento se repite un gran número de veces, un modo de calcular la probabilidad de un resultado consiste en repetir el experimento muchas veces y medir la frecuencia relativa del resultado. A menudo se asignan probabilidades de esta manera. Así, cuando se dice que la probabilidad de supervivencia a determinada enfermedad es del 90 %, se está diciendo que la frecuencia relativa del resultado que consiste en superar la enfermedad en los casos observados, es del 90 %. En otras muchas ocasiones se asignan las probabilidades atendiendo a la simetría del problema. Un dado presenta una simetría tal que no hay razón para asignar mayor probabilidad a una cara que a otra. Si los 6 resultados tienen la misma probabilidad y la suma de todas ellas debe ser igual 1, está claro que cada posible resultado debe tener una probabilidad igual a 1/6. Se llama espacio muestral de un experimento al conjunto de todos los resultados que puede tener el experimento y se suele representar mediante la letra E. Por ejemplo, el espacio muestral del experimento que consiste en lanzar dos monedas y ver el resultado obtenido en cada una de ellas sería: E = {CC, CX, XC, XX}, donde se ha representado por C el resultado cara y por X el resultado cruz. Si el experimento consiste en lanzar las dos monedas y contar el número de caras obtenido, el espacio muestral, dado que pueden obtenerse 0, 1 ó caras, es: E = {0, 1, }. Para calcular probabilidades hay que pensar en un espacio muestral que tenga la mayor simetría posible y, si cabe, que todos los resultados tengan la misma probabilidad. Una vez asignada la probabilidad a los resultados simples del espacio muestral, pueden calcularse probabilidades para resultados más complejos, como por ejemplo del tipo obtener un número primo al lanzar dos dados y sumar los puntos de cada uno. Cuando todos los resultados de un espacio muestral tienen la misma probabilidad, el espacio se llama equiprobable. La probabilidad de un resultado en un espacio equiprobable es igual a 1 dividido por el número de resultados posibles. Por ejemplo, la probabilidad de sacar el as de oros en una extracción aleatoria de una carta de una baraja española es 1/40 porque hay 40 resultados posibles y todos tienen la misma probabilidad. En el experimento de lanzar dos monedas, el espacio muestral E = {CC, CX, XC, XX} es equiprobable y la probabilidad de cada resultado es 1/4. Sin embargo, el espacio muestral del número de caras obtenido E = {0, 1, } no lo es. En general, siempre que sea posible, se tratará de diseñar el experimento de forma que el espacio muestral sea equiprobable. Ejercicio 50. El espacio muestral al lanzar una moneda 3 veces y anotar los resultados de cada lanzamiento es E = {CCC, CCX, CXC, XCC, CXX, XCX, XXC, XXX}. Si en cada lanzamiento la probabilidad de obtener cara es la misma que la de obtener cruz, los 8 resultados de este espacio muestral tienen la misma probabilidad: 1/8. Ejercicio 51. Si el experimento consistente en lanzar repetidamente una moneda y contar el número de lanzamientos efectuados hasta que sale cara por primera vez, el espacio muestral no es equiprobable y será: E = {1,, 3,...} Sucesos Supóngase que se ha establecido el espacio muestral de forma que se conocen las probabilidades de todos los resultados que lo componen.

91 9.3. SUCESOS 91 Por ejemplo, sea el experimento que consiste en lanzar dos dados. Se puede tomar como espacio muestral el conjunto: E ={11, 1, 13, 14, 15, 16, 1,, 3, 4, 5, 6, 31, 3, 33, 34, 35, 36, 41, 4, 43, 44, 45, 46, 51, 5, 53, 54, 55, 56, 61, 6, 63, 64, 65, 66}, donde la primera cifra de cada número indica el resultado del primer dado y la segunda cifra el resultado del segundo. El espacio así definido es equiprobable, dado que, por ejemplo, no debería ser diferente la probabilidad de los resultados 3 y 4 si en el segundo dado la probabilidad de sacar 3 es la misma que la de sacar 4. Razonando de esta manera, se llega a la conclusión de que los 36 resultados tienen la misma probabilidad y por tanto, la probabilidad de uno cualquiera de ellos es 1/36. Los resultados que forman el espacio muestral se llaman sucesos elementales. El espacio muestral se ha construido de tal manera que la probabilidad de estos sucesos sea conocida. Sin embargo, a veces es preciso calcular probabilidades de resultados más complejos, por ejemplo, obtener suma 10 al lanzar dos dados. Para resolver este problema, primero hay que definir el concepto de suceso. Se llama suceso a un subconjunto del espacio muestral, es decir, a un conjunto formado por resultados del espacio muestral. Por ejemplo el suceso A = sacar suma 10 al lanzar dos dados se corresponde con el subconjunto A = {46, 55, 64} formado por 3 resultados elementales. En un experimento aleatorio, un suceso se cumple cuando se obtiene como resultado alguno de los que forman parte del suceso. En el ejemplo anterior, se obtendrá suma 10 si al lanzar los dos dados resulta 6 en el primer dado y 4 en el segundo, 5 en los dos o 4 en el primer dado y 6 en el segundo. Si el experimento de lanzar los dos dados se repite muchas veces, la frecuencia relativa del suceso obtener suma 10 será el número de veces que se obtiene el resultado 46 más el número de veces que se obtiene 55 más el número de veces que se obtiene 64, dividido por el número de veces que se realiza el experimento, es decir, f A = n 46 + n 55 + n 64 n = n 46 n + n 55 n + n 64 n. Ahora bien, como n 46 /n es la frecuencia relativa del resultado 46, y lo mismo ocurre para los otros dos resultados, se obtiene que: f A = f 46 + f 55 + f 64. Como, además, las probabilidades son las frecuencias relativas cuando el experimento se repite un gran número de veces y si se denota por p (A) a la probabilidad de que ocurra el suceso A, resulta que: p (A) = p (46) + p (55) + p (64). En definitiva, se puede afirmar que la probabilidad de un suceso es la suma de las probabilidades de los resultados que lo componen. Obsérvese que se utiliza la palabra resultados para designar a los elementos del espacio muestral y la palabra suceso para designar un conjunto de resultados. Como se ha dicho si el suceso consta de un solo resultado se llama elemental. En el caso de un espacio muestral equiprobable, si el espacio muestral tiene n resultados, cada uno de ellos tiene probabilidad 1/n. En el ejemplo anterior: p (A) = = 3 36 = 1 1. Así pues, la probabilidad de un suceso en el caso de un espacio equiprobable es igual al número de elementos del suceso (3 en el ejemplo) dividido por el número de elementos del espacio muestral (36 en el ejemplo). Esta regla fue formulada por el matemático francés Pierre Simon de Laplace diciendo que la probabilidad de un suceso es igual al número de resultados favorables dividido por el número de resultados posibles : p = no de resultados favorables n o de resultados posibles (Regla de Laplace).

92 9 TEMA 9. PROBABILIDAD Esta fórmula da la probabilidad de cualquier suceso cuando se ha conseguido formular el espacio muestral como un conjunto de resultados equiprobables. El suceso que contiene todos los elementos del espacio muestral, es decir, el mismo espacio muestral considerado como suceso, se llama suceso seguro. El suceso que no contiene ninguno de los resultados posibles se llama suceso imposible. La probabilidad del suceso seguro es igual a 1 y la del suceso imposible es igual a 0. Ejercicio 5. Calcular la probabilidad de sacar suma 7 en el lanzamiento de dados. El espacio muestral consta de 36 resultados y es equiprobable: E ={11, 1, 13, 14, 15, 16, 1,, 3, 4, 5, 6, 31, 3, 33, 34, 35, 36, 41, 4, 43, 44, 45, 46, 51, 5, 53, 54, 55, 56, 61, 6, 63, 64, 65, 66}. El suceso sacar suma 7 es: S = {16, 5, 34, 43, 5, 61} y está formado por 6 resultados. Según la regla de Laplace, su probabilidad es: p (S) = 6 36 = 1 6. Ejercicio 53. Calcular la probabilidad de que al extraer al azar dos cartas de una baraja española, se obtengan reyes. El espacio muestral está formado por todos los posibles modos de sacar dos cartas, o sea C 40, = ( 40) maneras equiprobables. El suceso sacar reyes está compuesto por C 4, = ( 4 ) resultados. Aplicando la regla de Laplace se tiene: ( 4 ) p ( sacar reyes ) = ( 40 ) = = = Operaciones con sucesos A partir de unos sucesos pueden formarse otros. A continuación definiremos el suceso contrario de uno dado, así como los sucesos unión e intersección, A B y A B, que se obtienen a partir de dos sucesos A y B. Figura 9.1: Sucesos A y Ā El conjunto de resultados que no forman parte del suceso A se llama suceso contrario de A y se representa por Ā. Por ejemplo, en el experimento de lanzar un dado y considerar el suceso sacar número mayor o igual que 5, es decir, A = {5, 6}; su suceso contrario es sacar número menor que 5, esto es, Ā = {1,, 3, 4}. Como la suma de las probabilidades de todos los resultados del espacio muestral es igual a 1, la suma de las probabilidades p (A) y p (Ā) será igual a 1, puesto que todos los resultados están bien en A o bien en Ā. De aquí se deduce que: p (Ā) = 1 p (A). Para entender en qué consiste el suceso contrario, así como las operaciones con sucesos, conviene representar los sucesos en un diagrama. El espacio muestral se representa como un rectángulo y cada suceso

93 9.4. OPERACIONES CON SUCESOS 93 como una superficie dentro del rectángulo. En la Figura 9.1 la parte sombreada representa el suceso contrario de A. En estos diagramas, debe entenderse que los resultados de un suceso son los puntos de la superficie que lo define, y que la probabilidad del suceso es el cociente entre el área de esa superficie y la de rectángulo que representa el espacio muestral. Si se toma ésta última como unidad, la probabilidad de un suceso es simplemente su área. Dados dos sucesos A y B, se llama suceso unión, A B (se lee A ó B,) al suceso que contiene todos los resultados que están contenidos en alguno de los dos sucesos, es decir, el suceso A B se cumple si se cumplen A, B o ambos. En la Figura 9. se ha representado sombreado el suceso A B. Por ejemplo, en Figura 9.: Suceso A B el lanzamiento de dos dados, sean: A = obtener suma 10 = {46, 55, 64}. B = obtener dos números iguales = {11,, 33, 44, 55, 66}. El suceso A B sería: A B = {46, 55, 64, 11,, 33, 44, 66}. El suceso intersección, A B (se lee A y B ), está compuesto por los resultados que forman parte de los dos sucesos de forma simultánea. En el ejemplo anterior: Figura 9.3: Suceso A B A = obtener suma 10 = {46, 55, 64}. B = obtener dos números iguales = {11,, 33, 44, 55, 66}. A B = {55}. Recordando que en estos diagramas la probabilidad de un suceso se representa como el área de la superficie que representa el suceso cuando se toma como unidad el área del rectángulo, se tiene la siguiente relación entre las probabilidades (ver las Figuras 9. y 9.3): p (A B) = p (A) + p (B) p (A B).

94 94 TEMA 9. PROBABILIDAD En la fórmula anterior hay que restar p (A B) porque si se suman p (A) y p (B), el área correspondiente a A B se contabiliza veces. Si los sucesos A y B no tienen resultados comunes, se llaman incompatibles (no pueden cumplirse en el mismo experimento). En este caso, p (A B) = 0 y se tiene que: p (A B) = p (A) + p (B) (A, B incompatibles). El suceso diferencia A B se produce cuando se realiza A y no se realiza B. Equivale a A B. Figura 9.4: Suceso A B De la figura 9.4 se deduce que la probabilidad de A B es: p (A) = p (A B) + p (A B) = p (A B) = p (A) p (A B) la unión e intersección de sucesos cumplen las leyes de Morgan: A B = A B A B = A B 9.5. Probabilidad condicionada. Teorema de Bayes La probabilidad de que se cumplan A y B o sea, la probabilidad de A B puede considerarse compuesta de la probabilidad de que suceda A y de la probabilidad de que se cumpla B una vez que haya sucedido A. Por ejemplo, puede entenderse que el suceso sacar ases en la extracción de cartas de una baraja de 40 cartas, como extracciones sucesivas de modo que debe salir as en la primera extracción y, una vez obtenido el primer as, debe extraerse el segundo as entre las 39 cartas restantes. La probabilidad de A B se puede obtener a partir de la probabilidad de A y de la de B una vez que ya ha sucedido A. A esta probabilidad de que suceda B una vez que haya sucedido A se le llama probabilidad de B condicionada a A y se representa por p (B/A). Figura 9.5: Probabilidad condicionada

95 9.5. PROBABILIDAD CONDICIONADA. TEOREMA DE BAYES 95 Si se sabe que ha sucedido A y se desea saber la probabilidad de B, los únicos resultados posibles son los resultados del suceso A, y los únicos resultados de B que pueden darse son los resultados comunes con A, es decir, los resultados de A B. Es como si el espacio muestral estuviese formado por los resultados de A (parte sombreada en la Figura 9.5) y el suceso B lo formasen los resultados de A B (sombreado mas oscuro). Entonces, comparando las áreas, se tiene que: p (B/A) = área de A B área de A p (A B) =. p (A) De forma que para la probabilidad de A B se tiene: p (A B) = p (A)p (B/A). Si la probabilidad de B no depende de que A haya sucedido o no, es decir, si p (B/A) = p (B), los sucesos A y B se llaman independientes y en ese caso se verifica que: p (A B) = p (A)p (B) (A, B independientes). La regla para calcular la probabilidad de A B por medio de la probabilidad condicionada permite a menudo simplificar los cálculos, tratando el problema como pruebas sucesivas en un espacio muestral más sencillo. Ejercicio 54. Calcular la probabilidad de que al extraer 3 cartas de una baraja de 40 cartas, resulten las tres de espadas. Método 1. Considérese el espacio muestral de todas las combinaciones posibles de 3 cartas. Este espacio es equiprobable y está compuesto de ( 40) 3 resultados posibles. Los casos favorables son las combinaciones de 3 elementos que se pueden dar con las 10 cartas de espadas, de forma que: ( 10 ) ! p = ( 40 ) = = = ! Método. Si se consideran 3 extracciones sucesivas, se multiplica la probabilidad de que en la primera extracción resulte una espada, por la probabilidad de que en la segunda extracción resulte otra espada, supuesto que ha salido una en la primera (por tanto quedan 9 espadas entre las 39 cartas), por la probabilidad de que resulte otra espada en la tercera extracción supuesto que han salido espadas en las dos primeras extracciones: p = = Hay que notar que en la primera extracción el espacio muestral tenía 40 resultados, en la segunda 39 y en la tercera 38. En muchos problemas es preciso aplicar la regla de la suma y el producto de probabilidades sucesivamente. Supóngase que un suceso puede ocurrir de dos formas diferentes incompatibles entre sí. Por ejemplo, una determinada prueba para detectar una enfermedad puede dar un resultado positivo con una determinada probabilidad si el paciente padece la enfermedad, pero también puede dar positivo, con otra probabilidad si el individuo está sano. Si A 1 es el suceso padecer la enfermedad, A es no padecer la enfermedad y S es obtener un resultado positivo en la prueba, entonces, el esquema del problema sería el que se muestra en la Figura 9.6. Como A 1 S y A S son incompatibles, es p (S) = p (A 1 S) + p (A S), y aplicando ahora la regla del producto de probabilidades, se tiene: p (S) = p (A 1 S) + p (A S) = p (A 1 )p (S/A 1 ) + p (A )p (S/A ). Ejercicio 55. En una población, el 10 % de sus habitantes padece una determinada enfermedad. Existe una prueba para detectar la enfermedad que da resultado positivo cuando se aplica a enfermos en el 95 % de los casos. La prueba también da positivo si se aplica a individuos sanos el 10 % de las veces. Calcular la probabilidad de que al aplicar la prueba a un individuo de la población elegido al azar, de resultado positivo. Sean S = Obtener resultado positivo al aplicar la prueba, A 1 = La persona elegida al azar está enferma y A = La persona elegida al azar está sana. Aplicando la fórmula anterior resulta que p (S) = p (A 1 )p (S/A 1 ) + p (A )p (S/A ) = 0,10 0,95 + 0,90 0,10 = 0,185.

96 96 TEMA 9. PROBABILIDAD Figura 9.6: Probabilidad total En situaciones como la del ejemplo anterior, lo que se pretende es, una vez pasada la prueba y habiendo obtenido un resultado positivo, saber cuál es la probabilidad de que el individuo esté enfermo, es decir, la probabilidad de A 1 cuando ha sucedido S, o sea, p (A 1 /S). Si ha sucedido S, hay que considerar a S como espacio muestral (parte sombreada en la Figura 9.6). Teniendo en cuenta cómo se obtenía la probabilidad condicionada, resulta lo que se conoce como Teorema de Bayes: p (A 1 /S) = p (A 1 S) p (S) = p (A 1 )p (S/A 1 ) p (A 1 )p (S/A 1 ) + p (A )p (S/A ). Cuando un resultado se puede obtener de diversas formas incompatibles (Laplace utilizaba la palabra causas), una vez producido el resultado, el Teorema de Bayes da la probabilidad de que se haya producido a través de una forma determinada. Ejercicio 56. En el ejemplo anterior, si se supone que la prueba ha dado un resultado positivo, cuál es la probabilidad de que el individuo padezca la enfermedad? Con la notación del ejemplo anterior, resulta que: p (A 1 /S) = p (A 1 )p (S/A 1 ) p (A 1 )p (S/A 1 ) + p (A )p (S/A ) = 0,10 0,95 0,10 0,95 + 0,90 0,10 0,514.

97 Tema 10 Variable aleatoria Distribuciones de probabilidad Consideremos el espacio muestral E correspondiente a un experimento aleatorio, por ejemplo, lanzar dos dados. A cada elemento del espacio muestral, es decir, a cada resultado del experimento, podemos asociarle un número, por ejemplo, la suma de las puntuaciones obtenidas. Estos valores numéricos asociados a cada resultado forman la variable aleatoria. A cada valor de la variable aleatoria le corresponde una probabilidad. Por ejemplo, en el caso anterior, estas probabilidades serían: Variable aleatoria Probabilidad La variable aleatoria puede ser discreta o continua. En este último caso solo tiene sentido asignar probabilidades a intervalos de valores. La probabilidad asociada a un valor particular de la variable aleatoria es cero. Se llama distribución de probabilidad al conjunto de una variable aleatoria y de las probabilidades asociadas a cada valor. Si designamos mediante X la variable aleatoria, la probabilidad de que ésta tome tome un valor particular k lo designaremos por p (X = k) En el caso de que la variable aleatoria sea discreta, podemos considerar que una distribución de probabilidad es una función que asocia a cada valor de la variable aleatoria su probabilidad: f(k) = p (X = k) Cuando la variable aleatoria sea continua, la asignación de probabilidades se hace mediante una función de densidad que explicaremos más adelante. En los dos casos, la función de distribución F (x) representa probabilidades acumuladas: F (x) = p (X x) En general, una distribución de probabilidad de variable discreta se puede expresar mediante una tabla: Variable aleatoria x 1 x x x n Probabilidad p 1 p p p n Como en el caso de las frecuencias relativas, la suma de todas las probabilidades debe ser igual a 1. 97

98 98 TEMA 10. VARIABLE ALEATORIA Para una distribución de probabilidad de variable discreta, la media (o esperanza matemática) la varianza y la desviación típica se definen de la misma forma que para la variable estadística sustituyendo la frecuencia relativa por la probabilidad: µ = p i x i σ = p i (x i µ) = p i x i µ 10.. La distribución binomial La distribución binomial es un caso particular de distribución de probabilidad de variable discreta. Para definirla debemos establecer en primer lugar un experimento aleatorio, a partir de él definir la variable aleatoria y finalmente calcular las probabilidades correspondientes. En el caso de la distribución binomial, el experimento aleatorio consiste en una prueba con dos posibles resultados que se repite n veces. Las pruebas que se repiten son independientes (el resultado de una prueba no influye en la siguiente) y a los dos resultados los llamaremos éxito y fracaso. La variable aleatoria será el número de éxitos obtenidos en las n pruebas. Si en cualquiera de las pruebas que se repiten, la probabilidad de éxito es p, la probabilidad de fracaso es q = 1 p y el número de veces que se repite la prueba es n, hablaremos de la distribución binomial B(n, p). Puede demostrarse, que la probabilidad de obtener k éxitos en las n pruebas está dadas por la siguiente fórmula: p (X = k) = ( ) n p k q n k k y que en base a esta distribución de probabilidad, la media y la desviación típica valen: µ = np σ = npq Distribución de Poisson La distribución de Poisson es una distribución de probabilidad de variable discreta que expresa la probabilidad de que de que un cierto suceso se produzca n veces durante un intervalo de tiempo cuando el valor medio de este número es constante y el hecho de que el suceso se produzca o no en un momento dado, no depende de del tiempo transcurrido desde la última vez que se produjo. La distribución de Poisson puede utilizarse también para intervalos de distinta naturaleza como distancia, área o volumen. Dado únicamente el valor medio del número de veces que ocurre un suceso durante un cierto período de observación (número de llamadas telefónicas durante una hora, número de partículas detectadas diariamente, número de mutaciones en una cadena de ADN por unidad de longitud, etc) y suponiendo que el proceso que produce el suceso es aleatorio, la distribución de Poisson da la probabilidad de que el fenómeno se produzca 3, 4, 5 u otro número de veces durante un período de observación. Supongamos que el valor medio del número de veces que ocurre el suceso durante un intervalo de tiempo es m. Dividamos el intervalo en n subintervalos suficientemente pequeños para que el suceso no pueda producirse más de una vez en cada subintervalo. En cada uno de estos n subintervalos, el suceso puede o no producirse con probabilidad de éxito igual a m n. Tenemos una distribución binomial B(n, m n ). La

99 10.4. LA DISTRIBUCIÓN NORMAL 99 probabilidad de que se produzcan k éxitos es: ( ) n (m ) k ( p(x = k) = 1 m ) n k k n n = = Si n es grande comparado con k: n(n 1)(n )... (n k + 1) k! n(n 1)(n )... (n k + 1) n k n(n 1)(n )... (n k + 1) n k 1 ( 1 m ) n k e m n m k (1 n k m n m k ( 1 m k! n ) n k ) n k con lo que queda la siguiente distribución de probabilidad: p (X = k) = mk e m k! (distribución de Poisson) En la distribución de Poisson, tanto el valor esperado como la varianza son iguales a m. La distribución de Poisson de media m la designaremos como Po(m). La distribución de Poisson puede considerarse como el límite de una distribución binomial B(n, p) en la que n tiende a infinito, p tiende a cero y el producto np tiene como límite m. En efecto, en este caso: ( ) n p (X = k) = lím (p) k (1 p) n k k n(n 1)(n )... (n k + 1 ( m ) k ( = lím 1 m ) n k k! n n = lím nk k! = mk e m k! m k n k (1 m n ) n En consecuencia, la distribución binomial B(n, p) y la distribución de Poisson Po(np) asignan prácticamente las mismas probabilidades cuando n es grande y p pequeño La distribución normal La variable aleatoria es continua si puede tomar los infinitos valores de un cierto intervalo [a, b] (a y b pueden ser infinitos). Una distribución de probabilidad de variable continua debe asignar una probabilidad a cualquier intervalo de valores de la variable aleatoria. Esta asignación se hace con ayuda de dos funciones, una función de densidad f(x) y una función de distribución F (x). Veamos el significado de estas funciones. La función de densidad es una función positiva que cumple que la probabilidad de que la variable aleatoria se encuentre en el intervalo [a, b] es igual al área bajo la curva en ese intervalo; o expresado en términos de integrales: p (a < X < b) = b a f(x) dx Como la suma de todas las probabilidades debe ser igual a 1, la función de densidad debe cumplir que el área total bajo la curva debe ser 1, o lo que es lo mismo: + f(x) dx = 1

100 100 TEMA 10. VARIABLE ALEATORIA y=f(x) Y p (a<x<b) O a b X La media y la desviación típica de una distribución de probabilidad de variable continua se obtiene mediante fórmulas similares de las expuestas para variable discreta sustituyendo las sumas por integrales: µ = xf(x) dx σ = (x µ) f(x) dx = x f(x) dx µ La función de distribución F (x) representa probabilidades acumuladas. Así, F (x) es la probabilidad de obtener un resultado menor (o menor o igual cuya probabilidad es la misma) que x. Y y=f(x) F (x) O x X Conocida la función de distribución F (x) puede calcularse fácilmente la probabilidad asociada a cualquier intervalo mediante diferencias: p (a < X < b) = F (b) F (a) Una distribución de probabilidad de variable continua cuya importancia se comprenderá en el tema de inferencia estadística es la distribución normal. La distribución normal de media µ y desviación típica σ tiene la siguiente función de densidad: f(x) = 1 σ 1 π e ( x µ σ ) La distribución normal de media 0 y desviación típica 1 se indica mediante N(0, 1). Los valores de la función de distribución de N(0, 1) se encuentran en las tablas de la distribución normal. A partir de estos valores puede obtenerse la función de distribución de N(µ, σ) tipificando la variable, esto es, si z es la variable de N(0, 1) y x la variable de N(µ, σ), se pasa de una a otra mediante el cambio: z = x µ o bien x = µ + zσ σ La gráfica de la función de densidad de N(µ, σ) tiene la siguiente forma: Y y=f(x) O µ µ σ µ σ µ+σ µ+σ X La función es simétrica respecto a x = µ y es tanto más aplanada cuanto mayor sea σ. La probabilidad correspondiente al intervalo (µ σ, µ + σ) (es decir al intervalo ( 1, 1) para la variable tipificada z) es aproximadamente de 0, 68. Para el intervalo (µ σ, µ + σ) es aproximadamente de 0, 95 y para (µ 3σ, µ + 3σ) de 0, 99.

101 10.5. DISTRIBUCIONES BINOMIAL Y NORMAL Distribuciones binomial y normal Consideremos la distribución binomial B(n, p). Para valores grandes de n, o más exactamente, cuando los valores de np y nq son suficientemente grandes (en la práctica, cuando son ambos mayores que 5), las probabilidades de la distribución binomial pueden calcularse aproximadamente a partir de la correspondiente distribución normal N(np, npq). Sea x la variable aleatoria de B(n, p) y x la variable aleatoria de N(np, npq). Puesto que x es una variable discreta y x una variable continua, para relacionar las probabilidades entre ambas distribuciones, será preciso asociar a cada valor de x un intervalo de valores de x. De forma natural, se la asocia a un valor x = k el intervalo de valores de x, k 0,5; k + 0,5. De esta forma, tenemos la siguiente relación entre las probabilidades de ambas distribuciones: p (x = k) p (k 0,5 < x < k + 0,5) p (x < k) p (x < k 0,5) p (x k) p (x < k + 0,5) p (x > k) p (x > k + 0,5) p (x k) p (x > k 0,5)

102 10 TEMA 10. VARIABLE ALEATORIA

103 Tema 11 Sucesiones Sucesión. Una sucesión es un conjunto infinito de números ordenados de tal forma que se puede decir cuál es el primero, cuál el segundo, el tercero, etc. Los términos de una sucesión se designan mediante a 1, a, a 3,, en donde el subíndice indica el puesto que ocupa cada término. Un elemento genérico de la sucesión o término general se representa por a n. En una sucesión, al número natural 1 le corresponde el término a 1 de la sucesión, al número natural, le corresponde el término a, etc. Por esta razón, una sucesión puede definirse también como una correspondencia entre los números naturales y los números reales. Cuando queremos determinar una sucesión particular, podemos hacerlo de dos maneras: Mediante una fórmula para el término general. Por ejemplo a n = n + 1 n Sustituyendo n por 1,, 3,..., obtenemos la sucesión, 3, 4 3, 5 4,.... Mediante una regla de recurrencia, es decir, indicando cómo puede obtenerse cada término a partir de los anteriores. Por ejemplo: a 1 = 5, a n = a n Esto indica que el primer término de la sucesión es 5 y que cada término se obtiene sumando 3 al anterior. esto nos permite construir la sucesión 5, 8, 11, 14,. Una sucesión es creciente si cada término es mayor o igual que el anterior. Si cada término es menor o igual que el anterior, la sucesión es decreciente. Si una sucesión es creciente o decreciente se llama monótona. a n creciente a n+1 a n a n decreciente a n+1 a n 11.. Límite de una sucesión. Un entorno simétrico de centro a y radio r es el intervalo abierto (a r, a + r). El número a es el centro y el número r es el radio del entorno ( figura 11.1). 103

104 104 TEMA 11. SUCESIONES Figura 11.1: Entorno simétrico de un punto Un número x perteneciente al entorno cumple que a r < x < a + r. Estas dos desigualdades pueden expresarse como: x a < r El valor absoluto de la diferencia x a es la distancia entre los puntos a y x. Así pues, la desigualdad anterior expresa la condición de que la distancia de los puntos del entorno al centro es menor que el radio. Algunas sucesiones tienen la propiedad de que sus términos se van aproximando a un número que se llama el límite de la sucesión, de tal forma que la diferencia entre el límite y los términos del sucesión se hace muy pequeña. Por ejemplo, es fácil ver que los términos de la sucesión: 1, 3, 3 4, 4 5, son cada vez más próximos a 1. Se dice que el límite es 1 o que la sucesión tiende a 1. La idea de que los términos de la sucesión se aproximan a un límite se expresa matemáticamente de la siguiente forma: diremos que la sucesión a n tiene por límite l y escribiremos: lím a n = l n Cuando cualquier entorno de centro l y radio ε (por pequeño que sea) contiene un número infinito de términos de la sucesión y fuera queden un número finito de ellos (figura 11.). Figura 11.: Límite de una sucesión También puede decirse que, dado cualquier número ε, se cumple que. a partir de un término a N todos los siguientes cumplen que a n l < ε. Cuando los términos de la sucesión se hacen muy grandes, es decir, cuando dado cualquier número M, los términos de la sucesión acaban siendo mayores que M, se dice que la sucesión tiende a infinito o que el límite de la sucesión es infinito: lím a n = n De forma más precisa, diremos que el límite de la sucesión a n es infinito, si dado cualquier número M (tan grande como queramos) hay infinitos términos de la sucesión mayores que M y un número finito de ellos que son menores que M (figura 11.3). También puede decirse que el límite de la sucesión a n es infinito, si dado cualquier número M, a partir de un cierto término a N, todos los términos de la sucesión son mayores que M. De forma similar puede definirse el límite. Las sucesiones que tienen límite finito se llaman convergentes y las que tienen límite infinito o menos infinito se llaman divergentes.

105 11.3. CÁLCULO DE LÍMITES Cálculo de ĺımites. Figura 11.3: Límite infinito Un modo de calcular el límite de una sucesión sería sustituir en la expresión del término general n por un número muy grande. El resultado debería ser un número próximo al límite. Por ejemplo, si en la sucesión de término general: a n = 3n + 1 n sustituimos n por 1000 obtenemos a 1000 = = 0, lo que nos hace pensar que el límite debe ser cero. A partir de la definición de límite podríamos demostrar que efectivamente el límite es cero. En general, para calcular el límite sustituiremos n por en la expresión del término general y aplicaremos las siguientes reglas: Suma y diferencia. Para todo número a se verifica que: ± a = ; + = Producto. Si k es un número distinto de cero: k = ; = El signo del infinito resultante depende de los signos de los factores. Cocientes. Para todo número k: k = 0 ; k = ; k 0 = En esta última regla, debe entenderse que el denominador no es exactamente cero sino una sucesión que tiende a cero y que el numerador k es distinto de cero. Potencias. Si el exponente tiende a infinito tenemos que: { r si r > 1 = 0 si 0 r < 1 y si la base tiene a infinito: { k si k > 0 = 0 si k < 0 Con ayuda de estas reglas, podemos calcular muchos límites como podemos ver en el siguiente ejemplo. Ejercicio 57. Calcular los siguientes límites: lím 3n 5 = 3 5 = 5 = n

106 106 TEMA 11. SUCESIONES 5n + 1 lím = n lím lím n = = 3 = n n + 1 = = = 3 = 0 ( 3 ) n = n ( 3 ) = ( 0) = = lím n 51 n = 5 1 = 5 = 1 5 = 1 = 0 Cuando no pueden aplicarse las reglas generales se habla de casos de indeterminación. Hay 7 casos de indeterminación: Diferencia de infinitos: Producto de cero por infinito: 0 Cociente de infinitos y de ceros: ; 0 0 Indeterminaciones con potencias: 1 ; 0 ; 0 0 No hay una regla general para el cálculo de estos límites. La técnica a aplicar depende de las funciones que aparezcan en la expresión del término general. En el caso de que el término general esté definido por una expresión polinómica, la indeterminación que se presenta es del tipo y se resuelve teniendo en cuenta que el término de mayor grado es infinitamente mayor que los términos de grado inferior que, por consiguiente se pueden ignorar, como vemos en los siguientes ejemplos. Ejercicio 58. Calcular los siguientes límites: lím n (n 3n + 1) = lím n n = = lím n (5n n 3 ) = lím n ( n3 ) = Podemos ver que el límite de una expresión polinómica es + o según que el término de mayor grado tenga coeficiente positivo o negativo. Si el término general está dado por una función racional, es decir, por un cociente de polinomios en n, se presenta una indeterminación del tipo. En este caso, se puede aplicar la técnica anterior al numerador y al denominador. Ejercicio 59. Calcular los siguientes límites: 3n 5n + 6 3n lím n n 3 = lím 1 n n 3 = 5n 4 n + 1 lím n n + 4n + 3 = 3n n + 6 lím n n + 5n 3 = lím n 3 n = 3 = 0 lím 5n 4 n n = lím 5n n = = lím n 3n n = 3

107 11.4. EL NÚMERO E. 107 En consecuencia, si el término general de la sucesión viene dado por una función racional: El límite es 0 si el denominador es de mayor grado que el numerador. Es si el numerador es de mayor grado que el denominador. Es igual al cociente de los coeficientes de los términos de mayor grado si el numerador y el denominador son del mismo grado El número e. Se llama así al límite de la siguiente sucesión: ( e = lím ) n n n Como se ve se trata de un límite indeterminado del tipo 1. El límite de esta sucesión no es infinito, pues puede demostrarse fácilmente (sabiendo un poco de combinatoria) que todos sus términos son menores que 3. Se ha demostrado que e es un número irracional cuyas primeras cifras son: e =, Con ayuda del número e pueden calcularse muchos límites indeterminados del tipo 1. En particular, es fácil ver que si a, b, k son números cualesquiera: ( lím ) n+b = e n n + a ( lím ) kn = e k n n ( lím 1 + k ) n = e k n n Ejercicio 60. Demostrar ( lím 1 + k ) n = e k n n ( lím 1 + k ) ( ) n = lím n ( ) n n n n n = lím k k ( ) n k n n = lím k n n = e k k k k Progresiones aritméticas y geométricas Una progresión aritmética es una sucesión de números en la que cada término es igual al anterior más un número constante que se llama diferencia de la progresión: a n = a n 1 + d De la definición se deduce que: a = a 1 + d a 3 = a + d = a 1 + d a 4 = a 3 + d = a 1 + 3d a 5 = a 4 + d = a 1 + 4d

108 108 TEMA 11. SUCESIONES En general se cumple que: a n = a 1 + (n 1) d Aplicando la fórmula anterior a dos términos de la progresión se obtiene: a m = a 1 + d (m 1) a n = a 1 + d (n 1) Restando las dos igualdades resulta: a m = a n + d (m n) fórmula que permite obtener cualquier término de la sucesión a partir de otro término y de la diferencia. La suma de los n primeros términos de una progresión aritmética es: S n = a 1 + a + a a n Agrupando los sumandos el primero con el último, el segundo con el penúltimo, etc: S n = (a 1 + a n ) + (a + a n 1 ) + Todos los paréntesis son iguales y hay n S n = (a 1 + a n ) n paréntesis. Por consiguiente: Una progresión geométrica es una sucesión de números en que cada uno de ellos es igual al anterior multiplicado por un número constante llamado razón de la progresión: a n+1 = a n r Razonando de forma similar a como se hizo con las progresiones aritméticas resulta: a n = a 1 r n 1 Aplicando esta fórmula a dos términos: a m = a 1 r m 1 a n = a 1 r n 1 Dividiendo miembro a miembro se obtiene: a m = a n r m n Si en la expresión: S n = a 1 + a + a a n multiplicamos por r y restamos, resulta: S n = a 1 + a + a a n S n r = a 1 r + a r + + a n 1 r + a n r S n S n r = a 1 De aquí se obtiene la fórmula para la suma: S n = a 1 a n r 1 r a n r Si la razón de la progresión está comprendida entre 1 y 1, el término a n tiende a cero cuando n tiende a infinito. En este caso existe el límite de S n : S = lím S a 1 a n r n = lím = a 1 n n 1 r 1 r Por consiguiente, para estas progresiones podemos escribir: S = a 1 1 r 1 < r < 1

109 Tema 1 Funciones 1.1. Definiciones. Una función f es una correspondencia que asocia a cada número real x (variable independiente) un único número real f(x) (variable dependiente). La representación gráfica de la función f es la curva de ecuación y = f(x) formada por los puntos de coordenadas (x, f(x)). El dominio o dominio de definición de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente x. El recorrido es el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente f(x). Una función como cos x puede considerarse como la aplicación sucesiva a la variable independiente x de la función f(x) = cos x y de la función g(x) = x. Esta operación consistente en aplicar sucesivamente dos funciones se llama composición de funciones y se representa por g f: g f(x) = g[f(x)] En general, la composición de funciones no es conmutativa. Por ejemplo, es diferente cos x que cos(x ). Dos funciones f y f 1 son inversas una de la otra si f(x) = y = x = f 1 (y) o bien f f 1 (x) = x Son funciones inversas el cuadrado y la raíz cuadrada, el logaritmo y la exponencial o el arcoseno y el seno puesto que: x = ( x) = x ; ln e x = e ln x = x ; sen( arsen x) = arsen (sen x) = x La función inversa sirve para despejar el argumento de una función. Por ejemplo: x = y = x = y ln x = y = x = e y e x = y = x = ln y cos x = y = x = arcos y La función f(x) es creciente en un intervalo si para puntos x 1, x en ese intervalo: x 1 > x = f(x 1 ) > f(x ) De forma similar, f(x) es decreciente en un intervalo si para puntos x 1, x en ese intervalo: x 1 > x = f(x 1 ) < f(x ) 109

110 110 TEMA 1. FUNCIONES Figura 1.1: Intervalos de crecimiento y decrecimiento La función f(x) tiene un máximo relativo en el punto x 0 si en ese punto toma un valor mayor que en los puntos próximos situados tanto a su izquierda como a su derecha. Una función f(x) tiene un mínimo relativo en el punto x 0 si en ese punto toma un valor menor que en los puntos próximos situados tanto a su izquierda como a su derecha. También podemos clasificar los puntos de la gráfica de una función según que la tangente quede por encima o por debajo de la curva. Si la tangente en un punto queda por encima de la curva, diremos que la función es convexa en ese punto y si queda por debajo diremos que la función es cóncava. Los puntos en que la función cambia de cóncava a convexa o de convexa a cóncava se llaman puntos de inflexión de la curva. En estos puntos, la tangente atraviesa la curva. Figura 1.: Intervalos de concavidad y convexidad Si la tangente en un punto queda por encima de la curva, diremos que la función es convexa en ese punto y si queda por debajo diremos que la función es cóncava. Los puntos en que la función cambia de cóncava a convexa o de convexa a cóncava se llaman puntos de inflexión de la curva. En estos puntos, la tangente atraviesa la curva. Una función es par o simétrica respecto al eje de ordenadas si cumple que f( x) = f(x). Las funciones polinómicas que tienen solamente potencias pares son simétricas respecto al eje de ordenadas.

111 1.. FUNCIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO. 111 Una función es impar o simétrica respecto al origen si cumple que f( x) = f(x). Las funciones polinómicas que tienen solamente potencias impares son simétricas respecto al origen. Una función periódica de período T es aquella cuyos valores se repiten a intervalos de longitud T, es decir que: f(x + T ) = f(x) Figura 1.3: Función periódica 1.. Funciones de primer y segundo grado. Como vimos anteriormente, la representación gráfica de las funciones polinómicas de primer grado f(x) = mx + b es una línea recta de pendiente m y cuya ordenada en el origen es b. La representación gráfica de la función polinómica de segundo grado o función cuadrática f(x) = ax + bx + c es una parábola. La parábola presenta un mínimo o un máximo según que el coeficiente de x sea positivo o negativo. El máximo o mínimo de la función es el vértice de la parábola. Las intersecciones de la parábola con los ejes se obtienen resolviendo el sistema formado por la ecuación de la parábola y la ecuación de los ejes. { { y = ax + bx + c = 0 y = ax + bx + c = 0 OX : OY : y = 0 x = 0 Las coordenadas del vértice se calculan de la siguiente forma: la abscisa del vértice es el punto medio de las intersecciones (si existen) con el eje OX. Una vez calculada la abscisa, se obtiene la ordenada sustituyendo en la ecuación de la parábola: x 0 = b a ; y 0 = ax 0 + bx 0 + c Ejercicio 61. Representar gráficamente la función y = x 5x 14. El punto de intersección con el eje de ordenadas es la solución del sistema: { y = x 5x 14 = A(0, 14) x = 0

112 11 TEMA 1. FUNCIONES Figura 1.4: Función cuadrática Los (posibles) puntos de intersección con el eje de abscisas se obtienen del sistema: { y = x 5x 14 y = 0 = x = 5 ± = 5 ± 9 Hay dos puntos de intersección de abscisas y 7. Los puntos son entonces B 1 (, 0) y B (7, 0) El vértice tiene como coordenadas x 0 = 5 ; y 0 = = 4 Con estos datos, la representación gráfica sería: Ejercicio 6. Representar gráficamente la función y = 4x x. Procediendo de forma similar al problema anterior resulta que la intersección con el eje OY es el punto (0, 0), las intersecciones con el eje OX están en (0, 0) y (4, 0) y el vértice en (, 4). La representación gráfica es:

113 1.3. FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA. 113 Obsérvese que, puesto que el coeficiente de x es negativo, la función presenta un máximo al contrario de lo que ocurría en el ejemplo anterior Función de proporcionalidad inversa. Dos magnitudes son inversamente proporcionales si su producto es constante. Las funciones definidas mediante ecuaciones del tipo: y = k cx + d ó y = ax + b cx + d se llaman funciones de proporcionalidad inversa y la curva correspondiente es una hipérbola. Esta curva puede dibujarse calculando sus intersecciones con los ejes: y = ax + b y = ax + b cx + d cx + d y = 0 x = 0 y sus asíntotas. Más adelante se verá cómo se pueden obtener las asíntotas de cualquier curva. Para la función de proporcionalidad inversa la asíntota vertical se obtiene igualando a cero el denominador y la asíntota horizontal dividiendo los coeficientes de x: asíntota horizontal: y = a c asíntota vertical: x = d c Conocidas las asíntotas x = x 0 e y = y 0, la ecuación de la hipérbola puede escribirse en la forma: (x x 0 )(y y 0 ) = k donde se pone de manifiesto que las magnitudes inversamente proporcionales son x x 0 e y y 0. Ejercicio 63. Representar gráficamente la función: y = x 5 x 3 La asíntota vertical es x 3 = 0, es decir, x = 3. La asíntota horizontal es y = (y igual al cociente de los coeficientes de x). Calculamos las intersecciones con los ejes. El punto de intersección con el eje de abscisas es: y = x 5 ( ) 5 x 3 = A, 0 y = 0

114 114 TEMA 1. FUNCIONES Figura 1.5: Función de proporcionalidad inversa y el punto de intersección con el eje de ordenadas: y = x 5 ( x 3 = B 0, 5 ) 3 x = 0 Con estos datos, la gráfica de la función es la siguiente: 1.4. Funciones exponenciales y logarítmicas. Las funciones definidas por y = a x donde a es un número positivo cualquiera se llaman funciones exponenciales. Sea cual sea el valor de a, la función puede escribirse en la base e, es decir como y = e kx con k = ln a positivo o negativo según que a sea mayor o menor que 1. Como características más importantes de estas funciones destaquemos las siguientes: Sea cual sea el valor de x, e kx es positivo. El eje de abscisas, esto es la recta y = 0 es una asíntota horizontal de y = e kx en o + según sea k positivo o negativo. La curva y = e kx no corta al eje de abscisas. Corta al eje de ordenadas en el punto (0, 1). Se llaman funciones logarítmicas las definidas por f(x) = log a x. Con ayuda de la fórmula del cambio de base de los logaritmos, cualquier función logarítmica puede expresarse como y = k ln x, donde ln x es el

115 1.5. FUNCIONES CIRCULARES. 115 Figura 1.6: Funciones exponenciales y logarítmicas logaritmo neperiano o sea el logaritmo en la base e. Como propiedades fundamentales de estas funciones citaremos: Las funciones logarítmicas solo existen para x positivo. La recta x = 0 (el eje de ordenadas) es asíntota vertical de y = k ln x. La curva y = k ln x no corta al eje de ordenadas. Corta al eje de abscisas en (1, 0) Funciones circulares. Las funciones y = sen x, y = cos x e y = tg x así como sus recíprocas cosecante, secante y cotangente, tienen la particularidad de que son periódicas, es decir toman valores iguales cada π radianes. Como se ve (figura 1.7), las gráficas de las funciones seno y coseno son iguales pero desfasadas en π. La función tangente tiene asíntotas x = ±(k + 1) π para k = 0, 1,,.... Figura 1.7: Funciones circulares Las inversas de estas funciones se llaman arcoseno, arcocoseno y arcotangente. Estas funciones se definen de la siguiente manera: arsen x es el ángulo (en radianes) comprendido entre π y π arcos x es el ángulo comprendido entre 0 y π cuyo coseno vale x. artg x es el ángulo comprendido entre π y π cuya tangente vale x. cuyo seno vale x.

116 116 TEMA 1. FUNCIONES 1.6. Transformación de funciones Sea la función definida por y = f(x). Traslaciones. La gráfica de y = f(x x 0 ) se obtiene trasladando la gráfica de y = f(x) hacia la derecha x 0 unidades. La gráfica de y = y 0 + f(x) se obtiene trasladando la gráfica de y = f(x) hacia arriba y 0 unidades. Simetrías. La gráfica de y = f( x) es simétrica de y = f(x) respecto al eje de ordenadas. La gráfica de y = f(x) es simétrica de y = f(x) respecto al eje de abscisas Cambios de escala. La gráfica de y = f(kx), k > 0 es la misma que la de y = f(x) dividiendo por k la escala en el eje de abscisas. La gráfica de y = kf(x) es la misma que la de y = f(x) multiplicando por k la escala del eje de ordenadas. Función recíproca. Para dibujar y = 1 f(x) a partir de y = f(x) tendremos en cuenta lo siguente: Dibujamos las rectas y = 1 e y = 1. Los puntos de intersección de y = f(x) con estas rectas pertenecen también a la gráfica de la función recíproca. Los ceros de una función son asíntotas verticales de la otra y viceversa. Cuando una de las funciones es creciente la otra es decreciente. Los máximos y mínimos de una función son mínimos y máximos de la otra (salvo que tengan ordenada cero). Si una de las funciones tiende a infinito la otra tiende a cero y viceversa. Las dos funciones tienen el mismo signo Valor absoluto. Para x > 0 la gráfica de la función y = f( x ) es igual que la de y = f(x). Para x < 0 es la imagen reflejada en el eje de ordenadas de la parte correspondiente a los x positivos. La gráfica de la función y = f(x) es igual que la de y = f(x) si f(x) > 0. Cuando f(x) < 0 es la simétrica de y = f(x) respecto al eje de abscisas. Ejercicio 64. Dibuje aproximadamente el gráfico de y = x 4x 5 e y = x 4 x 5. Solución: La gráfica de la función f(x) = x 4x 5 es:

117 1.6. TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES 117 La gráfica de y = x 4x 5 es: La gráfica de y = x 4 x 5 se obtiene reflejando en el eje OY la parte correspondiente a las x positivas: Ejercicio 65. Sean las funciones f(x) = 1 x ; g(x) = 1 x + 3 (a) Explicar qué transformaciones permiten pasar de f(x) a g(x). (b) Representar la curva y = g(x) indicando sus asíntotas y sus intersecciones con los ejes de coordenadas. Solución: (a) Pueden aplicarse sucesivamente las siguientes transformaciones: 1 x 1 x + 3 x + 3 x x + 3 Es decir: Traslación en el eje OX Cambio de escala en el eje OY Simetría respecto a OX Traslación en el eje OY (b) Es una función de proporcionalidad inversa. La gráfica es:

118 118 TEMA 1. FUNCIONES Las asíntotas son las rectas y = 1 y x = 3. Los puntos de intersección con los ejes son ( 1, 0) y ( 0, 1 3 ). Ejercicio 66. Representar la curva y = 1 ln(x + 1) Solución: Primero representamos la curva y = ln(x + 1) trasladando y = ln x una unidad hacia la izquierda: Y después representamos la recíproca y = 1 ln(x + 1) :

119 1.6. TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES 119

120 10 TEMA 1. FUNCIONES

121 Tema 13 Límites de funciones. Continuidad Límite cuando la variable tiende a infinito. Cuando escribimos lím f(x) = l x queremos decir que cuando la variable x se hace muy grande los valores de la función son muy próximos al número l. Gráficamente sería así: Figura 13.1: Límite cuando la variable tiende a infinito Vemos que en este caso la gráfica de la función cuando x se hace muy grande se aproxima a la recta horizontal x = l. Veremos más adelante que esta recta se llama asíntota horizontal de la función (ver figura 13.1 izquierda). Si el límite es infinito (y de modo muy parecido si es menos infinito) escribimos: lím f(x) = x y significa que eligiendo x suficientemente grande la función toma valores tan grandes como se quiera, es decir, la gráfica de la función corta a cualquier recta horizontal (ver figura 13.1 derecha). De forma más precisa (figura 13.1): Definición 1 (Límite finito cuando x ). El límite de la función f(x) cuando x tiende a infinito es l, y se escribe: lím f(x) = l x 11

122 1 TEMA 13. LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Figura 13.: Límites cuando x tiende a infinito si dado un número cualquiera ε mayor que cero, existe un valor de la variable x 0 tal que para los valores de x mayores que x 0, la distancia entre los valores de la función y el límite son menores que ε: ε > 0 x 0 x > x 0 = f(x) l < ε Definición (Límite infinito cuando x ). Se dice que el límite de la función f(x) cuando la variable x tiende a infinito es infinito y se escribe: lím f(x) = x si dado cualquier número M, existe un valor de la variable x 0 a partir del cual los valores de la función son mayores que M: M x 0 x > x 0 = f(x) > M Los límites cuando la variable tiende a menos infinito se definen de modo similar. Todas las reglas de cálculo de límites que hemos visto en el tema de sucesiones pueden aplicarse al cálculo de límites de funciones cuando la variable tiende a infinito. Ejercicio 67. Calcular los siguientes límites: ( x 3x 3) = lím x x 5x + lím x x 3 = 0 + 4x x 3 3x + 1 lím x x + = x 1 x 3 lím x x 3 3x + 6 = 1 ( lím ) x = e x x ( 1 3 ) x 3x x = e 3 lím x lím x lím x ( x + 3 ( 1 + ) x+1 = e 1 ) 5x+1 = e x + 3 ) x = e 0 = 1 ( 1 lím x x + 3 ( lím 1 + ) x = x x + 1

123 13.. LÍMITE CUANDO LA VARIABLE TIENDE A UN NÚMERO FINITO. 13 ( lím 1 3 x x + 5 ( x 3 lím x 3x + 1 lím x ( 3x + x + 3 ) x 1 = e = 0 ) x ( ) = = 0 3 ) x ( ) 3 = = 13.. Límite cuando la variable tiende a un número finito. Figura 13.3: Limite cuando la variable tiende a un valor finito Cuando escribimos lím f(x) = l x x 0 queremos decir que cuando la variable x toma valores próximos a x 0, pero distintos de x 0, la función f(x) toma valores próximos a l (ver figura 13.3 izquierda). Es importante destacar que el límite de una función en un punto no depende del valor de la función en ese punto sino de los valores que toma en los puntos próximos. Para que haya límite, ni siquiera es necesario que exista la función en ese punto pero debe existir en los puntos próximos. De forma más precisa (figura 13.4): Definición 3 (Límite cuando x x 0 ). El límite cuando x tiende a x 0 de la función f(x) es igual a l y se escribe: lím f(x) = l x x 0 si ε > 0 δ x x 0 < δ = f(x) l < ε. Si en los puntos próximos a x 0 la función toma valores muy grandes, mayores que cualquier número fijado previamente, diremos que la función tiende a infinito (ver figura 13.3 derecha). lím f(x) = x x 0 El límite igual a menos infinito se define de modo similar. Si el límite x tiende a x 0 es infinito (o menos infinito), la recta x = x 0 es una asíntota vertical de la función.

124 14 TEMA 13. LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Figura 13.4: Límite cuando x tiende a un número finito Funciones continuas. Casos de discontinuidad. Con las funciones que utilizamos habitualmente, si tienen límite finito, suele ocurrir que el límite de la función en un punto x 0 coincide con el valor de la función: lím f(x) = f(x 0 ) x x 0 En este caso se dice que la función es continua en x 0. Destaquemos que para que una función sea continua en x 0 debe cumplirse que: - Existe el límite de la función en el punto x 0. - Existe la función en el punto x 0, es decir, el punto x 0 pertenece al dominio de la función. - Ambos números lím x x 0 f(x) y f(x 0 ) son iguales. Cuando una función no es continua en un punto se dice que es discontinua en ese punto. Pueden presentarse los siguientes casos: Discontinuidad evitable. Hemos dicho que el límite depende del valor que toma la función en los puntos próximos al punto pero es independiente del valor de la función en el punto. Así, es posible que una función tenga límite en el punto x 0 pero no exista la función en ese punto (o no coincida con el límite). En este caso se dice que la función presenta una discontinuidad evitable. f tiene una discontinuidad evitable en x 0 lím x x 0 f(x) f(x 0 ) Por ejemplo, la función: f(x) = sen x x no está definida en el punto x = 0 (ver figura 13.5). Sin embargo puede demostrarse queda sen x lím = 1 x 0 x Se llama discontinuidad evitable porque es posible darle un nuevo valor a la función en el punto de discontinuidad de modo que la nueva función así definida sea continua. Por ejemplo en la función anterior, definiendo: { sen x f(x) = x x 0 1 x = 0

125 13.3. FUNCIONES CONTINUAS. CASOS DE DISCONTINUIDAD. 15 Figura 13.5: Discontinuidad evitable obtenemos una función continua igual a la anterior en todos los puntos salvo en x = 0. Salto finito. Algunas funciones tienen límites diferentes según que la variable se aproxime al punto por la derecha o por la izquierda (ver figura 13.6). Los límites laterales se indican mediante: lím f(x) ; x x 0 lím f(x) x x + 0 donde los superíndices y + indican que x tiende a x 0 por la izquierda y por la derecha respectivamente. Que x tiende a x 0 por la izquierda significa que x es próximo a x 0 pero menor que x 0 y que x tiende a x 0 por la derecha significa que x es próximo a x 0 pero mayor que x 0. Figura 13.6: Discontinuidades por salto finito y por límite infinito Por ejemplo, la función: f(x) = { x + 4x 3 x < x 4x + 8 x tiene un salto finito en x =, puesto que: lím f(x) = 1 ; x x 0 lím f(x) = 4 x x + 0

126 16 TEMA 13. LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Infinitos. El tercer tipo de discontinuidad son los infinitos de la función, es decir, los puntos x 0 tales que: lím f(x) = x x 0 Por ejemplo, la función: f(x) = x + 1 x 1 tiene un punto de discontinuidad en x = 1 ya que (ver figura 13.6): x + 1 lím x 1 x 1 = Discontinuidad esencial. Se produce este tipo de discontinuidad cuando no existen los límites laterales ni son infinitos. Por ejemplo, la función: f(x) = sen 1 x no tiene límite cuando x tiende a 0 (figura 13.7). Podemos ver que, cuando la variable es muy próxima a cero, la función oscila rápidamente entre 1 y 1 con una frecuencia que tiende a infinito a medida que x tiende a cero. Figura 13.7: Discontinuidad esencial Asíntotas. Las asíntotas son rectas tangentes a la curva en el infinito. En el caso de asíntotas verticales, esto significa que cuando x tiende a x 0 la distancia entre la curva y la asíntota tiende a cero y la pendiente de la curva tiende a infinito. En asíntotas horizontales y oblicuas la distancia entre la curva y la asíntota tiende a cero y, además, la pendiente de la curva se hace igual a la pendiente de la recta (cero en el caso de la asíntota horizontal) cuando x tiende a infinito. Podemos considerar los siguientes tipos de asíntota: Asíntotas verticales (ver figura 13.6 derecha): x = x 0 asíntota vertical de f(x) lím x x 0 f(x) =