PROCESAMIENTO DIGITAL DE IMÁGENES DE ULTRASONIDO T E S I S QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE: INGENIERO EN COMUNICACIONES Y ELECTRONICA

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1 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICA PROCESAMIENTO DIGITAL DE IMÁGENES DE ULTRASONIDO T E S I S QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE: INGENIERO EN COMUNICACIONES Y ELECTRONICA PRESENTA: RODRIGO HERNÁNDEZ NAVARRETE MÉXICO, D.F. 2010

2 INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA MECANICA y ELECT.RICA UNIDAD PROFESIONAL "ADOLFO LOPEZ MATEOS" TEMA DE TESIS QUE PARA OBTENER EL TITULO DE POR LA OPCION DE TITULACION DEBERA(N) DESARROLLAR INGENIERO EN COMUNICACIONES Y ELECTRÓNICA TESIS Y EXAMEN ORAL C. RODRIGO HERNANDEZ NAVARRETE "PROCESAMIENTO DIGITAL DE IMÁGENES DE ULTRASONIDO" PROCESAR IMÁGENES DE ULTRASONIDOS, PARA OBTENER RASGOS MAS DEFINIDOS DE LA IMAGEN Y HACER UN DIAGNOSTICO MAS EFICAZ. A. ASEsaRES M. EN C. GABRIELA SANCHEZ MELEN M. EN C. DAVI MÉXICO D.F. A 25 DE OCTUBRE DE 20/0.

3 INDICE TEMA OBJETIVO GENERAL OBJETIVOS ESPECÍFICOS JUSTIFICACION CAPÍTULO I. 1.1 RUIDO EN IMÁGENES DIGITALES Introducción PAGINA Tipos de ruido Ruido Gaussiano Ruido Impulsivo Ruido sal y pimienta Ruido uniforme Ruido uniforme frecuencial Ruido uniforme cursivo o multiplicativo Ruido Speckle Eliminación o disminución del ruido Tipos de filtro Filtros lineales Filtro de la media Filtro gaussiano Filtros no lineales, filtros de mediana Filtro adaptativo Filtros digitales Filtros estadísticos ordenados 19 Página 2

4 CAPÍTULO II. IMÁGENES MANEJO Y PROCESAMIENTO DE 2.1 Introducción Image Processing Toolbox Tipos de datos de en una imagen Tipos de imágenes Imagen binaria Imagen indexada Imagen de intensidad Imagen multitrama Imagen RGB archivo Lectura y escritura de imágenes a través de Leyendo imágenes de disco Extracción de bordes Método de Prewitt Método de Roberts Método de filtro Laplaciano Método Laplaciano de la Gaussiana (log) Método Canny Método Sobel 31 Imágenes binarias y segmentación por umbral CAPÍTULO III. WAVELETS 3.1 Introducción 3.2 Wavelets 3.3 Análisis de funciones Página 3

5 3.3.1 Análisis de Fourier Análisis de Wavelets Bases wavelets Algoritmo de la transformada wavelet piramidal Transformada Wavelet Piramidal. Algoritmo Funciones de Daubechies Número de operaciones Transformada wavelet bidimensional La transformada wavelet continua (CWT) La transformada wavelet discreta (DWT) Wavelets y ruido Wavelets en Matlab 45 CAPÍTULO IV. IMÁGENES MEDICAS, ULTRASONIDO 4.1 Introducción Usos comunes del ultrasonido Como funciona Ecos de ultrasonido Ecuación de la onda Dispersión en el tejido El equipo de ultrasonido Efectos biofísicos de los ultrasonidos Efecto mecánico Efecto térmico Efectos biológicos 54 Página 4

6 4.4 Ruido en ultrasonido Naturaleza del ruido Fenómeno de absorción Fenómeno de reflexión Fenómeno de difusión Speckle 56 CAPITULO V. RESULTADOS 5.1 Introducción Visión de bajo nivel Visión de alto nivel Visión de bajo nivel y alto nivel Adquisición de imágenes Guardando la imagen Preprocesamiento Operador elemental horizontal Operador elemental vertical Operador de Roberts horizontal Operador de Roberts vertical Operador de Prewitt horizontal Operador de Prewitt vertical Operador de Sobel horizontal Operador de Sobel vertical Filtro Gaussiano Filtro Laplaciano Filtro Log Transformación al modelo RGB (Red, Green, Blue) 70 Página 5

7 Transformación al modelo CMY (Cian, Magneta, Yellow) Segmentación Visión de alto nivel Representación Aplicación de filtros Aplicación de Wavelets Daubechies Haar Coiflets Aproximación lineal y no-lineal 81 CONCLUSIONES 83 RECOMENDACIONES PARA TRABAJOS FUTUROS 83 BIBLIOGRAFÍA 84 APÉNDICE A 89 APÉNDICE B 96 APÉNDICE C 99 Página 6

8 OBJETIVO GENERAL Utilizar técnicas de realce y nitidez, en busca de la mejora visual de las imágenes de ultrasonido. Efectuar realces temporales y permanentes de las imágenes de ultrasonido. Obtener datos, que hagan más evidentes los rasgos de las imágenes de ultrasonidos. OBJETIVOS ESPECÍFICOS Presentar las técnicas, herramientas analíticas y algorítmicas del procesamiento de imágenes para análisis clínicos. Aplicar las técnicas a imágenes reales. Extraer y definir características importantes de ultrasonidos, con el fin de ayudar al diagnostico oportuno y en tiempo real de un paciente. Obtener como resultado final, una imagen que permita tomar una decisión medica pertinente, por personal calificado en la materia. Página 7

9 JUSTIFICACIÓN El procesamiento de imágenes en la actualidad es utilizado en distintas áreas como son: la astronomía, la geología, física, biológicos, hasta el inesperado uso en las ciencias humanas, por ejemplo, la arqueología o historia del arte. Y sin duda en el campo de la medicina donde se obtienen múltiples beneficios que se centran en la salud y el bienestar humano. El procesamiento digital de imágenes, incluye un conjunto de técnicas que operan sobre la representación digital de una imagen, o un objeto para destacar algunos de los elementos que conforman dicha escena, de modo que se facilite su análisis posterior. En general, las técnicas de procesamiento de imágenes son aplicadas cuando resulta necesario realzar o modificar una imagen y mejorar su apariencia. Destacando algún aspecto de la información contenida en la misma. En general utilizamos estas técnicas cuando se requiere, medir, contrastar o clasificar algún elemento contenido en la misma. Las imágenes digitales representan información visual asociada con una escena ambiental real que correspondería a lo que obtenemos con el sentido de la vista, cierto tipo de información puede que no sea tan evidente como resultado a la utilización de sensores que no son apropiados. Las imágenes que utilizaré para su procesamiento serán imágenes de ultrasonidos y basaré el trabajo en la utilización del software Matlab, ya que este software y sus múltiples aplicaciones nos proporcionarán herramientas para el Procesamiento de Imágenes, así como un extenso conjunto de algoritmos y herramientas gráficas para el procesamiento, análisis y visualización de imágenes. Con su uso podemos restaurar el ruido en imágenes degradadas. Y así mejorar las imágenes, para extraer características y analizar las formas y texturas, Adicionalmente como beneficio el software hace uso de métodos que han sido probados por los especialistas en el procesamiento digital de imágenes, dando la ventaja de que en otro software tendríamos que implementar estos métodos sin la certeza de saber si funcionarán. Página 8

10 CAPÍTULO I: RUIDO EN IMÁGENES DIGITALES En este capítulo se definirá que es el ruido, orígenes y las repercusiones que pueden presentarse al encontrarlo en una imagen digital, sabemos que el ruido afectará la correcta reproducción de las imágenes, con las que se va a trabajar. Posteriormente trataremos de algunas de las técnicas existentes para el tratamiento de reducción o eliminación de éste para después continuar con el procesamiento digital de las imágenes. 1.1 INTRODUCCIÓN El ruido en una imagen es un fenómeno muy frecuente, aparece de improvisto y por varias circunstancias; en el caso específico de las imágenes digitales lo definimos como los píxeles erróneos, aleatorios que se entremezclan entre los píxeles aceptables que componen la imagen y que lo único que hacen es entorpecer su correcta reproducción. Uno de los ruidos más comunes en imágenes de formato digital es el conocido como ruido digital o píxeles rojos que no es más que la aparición de pequeños granos rojos muy intensos que se forman en el fondo de la imagen. Los factores que contribuyen a que este ruido se produzca es el tamaño del sensor, pero más frecuentemente se debe a la selección de un ISO (Organización Internacional para la Estandarización - International Organization for Standardization) muy alto, el ISO es la sensibilidad de la cámara o dispositivo digital. [1] Existen varias maneras de que el ruido sea introducido en una imagen; esto depende específicamente de la manera en cómo se crea u obtiene la imagen. Por ejemplo: Si la imagen es obtenida de una fotografía hecha en el cine, la película de grano es una fuente de ruido, dado que estos granos están en la base de cualquier material fotográfico (película o papel) y son los que forman la imagen, entonces el ruido puede ser resultado de los daños a la película y estos son transferidos directamente al escáner. Si la imagen se adquiere directamente en formato digital, el mecanismo de obtención de los datos puede introducir ruido, Página 9

11 o puede ser generado dentro de los componentes eléctricos de la entrada del amplificador (ruido interno), o puede ser añadido a la señal a medida que viaja por los cables a la entrada del amplificador (ruido externo), o simplemente como la consecuencia del proceso de captura, digitalización y transmisión. Si este ruido aparece en la imagen de un ultrasonido, tendríamos un grave problema, dado que consideramos al ultrasonido como un oportuno diagnóstico para el bien de la salud de un paciente. Y esto porque el ultrasonido es una herramienta en tiempo real, portátil y bajo costo, un ultrasonido con ruido puede traer múltiples consecuencias como son: una incorrecta interpretación por gente especializada, y una mala detección en detalles, ya que generalmente lo hace una computadora. Si el ruido ya está presente en nuestro ultrasonido lo que nos queda ahora por hacer, es un correcto manejo de este para tratar que sus consecuencias no repercutan gravemente en la interpretación de la imagen, en este proyecto se planea implementar el uso de filtros con la finalidad de hacer una reducción del ruido presente, dado que sabemos que un filtrado de datos reduce el ruido en la adquisición de estas, por ello en la siguiente sección abordaremos el tema del ruido. [2] 1.2 TIPOS DE RUIDO Todos los procesos de captura de imagen están sujetos a ruido de algún tipo, por lo que sería un problema ignorarlo, por ello consideramos importante hablar de los diferentes tipos de ruido en esta sección, para después hablar de las técnicas para identificarlos y eliminarlos de nuestras imágenes Ruido Gaussiano Este tipo de ruido, es producto de pequeñas variaciones en una imagen, con frecuencia este ruido es creado debido a los componentes electrónicos, como lo son: sensores, digitalizadores, etc. Dado que es producto del uso de la energía, este ruido afecta a todos los pixeles, así que afecta a toda la imagen completa, en la figura 1.1 se muestran los efectos de este ruido. [1] Página 10

12 Fig 1.1. a) Imagen original b) Imagen con ruido Gaussiano. La varianza es la estimación de la relación de la señal a ruido de una imagen. La influencia del ruido gaussiano según la varianza, la podemos ver en la figura 1.2 Fig. 1.2 a) Imagen original b) Varianza de s=0.025 c) Varianza de s= Ruido Impulsivo El ruido Impulsivo es el que aparece dejando en la imagen, pixeles completamente blancos, en un orden aleatorio como se ve en la figura 1.3. [1] Fig. 1.3 a) Imagen original b) Imagen con ruido impulsivo del 10% c) Imagen con ruido impulsivo del 30%. Página 11

13 1.2.3 Ruido Sal y Pimienta El ruido sal y pimienta aparece en las imágenes, tomando valores muy altos o muy bajos, esto en la imagen se representa como pixeles aleatorios de colores completamente blancos o completamente negros. Por tal motivo se le ha dado el nombre ruido sal y pimienta, dejando los valores como valor máximo (sal) o valor mínimo (pimienta), como se observa en la figura 1.4. [1] Fig. 1.4 a) Imagen original b) Imagen con ruido sal y pimienta Ruido Uniforme Es el ruido que aparece en las imágenes mostrando una distribución uniforme, La probabilidad de tomar cualquier valor de gris dentro de un intervalo definido es constante. Aunque se puede distinguir en dos categorías como son: Ruido Uniforme Frecuencial La imagen obtenida es la real más una interferencia de señal periódica, (senoide, cosenoide...) figura 1.5. [1] Fig. 1.5 a) Imagen original b) Imagen con ruido frecuencial Página 12

14 Ruido Uniforme Cursivo o Multiplicativo La señal obtenida es fruto de la multiplicación de dos señales, la imagen original con una señal de ruido, vea la figura 1.6. Fig. 1.6 a) Imagen original b) Imagen con ruido multiplicativo Para este caso podemos observar el grado del ruido, cuando este es recibido con diferentes varianzas, por ejemplo el caso de la figura 1.7. [1] Fig. 1.7 a) Imagen original, b) Imagen con ruido multiplicativo de s=0,005 c) Imagen con ruido multiplicativo de s=0, Ruido Speckle Las imágenes de ultrasonido presentan un especial tipo de ruido llamado Speckle. El cual degrada significativamente la calidad de la imagen, aumentando de esta forma la dificultad de discriminar detalles finos en las imágenes durante un examen de diagnóstico. También dificulta el procesado de las imágenes, tales como la segmentación y la detección de bordes. Página 13

15 Es un patrón granular presente en las imágenes de ultrasonido. Considerado como un tipo de ruido multiplicativo a la señal. 1.3 ELIMINACIÓN O DISMINUSIÓN DEL RUIDO Como ya se dijo la cantidad de ruido se mide gracias a una medida llamada varianza del ruido, aunque es más interesante medirla con relación a la energía de la señal o la imagen. La varianza se caracteriza en el cálculo, de las muestras de la potencia de ruido que afecta al sistema, que también se combina con los errores de amplitud y de incremento en la fase obtenidos por el receptor de la imagen [2]. La disminución de esta varianza en la imagen dará como beneficio la detección y clasificación de blancos por medio de métodos computacionales eficientes. El método computacional que elegimos para el tratamiento de las imágenes es Matlab, dicho programa cuenta con una serie de procesos para eliminar o reducir el ruido en una imagen. Esta reducción o eliminación se lleva a cabo gracias a la utilización de filtros, adaptados a diferentes ruidos. 1.4 TIPOS DE FILTROS La supresión de ruido es importante ya que cualquier sistema de visión artificial comienza con el procesamiento de los valores de intensidades. En este tema hablaremos de algunos modelos de ruido y su filtrado. El filtrado constituye una buena caja de herramientas para muchas situaciones reales [3]. Por ejemplo un filtro de paso bajo es de gran beneficio, pero como su nombre lo indica, solo permite el paso de datos que contengan un valor menor en frecuencia a la establecida, así que por consecuencia atenúa los datos con frecuencias altas. La utilización de un filtro de paso bajo solo se utilizará para prevenir la introducción de altas frecuencias y distorsión, en la imagen digital. Página 14

16 1.4.1 Filtros lineales Este tipo de filtros realiza una operación de convolución, entre la imagen a ser filtrada y una máscara a quitar. Entonces es necesario definir una matriz que contendrá los coeficientes del filtro, lo que a su vez define los píxeles del entorno que serán utilizados como argumento del filtro lineal que alterará el valor del píxel. A esta matriz se le denomina máscara y tiene una dimensión [m, n]. Esto lo podemos definir de la siguiente manera: Dada una imagen G que es la suma de I y un ruido n, (G=I+n), atenuar n lo más posible (eliminarlo, si es posible) sin alterar I significativamente. El filtrado lineal, trabajara en la imagen G de tamaño MxN, observada la versión filtrada lineal de G, será la estimación de Ie dada por Ie(i,j)= A(h,k)G(i-h,j-k) donde A es el núcleo de la convolución. Uno de los principales inconvenientes que muestra este proceso es el enturbiamiento que este filtro produce en nuestra imagen, así que este provoca un difuminado en los bordes, por lo que tienen que ser utilizados con cierta precaución. [3] Filtro de la media Si tenemos una imagen representada como f(x,y), este filtro generará una nueva imagen g(x,y) cuya intensidad para cada píxel se obtiene promediando los valores de intensidad de los píxeles f(x,y) incluidos en un entorno de vecindad predefinido. Página 15

17 El funcionamiento básicamente consiste: en asignar al pixel central la media de todos los pixeles incluidos en la ventana, así que se efectúa el promedio de los valores del entorno. Este reemplaza el valor de un píxel por la media de los valores del punto y sus vecinos. Su efecto es el difuminado o suavizado de la imagen y se aplica junto con el de mediana para eliminar ruidos. Por ejemplo este filtro lo implementamos con la siguiente máscara para un tamaño 3x3: Fig Máscara para un tamaño de 3x3. Normalmente el tamaño de la máscara se toma en función de la cantidad de suavizado que queramos aplicar en cada momento. La visualización del resultado es el único medio de saber si hemos elegido el tamaño adecuado. Se puede observar que el efecto final del filtro de la media es un suavizado de la imagen por reducción o redistribución del valor de los píxeles. Este filtro tiene el resultado opuesto a los de detección de bordes, donde el objetivo de los filtros es acentuar las diferencias, por esta razón el filtro de la media es un filtro paso bajo. También hay que notar que este filtro no modifica la imagen en las zonas donde el valor de los píxeles es el mismo, en oposición a los detectores de bordes que ponen estas regiones a cero. En resumen, la media, como el resto de los filtros de suavizado, suaviza los contornos y otros detalles de forma que los objetos aparezcan menos definidos. En Matlab la función que nos permite realizar el filtro de la media es: imfilter. B = imfilter(a,h,option1,option2,...) Esta función filtra el arreglo A, con un filtro multidimensional H, que realiza el proceso de acuerdo con una opción específica, los argumentos se pueden observar en la tabla 1.1, el resultado se almacena en B. Página 16

18 Tabla 1.1. Diferentes filtros creados para H. VALOR average disk DESCRIPCIÓN Filtro promedio Filtro de media circular gaussian Filtro Gaussiano pasa bajos laplacian Operador Laplaciano de aproximación a dos dimensiones 'log' Filtro Laplaciano de Gauss motion Movimiento lineal como el de una cámara 'prewitt' Prewitt horizontal, filtro que realza el borde 'sobel' Sobel horizontal, filtro que realza el borde 'unsharp' Filtro unsharp, aumento al contraste La función de Matlab que permite generar el filtro H es fspecial. Esta función crea filtros bidimensionales del tipo especificado por type. h = fspecial(type,parameters) El valor de type puede ser seleccionado de los valores mostrados en la tabla 1.1. [4] Filtro Gaussiano Este filtro utiliza el valor de cada punto, que es el resultado de promediar los distintos pesos, estos valores son los que contiene el vecino a ambos lados de dicho punto. También presenta el problema del difuminado de los bordes en la imagen, pero no es tan marcado como en el caso del filtro de media simple. Este tipo de filtro reduce especialmente el ruido gaussiano. [3] Página 17

19 1.4.4 Filtros no lineales, filtros de mediana Este tipo de filtro también crea nuevos pixeles en una nueva imagen, estos pixeles se generan calculando la mediana del conjunto de píxeles del entorno, gracias a los pixeles vecinos que corresponden a la imagen origen. De esta forma se homogeneízan los píxeles de intensidad muy diferente con respecto a la de los vecinos. Este filtro es utilizado con mucha frecuencia en imágenes que contienen ruido aleatorio. El filtro de mediana en Matlab se puede implementar con la función medfilt2, esto es: B = medfilt2(a) (1) donde A es la matriz de entrada a la que se le aplica el filtro de la mediana utilizando por default una vecindad de 3X3. [3] Filtrado adaptativo Este filtro utiliza una función llamada wiener2, que aplica un filtro lineal a una imagen adaptable, cuando mencionamos que es un filtro adaptativo o adaptable hablamos de la capacidad de manejar valores de imagen utilizando un valor local (varianza). Cuando la diferencia es grande, wiener2 realiza un filtrado de suavizado. Y cuando la diferencia es pequeña, wiener2 realiza un filtrado aun más suavizado que el anterior. La utilización de este filtro a menudo produce mejores resultados que los que arroja un filtrado lineal, esto se debe a que el filtro adaptativo es más selectivo que el filtro lineal, la preservación de los bordes y otras partes de alta frecuencia de una imagen. La función wiener2 se encarga de todos los cálculos preliminares y aplica el filtro a una imagen de entrada, pero esta función requiere más tiempo de cálculo de filtrado lineal. Wiener2 funciona mejor cuando el ruido es constante, tal como lo es el ruido Gaussiano. Página 18

20 1.4.6 Filtros digitales Son usados principalmente para eliminar altas o bajas frecuencias de la imagen, es decir, para suavizarla o bien, para realzar o detectar los bordes de la imagen. Esta imagen se puede filtrar en el dominio del espacio, trabajando directamente sobre los píxeles de la imagen, o en el dominio de la frecuencia, donde las operaciones se llevan a cabo a través de la transformada de Fourier de la imagen Filtros estadísticos ordenados Funcionan ordenando los valores en la vecindad de cada punto de menor a mayor, y obteniendo algún valor a partir de la lista ordenada, por ejemplo: Mínimo: selecciona el valor más pequeño. Máximo: selecciona el valor más alto. Mediana: selecciona el valor en la posición intermedia. En conclusión en el capitulo analizamos los diferentes tipos de ruido que podemos encontrar en las imágenes digitales y sus posibles orígenes, así como las consecuencias que traen al encontrarlos en una imagen, por ello mostramos adicionalmente la utilización de filtros para eliminarlos o degradarlos, para poder continuar con el procesamiento de imágenes, que es el tema que se abordara en el siguiente capítulo II. Página 19

21 CAPÍTULO II: MANEJO Y PROCESAMIENTO DE IMÁGENES DIGITALES En este capítulo, se revisará la forma en la cual se hace el manejo y procesamiento de las imágenes digitales y como utilizaremos estos beneficios, para hacer el Procesamiento de Imágenes en ultrasonidos, con el objetivo de obtener información útil, para su utilización posterior. 2.1 INTRODUCCIÓN Al mencionar la palabra Procesamiento Digital de Imágenes, hacemos referencia a la manipulación de imágenes, con un aspecto digital, con la intención de mejorar o modificarlas, así como la extracción de información útil a partir de ellas. Este manejo también nos ofrece ventajas como son: fáciles de almacenar, de preservar, de duplicar o de copiar, pueden incluirse de forma sencilla en informes o presentaciones y pueden trasmitirse por líneas de transferencia de datos. Las imágenes digitales son: fotografías, documentos, manuscritos, textos e ilustraciones escaneadas u obtenidas en forma digital, donde se ha confeccionado un mapa de ella, en forma de cuadrícula de puntos de la figura llamados píxeles. A cada píxel se le asigna un valor de tono (negro, blanco, matices de grises o de color), el cual para imágenes blanco y negro están representados en código binario (ceros y unos). Cada píxel es almacenado en una computadora en secuencia, donde se les reduce a una representación matemática, la computadora interpreta y lee los bits para producir una versión para su correcta visualización e impresión. Página 20

22 En la figura 2.1 se muestra un ejemplo de una imagen digital. Fig. 2.1 a) Imagen con valores 0 y 1, b) Imagen bitonal. Podemos entonces definir una imagen, como una función bidimensional de intensidad de luz, dada por f(x, y), donde x y y denotan las coordenadas espaciales y el valor de f en cualquier punto. Este tipo de imágenes son conocidas como imágenes a escala de grises ya que las imágenes RGB, están representadas por un arreglo de datos de mxnx3, donde 3 define el componente: rojo, verde o azul de cada píxel, la combinación de los componentes definen el color representado en el píxel correspondiente. [5] En Matlab podemos trabajar con distintos tipos de archivos, mostrados en la tabla 2.1 Tabla 2.1. Tipo de archivos para trabajar en Matlab. FORMATO TIFF JPEG GIF BMP PNG XWD EXTENSION.tiff.jpg.gif.bmp.png.xwd Página 21

23 2.2 IMAGE PROCESSING TOOLBOX El Toolbox proporciona a Matlab un conjunto de funciones que amplía las capacidades de desarrollo de aplicaciones y de nuevos algoritmos en el campo del proceso y análisis de imágenes. El entorno matemático y de creación de Matlab es ideal para el procesado de imágenes, ya que estas imágenes son, al fin y al cabo, matrices. Este toolbox incorpora funciones para: Diseño de filtros. Mejora y retocado de imágenes. Análisis y estadística de imágenes. Operaciones morfológicas, geométricas y de color. Transformaciones 2D. El proceso de imágenes es un campo de trabajo absolutamente crucial para él diagnóstico en campos de Médicina, Astronomía, Geofísica, Ciencias medioambientales, Análisis de datos en laboratorios, Inspección industrial, etc. Los programas actuales de procesado y análisis de imágenes se clasifican actualmente en dos categorías: Librerías de bajo nivel para programadores profesionales. Paquetes de aplicación, con capacidades limitadas de personalización. Ambos tipos de aplicaciones están, generalmente, pensados para tareas básicas de visualización de datos. Sin embargo, muchos de ellos adolecen de la posibilidad de efectuar análisis numéricos de los mismos. [6] El Image Processing Toolbox entra en la categoría de familias de funciones que, desde el entorno de trabajo de Matlab, permitirá al profesional efectuar una exploración exhaustiva y desde un punto de vista matemático de las imágenes y gráficos que se deseen tratar o analizar. [7] Página 22

24 2.2.1 Tipos de datos en una imagen Los elementos unit8 constituyen una imagen en Matlab tienen el formato entero, que es un tipo de dato que puede variar de 0 a 255, sin poder soportar decimales y valores que salgan fuera de ese rango. Lo anterior resulta una desventaja principalmente en aquellos casos donde se implementan algoritmos que trabajan con este tipo de datos para realizar operaciones de división o multiplicación por tipo de dato flotante, en estos casos es necesario trasformar la imagen de tipo de dato uint8 a double. Es importante tener en cuenta que si se utiliza la función imshow para desplegar las imágenes; esta no tiene la capacidad de poder desplegar imágenes del tipo double por lo que una vez realizado las operaciones de punto flotante es necesario después convertir al tipo de dato uint8. [8] Los tipos de datos de una imagen, con los que podemos trabajar se muestran en la tabla 2.2 Tabla 2.2 Tipo de datos. TIPO double uint8 uint16 uint32 int8 int16 DESCRIPCIÓN Doble precisión, números en punto flotante que varían en un rango aproximado de -10 a 10 (8 bytes por elementos) Enteros de 8 bits en el rango de [0, 255] (1 byte por elemento) Enteros de 16 bits en el rango de [0,65535] (2 byte por elemento) Enteros de 32 bits en el rango de [0, ] (4 bytes por elemento) Enteros de 8 bits en el rango de [-128, 127] (1 byte por elemento) Enteros de 16 bits en el rango de [-32768, 32767] (2 bytes por elemento) int32 Enteros de 32 bits en el rango de [ , ] single Número de punto flotante de precisión simple, con valores aproximadamente en el rango de -10 a 10 (4 bytes por elemento) Carácter (2 bytes por elemento) Los valores son 0 ó 1 (1 byte por elemento) char logical Página 23

25 2.3 TIPOS DE IMÁGENES Es la relación definida entre los valores de un array y los colores de los píxeles. El toolbox soporta imágenes binarias, indexadas, de intensidad y RGB Imagen binaria (Binary image) Imagen que contiene sólo píxeles de color blanco y negro. En Matlab, una imagen binaria es representada por una matriz de tipo uint8 o double logical que contiene 0 s y 1 s (los cuales representan blanco y negro respectivamente). Una matriz es logical cuando sus flags lógicas, están habilitadas. De forma habitual se nombra a la variable que contiene una imagen binaria como BW Imagen indexada (Indexed image) Imagen cuyos píxeles tienen valores que son índices directos a un mapa de color RGB. En Matlab, una imagen indexada es representada por un array de clase uint8, uint16, o double. El mapa de color es siempre un arreglo mx3 de clase double. De forma habitual se nombra a la variable que contiene una imagen indexada como X Imagen de intensidad (Intensity image) Es una imagen cuyos valores de píxeles corresponden a una escala de grises. En Matlab, una imagen de intensidad es representada por un arreglo de clase uint8, uint16, o double. Mientras estas imágenes no sean guardadas con mapas de color, Matlab usará un mapa del sistema para mostrarla. De forma habitual se nombra a la variable que contiene una imagen de intensidad como I. Este término es sinónimo de escala de grises. Página 24

26 2.3.4 Imagen multiframe (Multiframe image) Un archivo que contiene más de una imagen o frames. Una vez guardado en una variable, la imagen multiframe es un arreglo de 4 dimensiones, donde la cuarta dimensión especifica el número del frame. Este término es sinónimo de imagen multipágina (multipage image) Imagen RGB (RGB image) Una imagen cuyos píxeles son especificados por 3 valores, uno para cada componente de color (rojo, verde y azul) de cada píxel. En Matlab, una imagen RGB es representada por un arreglo mxnx3 de clase uint8, uint16, o double. De forma habitual se nombra a la variable que contiene una imagen RGB como RGB. 2.4 LECTURA Y ESCRITURA DE IMÁGENES A TRAVÉS DE ARCHIVO Para leer imágenes contenidas en un archivo al ambiente de Matlab se utiliza la función imread, cuya sintaxis es: imread( nombre del archivo ) (1) donde nombre del archivo es una cadena de caracteres conteniendo el nombre completo de la imagen con su respectiva extensión, los formatos de imágenes que soporta Matlab son los mostrados en la tabla 2.1. Para introducir una imagen guardada en un archivo con alguno de los formatos especificados solo tiene que usarse la función imread y asignar su resultado a una variable que representará a la imagen, entonces se tendría que escribir en línea de comandos: Imagen = imread( data.jpg ) (2) Página 25

27 Entonces la imagen contenida en el archivo data.jpg quedará contenida en la variable imagen. Una vez que la imagen está contenida en una variable de Matlab es posible utilizar las funciones para procesar la imagen. Por ejemplo, una función que permite encontrar el tamaño de la imagen es: [m, n]=size(image) (3) en donde m y n contendrán los valores de las dimensiones de la imagen. Para grabar el contenido de una imagen en un archivo se utiliza la función imwrite. imwrite(variable, nombre del archivo ) (4) en donde variable representa la variable que contiene a la imagen y nombre del archivo el nombre del archivo con su respectiva extensión de acuerdo a la tabla 2.1 Suponiendo que la variable imagen2 contiene la imagen que nos interesa grabar en el archivo dato2.jpg tendríamos que escribir: imwrite(imagen2, data2.jpg ) (5) Después que realizamos un procesamiento con la imagen, es necesario desplegar el resultado obtenido, la función imshow(variable) permite desplegar la imagen en una ventana en el ambiente de trabajo de Matlab.[8] imshow(imagen2); (6) El comando imshow nos arroja la imagen contenida en una matriz. Página 26

28 2.4.1 Leyendo imágenes de disco Para leer la imagen que vamos a procesar, empleamos el comando imread, pero solo hemos explicado el proceso de leer imágenes contenidas en la pc, para leer imágenes contenidas en una unidad externa solo bastaría con especificar la ruta exacta de la imagen, por ejemplo suponemos que la imagen es: 'imagen1.jpg', y la tenemos en una unidad externa, entonces tendríamos que escribir: f = imread('d:\imagenes\imagen1.jpg') (7) Lo que se realiza a continuaciones es crear una matriz f, de una imagen en blanco y negro, cada elemento tendrá un valor de 0 ó 1, como se muestra en la siguiente tabla 2.3 Tabla 2.3. Muestra los valores del arreglo f, que representa la imagen. f= f( 1,1 ) f( 2,1 ) f(m,1 ) f(1,2 ) f( 1,N) f(2,2 ) f(2,n) f(m,2) f(m,n) Cabe mencionar, que en la línea de comando podemos escribir lo siguiente: imshow(f,g) (8) donde f es la imagen a mostrar y G es el número de niveles de intensidad a mostrar. Si G se omite, se usa 256. La sintáxis es la siguiente: imshow(f,[low high]) (9) Página 27

29 El resultado se puede observar en la figura 2.2 Fig. 2.2 a) Imagen con el comando imshow(f), b) Imagen con comando imshow f [low high] Una utilidad interesante de imshow es: imshow(f,[ ]) (10) El comando expande el rango dinámico de la imagen, rango de diferencia de tono entre la parte más clara y la más oscura de una imagen, pone como límite inferior, el valor mínimo de intensidad de la imagen y como límite superior su valor máximo, que se muestra en la figura 2.3 Fig. 2.3 a) Imagen con el comando imshow(f), b) Imagen con el comando inshow f [ ] Además con imshow(f),si se ejecuta pixval en la línea de comando de nuestra última figura abierta, se podrá ver el valor de intensidad, cuando el ratón pasa sobre un píxel concreto. Página 28

30 También se puede medir la distancia euclídea entre dos puntos, en matemáticas la distancia euclidiana o euclídea es la distancia "ordinaria" entre dos puntos de un espacio euclideo espacio matemático n-dimensional usual, Matlab usualmente cuando dibuja una nueva figura, sobreescribe la ventana de la figura anteriormente mostrada [9]. Para mostrar la segunda figura en una ventana independiente, ejecutar lo siguiente: figure, imshow(f) (11) Para obtener información más detallada de una imagen almacenada en disco, podemos utilizar el comando imfinfo, escribiendo en la línea de comando: imfinfo nombre_fichero (12) 2.5 EXTRACCIÓN DE BORDES En visión computacional es de utilidad para hacer reconocimiento de objetos o bien para segmentar regiones, extraer los bordes de objetos (que en teoría delimitan sus tamaños y regiones). Los bordes de una imagen digital se pueden definir como transiciones entre dos regiones de niveles de gris significativamente distintos. Estos suministran una valiosa información sobre las fronteras de los objetos y puede ser utilizada para segmentar la imagen, reconocer objetos, etc. La mayoría de las técnicas para detectar bordes emplean operadores locales basados en distintas aproximaciones discretas de la primera y segunda derivada de los niveles de grises de la imagen. Las funciones que permite encontrar bordes a partir de algoritmos pueden ser: Página 29

31 2.5.1 Método de Prewitt Enfatiza los bordes horizontales y verticales como resultado de aplicar el gradiente para obtener las matrices que constituirán las máscaras Método de Roberts Es uno de los más antiguos, simples y menos utilizado de los métodos de detección de bordes en la actualidad, a pesar de que su sencillez en la implementación es atrayente para las aplicaciones hardware de alta velocidad Método de filtro Laplaciano Mejora la nitidez de la imagen por su capacidad de captar altas discontinuidades como resultado de la segunda derivada. Adicionalmente, detectar un borde es detectar el cruce por cero de la segunda derivada de la imagen Método Laplaciano de la Gausiana (log) Es el resultado de aplicar la segunda derivada (el laplaciano, con respecto a s + t ) a una función gausiana (de ahí su nombre laplaciana de la gausiana). La detección de los bordes cuando se aplica la segunda derivada se basa en detectar los cruces por cero después de filtrar la imagen Método Canny Consiste en tres grandes pasos: Obtención del gradiente: en este paso se calcula la magnitud y orientación del vector gradiente en cada píxel. Supresión no máxima: en este paso se logra el adelgazamiento del ancho de los bordes, obtenidos con el gradiente, hasta lograr bordes de un píxel de ancho. Página 30

32 Histéresis de umbral: en este paso se aplica una función de histéresis basada en dos umbrales; con este proceso se pretende reducir la posibilidad de aparición de contornos falsos Método Sobel Operador que realiza una medición 2-D gradiente espacial en una imagen y así se hace hincapié en las regiones de alta frecuencia espacial que se corresponden con los bordes. Normalmente se utiliza para encontrar la aproximación de la magnitud absoluta de gradiente en cada punto de entrada de una imagen en escala de grises. [10] Para observar los resultados de los métodos, sugerimos pasar a la sección apéndice B, donde mostramos los resultados de estos métodos en la Fig IMÁGENES BINARIAS Y SEGMENTACIÓN POR UMBRAL Recordemos que una imagen binaria es una imagen en la cual cada píxel puede tener solo uno, de dos valores posible. Como es lógico una imagen en esas condiciones es mucho más fácil encontrar y de distinguir sus características estructurales. [9] En visión computacional el trabajo con imágenes binarias es muy importante ya sea para realizar segmentación por intensidad de la imagen, para generar algoritmos de reconstrucción o reconocer estructuras. La forma más común de generar imágenes binarias es mediante la utilización del valor umbral de una imagen a escala de grises; es decir se elige un valor limite (o bien un intervalo) a partir del cual todos los valores de intensidades mayores serán codificados como 1 mientras que los que estén por debajo serán codificados a cero. En Matlab este tipo de operaciones se realizan de forma bastante sencilla utilizando las propiedades de sobrecarga de los símbolos relaciónales. Por ejemplo si de la imagen ejemplo quisiera realizarse este tipo de operación de tal forma que los píxeles mayores a 128 sean considerados como 1 y los que son menores o iguales a 128 como cero. Página 31

33 Los resultados se muestran en la figura 2.5, para verificar el código, pasar al apéndice B de la Fig Fig. 2.5 a) Imagen original, b) Resultado de un umbral de 50 En este capítulo se reviso la manera de emplear los primeros cambios en con el objetivo de realizar el procesamiento digital a una imagen, aunque cabe mencionar que existen diversas técnicas para llevar a cabo este procesamiento, y que dependen enteramente del programador o de los detalles que consideremos cambiar en la imagen. En el siguiente capítulo III se mostrara una técnica que es conocida como la más poderosa e útil para el procesamiento de imágenes, las wavelets. Página 32

34 CAPÍTULO III: WAVELETS En este capítulo, demostraremos el porqué las wavelets se han convertido, en una de las principales herramientas de procesamiento de imágenes, que goza de gran popularidad en varias áreas como son las Ciencias y la Medicina, estas ayudan a los cálculos que se necesitan realizar, para el tratamiento de las imágenes. 3.1 INTRODUCCIÓN Las wavelets proporcionan un conjunto de herramientas flexible para problemas prácticos, en las ciencias y la ingeniería, su crecimiento se ha observado en la última década, al aplicar estas wavelets en el análisis de señales, obteniendo resultados exitosos. Una ventaja de la utilización de las wavelets es que permiten modelar mejor los procesos que dependen fuertemente del tiempo, ya que generalmente su comportamiento no tiene porqué ser suave, por ello la transformada wavelet resulta eficiente para extraer información. Otra de las ventajas de dicha transformada frente a otros métodos es el de poder disponer de una amplia familia de ellas, lo cual permite tratar imágenes de diversa índole. Así que la elección de la wavelet dependerá del tipo de imagen que analicemos. Las wavelets pueden ser utilizadas en problemas que afectan al tratamiento de señales e imágenes digitales, ya que representa una potente herramienta para resolverlos. Podemos utilizarla para los siguientes problemas: Reducción del ruido (en señales de audio y en imágenes). Compresión de señales (de vital importancia tanto en la transmisión de grandes cantidades de datos como en su almacenamiento). Detección de determinados objetos en imágenes o irregularidades locales en ciertos tipos de señales (electrocardiogramas, vibraciones de motores, etc.). Página 33

35 La transformada wavelet discreta es una transformación de la señal que la divide en dos tipos de subseñales: La tendencia viene a ser una copia de la señal a menor resolución. Las fluctuaciones almacenan información referida a los cambios locales en la señal original. La tendencia y las fluctuaciones más significativas permiten una compresión de la imagen, con la finalidad de descartar información irrelevante y así proceder a la eliminación de un ruido producido por algunos aparatos y condiciones de medida. [11] 3.2 WAVELETS Llamada Transformada Wavelet, es una herramienta matemática desarrollada a mediados de los años ochenta. Nace a partir de la necesidad de analizar diversas funciones, debido a que en la naturaleza muchos de los procesos pueden ser modelados como funciones, ya sea discreto o continuo. El análisis de wavelets consiste en descomponer una señal en versiones escaladas móviles, de la wavelet original madre. [12] Las wavelets se centran en las matemáticas puras, como aplicadas, construidas para el análisis de funciones, en especial las funciones cuadrado integrables. Su teoría y aplicaciones, tienen una fuerte conexión con la transformada de Fourier, siendo más eficientes para el análisis local de señales no estacionarias y de rápida transitoriedad, y al igual que la Transformada de Fourier con Ventana, esta mapea la señal en una representación de tiempo-frecuencia, que será capaz de revelar aspectos de los datos como tendencias, puntos de quiebre, discontinuidades en las derivadas, y auto-similaridad. Este análisis puede muchas veces comprimir o eliminar ruido sin degradación apreciable, además de proveer un análisis de multiresolución con ventanas dilatadas. El análisis de las frecuencias de mayor rango se realiza usando ventanas angostas y el análisis de las frecuencias de menor rango se hace utilizando ventanas anchas. [13] Página 34

36 Dentro de los usos de esta poderosa herramienta podemos nombrar, además del análisis local de señales no estacionarias, el análisis de señales electrocardiográficas, sísmicas, de sonido, de radar, así como también es utilizada para la compresión y procesamiento de imágenes y reconocimiento de patrones. 3.3 ANÁLISIS DE FUNCIONES Las wavelets son funciones matemáticas que se pueden utilizar para filtrar series temporales de datos y analizar la variación de su contenido espectral, ofreciendo una representación tiempo-frecuencia más precisa Análisis de Fourier Permite el análisis en el tiempo así como de la frecuencia de una función, pero solo uno a la vez. [11] a0 + (ak coskt +bksinkt) (1) a0= 1/2π a0= 1/2π a0= 1/2π Fig. 3.1 Representación de la función de Fourier ƒ(w)= (2) Página 35

37 de donde se obtiene la inversa ƒ(t)= (3) Fig. 3.2 Transformada de Fourier Fig. 3.3 Descomposición de una señal por la transformada de Fourier Análisis de Wavelets Permite el análisis multirresolución, mejorando notablemente el análisis en pequeños intervalos con gran cantidad de información. Ψa,b(t)= (4) Utilizando la base díadica. j /2 Ψj.k = 2 j Ψ ( 2 t - k) (5) -j j con a = 2 y b = 2 k Fig Representación de la función Wavelet. Página 36

38 Wgf (b,a) = (f *ψa)(b) con Ψ(t) = ψ(-t) (f1 * f2)(x)= ʃℝ f1(x-t)f2(t)dt Fig Transformada de Wavelet. Fig Descomposición de una señal por la transformada Wavelet Una forma de pensar en las wavelets es plantear cómo miran nuestros ojos al mundo. Desde un avión un bosque se ve como una cubierta verde. Desde un carro se ven los árboles individualmente. Si nos acercamos vemos las ramas y las hojas. A medida que nos acercamos a escalas más pequeñas, podemos encontrar detalles que no habíamos visto antes. Dana Mackenzie. [12] Página 37

39 3.4 BASES WAVELET Sabemos que al hacer una proyección de una función, en base a una función de escala ortonormal, resulta que obtenemos una aproximación con pocos detalles de dicha función, posiblemente en un nivel de resolución particular, así que perdemos algo de información en el proceso. Esto significa que la función de escala f no es completa a cualquier nivel. Por lo tanto, se usan las proyecciones sobre otras funciones, denominadas wavelet ortonormales (o simplemente wavelets), para obtener la información complementaria de los detalles de la función. La Transformada Wavelet es la descomposición de f(x) en una base de funciones formada por la traslación y dilatación de una misma función, la función de escala. La descomposición de funciones y su reconstrucción puede ser computada mediante el algoritmo piramidal donde, en cada nivel de resolución, la función se descompone en una aproximación detalle más una aproximación gruesa llamada tendencia. La Transformada Wavelet de una función f(x) en dos dimensiones tiene aplicaciones en el procesamiento de imágenes. [13] 3.5 ALGORITMO DE LA TRANSFORMADA WAVELET PIRAMIDAL En esta sección se describirá el algoritmo mediante el cual se calcula la Transformada Wavelet Discreta con estructura piramidal, en los casos de arreglos bidimensionales, para posteriormente utilizar las bases ortonormales de Daubechies Transformada Wavelet Piramidal. Algoritmo La transformada Wavelet se puede implementar sobre numerosas bases. Las diferentes categorías de wavelets (continuas, discretas, ortogonales, etc.) y los varios tipos de funciones wavelets dentro de cada categoría proveen una gran cantidad de opciones para analizar una señal de interés. Página 38

40 Esto permite elegir la base de funciones cuya forma se aproxime mejor a las características de la señal que se desea representar o analizar. Las wavelet de Daubechies, en la transformada Wavelet son las más utilizadas para el procesamiento digital y análisis de imágenes, estas tienen la propiedad de formar una base ortonormal y poseen soporte compacto. Por esta razón, son adecuadas para el análisis de señales con soporte finito (por ejemplo: notas musicales, electrocardiogramas, sismogramas, etc.) y en particular para el análisis y procesamiento de imágenes. Debido a la condición de ortonormalidad, se asegura la independencia de la representación de la señal en los diferentes niveles de descomposición, es decir, que no se genera información redundante de la señal, y así, se evita la aparición de información falsa. Además, las bases de Daubechies permiten calcular la transformada Wavelet mediante un algoritmo menos complejo, con un bajo costo computacional y numéricamente estable (los cálculos realizados son confiables dentro de la precisión numérica de la computadora), lo cual las hace eficientes. En el cálculo práctico de la transformada wavelet ortonormal, mediante bases wavelet de Daubechies se utiliza un conjunto de filtros discretos paso-bajo y paso-alto, p(n) y q(n). De esta forma, dado un vector de datos de longitud igual a un número entero potencia de dos, la descomposición y reconstrucción wavelet ortonormal se implementa con el algoritmo piramidal iterando estos filtros. [13] Cabe mencionar que dichos filtros permiten que el análisis se concentre tanto en las frecuencias (filtro pasa baja), como en el tiempo (filtro pasa alta). Además permiten reconstruir la señal original de una manera apropiada. [12] Los filtros periódicos p(n) y q(n), son filtros de soporte compacto con un número finito N de coeficientes distintos de cero, es decir, el grado de los filtros es (N 1). Por lo tanto, los dos conjuntos de filtros forman una matriz de 2xN: Fig. 3.6 Ejemplo de una matriz 2xN La cual es utilizada en el algoritmo de descomposición. Página 39

41 3.5.2 Funciones de Daubechies Como mencionamos anteriormente utilizamos las bases wavelets de Daubechies. Esta clase incluye un rango de funciones que se extiende desde funciones altamente localizadas a funciones altamente suavizadas. Dentro de esta clase encontramos DAUB4, DAUB6, DAUB8, etc., hasta DAUB20, donde el número de Daubechies indica la cantidad de coeficientes distintos de cero. Por lo tanto, la más simple y más localizada es DAUB4, que tiene solo cuatro coeficientes no nulos. La decisión con respecto a cuál base de Daubechies es la más conveniente debe basarse en la forma de la señal a analizar. Esto es, se debe utilizar la wavelet que provea la mejor descripción de la señal con el menor número de coeficientes no nulos. [13] Número de operaciones Consideremos ahora el número de operaciones requerido para la Transformada Wavelet ortonormal de un vector de datos. Sea L la longitud del vector de datos y N la longitud de los filtros p(n) y q(n). En la banda de frecuencia más alta, el primer paso de descomposición requiere 2NL multiplicaciones y sumas. En el algoritmo piramidal, en la siguiente banda de frecuencia más ancha la longitud del vector de aproximación discreta c(n), está reducida a N/2. Por lo tanto, el próximo paso de descomposición requiere 2(NL/2) multiplicaciones y sumas. 3.6 TRANSFORMADA WAVELET BIDIMENSIONAL En dos dimensiones la descomposición wavelet de una función f(x,y) puede calcularse con un algoritmo similar al descripto anteriormente. Página 40